Stability and convergence of difference schemes for the multi-term time-fractional diffusion equation with generalized memory kernels

Full Text

Введение. Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка являются математическим аппаратом для более точного описания фи- зических и химических процессов, для которых необходимо учитывать предысторию (память) процесса [1-4]. Характеристиками, учитывающими память в таких уравнениях, являются функции памяти, которые представляют собой ядра интегралов, определяющих операторы дробного интегро-дифференци- рования. Для операторов дробного интегро-дифференцирования таковой яв- ляется степенная функция. Показатель степенной функции памяти опреде- ляет порядок производной и связан с фрактальной размерностью среды, в ко- торой протекает исследуемый процесс. Для более точного описания процесса в неоднородных пористых средах используются дифференциальные уравне- ния с дробными производными распределенных порядков [5, 6]. Для описания более сложных процессов могут привлекаться функции памяти более слож- ной структуры, чем степенная функция. T = {0 6 x 6 1, 0 6 t 6 T } рассмотрим первую кра- В прямоугольнике Q евую задачу для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти и переменными коэффициентами: () P () ( 0t ) u = L u + f (x, t), u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < x < 1, 0 6 t 6 T, 0 < t 6 T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 6 x 6 1, (1) (2) где ( u ) k(x, t) q(x, t)u, x x m () , (t) P () ( 0t ) u = 0t r r u(x, t), L u = r=0 1 ,(t) 0t u(x, t) = (1 ) 0 t (t ) u (x, )d (t ) - дробная производная Капуто порядка (0 < < 1) с весовой функцией (t) C 1 [0, T ]; 0 < m < m1 < . . . < 0 < 1; r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех T . t [0, T ] и r = 0, 1, . . . , m; 0 < c 1 6 k(x, t) 6 c 2 , q(x, t) > 0 для всех (x, t) Q () Заметим, что, в частности, при r (t) r = const > 0 оператор P () ( 0t ) представляет собой известный оператор дробного дифференцирования дис- кретно-распределенного порядка [7, 8]. Уравнение диффузии и уравнение Фоккера-Планка-Смолуховского с обобщенной функцией памяти были изучены в [9]. В этой работе показа- но, что представление функции памяти в обобщенном уравнении диффузии имеет различные формы, которые могут описать широкий спектр экспери- ментальных явлений. В работах [8, 10, 11, 13-15] методом энергетических неравенств были по- лучены априорные оценки для решения первой и третьей краевых задач для уравнения диффузии дробного, переменного и распределенного порядков как для дифференциальных, так и для разностных задач. С помощью принципа максимума в работе [16] получены априорные оценки для разностных задач, аппроксимирующих уравнение диффузии дробного по времени порядка. В данной работе для построения разностных схем с порядком точности O( 2 0 ) по времени мы должны требовать наличия достаточно гладкого решения исходной задачи. Это приводит к значительному сужению класса входных данных задачи, для которой применим предложенный метод. Как 583 известно (см. например [17, 18]), в случае гладких входных данных для урав- нения диффузии дробного порядка по времени решения могут быть негладки- ми в замкнутой области, так как производные функции u(x, t) по переменной t могут иметь особенность при t = 0. В этом случае, если это возможно, необ- ходимо представить решение в виде суммы двух функций, одна из которых известная, но не гладкая, а другая гладкая, но не известная, как это показано в работе [19]. В статье [20] рассмотрена первая краевая задача для уравнения реакции диффузии с производной Капуто порядка (0, 1). Показано, что решение такой задачи в целом имеет слабую особенность при t = 0. Представлен но- вый анализ стандартного метода конечных разностей для задачи с учетом наличия слабой особенности. Анализ схемы L1 для уравнения субдиффузии с негладкими данными был рассмотрен в [21]. Оценка погрешности аппроксимации для уравнения диффузии распределенного порядка по времени с негладкими данными ис- следовалась в [22]. 1. Априорная оценка для решения разностной задачи. Далее бу- 2,1 дем предполагать существование решения u(x, t) C x,t ( Q T ) задачи (1), (2), m,n где C x,t ( Q T ) - класс непрерывных функций вместе с их частными произ- T . водными порядка m по отношению к x и порядка n по отношению к t в Q Лемма 1. Для любой абсолютно непрерывной на [0, T ] функции v(t) спра- ведливо неравенство 1 () () v(t)P () v > P () v 2 . (3) 2 где 0 < < 1, r (t) C 1 [0, T ], r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех t [0, T ], r = 1, 2, . . . , m. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для всех фиксированных r и r (t) таких, что 0 < r < 1, r (t) > 0, r (t) 6 0 при всех r {0, 1, . . . , m} и t [0, T ], c учетом леммы 2.1 из [12] приходим к следующему неравенству: 1 , (t) v > 0t r r v 2 . 2 , r (t) v(t) 0t r Просуммировав последнее неравенство по r от 0 до m, получим неравен- ство (3). Будем пользоваться следующими обозначениями: 1 2 u 2 (x, t)dx, u(·, t) 0 = 0 m () P () (D 0t ) u = r , r (t) D 0t u(x, t). r=0 ,(t) D 0t u(x, t) 1 = () t (t )(t ) 1 u(x, )d 0 - оператор дробного интегрирования в смысле Римана-Лиувилля порядка > 0 с обобщенными функциями памяти. 584 Лемма 2 [12]. Для любой абсолютно непрерывной на [0, T ] функции v(t) справедливо равенство t t () v(0) ,(t) 1,(t) 0 v()d = D 0t v(t) d, (1 ) 0 0 где (0, 1), (t) C 1 [0, T ]. 1,0 T ), q(x, t), f (x, t) C ( Q T ), k(x, t) > c 1 > Теорема 1. Если k(x, t) C x,t ( Q T , то для решения u(x, t) задачи (1), (2) справедлива 0, q(x, t) > 0 всюду в Q априорная оценка (1) P () (D 0t )u( · , t) 20 t u x ( · , ) 20 d 6 + c 1 0 1 6 2c 1 t f ( · , ) 20 d + 0 m r (0)t 1 r r=0 (2 r ) u 0 20 . (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение (1) на u(x, t) и проинтегриру- ем по x от 0 до 1: 1 1 1 () u(x, t)P () u(x, t)dx u(x, t)L u(x, t)dx = u(x, t)f (x, t)dx. (5) 0 0 0 Преобразуем слагаемые тождества (5): 0 1 u(x, t)L u(x, t)dx = 1 2 = k(x, t)u x (x, t)dx + 0 1 q(x, t)u 2 (x, t)dx > c 1 u x ( · , t) 20 , 0 1 u(x, t)f (x, t)dx 6 u( · , t) 20 + 0 1 f ( · , t) 20 , 4 > 0. Используя неравенство (3), получаем 0 1 () u(x, t)P () u(x, t)dx > 1 2 0 1 1 () () P () u 2 (x, t)dx = P () u( · , t) 20 . 2 С учетом приведенных выше преобразований из тождества (5) следует нера- венство 1 () 1 P u( · , t) 20 + c 1 u x ( · , t) 20 6 u( · , t) 20 + f ( · , t) 20 . 2 () 4 (6) Из неравенства (6) и неравенства u(·, t) 20 6 2 1 u x (·, t) 20 при = c 1 имеем () P () u( · , t) 20 + c 1 u x ( · , t) 20 6 1 f ( · , t) 20 . 2c 1 (7) 585 Заменив переменную t на в неравенстве (7) и интегрируя его по от 0 до t, получим априорную оценку (4). Из априорной оценки (4) следует единственность и непрерывная зависи- мость решения задачи (1), (2) от входных данных. 2. Устойчивость и сходимость семейства разностных схем. В этом разделе приводятся результаты, полученные в работе [13], для семейства раз- ностных схем общего вида, заданных на неравномерной временной сетке. В прямоугольнике Q T = {(x, t) : 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T } рассмотрим сетку h = h , где h = {x i = ih, i = 0, 1, . . . , N ; hN = l}, = {t j : 0 = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t M 1 < t M = T }. В основном семейство разностных схем, аппроксимирующих задачу (1), (2) на сетке h , имеет вид ( j+1 ) g 0t j+1 y i + j+1 , i = y i y(0, t) = 0, i = 1, 2, . . . , N 1, y(l, t) = 0, где g 0t j+1 y i = j ( t , j = 0, 1, . . . , M 1, y(x, 0) = u 0 (x), ) y i s+1 y i s g s j+1 , x h , (8) (9) g s j+1 > 0 s=0 - разностный аналог обобщенной дробной производной Капуто; - разност- ный оператор, аппроксимирующий непрерывный оператор L так, что опера- тор сохраняет свойства положительной определенности: (y, y) > y 20 , (y, v) = N 1 y i v i h, y 20 = (y, y), > 0; i=1 y ( j+1 ) = j+1 y j+1 + (1 j+1 )y j , 0 6 j+1 6 1 для j = 0, 1, . . . , M 1. j+1 j+1 > g j1 > · · · > g 0 j+1 > 0, j = 0, 1, . . . , M 1, то для любой функции v(t), заданной на сетке , справедливы неравенства Лемма 3 [13]. Если g j ) 2 1 1 ( 2 g 0t j+1 (v ) + g 0t j+1 v , j+1 2 2g j ( ) 2 1 1 v j g 0t j+1 v > g 0t j+1 (v 2 ) g 0t j+1 v , j+1 j+1 2 2(g j g j1 ) v j+1 g 0t j+1 v > 1 = 0. где g 1 Следствие 1 [13]. Если g j j+1 586 > j+1 g j1 > ··· > g 0 j+1 > 0, g j j+1 j+1 2g j j+1 g j1 6 j+1 6 1, 1 = 0, то для любой функции v(t), заданной на где j = 0, 1, . . . , M 1, g 1 сетке , справедливо неравенство ( ) 1 j+1 v j+1 + (1 j+1 )v j g 0t j+1 v > g 0t j+1 (v 2 ). 2 Теорема 2 [13]. Если g j j+1 > j+1 g j1 > ··· > g 0 j+1 > c 2 > 0, g j j+1 j+1 2g j j+1 g j1 6 j+1 6 1, 1 где j = 0, 1, . . . , M 1, g 1 = 0, то разностная схема (8), (9) безусловно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка y j+1 20 6 y 0 20 + 1 max j 20 . 2c 2 06j6M (10) Из априорной оценки (10) следует устойчивость разностной схемы (8), (9). Теорема 3 [13]. Если выполняются условия Теоремы 2 и разностная схе- ма (8), (9) имеет порядок аппроксимации O(N r 1 +M r 2 ), где r 1 и r 2 - неко- торые известные положительные числа, то решение разностной схемы (8), (9) сходится к решению дифференциальной задачи (1), (2) в сеточной L 2 -нор- ме со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации O(N r 1 +M r 2 ). 3. Разностный аналог производной Капуто дискретно-распреде- ленного порядка с обобщенными функциями памяти. Предположим, 4,2 что существует решение u(x, t) C x,t задачи (1), (2), а коэффициенты урав- нения (1) и функции f (x, t), u 0 (x) удовлетворяют условиям, требуемым для построения разностных схем с порядком аппроксимации O(h 2 + 2 0 ). Кроме того, будем предполагать, что r (t) C (2) [0, T ], r = 0, 1, . . . , m. Рассмотрим равномерную сетку = {t j = j, j = 0, 1, . . . , M, M = T }. Дробную производную дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти будем аппроксимировать следующим дискретным анало- гом: m () , (t) P () ( 0t j+1 ) v = 0t r j+1 r v, r=0 где , (t) 0t r j+1 r v = j ) (r) ( c js v(t s+1 ) v(t s ) ; (11) s=0 (r) c l r ( l+1/2 (r) (r) ) , = r a l + ( lr l+1 r )b l (2 r ) l > 0, (r) (r) b l a l = (l + 1) 1 r l 1 r , lr = r (t l ), ) 1 ( ) 1 ( = (l + 1) 2 r l 2 r (l + 1) 1 r + l 1 r , 2 r 2 l > 1. 587 Разностный аналог обобщенной дробной производной Капуто (11) был предложен в работе [12]. Лемма 4 [12]. Для любого (0, 1) и функции v(t) C 2 [0, t j+1 ] справед- ливо равенство ,(t) ,(t) 0t j+1 v = 0t j+1 v + O( 2 ), где (t) > 0, (t) 6 0 и (t) C 2 [0, t j+1 ], r = 1, 2, . . . , m. Следствие 2. Для любой функции v(t) C 2 [0, t j+1 ] справедливо равен- ство () () P () ( 0t j+1 )v = P () ( 0t j+1 )v + O( 2 0 ), (12) где r (t) > 0, r (t) 6 0 и r (t) C 2 [0, t j+1 ], r = 1, 2, . . . , m. Лемма 5 [23]. Для любого l = 0, 1, . . . и r (0, 1) имеют место следую- щие неравенства: (r) (r) (r) a 0 > a 1 > . . . > a l > 1 r , (l + 1) r (r) (r) (r) b 0 > b 1 > . . . > b l > 0. Следствие 3. Для любого l = 0, 1, . . . , r (0, 1) и r (t) C 2 [0, T ], где r (t) > 0, r (t) 6 0 для всех t [0, T ], справедливы неравенства (r) (r) (r) c 0 > c 1 > . . . > c l > r (t l+1/2 ) . r (1 r )t l+1 Из леммы 3 и следствия 3 следует Лемма 6. Для любой функции v(t), определенной на сетке , имеет место неравенство 1 () () v j+1 P () ( 0t j+1 )v > P () ( 0t j+1 )v 2 . 2 4. Разностная схема для уравнения диффузии дискретно-распре- деленного порядка с обобщенными функциями памяти. Рассмотрим следующую разностную схему: () P () ( 0t j+1 )y i = y i j+1 + j+1 , i y(0, t) = 0, y(l, t) = 0, i = 1, 2, . . . , N 1, j = 0, 1, . . . , M 1; (13) t , y(x, 0) = u 0 (x), x h , (14) где ( ) a i+1 y i+1 (a i+1 + a i )y i + a i y i1 y i = (ay x ) x dy i = d i y i , i=1, . . . , N 1, h 2 y i y i1 y i+1 y i y x ,i = , y x,i = , h h a j+1 = k(x i1/2 , t j+1 ), d j+1 = q(x i , t j+1 ), j+1 = f (x i , t j+1 ). i i i 588 4,2 Если решение задачи (1), (2) u(x, t) C x,t , то порядок аппроксимации 2 2 0 разностной схемы (13), (14) равен O(h + ). Это следует из [24, р. 462] и формулы (12). Теорема 4. Разностная схема (13), (14) безусловно устойчива и для ее решения справедлива априорная оценка: 1 y j+1 20 6 y 0 20 + 4c 1 max j 20 . r (T ) 06j6M r=0 (1 r )T r m (15) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для разностного оператора , используя первую разностную формулу Грина и теорему вложения [24] для функции, обраща- ющихся в нуль при x = 0 и x = 1, получаем (y, y) > 2c 1 y 20 . Это значит, что для этого оператора можно выбрать = 4c 1 . Поскольку разностная схема (13), (14) имеет вид (8), (9) где g s j+1 = m (r) c js , r=0 то из следствия 3 следуют следующие неравенства: g 0 j+1 = m r=0 (r) c j > m r=0 m r (t j+1/2 ) r (T ) > , r (1 r )t j+1 (1 r )T r j+1 g j j+1 > g j1 > . . . > g 0 j+1 , r=0 = 1. Из теоремы 2 и приведенных выше неравенств следует справедливость тео- ремы 4. 4,2 Если решение задачи (1), (2) u(x, t) C x,t , то из априорной оценки (15) следует сходимость разностной схемы (13), (14) к решению соответствующей дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку погрешности ап- проксимации O(h 2 + 2 0 ). Численные результаты. Численные расчеты 1 проведены для тестового примера, когда функция u(x, t) = sin(x)(1 + 2t 2 + t 3 ) является точным решением задачи (1), (2) при m = 2, где 0 = 0.8, 1 = 0.5, 2 = 0.2, 1 1 0 (t) = e t , 1 (t) = , 2 (t) = , 1+ t 1 + t 2 с коэффициентами k(x, t) = 2 cos(xt), q(x, t) = 1 sin(xt), T = 1. В табл. 1 и 2 представлены погрешности (z = y u) и порядок сходимости (CO) в нормах · 0 и · C ( h ) , где z C ( h ) = max |z|. (x i ,t j ) h 1 Все расчеты проведены с помощью языка программирования Julia, версия v1.0.1. 589 Таблица 1 Погрешность в сеточных нормах L 2 и C при 2 = h 2 [The convergence order (CO) in the grid L 2 - and C-norm when 2 = h 2 ] h 0 = 0.8 1 = 0.5 2 = 0.2 1/10 1/20 1/40 1/80 max z n 0 CO in · 0 z C( h ) CO in || · || C( h ) 1.8240E2 4.5277E3 1.1268E3 2.8073E4 2.0103 2.0066 2.0049 2.5601E2 6.3664E3 1.5877E3 3.9556E4 2.0077 2.0036 2.0050 06n6M Таблица 2 Погрешность в сеточных нормах L 2 и C при h = 1/10000 [The convergence order (CO) in the grid L 2 - and C-norm when h = 1/10000] 0 = 0.8 1 = 0.5 2 = 0.2 1/10 1/20 1/40 1/80 max z n 0 CO in · 0 z C( h ) CO in || · || C( h ) 1.6044E2 6.6949E3 2.8018E3 1.1782E3 1.2610 1.2567 1.2497 2.2832E2 9.5272E3 3.9871E3 1.6766E3 1.2610 1.2567 1.2497 06n6M Данные табл. 1 показывают, что по мере увеличения числа шагов сетки по правилу h 2 = 2 0 уменьшается максимальная погрешность со скоростью O( 2 0 + h 2 ) = O(h 2 ), равной порядку сходимости разностной схемы. Поря- 1 док сходимости вычисляется по следующей формуле: CO = log h 1 z z 2 (z i - h 2 это погрешность, соответствующая h i ). Из данных табл. 2 следует, что при достаточно малом h = 1/10000 с воз- растанием числа шагов по временной сетке уменьшается погрешность в соот- ветствующих нормах со скоростью O( 2 0 ). Порядок сходимости для дан- 1 ного случая вычисляется по формуле CO = log 1 z z 2 . 2 5. Компактная разностная схема для уравнения диффузии дис- кретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памя- ти. Дифференциальной задаче (1), (2) для случая, когда k = k(t) и q = q(t), поставим в соответствие следующую компактную разностную схему: () j+1 P () ( 0t j+1 )H h y i = a j+1 y x j+1 H h y i j+1 + H h j+1 , x,i d i i = 1, . . . , N 1, j = 0, 1, . . . , M 1; y(0, t) = 0, y(l, t) = 0, t , y(x, 0) = u 0 (x), где H h v i = v i + a j+1 = k(t j+1 ), h 2 v x x,i , 12 x h , (16) (17) i = 1, . . . , N 1, d j+1 = q(t j+1 ), j+1 = f (x i , t j+1 ). i Разностная схема (16), (17) имеет порядок аппроксимации O( 2 0 + h 4 ), 6,2 если u C x,t . Это следует из [25] и (12). 590 Теорема 5. Разностная схема (16), (17) безусловно устойчива и для ее решения справедлива следующая априорная оценка: H h y j+1 20 6 H h y 0 20 + 1 8c 1 max H h j 20 . r (T ) 06j6M r=0 (1 r )T r m (18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Умножим уравнение (16) скалярно на H h y j+1 = = (H h y) j+1 и получим () () (H h y j+1 , P () ( 0t j+1 )H h y) a j+1 (H h y j+1 , y x x )+ + d j+1 (H h y j+1 , H h y j+1 ) = (H h y j+1 , H h j+1 ). (19) Преобразуем слагаемые тождества (19): 1 () () (H h y j+1 , P () ( 0t j+1 )H h y) > P () ( 0t j+1 )H h y 20 , 2 h 2 j+1 2 y = 12 x x 0 N 1 1 j+1 j+1 2 2 = y x ]| 0 (y x ,i+1 y x j+1 ,i ) h > 12 j+1 j+1 (H h y j+1 , y x j+1 , y x x ) x ) = (y i=1 1 j+1 2 2 j+1 2 8 j+1 2 2 ]| 0 = y x ]| 0 > y 0 , > y x j+1 ]| 0 y x 3 3 3 где y]| 20 = N y i 2 h, i=1 1 H h j+1 20 = 4 j+1 ) N 1 ( j+1 2 y i1 + 10y i j+1 + y i+1 1 = h + H h j+1 20 6 12 4 (H h y j+1 , H h j+1 ) 6 H h y j+1 20 + i=1 6 y j+1 20 + 1 H h j+1 20 . 4 С учетом приведенных выше преобразований из тождества (19) при = 8c 1 /3 получим неравенство () P () ( 0t j+1 )H h y 20 6 1 H h j+1 20 . 8c 1 Дальнейшее доказательство аналогично доказательству теоремы 1 в [13], и по- этому его можно пропустить. 591 Норма H h y 0 эквивалентна норме y 0 , что следует из неравенства 5 y 20 6 H h y 20 6 y 20 . 12 (20) 6,2 Теорема 6. Пусть u(x, t) C x,t - решение задачи (1), (2) для случая k = = k(t), q = q(t), и {y i j | 0 6 i 6 N, 1 6 j 6 M } - решение разностной схемы (16), (17). Тогда справедлива оценка u( · , t j ) y j 0 6 C R ( 2 + h 4 ), 1 6 j 6 M, где C R - положительная постоянная, не зависящая от и h. Справедливость теоремы 6 непосредственно следует из априорной оценки (18) и эквивалентности норм (20). Заключение. В данной работе методом энергетических неравенств по- лучены априорные оценки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с обобщенными функциями памяти. Построен разностный аналог производной Капуто дискретно-распре- деленного порядка с обобщенными функциями памяти (аналог формулы L1). Исследованы основные свойства этого разностного оператора и на его основе построены разностные схемы второго и четвертого порядков аппроксимации по пространственной переменной и порядка 2 0 по временной переменной для обобщенного уравнения диффузии дискретно-распределенного порядка с переменными коэффициентами. Доказана устойчивость предложенных раз- ностных схем, а также их сходимость в сеточной L 2 -норме со скоростью, равной порядку погрешности аппроксимации. Полученные теоретические ре- зультаты подтверждаются численными расчетами тестовых задач.

About the authors

Aslanbek Kh Khibiev

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: akkhibiev@gmail.com
89 a, Shortanova st., Nal'chik, 360000, Russian Federation

References

Supplementary files