Том 18, № 2 (2014)

Работа посвящена сравнительному изучению и описанию спектральных свойств дифференциальных операторов, порождённых задачей Дирихле для гиперболической системы без «младших членов» вида $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ и для гиперболической системы с <<младшими членами>> - $$ \cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^2}}{\partial{x}} =\lambda{u^1}+f^1, \quad \cfrac{\partial^2{u^2}}{\partial{t}^2}+\cfrac{\partial^2{u^1}}{\partial{x}^2}+\cfrac{\partial{u^1}}{\partial{x}} = \lambda{u^2}+ f^2, $$ рассматриваемых в замыкании $V_{t,x}$ ограниченной области $\Omega_{t,x}=(0;\pi)^2$ евклидова пространства $\mathbb{R}^2_{t,x}.$ Исследование спектральных свойств граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа ведётся в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{t,x}$ в терминах спектрально замкнутых операторов $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x}$. В настоящей работе для замкнутых дифференциальных операторов $L:\mathcal{H}_{t,x}\to\mathcal{H}_{t,x},$ порождённых задачей Дирихле для гиперболических систем второго порядка, изучены спектры: $C\sigma{L}=R\sigma{L}$ - пустое множество; точечный спектр $P\sigma{L}$ располагается в вещественной прямой комплексной плоскости $\mathbb{C}$. В случае гиперболической системы без младших членов собственные вектор-функции оператора $L$ образуют ортогональный базис. В случае гиперболической системы с младшими членами вектор-функции оператора $L$ образуют базис Рисса, не являющийся ортогональным в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_{t,x}.$ Сформулированы теоремы о структуре спектра $\sigma L$ оператора $L$, порождённого задачей Дирихле.

Уравнения соболевского типа в настоящее время составляют обширную область среди неклассических уравнений математической физики. Неклассическими называют те уравнения математической физики, чьи представления в виде уравнений или систем уравнений в частных производных не укладываются в рамки одного из классических типов - эллиптического, параболического или гиперболического. В данной работе показано существование единственного оптимального и жёсткого управлений решениями задачи Шоуолтера-Сидорова для нестационарного операторно-дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной по времени. Нестационарность уравнения рассмотрена в виде произведения одного из операторов уравнения и скалярной функции, зависящей от времени, а свойства операторов таковы, что стационарное уравнение обладает разрешающей сильно непрерывной вырожденной полугруппой. Статья, кроме введения и списка литературы, содержит две части. В первой части приводятся необходимые сведения теории относительно $p$-радиальных операторов, во второй части содержится основной результат статьи.

Рассматривается $2 \times 2$ операторная матрица (обобщённая модель Фридрихса) $A$, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на ${\rm d}$-мерной решётке. Этот оператор действует в прямой сумме ноль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства. Структура замыкания числовой области значений $W(A)$ этого оператора подробно исследована в терминах его матричных элементов при всех размерностях тора ${\bf T}^{\rm d}$. Выделены случаи, когда множество $W(A)$ замкнуто. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы спектр оператора $A$ совпадал с~множеством $W(A)$.

Рассматривается среда Генки с разупрочнением при изотермическом квазистатическом деформировании. Предполагается, что объёмная деформация неположительна. В этом случае разупрочнение характеризуется падающей ветвью единой кривой. Для данных условий приводится функция свободной энергии. В пространстве «объёмная деформация - интенсивность деформаций» сдвига строятся её линии уровня на всех стадиях деформирования. Установлено, что на стадии упрочнения линиями уровня являются эллипсы. Функция свободной энергии возрастает при удалении от их центров. На стадии разупрочнения линиями уровня являются гиперболы. Функция свободной энергии убывает при удалении от их центров. Полученные результаты являются косвенным подтверждением смены типа краевой задачи при переходе материала на стадию разупрочнения с эллиптического на гиперболический.

Метод граничных интегральных уравнений применяется для решения нелинейных задач термо-упругопластического деформирования и разрушения неоднородных объёмных тел сложной формы. Решение строится на основе обобщённого тождества Сомильяны и метода последовательной линеаризации в форме начальных пластических деформаций. Приращения пластической деформации определяются на основе теории течения упрочняющихся упругопластических сред с использованием модифицированных соотношений Прандтля-Рейсса. Рассмотрены случаи сложного термосилового нагружения находящихся в контакте составных кусочно-однородных сред. Для описания процессов нелинейного деформирования и разрушения тел сложной геометрии с локальными особенностями используется разработанный ранее метод дискретных областей. Представлены решения трёхмерных нелинейных задач механики деформирования и разрушения, имеющих практическое значение.

На основе простой физической модели рассматривается процесс взаимодействия продуктов детонации во взрывной волне с частицами порошка при взрывном напылении износостойких покрытий. Увлечение частиц происходит в результате неупругого соударения молекул продуктов детонации с частицами порошка. Получено уравнение для определения скорости частиц во фронте волны, образовавшейся при взрыве сферического заряда взрывчатого вещества. Анализируются алгоритмы решения полученного уравнения в зависимости от динамических характеристик продуктов детонации. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании технологических схем взрывного напыления покрытий и теоретическом анализе процесса сверхглубокого проникания частиц порошка в металлические мишени.

Рассматривается решение задачи распознавания объектов пересекающихся классов с использованием систем нечеткого вывода и нейронных сетей. Новая многовыходовая сеть Ванга-Менделя сравнивается с новой архитектурой нейронной нечеткой продукционной сети, основанной на модели Мамдани-Заде. Результаты исследования данных моделей приведены при интерпретациях логических операций, заданных соответственно алгебрами Гёделя, Гогена и Лукашевича. Новая сеть Ванга-Менделя может использовать минимум или основанную на сумме формулу как операции T-нормы в соответствии с выбранной алгеброй вместо стандартной операции произведения. Сеть Мамдани-Заде спроектирована в виде каскада операций T-нормы, импликации и S-нормы, заданных выбранной алгеброй. Кроме того, в сети Мамдани-Заде отсутствует слой дефаззификации. Обе сети имеют несколько выходов в соответствии с числом классов предметной области, что отличает их от базовых реализаций. На выходах сетей формируются степени принадлежности входного вектора заданным классам. Для сравнения моделей использовались стандартные задачи классификации ирисов Фишера и итальянских вин. В данной статье приводятся результаты, полученные при обучении сетей алгоритмом обратного распространения ошибки. Анализ ошибок классификации показывает, что использование данных алгебр в качестве интерпретации нечётких логических операций, предложенное в статье, позволяет уменьшить погрешность классификации как для многовыходовой сети Ванга-Менделя, так и для новой сети Мамдани-Заде. Наилучшие результаты обучения показывает алгебра Гёделя, но алгебра Лукашевича демонстрирует лучшие обобщающие свойства при тестировании, что приводит к наименьшему числу ошибок классификации.

На примере кобальтовой быстрорежущей стали Р9К5 с различным исходным структурно-фазовым составом, задаваемым предварительной объёмной термообработкой, изучены особенности процесса фазовых превращений при импульсном лазерном нагреве под закалку в твёрдой фазе и из расплава, ведущих к повышению износо- и теплостойкости зон лазерного воздействия. Практические выводы работы сводятся к тому, что лазерную обработку режущего инструмента необходимо проводить с небольшим оплавлением поверхности рабочих кромок для обеспечения наибольшего повышения его износостойкости. Работа инструмента после лазерной закалки должна осуществляться на повышенных скоростях резания для снижения эффективности процессов разупрочнения на начальной стадии нагрева его рабочих кромок.

Вычислены базисные калибровочно-инвариантные тензоры, алгебраически выражающиеся через матрицу конформной кривизны. В частности, разложение основного тензора на калибровочно-инвариантные неприводимые слагаемые состоит из 4-х слагаемых, одно из которых определяется только одним скаляром. Этот скаляр, во-первых, входит в уравнения Эйнштейна с космологическим членом в виде космологического скаляра. Во-вторых, метрика, будучи умноженной на этот скаляр, становится калибровочно-инвариантной. В-третьих, геометрическая точка, не являющаяся калибровочно-инвариантной, после умножения на квадратный корень из этого скаляра становится калибровочно-инвариантным объектом - материальной точкой. В-четвертых, уравнения движения материальной точки оказываются точно такими же, как и в общей теории относительности, что позволяет отождествить корень квадратный из этого скаляра с массой. В итоге получен неожиданный результат: космологический скаляр совпадает с квадратом массы. В-пятых, космологический скаляр позволяет ввести на многообразии калибровочно-инвариантную 4-меру. С помощью этой меры найден новый вариационный принцип для уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Матрица конформной кривизны кроме компонент основного тензора содержит и другие компоненты. Найдены все основные калибровочно-инвариантные тензоры, выражающиеся через эти компоненты. Они имеют валентность 3 или 1. Выполнение уравнений Эйнштейна равносильно калибровочной инвариантности одного из этих ковекторов. Поэтому многообразия конформной связности, где выполняются уравнения Эйнштейна, можно подразделить на 4 вида по типу этого ковектора: времениподобный, пространственноподобный, светоподобный или нулевой.