# On singular solutions of a multidimensional differential equation of Clairaut-type with power and exponential functions

## Abstract

In the theory of ordinary differential equations, the Clairaut equation is well known. This equation is a non-linear differential equation unresolved with respect to the derivative. Finding the general solution of the Clairaut equation is described in detail in the literature and is known to be a family of integral lines. However, along with the general solution, for such equations there exists a singular (special) solution representing the envelope of the given family of integral lines. Note that the singular solution of the Clairaut equation is of particular interest in a number of applied problems.In addition to the ordinary Clairaut differential equation, a differential equation of the first order in partial derivatives of the Clairaut type is known. This equation is a multidimensional generalization of the ordinary differential Clairaut equation, in the case when the sought function depends on many variables. The problem of finding a general solution for partial differential equations of the Clairaut is known to be. It is known that the complete integral of the equation is a family of integral (hyper) planes. In addition to the general solution, there may be partial solutions, and, in some cases, it is possible to find a singular solution. Generally speaking, there is no general algorithm for finding a singular solution, since the problem is reduced to solving a system of nonlinear algebraic equations.The article is devoted to the problem of finding a singular solution of Clairaut type differential equation in partial derivatives for the particular choice of a function from the derivatives in the right-hand side. The work is organized as follows. The introduction provides a brief overview of some of the current results relating to the study of Clairaut-type equations in field theory and classical mechanics. The first part provides general information about differential equations of the Clairaut-type in partial derivatives and the structure of its general solution. In the main part of the paper, we discuss the method for finding singular solutions of the Clairaut-type equations. The main result of the work is to find singular solutions of equations containing power and exponential functions.

## Full Text

Введение. Известно, что общее решение одномерного уравнения Клеро [1] представляет собой семейство интегральных прямых [2]. Помимо этого существует еще сингулярное (особое) решение уравнения, представляющее собой огибающую этого семейства прямых. Это особое решение в многомерных обобщениях уравнения Клеро не всегда существует [3, 4]. Однако если сингулярное решение удается найти, оно играет важную роль и представляет определенный интерес. В частности, в работах [5, 6] была показана связь между сингулярным решением уравнения типа Клеро и однопетлевым эффективным действием в квантовой теории поля с составными полями. Также отметим, что в работе [7] обсуждалось применение формализма типа Клеро без связей к Чо-Дуэань-Ге разложению в хромодинамике с калибровочной группой (2). Приложение уравнений типа Клеро в механике обсуждалось в работах [8, 9]. В работе [10] с помощью метода разделения переменных проводится анализ решений многомерного уравнения типа Клеро с произвольным числом независимых переменных для случая, когда нелинейная функция от производных, входящая в состав уравнения, представляет собой мультиоднородную функцию. В данной статье будет рассмотрено многомерное обобщение дифференциального уравнения типа Клеро в частных производных со специальной правой частью. Работа посвящена нахождению сингулярного решения уравнения, когда функция от производных либо степенная, либо показательная. 1. Общие сведения о решениях уравнений типа Клеро. Обыкновенное дифференциальное уравнение типа Клеро имеет вид [3, 4]: = ( ), (1) где = () - искомая функция, = / - ее производная и = ( ) - заданная непрерывно дифференцируемая функция своего аргумента. Известно, что общее решение уравнения Клеро (1) представляет собой семейство интегральных прямых () = + (), где R [2]. Помимо этого существует еще сингулярное (особое) решение, представляющее собой огибающую этого семейства прямых. Для определения сингулярного решения необходимо выразить как функцию переменной из следующего уравнения: ( ) + = 0. (2) Подставляя в уравнение (1) решение уравнения (2), = (), получим = () + (()), которое является сингулярным решением уравнения (1). Уравнением типа Клеро называется дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка [3, 4] следующего вида: = ( ) + , (3) где = (1 , 2 , . . . , ) - искомая функция переменных , = 1, ; R; функция ( ) = (1 , 2 , . . . , ) - заданная действительная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Здесь и далее используются следующие обозначения: = , = ; по повторяющимся индексам в (3) проводится суммирование: = =1 . Введем обозначениe = (), тогда уравнение (3) запишется следующим образом: = + (), (4) где () = (1 , 2 , . . . , ). Общее решение уравнения (3) отвечает постоянным = и имеет вид [4] () = + (). (5) Пусть функция () - непрерывно дифференцируемая в некоторой обла сти. Предположим, что в этой области det = 0. Тогда в этой области дифференциальное уравнение (3) может иметь нелинейный интеграл, определяемый системой уравнений + = 0, = 1, . (6) Решение системы уравнений (6) существует не всегда. Однако если удается найти решение системы (6), = (), то, подставляя это решение в выражение (4), будем иметь сингулярное решение исходного уравнения (3). 2. Сингулярное решение уравнения типа Клеро. В статье [6] была предложена процедура нахождения сингулярного решения уравнения (3) для случая, когда функция () имеет вид логарифмической функции: () = ln(1 ). Основная идея заключается в нахождении не самих функций (), а выражений и . Данный метод может быть применен для нахождения сингулярных решений уравнений типа Клеро и для другого класса функций, в которых эта структура сохраняется. В данной работе рассмотрен случай нахождения сингулярного решения уравнения (3) для случая, когда функция является a) степенной функцией, b) показательной функцией. 2a. Сингулярное решение для степенной функции. Рассмотрим функцию () = ( ) , (7) где - некоторые постоянные, = 1, . Общее решение уравнения (3) для рассматриваемого случая, согласно (5), имеет вид () = ( ) . (8) Система уравнений (6) для функции (7) запишется следующим образом: ( )1 · + = 0, = 1, . (9) Для нахождения сингулярного решения уравнения (3) для функции (7) из системы уравнений (9) определим суммы и как функции от . Затем, подставив их в исходное уравнение (3), получим сингулярное решение. Для этого введем некоторые постоянные , = 1, , таким образом, чтобы выполнялось тождество = 1. Свернем выражение (9) с , получим ( )1 + = 0. (10) Выразим из (10) сумму как функцию только от переменных : = ( ) 1 . (11) Для нахождения суммы свернем (9) с и, подставив значение из (11), получим ( ) 1 = . (12) Подставив найденные выражения (11) и (12) в выражение (4), будем иметь () = ( 1) ( ) 1 . (13) Выражение (13) представляет собой сингулярное решение дифференциального уравнения типа Клеро (3). Отметим, что данное решение нельзя получить из общего решения уравнения (8) для случая, когда функция от производной () имеет вид (7). 2b. Сингулярное решение для показательной функции. Для начала рассмотрим случай, когда функция () в (4) имеет вид () = exp( ), (14) где - некоторые постоянные, = 1, . Общее решение уравнения (3) для рассматриваемого случая, согласно (14), имеет вид () = exp( ). (15) Система уравнений (6) для функции (14) записывается следующим образом: exp( ) · + = 0, = 1, . (16) Для нахождения сингулярного решения уравнения (3) для функции (14), как и в предыдущем случае, из системы уравнений (16) определим суммы и как функции от . Затем, подставив их в исходное уравнение (3), получим сингулярное решение исходного уравнения. Для этого, как и в предыдущей части, введем постоянные так, чтобы выполнялось равенство = 1. Сворачивая выражение (16) с , получаем exp( ) + = 0. (17) Выразим из (17) сумму : = ln( ). (18) Для нахождения суммы свернем (16) с и подставим найденное значение в (18), получим = ( ) ln( ). (19) Подставим найденные выражения (18) и (19) в выражение (4): [ ] () = ( ) ln( ) 1 . (20) Полученная функция (20) является сингулярным решением дифференциального уравнения типа Клеро (3) для случая, когда функция от производных имеет вид (14). Данное решение нельзя получить из общего решения вида (15). Рассмотрим обобщение (15) на случай произвольного постоянного в основании показательной функции: () = ( ) , = const, где - некоторые постоянные, = 1, . В этом случае суммы и будут иметь следующий вид: = log , ln = ( ) log ( ) . ln (21) Подставив найденные выражения (21) в уравнение (4), получим [ 1] () = log . ln ln 398 (22) Выражение (22) представляет собой сингулярное решение дифференциального уравнения типа Клеро с показательной функцией. Для частного выбора = выражение (22) переходит в полученное ранее сигулярное решение (20). Заключение. В данной работе изучались сингулярные решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка типа Клеро (3). Для случая, когда функция от производных в (3) представляет собой степенную функцию, сингулярное решение имеет вид (13). Также в статье рассмотрен еще один случай выбора функции от производных в виде показательной функции. В этом случае сингулярное решение уравнения (3) имеет вид (22), а для частного выбора основания в виде экспоненты получаем выражение (20). Известно, что для уравнения в частных производных типа Клеро особое решение не всегда существует. Вследствие этого поиск особых решений для конкретных функций представляет собой актуальное направление исследований.
×

### Liliya Leonidovna Ryskina

Tomsk State Pedagogical University

Email: ryskina@tspu.edu.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

## References

1. Clairaut A., "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée", Histoire Acad. R. Sci. Paris (1734), 1736, 196-215
2. Эльсгольц Л. Е., Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Наука, М., 1969, 424 с.
3. Kamke E., Differentialgleichungen. Lösungsmethoden und Lösungen, v. I, Gewöhnliche Differentialgleichungen, B.G. Teubner, Stuttgart, 1977, xxvi+668 pp. (In German)
4. Courant R., Hilbert D., Methods of mathematical physics, v. 2, Partial differential equations, John Wiley & Sons, New York, London, 1962, xxii+830 pp.
5. Lavrov P. M., Merzlikin B. S., "Loop expansion of the average effective action in the functional renormalization group approach", Phys. Rev. D, 92:8 (2015), 085038
6. Lavrov P. M., Merzlikin B. S., "Legendre transformations and Clairaut-type equations", Phys. Lett. B, 756 (2016), 188-193
7. Walker M., Duplij S., "Cho-Duan-Ge decomposition of QCD in the constraintless Clairaut-type formalism", Phys. Rev. D, 91:6 (2015), 064022
8. Duplij S., "A new Hamiltonian formalism for singular Lagrangian theories", Journal of Kharkov National University, Ser. Nuclei, Particles and Fields, 969:3 (2011), 34-39
9. Зырянова О. В., Мудрук В. И., "Об особых решениях уравнений Клеро", Изв. вузов. Физика, 61:4 (2018), 35-40
10. Рахмелевич И. В., "О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных", Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 14:4(1) (2014), 374-381

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University