Generalized integral Laplace transform and its application to solving some integral equations

Full Text

Метод интегральных преобразований широко используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, а сама теория интегральных преобразований является одной из важных ветвей прикладного анализа. Многие задачи математической физики, астрофизики, термодинамики, механики и других естественных наук приводят к необходимости применения теории интегральных преобразований. Преимущества метода интегральных преобразований заключаются в том, что он даёт возможность: 1) сведения сложных задач к менее сложным; 2) получения окончательного результата в явном виде. Разработкой теории и методов интегральных преобразований занимались Г. Бейтмен, В. А. Диткин, A. A. Килбас, А. П. Прудников, С. М. Ситник, А. Эрдейи, M. Saigo, I. N. Sneddon [1-4] и многие другие. Изучение интегральных уравнений первого рода и так называемых парных, тройных и N -арных интегральных уравнений, которые часто встречаются в приложениях, приводит к необходимости рассматривать интегральные ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1265 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: С. М. З а и к и н а, “Обобщ¨нное интегральное преобразование Лаe пласа и его применение к решению некоторых интегральных уравнений” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 19-24. 19 С. М. З а и к и н а преобразования со специальными функциями в ядрах. Эти вопросы изучены в работах [3, 5]. Рассмотрим обобщённые интегральные преобразования Лапласа: ∞ L {f (t); x} = 0 ∞ Lγ1 ,γ2 ,γ {f (t); x} = 0 exp(-tx)1 Φτ,β (a; c; -b(tx)γ ) f (t)dt, 1 tγ2 exp(-(xt)γ1 )1 Φτ,β (a; c; -b(tx)γγ1 ) f (t)dt, 1 (1) (2) где t 0; γ ∈ C, γ1 > 0, γ2 > 0, b 0; f (t) ≡ 0 при t < 0; tγ2 f (t) < γ1 ); M , s - постоянные числа (при t > 0); Φτ,β - обобщённая < M exp(s0 t 0 1 1 конфлюэнтная гипергеометрическая функция [6]: 1 Γ(c) (c, τ ) ta-1 (1 - t)c-a-1 1 Ψ1 ztτ dt, (c, β) Γ(a)Γ(c - a) 0 Re c > Re a > 0, τ > 0, τ ∈ R, β > 0, β ∈ R, τ - β < 1; τ,β 1 Φ1 (a, c; z) = ∞ Γ(z) = e-t tz-1 dt 0 - классическая Гамма-функция; 1 Ψ1 (c, τ ) ztτ = (c, β) ∞ n=0 Γ(c + τ n) z n tτ n Γ(c + βn) n! - частный случай функции Райта [7]. Заметим, что при b = 0 преобразование (1) совпадает с классическим преобразованием Лапласа [1]: ∞ L {f (t); x} = exp(-tx)f (t)dt. (3) 0 Аналогично при γ2 = 0, γ1 = 1, b = 0 преобразование (2) совпадает с (3). В работах [8, 9] приведены и доказаны формулы обращения для интегральных преобразований (1), (2). Например, для интегрального преобразования (1) справедлива формула f (u) = Γ(a) Γ(c) ∞ (ux)-1 g(x)K(ux)dx, (4) 0 где K(x) = 1 2πi σ+i∞ σ-i∞ ξ(s) = 2 Ψ1 xs ds, ξ(s) g(y) = L {f (x); y} , (a, τ ); (s, γ) (c, β) -b . Теорема 1. При условиях Re c > Re a > 0, τ ∈ R, τ > 0, β ∈ R, β > 0, τ - β < 1, h(x) ∈ L(0, +∞) интегральное уравнение Вольтерра первого рода x 0 20 g(t)(x - t)γ-1 1 Φτ,β (a; c; -b(st)γ ) dt = h(x) 1 (5) Обобщённое интегральное преобразование Лапласа . . . имеет единственное решение g(t) = Γ(a) Γ(c)Γ(γ) ∞ xγ-1 t-1 K(xt) · L {h(y); x} dx. (6) 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим к обеим частям уравнения (5) преобразование Лапласа: ∞ x e-xs 0 0 g(t)(x - t)γ-1 1 Φτ,β (a; c; -b(st)γ ) dt dx = L {h(x); s} . 1 Непосредственными вычислениями убеждаемся в справедливости равенства L {h(x); s} = L {g(x); s} · L xγ-1 ; s . Учитывая, что [1] L xγ-1 ; s = будем иметь L {g(t); s} = Γ(γ) , sγ sγ · L {h(t); s} . Γ(γ) Применяя формулу обращения (4) для интегрального преобразования L {g(t); s}, получим искомую функцию (6). Теорема 2. При условиях существования интегралов ∞ ϕ(s) = Lm {f (t); s} = 0 ∞ ψ(s) = Lm {g(t); s} = m tm-1 e-(ts) f (t)dt, m tm-1 e-(ts) g(t)dt 0 и их абсолютной сходимости имеет место следующее равенство: Lm {F (x); s} = Lm {f (t); s} · Lm {g(t); s} , где x y m-1 g(y)f F (x) = √ m (7) xm - y m dy. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Здесь f (t) = 0 и g(t) = 0 при t < 0. При доказательстве формулы (7) воспользуемся формулой обращения для интегрального преобразования Lm : f (t) = m 2πi σ+i∞ m ϕ(s1/m )est ds. σ-i∞ Рассмотрим интеграл 21 С. М. З а и к и н а m 2πi σ+i∞ m ϕ(s1/m )ψ(s1/m )est ds = σ-i∞ = σ+i∞ m 2πi ϕ(s1/m )est ∞ m m y m-1 e-sy g(y)dy ds = 0 σ-i∞ ∞ σ+i∞ m m m g(y)y m-1 dy = es(t -y ) ϕ(s1/m )ds = 2πi σ-i∞ 0 ∞ t √ √ = g(y)y m-1 f m tm - y m dy = y m-1 g(y)f m tm - y m dy, 0 0 так как f (t) = 0 при t < 0. Введём обозначение t y m-1 g(y)f f ∗g = √ m tm - y m dy. 0 Тогда формула (7) запишется в виде Lm {f ∗ g; s} = ϕ(s) · ψ(s). Рассмотрим применение формулы (7) для решения интегрального уравнения, содержащего в ядре обобщённую конфлюэнтную гипергеометрическую функцию: x 0 y m-1 (xm - y m )γ/m 1 Φτ,β a; c; -b(xm - y m )γ1 /m · g(y)dy = F (x). 1 (8) Применим к обеим частям уравнения (8) интегральное преобразование Lm . Поскольку f (xm - y m )1/m = (xm - y m )1/m · 1 Φτ,β a; c; -b(xm - y m )1/m , 1 в силу равенства (7) получим Lm {f (z); s} · Lm {g(t); s} = Lm {F (x); s} , где z = (xm - y m )1/m , то есть f (z) = z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) . 1 Вычислим Lm z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) ; s = 1 Γ(c) = Γ(a) = 22 Γ(c) Γ(a) ∞ z m-1 e-z 0 ∞ ∞ z m-1+γ -z m sm e · 0 ∞ n=0 τ n) (-b)n Γ(a + Γ(c + βn) m sm n! n=0 ∞ 0 z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) dz = 1 Γ(a + τ n) (-bz γ1 )n dz = Γ(c + βn) n! e-z m sm z m-1+γ+γ1 n dz = (9) Обобщённое интегральное преобразование Лапласа . . . 1 Γ(c) = Γ(a) msm+γ ∞ n=0 = Γ(a + τ n)Γ γ+γ1 n + 1 (-b)n m = · Γ(c + βn) n!sγ1 n 1 Γ(c) · Ψ m+γ Γ(a) 2 1 ms (a; τ ); + 1; γ1 m (c; β) γ m -b . sγ1 Здесь использовалась замена переменной z m sm = t. Следовательно, уравнение (9) можно записать в виде 1 Γ(c) Ψ m+γ Γ(a) 2 1 ms (a; τ ); + 1; γ1 m (c; β) γ m -b · Lm {g(t); s} = Lm {F (x); s} . sγ1 Отсюда Lm {g(t); s} = ms m+γ Γ(a) Γ(c) 2 Ψ1 (a; τ ); γ m + 1; γ1 m (c; β) -b sγ1 -1 · Lm {F (x); s} . Применяя формулу обращения для преобразования Lm , получим решение уравнения (8): m2 Γ(a) g(t) = 2πi Γ(c) σ+i∞ stm (m+γ)/m e σ-i∞ s 2 Ψ1 (a; τ ); γ m + 1; γ1 m (c; β) -b γ1 -1 × sm × Lm F (x); s1/m ds.

About the authors

Svetlana M Zaikina

Samara State Technical University

Email: svetzai@inbox.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files