Problems of optimal and hard control over solutions of special type of nonstationary Sobolev type equations

Abstract


Sobolev type equations now constitute a vast area of nonclassical equations of mathematical physics. Those called nonclassical equations of mathematical physics, whose representation in the form of equations or systems of equations partial does not fit within one of the classical types (elliptic, parabolic or hyperbolic). In this paper we prove the existence of a unique optimal and hard control over solutions of Showalter-Sidorov problem for nonstationary operator-differential equations unresolved with respect to the time derivative. In this case, one of the operators in the equation is multiplied by a scalar function of the time-variable, besades stationary equation has a strong continuous degenerate resolving semigroup of operators. Apart from the introduction and bibliography article comprises two parts. The first part provides the necessary information regarding the theory of p-radial operators, the second contains the proof of main results of this article.

Full Text

Введение. Пусть X, Y и U - гильбертовы пространства. Пусть операторы L ∈ L(X; Y), M ∈ Cl(X; Y) и B ∈ L(U; Y). Рассмотрим задачу Шоуолтера- Сидорова [1] P (x(0) - x0 ) = 0 (1) для уравнения соболевского типа [2-4] Lx(t) = a(t)M x(t) + f (t) + Bu(t) ˙ (ker L = {0}), t ∈ [0, τ ], (2) где вектор-функции u : [0, τ ] → U, f : [0, τ ] → Y и скалярная функция a : [0, τ ] → R+ будут определены в дальнейшем. ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1286 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в, “Задачи оптимального и ж¨сткого управления решениями специального вида нестационарных уравнений собоe левского типа” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 33-38. 33 М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в Нашей задачей является нахождение минимума функционала вида 1 τ (q) z (q) (t) - zd (t) J(u) = α q=0 0 2 dt+ Z k τ Nq u(q) (t), u(q) (t) + (1 - α) q=0 0 U dt, (3) где α ∈ (0, 1], k = 0, 1, . . . , p + 1, Nq ∈ L(U) - самосопряжённые и положительно определённые операторы, z = Cx, оператор C ∈ L(X; Z), а zd = zd (t, s) - плановое наблюдение из некоторого гильбертова пространства наблюдений Z. Отметим, что α ∈ (0, 1] и (1 - α) - весовые коэффициенты целей оптимального управления, заключающиеся в достижении плановых показателей наблюдаемой величины без скачкообразных изменений (первое слагаемое в (3)) и минимизации расходуемых для этого ресурсов управления (второе слагаемое в (3)). При α = 1 в функционале (3) исчезает второе слагаемое и мы получаем задачу жёсткого управления, т.е. когда при оптимизации затраты на достижение цели не интересны. 1. Относительно p-радиальные операторы. Доказательства утверждений этой части можно найти в работе [3]. Обозначим ρL (M ) = {µ ∈ C : (µL - M )-1 ∈ L(F; U)}, L Rµ (M ) = (µL - M )-1 L, LL (M ) = L(µL - M )-1 , µ µ ∈ ρL (M ), p p L R(λ,p) (M ) = σ L (M ) = C \ ρL (M ), L Rλk (M ), LL (M ) = (λ,p) k=0 LLk (M ), λk ∈ ρL (M ) (k = 0, p). λ k=0 Определение 1. Оператор M называется p-радиальным относительно оператора L (или, коротко, (L, p)-радиальным), если (i) ∃ω ∈ R ∀µ > ω ⇒ µ ∈ ρL (M ); (ii) ∃K > 0 ∀µk > ω, k = 0, p, ∀n ∈ N K L max{ (R(µ,p) (M ))n L(X) , (LL (M ))n L(Y) } . p (µ,p) n k=0 (µk - ω) Также введём обозначения L X0 = ker R(µ,p) (M ), Y0 = ker LL (M ), L0 = L (µ,p) X0 , M0 = M domM ∩X0 . L Через X1 (Y1 ) обозначим замыкание линеала imR(µ,p) (M ) (imLL (M )), а (µ,p) ˜ (Y) - замыкание линеала X0 +imRL (M ) (Y0 +imLL (M )) в норме ˜ ˙ ˙ через X (µ,p) (µ,p) пространства X (Y). Определение 2. Сильно непрерывное отображение V • : R+ → L(V) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов (или просто разрешающей C0 -полугруппой), если 34 Задачи оптимального и жёсткого управления решениями специального вида . . . (i) V s V t = V s+t ∀s, t > 0; (ii) v(t) = V t v0 есть решение этого уравнения для любого v0 из плотного в V линеала. Полугруппу {V (t) ∈ L(V) : t ∈ R+ } будем называть экспоненциально ограниченной с константами C, ω, если ∃C > 0 ∃ω ∈ R ∀t ∈ R+ V (t) L(V) Ceωt . Теорема 1. Пусть оператор M (L, p)-радиален. Тогда существует экспоненциально ограниченная c константами K, ω из определения 1 и сильно непрерывная разрешающая полугруппа для однородного уравнения (2) при ˜ a ≡ 1, рассматриваемого на подпространстве X. Замечание 1. Операторы разрешающей полугруппы для уравнения (2) при a ≡ 1 и t > 0 можно представить в виде X t = s - lim k→∞ t L- M k k -1 L = s - lim k→∞ k L R k (M ) t t k , принимая во внимание поправки формулы, обсуждаемые в работе [5]. ˜ Замечание 2. Единицей полугруппы {X t ∈ L(X) : t ∈ R+ } является проектор P вдоль X0 на X1 . Определение 3. Оператор M называется сильно (L, p)-радиальным, если при любых λ, µ0 , µ1 , ..., µp > ω выполняются следующие условия: ◦ ◦ (i) существует плотный в Y линеал Y такой, что для всех y ∈Y const(y) M (λL - M )-1 LL (M )y Y ; (µ,p) p (λ - ω) (µk - ω) k=0 (ii) L R(µ,p) (M )(λL - M) -1 K L(Y;X) . p (λ - ω) (µk - ω) k=0 Теорема 2. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален. Тогда (i) X = X0 ⊕ X1 , Y = Y0 ⊕ Y1 ; (ii) Lk = L Xk ∈ L(Xk ; Yk ), Mk = M domM ∈ Cl(Xk ; Yk ), k domMk = domM ∩ Xk , k = 0, 1; -1 (iii) существуют операторы M0 ∈ L(Y0 ; X0 ) и L-1 ∈ L(Y1 ; X1 ). 1 2. Оптимальное и жёсткое управления решениями задачи Шоуолтера- Сидорова для нестационарного уравнения Определение 4. Вектор-функция x ∈ H 1 (X) = {x ∈ L2 (0, τ ; X) : x ∈ L2 (0, τ ; X)} ˙ называется сильным решением уравнения (2), если она почти всюду на (0, τ ) обращает его в тождество. Сильное решение x = x(t) уравнения (2) называется сильным решением задачи Шоуолтера-Сидорова (1), (2), если оно удовлетворяет (1). 35 М. А. С а г а д е е в а, А. Н. Ш у л е п о в Обозначим N0 ≡ N ∪ {0}. Построим гильбертово пространство H p+1 (Y) = {y ∈ L2 (0, τ ; Y) : y (p+1) ∈ L2 (0, τ ; Y), p ∈ N0 } со скалярным произведением p+1 τ y (q) , z (q) [y, z] = q=0 0 Y dt. Теорема 3. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , а функция a ∈ C p+1 ([0, τ ); R+ ). Тогда для любых x0 ∈ X и f ∈ H p+1 (Y) существует единственное сильное решение x ∈ H 1 (X) задачи Шоуолтера-Сидорова (1) для уравнения (2), причём t t a(ζ)dζ x(t) = X 0 a(ζ)dζ t P x0 + X s 0 L-1 Q(f (s) + Bu(s))ds- 1 p -1 -1 (M0 L0 )k M0 (I -Q)(AD)kA (f (t) + Bu(t)) , (4) - k=0 где (Ah)(t) = a-1 (t)h(t), (Dh)(t) = dh (t). dt Д о к а з а т е л ь c т в о этой теоремы аналогично доказательству теоремы 4 из работы [6] и потому не приводится. 1 Определение 5. Вектор-функцию v ∈ H∂ (U) назовем оптимальным управлением (жестким управлением) решениями задачи (1), (2), если J(v) = min 1 (x,u)∈X×H∂ (U) J(u), α ∈ (0, 1) (α = 1), (5) 1 1 где пары (x, u) ∈ X × H∂ (U) удовлетворяют (1), (2), а H∂ (U) - некоторое 1(U). замкнутое и выпуклое подмножество в H Теорема 4. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , функция a ∈ C p+1 (R+ ; R+ ). Тогда при любых x0 ∈ X, f ∈ H p+1 (Y) существует единp+1 ственное оптимальное управление v ∈ H∂ (U) задачи (1)-(3), (5). Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем x0 ∈ X, f ∈ H 1 (Y), и рассмотрим (4) как отображение G : u → x(u). В условиях предыдущей теоремы отображение G : H p+1 (U) → H 1 (X), определенное формулой (4), непрерывно. Теперь перепишем функционал качества (3) в виде J(u) = Cx(t; u) - zd 2 H 1 (Z) + [η, u], где η (k) (t) = Nk u(k) , k = 0, 1, . . . , p + 1. Откуда J(u) = π(u, u) - 2λ(u) + zd - Cx(t; 0) 36 2 , H 1 (Z) Problems of Optimal and Hard Control over Solutions of Special Type . . . где π(u, u) = C(x(t; u) - x(t; 0)) 2 H 1 (Z) + [η, u] - билинейная непрерывная коэрцитивная форма на H 1 (U), а λ(u) = zd - Cx(t; 0), C(x(t; u) - x(t; 0)) H 1 (Z) - линейная непрерывная на H 1 (U) форма. А значит, утверждение теоремы следует из [7, гл. 1]. Следствие. Пусть оператор M сильно (L, p)-радиален, p ∈ N0 , функция a ∈ C p+1 (R+ ; R+ ). Тогда при любых x0 ∈ X, f ∈ H p+1 (Y) существует единp+1 ственное жёсткое управление v ∈ H∂ (U) задачи (1)-(3), (5).

About the authors

Minzilia A Sagadeeva

South Ural State University (National Research University)

Email: sagadeeva_ma@mail.ru
76, Lenin av., Chelyabinsk, 454080, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Information-Measuring Technique

Andrey N Shulepov

South Ural State University (National Research University)

Email: andrewn92@mail.ru
76, Lenin av., Chelyabinsk, 454080, Russian Federation
Graduate Student, Dept. of Mathematical Physics Equations

References

  1. Г. А. Свиридюк, С. А. Загребина, “Задача Шоуолтера-Сидорова как феномен уравнений соболевского типа” // Известия Иркутского государственного университета. Сер. Математика, 2010. Т. 3, № 1. С. 104-125.
  2. Г. В. Демиденко, С. В. Успенский, Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. xviii+437 с.
  3. G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov, Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / Inverse and Ill-Posed Problems Series, Utrecht, Boston, VSP, 2003, viii+216 pp.
  4. A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations / De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 15, Berlin, Walter de Gruyter & Co., 2011, xii+648 pp.
  5. М. А. Сагадеева, А. Н. Шулепов, “Аппроксимации вырожденных C0 -полугрупп” // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование, 2013. Т. 6, № 2. С. 133-137.
  6. М. А. Сагадеева, А. Д. Бадоян, “Оптимальное управление решениями нестационарных уравнений соболевского типа специального вида в относительно секториальном случае” // Вестник Магнитогорского государственного университета. Математика, 2013. № 15. С. 68-80.
  7. J. L. Lions, Control of distributed singular systems, Paris, Gauther-Villars, 1985, 552 pp.; New York, John Wiley & Sons Inc., 1987, 576 pp.
  8. Ж. Л. Лионс, Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука, 1987. 368 с.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies