Problems with conjunction on a characteristic plane for the third-order hyperbolic equation in the three-dimensional space

Abstract


In the present article the full equation of hyperbolic type of the third order with set of variable factors, in the area representing an infinite triangular prism, limited to the characteristic planes $z = 0$, $x = h$ of the given equation and two noncharacteristic planes $y = x$, $y = -x$ is considered. Two boundary-value problems with data on the edges of the prism, which are both characteristic and non-characteristic planes of the given equation, are solved. In connection with difficulties of a gluing together of considered type solutions of the hyperbolic equations and the representation of conditions of interface on performance integrals and fractional derivatives have been introduced into interface conditions. On the interior characteristic plane the matching conditions, containing fractional order derivatives of required function, are established in order to avoid troubles with intersection of solutions. For equation considered in this article we have obtained the solution of the Darboux problem by method of Riemann, taken for the basis solutions of both problems, which are reduced to uniquely solvable equations of Volterra and Fredholm respectively, that has allowed to obtain the solutions of problems in the explicit analytic form.

Full Text

Ряд краевых задач для уравнений гиперболического типа на плоскости и в пространстве требует склейки решения на характеристике данного уравнения. В связи с этим возникали трудности с заданием условий сопряжения на характеристике, т. к. традиционная склейка, содержащая нормальную производную искомого уравнения, зачастую приводила к некорректной постановке задачи. Поэтому в условия сопряжения на характеристике были введены интегралы и производные дробного порядка. Первые постановки таких задач принадлежат В. Ф. Волкодавову [1]. Затем они появлялись в ряде его работ с учениками [2-7]. Настоящая работа является продолжением исследований постановок и решений краевых задач для уравнений гиперболического типа в трехмерном пространстве, опубликованных в работах [8-10]. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1289 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: И. Н. Р о д и о н о в а, В. М. Д о л г о п о л о в, “Задачи с сопряжением на характеристической плоскости для одного гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерном пространстве” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1 (34). С. 48-55. 48 Задачи с сопряжением на характеристической плоскости . . . Рассмотрим уравнение L(u) = Uxyz + b(y)Uxz + a(x)Uyz + c(z)Uxy + b(y)c(z)Ux + + a(x)c(z)Uy + a(x)b(y)Uz + a(x)b(y)c(z)U = 0 (1) на множестве H = H1 ∪ H2 , H1 = 0 Рассмотрим уравнение L(u) = Uxyz + b(y)Uxz + a(x)Uyz + c(z)Uxy + b(y)c(z)Ux + + a(x)c(z)Uy + a(x)b(y)Uz + a(x)b(y)c(z)U = 0 (1) на множестве H = H1 ∪ H2 , H1 = 0<x<y<h 0 < z < +∞ (x, y, z) , H2 = 0 < -x < y < h 0 < z < +∞ (x, y, z) . Функция a(x) непрерывна на сегменте [-h, h], b(y) - на сегменте [0, h], c(z) - на полуинтервале [0, +∞). Обозначим их первообразные соответственно α(x), β(y), γ(z). Задача I. На множестве H найти решение уравнения (1), непрерывное ̄ в H и удовлетворяющее граничным условиям U (x, x, z) = τ1 (x, z), (x, z) ∈ D0 , D0 = {(x, z) | 0 < x < h, 0 < z < +∞}, (2) ∗ U (x, -x, z) = τ2 (x, z), (x, z) ∈ D0 , ∗ D0 = {(x, z) | -h < x < 0, 0 < z < +∞}, ̄ f1 (x, y), (x, y) ∈ D1 , D1 = {(x, y) | 0 < x < y < h} , ̄ f2 (x, y), (x, y) ∈ D2 , D2 = {(x, y) | 0 < -x < y < h} ; U (x, y, 0) = (3) (4) а на плоскости x = 0 - условиям сопряжения y ∂ x→0+0 ∂x lim x eα(t) (t - x)-r1 U (t, y, z)dt = δ1 (y), x lim x→0-0 -y (5) eα(t) (x - t)-r2 U (t, y, z)dt (0 < r1 , r2 < 1, r1 = r2 ). Задача II. На множестве H найти решение уравнения (1), непрерывное ̄ в H, с данными (4), а также U (x, h, z) = φ1 (x, z), φ2 (x, z), ̄ (x, z) ∈ D0 , ̄∗ (x, z) ∈ D0 (6) и условием сопряжения на плоскости x = 0 lim x→0+0 δ2 (y) = lim x→0-0 ∂ ∂x δ3 (y) h eβ(t) (t - x)-r1 U (x, t, z)dt - x ∂ ∂x h -x ∂ β(y) e U (x, y, z) ∂y eβ(t) (t + x)-r2 U (x, t, z)dt + = ∂ β(y) e U (x, y, z) + ∂y + g(y, z). (7) Для уравнения (1) задачи с сопряжением на характеристике рассматриваются впервые. Для решения задачи I потребуем выполнения следующих условий. 49 И. Н. Р о д и о н о в а, В. М. Д о л г о п о л о в ̄ ̄∗ Условия А) τ1 ∈ C(D0 ), τ1xz ∈ C(D0 ), τ1 (x,0) = τ1 (0, z) = 0, τ2 ∈ C(D0 ), ∗ ), τ (x,0) = τ (0, z) = 0; при x = 0 τ и τ обращаются в нуль τ2xz ∈ C(D0 2 2 1 2 порядков выше r1 и r2 соответственно. Функции φ, ψ, f1 , f2 непрерывны в рассматриваемых областях вместе со своими смешанными частными производными второго порядка. Для них справедливо выполнение следующих условий. ̄ Условия B1 ) fi (x, y) ∈ C(Di ), fi xy ∈ C(Di ), i = 1, 2. Условия B2 ) f1 (x, x) = 0, f2 (x, -x) = 0; при x = 0 fi (x, y) обращается в нуль порядка выше ri , i = 1, 2. Условие C1 ) δ1 (y) ∈ C (1) [0, h]. Воспользуемся полученным в работе [10] методом Римана решением задачи Дарбу для уравнения (1), которое представимо в виде U (x, y, z) = eβ(x)-β(y) τ1 (x, z)+ y N1 (t, z)eα(t)+β(t)-α(x)-β(y) dt + eγ(0)-γ(z) f1 (x, y) (8) + x в области H1 и U (x, y, z) = eβ(-x)-β(y) τ2 (x, z)+ x N2 (t, z)eα(t)+β(-t)-α(x)-β(y) dt + eγ(0)-γ(z) f2 (x, y) (9) + -y в области H2 . Решение уравнения (1), определяемое формулами (8), (9), удовлетворяет условиям (2)-(4) задачи I. Неизвестные функции N1 , N2 будем искать в классе функций, для которых выполняются следующие условия. Условия E) N1 (x, z), N2 (-x, z) непрерывны в D0 вместе с частной производной по z, интегрируемы по x на сегменте [0, h] при любом z ∈ [0, +∞), Ni (x,0) = 0, i = 1, 2. Из непрерывности решения на плоскости x = 0 и условия сопряжения (5) получаем соотношения N1 (y, z)eα(y) = N2 (-y, z)eα(-y) , y - (10) N1 (t, z)eα(t)+β(t) t-r1 dt - eα(y)+β(y) y -r1 τ1 (y, z)+ 0 y + 0 y = δ1 (y) ∂ α(t)+β(t) e τ1 (t, z) t-r1 dt = ∂t N2 (-t, z)eα(-t)+β(t) t-r2 dt + y -r2 eα(-y)+β(y) τ2 (-y, z)+ 0 0 + -y 50 ∂ α(-t)+β(t) e τ2 (t, z) (-t)-r2 dt . (11) ∂t Задачи с сопряжением на характеристической плоскости . . . Отметим, что формула (11) получена при дополнительном ограничении, налагаемом на функции f1 , f2 : y τ1 y t-r1 -1 eα(t) f1 (t, y)dt + r2 t-r2 -1 eα(t) f2 (-t, y)dt = 0, (12) 0 0 которое обеспечивает выполнение равенства N1 (x, 0) = N2 (x, 0) = 0. После дифференцирования тождества (11) по y и некоторых преобразований с учётом равенства (10) приходим к интегральному уравнению относительно N1 : N1 (y, z)eα(y)+β(y) + y δ1 (y)y r1 +r2 y r2 + y r1 δ1 (y) N1 (t, z)eα(t)+β(t) t-r2 dt = 0 = F1 (y, z)y r1 +r2 , (13) y r2 + y r1 δ1 (y) в котором F1 (y, z) = r1 y -r1 -1 τ1 (y, z)eα(y)+β(y) + r2 y -r2 -1 δ1 (y)τ2 (-y, z)eα(-y)+β(y) + y + δ1 (z)r2 eα(-t)+β(t) τ2 (-t, z)t-r2 -1 dt. 0 Обозначим ω(y) = y r2 y r1 . + y r1 δ1 (y) Решение уравнения (13), полученное методом последовательных приближений, имеет вид y N1 (y, z)eα(y)+β(y) = -δ1 (y)y r2 ω(y) F1 (t, z)ω(t)× 0 y ω(u)δ1 (u)du dt + F1 (y, z)y r2 ω(y). × exp - t При выполнении условий A), B1 ), B2 ), C1 ) и равенства (12) функции Ni (в силу (10)) удовлетворяют условиям E). Подставляя найденные значения Ni в формулы (8), (9), получаем решение задачи I в явном виде. При решении задачи II будем предполагать выполнение условия B1 ), а также следующие условия. ∂fi (0, y) ∂fi (0, y) = = 0; Условия B3 ) fi (x, h) = fi (0, y) = ∂x ∂y ∂φ1 (x, z) ̄ ̄∗ Условия D) φ1 (x, z) ∈ C (1) (D0 ), ∈ C(D0 ), φ2 (x, z) ∈ C (1) (D0 ), ∂x∂z ∂φ2 (x, z) ∗ ∈ C(D0 ), φ(0, 0) = φix (0, 0) = 0; ∂x∂z Условия C2 ) δi (y) ∈ C[0,h] , i = 2, 3; g(y, z) непрерывна на множестве 0 y h, 0 z < +∞ и g(y, 0) = 0. 51 И. Н. Р о д и о н о в а, В. М. Д о л г о п о л о в Для решения задачи II подчиним функции (8), (9) условиям (6), (7) соответственно и получим в области H1 U (x, y, z) = φ1 (x, z)eβ(h)-β(y) - h N1 (t, z)eα(t)+β(t)-α(x)-β(y) + eγ(0)-γ(z) f1 (x, y), - y в области H2 U (x, y, z) = φ2 (x, z)eβ(h)-β(y) - h N2 (t, z)eα(-t)+β(t)-α(x)-β(y) + eγ(0)-γ(z) f2 (x, y). - y Непрерывность решения на плоскости x = 0 приводит к соотношению (10), а условия сопряжения (7) - к равенству h N1 (t, z)eα(t)+β(t)-α(0) K1 (t)dt - N1 (y, z)eα(y)+β(y)-α(0) + F2 (y, z) = 2δ2 (y) 0 h N2 (-t, z)eα(-t)+β(t)-α(0) K2 (t)dt+ = -2δ3 (y) 0 + N2 (-y, z)eα(-y)+β(y)-α(0) , (14) в котором введены обозначения K1 (t) = 1 α (0)t1-r1 + t-r1 , 2 1 - r1 K2 (t) = - 1 2 α (0)t1-r2 + t-r2 , 1 - r2 F2 (y, z) = [C1 φ1x (0, z) + C2 φ1 (0, z)]δ2 (y)- - [C3 φ2x (0, z) + C4 φ2 (0, z)]δ3 (y) - g(y, z), где h C1 = 0 eβ(t) t-r1 dt, h eβ(t) β (t)tr1 dt, C2 = 0 а C3 , C4 получаются из C1 и C2 заменой r1 на r2 соответственно. Из соотношений (10), (14) получаем интегральное уравнение относительно N (y, z) = N1 eα(y)+β(y)-α(0) : h N (y, z) = 0 1 N (t, z)[K1 (t)δ2 (y) + K2 (t)δ3 (y)]dt + F2 (y, z). 2 Так как свободный член уравнения непрерывен на множестве 0 y h, 0 z < +∞, что следует из условий D) и C2 ), функцию N (y, z) будем искать в классе функций, удовлетворяющих условиям E), но условие интегрируемости на сегменте [0, h] заменим условием непрерывности на указанном множестве. 52 Задачи с сопряжением на характеристической плоскости . . . Как известно [11], интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром сводится к системе алгебраических уравнений. Обозначая h h K1 (t)N (t, z)dt, A(z) = K2 (t)N (t, z)dt, B(z) = 0 0 получим 1 N (y, z) = δ3 (y)A(z) + δ4 (y)B(z) + F2 (y, z). (15) 2 Умножая последовательно тождество (15) на K1 (y) и K2 (y) и интегрируя по сегменту [0, h] обе части полученных равенств, получаем систему уравнений относительно A(z) и B(z): h A(z) 1 - h δ2 (y)K1 (y)dy - B(z) 0 δ3 (y)K1 (y)dy = 0 h 1 2 F2 (y, z)K1 (y)dy, 0 (16) h -A(z) h δ2 (y)K2 (y)dy + B(z) 1 - 0 δ3 (y)K2 (y)dy = 0 1 2 h F2 (y, z)K2 (y)dy. 0 На функции δ2 , δ3 наложим дополнительные ограничения в виде следующего условия. Условие C3 ) δ2 и δ3 таковы, что h 1- h - δ2 K1 dy 0 h ∆= - δ3 K1 dy 0 = 0. h δ2 K2 dy 1- 0 δ3 K2 dy 0 Найденные из системы (16) функции A(z), B(z) подставим в равенство (15), получим с учётом (11) функции N1 , N2 , удовлетворяющие условию E) при выполнении условий B1 ), B3 ), D), C2 ), C3 ). В заключение отметим, что единственность решения обеих задач следует из единственности решения методом Римана задачи Дарбу, взятой за основу, а также единственности решения интегральных уравнений, к которым свелись поставленные задачи.

About the authors

Irina N Rodionova

Samara State University

Email: paskal1940@mail.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

Vyacheslav M Dolgopolov

Samara State University

Email: paskal1940@mail.ru
1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematics & Business Informatics

References

  1. В. Ф. Волкодавов, Е. И. Томина, О единственности решения ряда краевых задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе: Деп. в ВИНИТИ. 9.03.1993. 547-B93, 1993.
  2. В. Ф. Волкодавов, С. Г. Маклаков, “Формула обращения для одного уравнения Вольтерра первого рода и ее применение” // Изв. вузов. Матем., 1996. No 9. С. 16-20.
  3. В. Ф. Волкодавов, В. Н. Захаров, “Экстремальные свойства решений одного уравнения гиперболического типа третьего порядка в трехмерном пространстве и их применение” // Изв. вузов. Матем., 1999. No 4. С. 28-31.
  4. В. Ф. Волкодавов, Е. Р. Мансурова, “Краевая задача для частного вида уравнения Эйлера-Дарбу с интегральными условиями и специальными условиями сопряжения на характеристике” // Изв. вузов. Матем., 2000. No 8. С. 16-19.
  5. В. Ф. Волкодавов, Ю. А. Илюшина, “Для уравнения смешанного типа единственность решения задачи T с сопряжением производной по нормали с дробной производной” // Изв. вузов. Матем., 2003. No 9. С. 6-9.
  6. Е. Р. Мансурова, “Аналог задачи Трикоми с нелокальным интегральным условием сопряжения” // Изв. вузов. Матем., 2009. No 4. С. 61-66.
  7. Е. Р. Мансурова, “Об однозначной разрешимости аналога задачи Трикоми с нелокальным интегральным условием сопряжения” // Матем. заметки, 2010. Т. 87, No 6. С. 867-876. doi: 10.4213/mzm6596.
  8. И. Н. Родионова, “Задача с интегральным условием для одного пространственного уравнения гиперболического типа, вырождающегося на координатных плоскостях” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. No 2(23). С. 189-193. doi: 10.14498/vsgtu834.
  9. М. В. Долгополов, И. Н. Родионова, “Задачи для уравнений гиперболического типа на плоскости и в трехмерном пространстве с условиями сопряжения на характеристике” // Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, No 4. С. 21-28. doi: 10.4213/im4117.
  10. В. М. Долгополов, И. Н. Родионова, “Две задачи для пространственного аналога гиперболического уравнения третьего порядка” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. No 4(29). С. 212-217. doi: 10.14498/vsgtu1114.
  11. С. Г. Михлин, Интегральные уравнения, М.-Л.: ОГИЗ, 1947.

Statistics

Views

Abstract - 35

PDF (Russian) - 11

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies