Generalized integral Laplace transform and its application to solving some integral equations

Abstract


We present integral transforms $\widetilde {\mathcal L}\left\{f(t);x\right\}$ and $\widetilde {\mathcal L}_{\gamma_1,\gamma_2,\gamma} \left\{f(t);x\right\}$, generalizing the classical Laplace transform. The $(\tau, \beta)$-generalized confluent hypergeometric functions are the kernels of these integral transforms. At certain values of the parameters these transforms coincides with the famous classical Laplace transform. The inverse formula for the transforms is given. The convolution theorem for transform $\widetilde {\mathcal L}\left\{f(t);x\right\}$ is proven. Volterra integral equations of the first kind with core containing the generalized confluent hypergeometric function ${\mathstrut}_1\Phi{\mathstrut}_1^{\tau,\beta}(a;c;z)$ are considered. The above equation is solved by the method of integral transforms. The treatment of integral transforms is applied to get the desired solution of the integral equation. The solution is obtained in explicit form.

Full Text

Метод интегральных преобразований широко используется для решения дифференциальных и интегральных уравнений, а сама теория интегральных преобразований является одной из важных ветвей прикладного анализа. Многие задачи математической физики, астрофизики, термодинамики, механики и других естественных наук приводят к необходимости применения теории интегральных преобразований. Преимущества метода интегральных преобразований заключаются в том, что он даёт возможность: 1) сведения сложных задач к менее сложным; 2) получения окончательного результата в явном виде. Разработкой теории и методов интегральных преобразований занимались Г. Бейтмен, В. А. Диткин, A. A. Килбас, А. П. Прудников, С. М. Ситник, А. Эрдейи, M. Saigo, I. N. Sneddon [1-4] и многие другие. Изучение интегральных уравнений первого рода и так называемых парных, тройных и N -арных интегральных уравнений, которые часто встречаются в приложениях, приводит к необходимости рассматривать интегральные ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1265 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: С. М. З а и к и н а, “Обобщ¨нное интегральное преобразование Лаe пласа и его применение к решению некоторых интегральных уравнений” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 19-24. 19 С. М. З а и к и н а преобразования со специальными функциями в ядрах. Эти вопросы изучены в работах [3, 5]. Рассмотрим обобщённые интегральные преобразования Лапласа: ∞ L {f (t); x} = 0 ∞ Lγ1 ,γ2 ,γ {f (t); x} = 0 exp(-tx)1 Φτ,β (a; c; -b(tx)γ ) f (t)dt, 1 tγ2 exp(-(xt)γ1 )1 Φτ,β (a; c; -b(tx)γγ1 ) f (t)dt, 1 (1) (2) где t 0; γ ∈ C, γ1 > 0, γ2 > 0, b 0; f (t) ≡ 0 при t < 0; tγ2 f (t) < γ1 ); M , s - постоянные числа (при t > 0); Φτ,β - обобщённая < M exp(s0 t 0 1 1 конфлюэнтная гипергеометрическая функция [6]: 1 Γ(c) (c, τ ) ta-1 (1 - t)c-a-1 1 Ψ1 ztτ dt, (c, β) Γ(a)Γ(c - a) 0 Re c > Re a > 0, τ > 0, τ ∈ R, β > 0, β ∈ R, τ - β < 1; τ,β 1 Φ1 (a, c; z) = ∞ Γ(z) = e-t tz-1 dt 0 - классическая Гамма-функция; 1 Ψ1 (c, τ ) ztτ = (c, β) ∞ n=0 Γ(c + τ n) z n tτ n Γ(c + βn) n! - частный случай функции Райта [7]. Заметим, что при b = 0 преобразование (1) совпадает с классическим преобразованием Лапласа [1]: ∞ L {f (t); x} = exp(-tx)f (t)dt. (3) 0 Аналогично при γ2 = 0, γ1 = 1, b = 0 преобразование (2) совпадает с (3). В работах [8, 9] приведены и доказаны формулы обращения для интегральных преобразований (1), (2). Например, для интегрального преобразования (1) справедлива формула f (u) = Γ(a) Γ(c) ∞ (ux)-1 g(x)K(ux)dx, (4) 0 где K(x) = 1 2πi σ+i∞ σ-i∞ ξ(s) = 2 Ψ1 xs ds, ξ(s) g(y) = L {f (x); y} , (a, τ ); (s, γ) (c, β) -b . Теорема 1. При условиях Re c > Re a > 0, τ ∈ R, τ > 0, β ∈ R, β > 0, τ - β < 1, h(x) ∈ L(0, +∞) интегральное уравнение Вольтерра первого рода x 0 20 g(t)(x - t)γ-1 1 Φτ,β (a; c; -b(st)γ ) dt = h(x) 1 (5) Обобщённое интегральное преобразование Лапласа . . . имеет единственное решение g(t) = Γ(a) Γ(c)Γ(γ) ∞ xγ-1 t-1 K(xt) · L {h(y); x} dx. (6) 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим к обеим частям уравнения (5) преобразование Лапласа: ∞ x e-xs 0 0 g(t)(x - t)γ-1 1 Φτ,β (a; c; -b(st)γ ) dt dx = L {h(x); s} . 1 Непосредственными вычислениями убеждаемся в справедливости равенства L {h(x); s} = L {g(x); s} · L xγ-1 ; s . Учитывая, что [1] L xγ-1 ; s = будем иметь L {g(t); s} = Γ(γ) , sγ sγ · L {h(t); s} . Γ(γ) Применяя формулу обращения (4) для интегрального преобразования L {g(t); s}, получим искомую функцию (6). Теорема 2. При условиях существования интегралов ∞ ϕ(s) = Lm {f (t); s} = 0 ∞ ψ(s) = Lm {g(t); s} = m tm-1 e-(ts) f (t)dt, m tm-1 e-(ts) g(t)dt 0 и их абсолютной сходимости имеет место следующее равенство: Lm {F (x); s} = Lm {f (t); s} · Lm {g(t); s} , где x y m-1 g(y)f F (x) = √ m (7) xm - y m dy. 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Здесь f (t) = 0 и g(t) = 0 при t < 0. При доказательстве формулы (7) воспользуемся формулой обращения для интегрального преобразования Lm : f (t) = m 2πi σ+i∞ m ϕ(s1/m )est ds. σ-i∞ Рассмотрим интеграл 21 С. М. З а и к и н а m 2πi σ+i∞ m ϕ(s1/m )ψ(s1/m )est ds = σ-i∞ = σ+i∞ m 2πi ϕ(s1/m )est ∞ m m y m-1 e-sy g(y)dy ds = 0 σ-i∞ ∞ σ+i∞ m m m g(y)y m-1 dy = es(t -y ) ϕ(s1/m )ds = 2πi σ-i∞ 0 ∞ t √ √ = g(y)y m-1 f m tm - y m dy = y m-1 g(y)f m tm - y m dy, 0 0 так как f (t) = 0 при t < 0. Введём обозначение t y m-1 g(y)f f ∗g = √ m tm - y m dy. 0 Тогда формула (7) запишется в виде Lm {f ∗ g; s} = ϕ(s) · ψ(s). Рассмотрим применение формулы (7) для решения интегрального уравнения, содержащего в ядре обобщённую конфлюэнтную гипергеометрическую функцию: x 0 y m-1 (xm - y m )γ/m 1 Φτ,β a; c; -b(xm - y m )γ1 /m · g(y)dy = F (x). 1 (8) Применим к обеим частям уравнения (8) интегральное преобразование Lm . Поскольку f (xm - y m )1/m = (xm - y m )1/m · 1 Φτ,β a; c; -b(xm - y m )1/m , 1 в силу равенства (7) получим Lm {f (z); s} · Lm {g(t); s} = Lm {F (x); s} , где z = (xm - y m )1/m , то есть f (z) = z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) . 1 Вычислим Lm z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) ; s = 1 Γ(c) = Γ(a) = 22 Γ(c) Γ(a) ∞ z m-1 e-z 0 ∞ ∞ z m-1+γ -z m sm e · 0 ∞ n=0 τ n) (-b)n Γ(a + Γ(c + βn) m sm n! n=0 ∞ 0 z γ 1 Φτ,β (a; c; -bz γ1 ) dz = 1 Γ(a + τ n) (-bz γ1 )n dz = Γ(c + βn) n! e-z m sm z m-1+γ+γ1 n dz = (9) Обобщённое интегральное преобразование Лапласа . . . 1 Γ(c) = Γ(a) msm+γ ∞ n=0 = Γ(a + τ n)Γ γ+γ1 n + 1 (-b)n m = · Γ(c + βn) n!sγ1 n 1 Γ(c) · Ψ m+γ Γ(a) 2 1 ms (a; τ ); + 1; γ1 m (c; β) γ m -b . sγ1 Здесь использовалась замена переменной z m sm = t. Следовательно, уравнение (9) можно записать в виде 1 Γ(c) Ψ m+γ Γ(a) 2 1 ms (a; τ ); + 1; γ1 m (c; β) γ m -b · Lm {g(t); s} = Lm {F (x); s} . sγ1 Отсюда Lm {g(t); s} = ms m+γ Γ(a) Γ(c) 2 Ψ1 (a; τ ); γ m + 1; γ1 m (c; β) -b sγ1 -1 · Lm {F (x); s} . Применяя формулу обращения для преобразования Lm , получим решение уравнения (8): m2 Γ(a) g(t) = 2πi Γ(c) σ+i∞ stm (m+γ)/m e σ-i∞ s 2 Ψ1 (a; τ ); γ m + 1; γ1 m (c; β) -b γ1 -1 × sm × Lm F (x); s1/m ds.

About the authors

Svetlana M Zaikina

Samara State Technical University

Email: svetzai@inbox.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. A. Erdélyi, Tables of Integral Transforms (Bateman Manuscript Project), New York, McGraw-Hill, 1954 (vol. 1, Moscow, Nauka, 1969; vol. 2, Moscow, Nauka, 1970 [Russian translation]).
  2. В. А. Диткин, А. П. Прудников, Интегральные преобразования и операционное исчисление, М.: Наука, 1974. 542 с.
  3. V. A. Ditkin, A. P. Prudnikov, Integral transforms and operational calculus / International series of monographs in pure and applied mathematics, vol. 78, Oxford, New York, Pergamon Press, 1965, xi+529 pp.
  4. A. A. Kilbas, M. Saigo, H-Transforms: Theory and Applications / Series on Analytic Methods and Special Functions, vol. 9, Boca Raton, CRC Press, 2004, xii+389 pp.
  5. I. N. Sneddon, The use of integral transforms, New York etc., McGraw-Hill Book Comp., 1972, xii+539 pp.
  6. Н. О. Вiрченко, Парнi (N -арнi) iнтегральнi рiвняння, Киïв Задруга, 2009. 476 с.
  7. N. Virchenko, “On the generalized confluent hypergeometric function and its applications” // Fract. Calc. Appl. Anal., 2006. vol. 9, no. 2. pp. 101-108.
  8. E. M. Wright, “The Asymptotic Expansion of the Generalized Hypergeometric Function” // J. London Math. Soc., 1935. vol. s1-10, no. 4. pp. 286-293. doi: 10.1112/jlms/s1-10.40.286.
  9. О. А. Репин, С. М. Заикина, “Некоторые новые обобщенные интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. No 2(23). С. 8-16. doi: 10.14498/vsgtu913.
  10. N. Virchenko, S. L. Kalla, S. Zaikina, “On some generalized integral transforms” // Handronic Journal, 2009. vol. 32, no. 5. pp. 539-548.

Statistics

Views

Abstract - 5

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies