A nonlocal problem for mixed type equation with singular coefficient in domain with half-strip as hyperbolic part

Abstract


A nonlocal problem for mixed type equation with a singular coefficient and the spectral parameter is formulated in the field, which hyperbolic part is vertical half-strip and elliptic part is rectangle. The nonlocal condition of problem combines the values of required function on the right and left boundaries of half-stripe and rectangle. The only requirement on the unknown function in the change type line is continuity. To research the given problem we apply the spectral method. The uniqueness and existence of a solution are proved. The solution is constructed as biortogonal series. Coefficients of this series should require special ODE systems, solved in the paper. The uniform convergence of the series is proved with the restrictions on problem conditions.

Full Text

Постановка задачи. Для уравнения Lu = uxx + sign y · uyy + 2p uy + ku = 0, |y| p 1 , 2 k∈R (1) рассмотрим следующую задачу. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: А б а ш к и н А. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в области, гиперболическая часть которой - вертикальная полуполоса // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 7-20. doi: 10.14498/vsgtu1328. 7 А б а ш к и н А. А. Задача. В области D = {(x, y) | 0 < x < 1, y < α}, α>0 найти функцию u(x, y), удовлетворяющую следующим условиям: u ∈ C(D) ∩ C 2 (D+ ∪ D- ), Lu = 0; u(0, y) = u(1, y), ux (0, y) = 0, при y < α; u(x, α) = ϕ(x) при 0 < x < 1, (2) (3) (4) где D+ = D ∩ {y > 0}, D- = D ∩ {y < 0}; ϕ(x) - заданная непрерывная функция, удовлетворяющая условию ϕ(0) = ϕ(1). Отметим, что уравнение (1) в области эллиптичности представляет собой обобщенное осесимметрическое уравнение Гельмгольца, а в области гиперболичности содержит в себе (при k = 0) уравнение Эйлера-Пуассона- Дарбу. Для частного случая уравнения (1) при k = 0 краевые задачи в областях различного вида рассматривались в публикациях С. П. Пулькина [1], В. Ф. Волкодавова [2], О. А. Репина [3], М. Х. Рузиева [4] и др. В работах [5, 6] был предложен новый подход для доказательства единственности и построения решений краевых задач для уравнений смешанного типа - спектральный метод. Ранее подобный метод был применен В. А. Ильиным и Е. И. Моисеевым [7] при рассмотрении нелокальной задачи с условием, похожим на первое равенство условия (3). Отметим, что впервые задача с нелокальным условием типа (3) возникла в статье Ф. И. Франкля [8] при изучении газодинамической задачи об обтекании профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения. Существует довольно много работ, в которых изучены краевые задачи с условием (3) для различных уравнений, например [9-12], в частности, в публикации [12], как и в данном исследовании, рассматривается нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе. Задачи с нелокальным условием (3) для уравнения (1) в области эллиптичности были исследованы в работах М. Е. Лернера и О. А. Репина [13], Е. И. Моисеева [14] и автора настоящей работы [15, 16]. В работах [14-16] исследование основано на спектральном методе. Для уравнения Лаврентьева-Бицадзе задача с условием (3) в прямоугольной области была рассмотрена Ю. К. Сабитовой в работе [17], а для уравнения смешанного типа K(y)uxx + uyy - b2 K(y)u = 0 - в [18]. В данной работе тем же методом, что и в статьях [9,14,17], доказана единственность решения задачи (2)-(4). Решение построено в виде суммы ряда. Существование решения задачи доказано путем установления равномерной сходимости соответствующих рядов. Отметим, что в задаче (2)-(4) на линии y = 0 требуется лишь непрерывность искомой функции. 1. Единственность решения задачи. Теорема 1. Если решение задачи (2)-(4) существует, то оно единственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя работе [14], рассмотрим функции 1 vn (y) = 4 u(x, y) sin(2πnx)dx, 0 8 (5) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . 1 1 u(x, y)(1 - x) cos(2πnx)dx, un (y) = 4 u(x, y)(1 - x)dx, u0 (y) = 2 0 0 где u(x, y) - решение задачи (2)-(4). Так как u(x, y) является решением уравнения (1), то справедливо равенство 1 2p 4 uxx + sign y · uyy + uy + ku sin(2πnx)dx = 0. (6) |y| 0 Дважды проинтегрировав по частям, с учетом условия (3) и определения (5) соотношение (6) запишем в виде 1 uxx sin(2πnx)dx = -(2πn)2 vn (y). 4 (7) 0 Из равенств (6) и (7) и определения (5) следует 2p 2 v - sign y · σn vn = 0 при (2πn)2 > k; y n 2p 2 vn + vn + sign y · σn vn = 0 при (2πn)2 < k; y 2p vn + vn = 0 при (2πn)2 = k, y vn + (8) (9) (10) где σn = |(2πn)2 - k|. При y > 0 уравнение (8) заменой vn (y) = y -p1 F (σn y), p1 = p-1/2, сводится к модифицированному уравнению Бесселя [19, c. 141] и его общее решение представимо в виде vn = An y -p1 Ip1 (σn y) + Bn y -p1 Kp1 (σn y) при y > 0, (11) где Iν (z) и Kν (z) - модифицированные функции Бесселя [19, c. 139]. Вследствие асимптотики [19, c. 173] Kν (z) 2ν-1 Γ(ν) , zν z → 0 ν > 0; K0 (z) 2 ln , z z → 0, (12) для ограниченности функции u(x, y) вблизи нуля необходимо, чтобы Bn = 0. Из соотношения (4) получаем следующее условие: vn (α) = an , (13) 1 где an = ϕ(x) sin(2πnx)dx. 0 В силу условия (13) имеем An = an αp1 . Ip1 (σn α) 9 А б а ш к и н А. А. Окончательно функция vn (y) при y > 0 и (2πn)2 > k принимает вид vn (y) = an αp1 -p1 y Ip1 (σn y). Ip1 (σα) (14) При y > 0 уравнение (9) заменой vn (y) = y -p1 F (σn y) сводится к уравнению Бесселя [19, c. 134] и его общее решение представимо в виде vn (y) = Cn y -p1 Jp1 (σn y) + Dn y -p1 Yp1 (σn y), где Jν (z) и Yν (z) - функции Бесселя первого [19, c. 132] и второго [19, c. 134] рода соответственно. Из требования ограниченности функции u(x, y) вблизи нуля и асимптотики [19, c. 172] Yν (z) - 2ν Γ(ν) , πz ν z → 0, ν > 0; Y0 (z) 2 2 - ln , π z z → 0, следует, что Dn = 0. Вследствие условия (13) имеем Cn = an αp1 . Jp1 (σn α) Окончательно при y > 0 и (2πn)2 < k получаем vn (y) = an αp1 -p1 y Jp1 (σn y). Jp1 (σα) (15) При y < 0 уравнение (8) сводится к уравнению Бесселя и с учетом требования ограниченности функции u(x, u) вблизи нуля его решение имеет вид vn (y) = En (-y)-p1 Jp1 (-σn y). Используя непрерывность функции u(x, y) и поведение функций Iν (z), Jν (z) при малых значениях z [19, c. 172, 173]: Iν (z) Jν (z) zν , + ν) zν , 2ν Γ(1 + ν) 2ν Γ(1 z → 0, (16) z → 0, (17) получаем En = An . Окончательно vn (y) при y < 0 и (2πn)2 > k принимает вид vn (y) = an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y). Ip1 (σα) (18) Таким же образом получаем выражение для vn (y) при y < 0 и (2πn)2 < k: vn (y) = 10 an αp1 (-y)-p1 Ip1 (-σn y). Jp1 (σα) (19) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . Уравнение (10) имеет следующее общее решение: vn (y) = Fn y 1-2p + Gn 1 при p > ; 2 vn (y) = Fn ln y + Gn 1 при p = . 2 С учетом требования ограниченности u(x, y) вблизи нуля и условия (4) при (2πn)2 = k функция vn (y) будет иметь вид vn (y) = an . (20) Аналогично получаем дифференциальные уравнения для un (y): 2p 2 u - sign y · σn un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 > k; y n 2p 2 un + un + sign y · σn un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 < k; y 2p un + un = - sign y · 4πnvn при (2πn)2 = k. y un + (21) (22) (23) Уравнения (21)-(23) являются линейными неоднородным. Общее решение таких уравнений представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное уравнение, соответствующее (21), совпадает с уравнением (8), поэтому его общее решение выражается формулами (11) и (18). Частным решением неоднородного уравнения при y > 0 будет функция un (y) = - 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y). σn Ip1 (σn α) Таким образом, общее решение уравнения (21) при y > 0 имеет вид un (y) = Fn y -p1 Ip1 (σn y) + Gn y -p1 Kp1 (σn y) - 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y). σn Ip1 (σn α) Ввиду асимптотики (12) и требования непрерывности функции u(x, y) необходимо, чтобы Gn = 0. В силу условия (4) имеем Fn = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + , 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) 1 ϕ(x)(1 - x) cos(2πnx)dx. где bn = 4 0 Окончательно функция un (y) при y > 0 и (2πn)2 > k принимает вид un (y) = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + y -p1 Ip1 (σn y)- 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) 2πnan αp1 -p1 +1 - y Ip1 -1 (σn y). (24) σn Ip1 (σn α) 11 А б а ш к и н А. А. Частным решением уравнения (21) при y < 0 является функция un (y) = πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). p1 σn Ip1 (σn α) Общим решением уравнения (21) при y < 0 является un (y) = Tn (-y)-p1 Jp1 (-σn y) + πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). p1 σn Ip1 (σn α) Приравнивая выражения для un (y) при y → 0+ и y → 0- и выражая коэффициент Tn будем иметь Tn = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 2p(2p1 + 1)πnan αp1 + - . 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) p1 σn Ip1 (σn α) Окончательно un (y) при y < 0 и (2πn)2 > k принимает вид un (y) = 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 + - 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) - 2p(2p1 + 1)πnan αp1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)+ 2 p1 σn Ip1 (σn α) πnan αp1 + (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y). (25) p1 σn Ip1 (σn α) Выполнив подобные вычисления применительно к уравнениям (22) и (23) получим un (y) = un (y) = 2πnan αp1 +1 Jp1 -1 (σn α) bn αp1 + y -p1 Jp1 (σn y)- 2 σn Jp1 (σn α) Jp1 (σn α) 2πnan αp1 -p1 +1 y Jp1 -1 (σn y) при y > 0, (2πn)2 < k; (26) - σn Jp1 (σn α) 2πnan αp1 +1 Jp1 -1 (σn α) bn αp1 + - 2 σn Jp1 (σn α) Jp1 (σn α) - + 2p(2p1 + 1)πnan αp1 (-y)-p1 Ip1 (-σn y)+ 2 p1 σn Jp1 (σn α) πnan αp1 (-y)-p1 +1 Ip1 -1 (-σn y) при y < 0, p1 σn Jp1 (σn α) un (y) = bn + sign y · πnan 2 πnan 2 α - sign y · y p1 + 1 p1 + 1 (2πn)2 < k; (27) при (2πn)2 = k. (28) Аналогичным образом (как и для vn (y) и un (y)) выражаем u0 (y): u0 (y) = 12 √ a0 αp1 -p1 y Ip1 ( -ky) при y > 0, Ip1 (kα) k < 0; (29) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . √ a0 αp1 (-y)-p1 Jp1 (- -ky) при y < 0, k < 0; Ip1 (kα) √ a0 αp1 -p1 u0 (y) = y Jp1 ( ky) при y > 0, k > 0; Jp1 (kα) √ a0 α p 1 u0 = (-y)-p1 Ip1 (- ky) при y < 0, k > 0; Jp1 (kα) u0 = a0 при k = 0, u0 = (30) (31) (32) (33) 1 ϕ(x)(1 - x)dx. где a0 = 2 0 Из формул (14), (15), (18)-(20), (24)-(33) следует, что если ϕ(x) ≡ 0, то un ≡ 0 и vn ≡ 0, но тогда u(x, y) ≡ 0 в силу полноты системы функций [9] {4 sin 2πnx}∞ , n=1 {2(1 - x)}, {4(1 - x) cos 2πnx}∞ , n=1 что завершает доказательство теоремы 1. 2. Существование решения задачи. 2 Теорема 2. Если ϕ(x) ∈ C 2 [0, 1] и k = (2πn)2 + (rm /α) , где rm - положительные нули функции Jp1 (z), пронумерованные в порядке возрастания, n ∈ Z, то решение задачи (2)-(4) существует и представимо в виде суммы ряда ∞ u(x, y) = u0 (y) + ∞ un (y) cos 2πnx + n=1 vn (y)x sin 2πnx, (34) n=1 где функции u0 (y), un (y) и vn (y) определяются формулами (14), (15), (18)- (20), (24)-(33). Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку системы функций {4 sin 2πnx}∞ , n=1 {2(1 - x)}, {x sin 2πnx}∞ , n=1 {1}, {4(1 - x) cos 2πnx}∞ , n=1 {cos 2πnx}∞ , n=1 образуют базис Рисса в L2 (0, 1) [9], то достаточно доказать два положения: 1) равномерную сходимость на множестве D остатка ряда (34), содержащего члены с номерами, удовлетворяющими соотношению (2πn)2 > k; 2) равномерную сходимость рядов, полученных из того же остатка ряда (34) однократным и двукратным почленным дифференцированием по x и по y на множествах Dε = {(x, y) | 0 < x < 1, y < α - ε}, где ε - сколь угодно малое положительное число. Докажем выполнение положения 1). Подставив вместо un (y) и vn (y) их значения, определяемые формулами (14), (18), (24) и (25), получим, что достаточно доказать равномерную сходимость следующих рядов: ∞ s1 (x, y) = n=1 ∞ s1 (x, y) = n=1 an αp1 -p1 y Ip1 (σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y > 0, an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y < 0; 13 А б а ш к и н А. А. ∞ s2 (x, y) = n=1 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 × + 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) ×y -p1 Ip1 (σn y) cos 2πnx, ∞ αp1 +1 I s2 (x, y) = n=1 y > 0, 2πnan 2p(2p1 + 1)πnαp1 bn p1 -1 (σn α) - × + 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) p1 σn Ip1 (σn α) α p1 ×(-y)-p1 Jp1 (-σn y) cos 2πnx, ∞ s3 (x, y) = n=1 ∞ s3 (x, y) = n=1 α p1 2πnan y -p1 +1 Ip1 -1 (σn y) cos 2πnx, σn Ip1 (σn α) y < 0; y > 0, πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) cos 2πnx, p1 σn Ip1 (σn α) y < 0. Из формулы дифференцирования [19, c. 141] z -ν Iν (z) = z -ν Iν+1 (z), асимптотики (16) и отсутствия у функции Iν (z) положительных нулей [19, c. 173] следует, что функция z -ν Iν (z) положительна и монотонно возрастает при z > 0, поэтому верны неравенства y -p1 Ip1 (σn y) α-p1 Ip1 (σn α), y > 0; α-p1 -1 Ip1 +1 (σn α), y -p1 -1 Ip1 +1 (σn y) (35) y > 0. (36) Согласно асимптотикам (17) и [19, c. 172] νπ π 2 cos z - - , πz 2 4 Jν (z) функция z -ξ Jν (z) при ξ z → +∞, ν ограничена при z > 0. Обозначим MJν = max z -ν Jν (z), z>0 тогда справедливы оценки p (-y)-p1 Jp1 (-σn y) < σn1 MJp1 , p (-y)-p1 +1 Jp1 -1 < σn1 -1 MJp1 -1 . В силу асимптотики [19, c. 173] Iν (z) ez √ , 2πz z → +∞, (37) существует такое N , что для n > N выполняются свойства p σn1 MJp1 < α-p1 Ip1 (σn α), p σn1 -1 MJp1 -1 < α-p1 +1 Ip1 -1 (σn α) и поэтому верны неравенства (-y)-p1 Jp1 (-σn y) < α-p1 Ip1 (σn α), 14 y < 0, n > N; (38) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) < α-p1 +1 Ip1 -1 (σn α), y < 0, n > N. (39) Учитывая формулы (35) и (38), произведем оценки общих членов ряда s1 (x, y): an αp1 -p1 y Ip1 (σn y)x sin 2πnx < an , y > 0, n > N ; Ip1 (σα) an α p 1 (-y)-p1 Jp1 (-σn y)x sin 2πnx < an , y < 0, n > N Ip1 (σα) (40) (41) и ряда s2 (x, y): 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) bn αp1 y -p1 Ip1 (σn y) cos 2πnx < + 2 (σ α) σn Ip1 n Ip1 (σn α) < 2πnαIp1 -1 (σn α) + bn , σn Ip1 (σn α) y > 0, n > N ; (42) 2πnan αp1 +1 Ip1 -1 (σn α) 2(2p1 + 1)πnαp1 bn αp1 - × + 2 2 σn Ip1 (σn α) Ip1 (σn α) σn Ip1 (σn α) × (-y)-p1 Jp1 (-σn y) cos 2πnx < < 2πnαIp1 -1 (σn α) 2p(2p1 + 1)πnan + bn + , 2 σn Ip1 (σn α) p1 σn y < 0, n > N. (43) Используя неравенства (36) и (39), получаем оценки общего члена ряда s3 (x, y): 2πnan αp1 -p1 +1 y Ip1 -1 (σn y) cos 2πnx < σn Ip1 (σn α) 2πnan αIp1 -1 (σn α) < , σn Ip1 (σn α) πnan αp1 (-y)-p1 +1 Jp1 -1 (-σn y) cos 2πnx < p1 σn Ip1 (σn α) πnan αIp1 -1 (σn α) < , p1 σn Ip1 (σn α) y > 0, n > N ; (44) y < 0, n > N. (45) Учитывая поведение коэффициентов ряда Фурье m раз дифференцируемой функции [20, c. 636] an = o n-2 , bn = o n-2 и асимптотику (37), можно сделать вывод, что ряды, общими членами которых являются правые части неравенств (40)-(45), сходятся, из чего следует равномерная сходимость рядов si (x, y), i = 1, 2, 3, на множестве D. 15 А б а ш к и н А. А. Докажем выполнение положения 2). Подставим в ряд ∞ vn (y)x sin 2πnx n=1 вместо функций vn (y) значения, определяемые формулами (14) и (18), и почленно продифференцируем его по y: ∞ s4 (x, y) = n=1 ∞ s4 (x, y) = n=1 an σn αp1 -p1 y Ip1 +1 (σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y > 0, an σn αp1 (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y)x sin 2πnx, Ip1 (σα) y < 0. Как было показано в доказательстве положения 1), функция z -ν Iν (z) положительна и монотонно возрастает, поэтому в Dε верна оценка y -p1 Ip1 +1 (σn y) < α-p1 Ip1 +1 (σn (a - ε)). (46) Так как функция z -ξ Jν (z) при ξ ν ограничена при z > 0, справедливо неравенство p (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y) < M σn1 , (47) где M = max z -p1 Jp1 +1 (z). z>0 Из асимптотики (37) и неравенства (47) получаем, что существует номер N такой, что для n > N выполняется соотношение (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y) < α-p1 Ip1 +1 (σn (α - ε)). (48) Из формул (46) и (48) следует an σn αp1 -p1 y Ip1 +1 (σn y)x sin 2πnx < Ip1 (σα) an σn Ip1 +1 (σn (α - ε)) < , Ip1 (σα) an σn α p 1 (-y)-p1 Jp1 +1 (-σn y)x sin 2πnx < Ip1 (σα) an σn Ip1 +1 (σn (α - ε)) < , Ip1 (σα) В силу асимптотики (37) последовательность Ip1 +1 (σn (α - ε)) Ip1 (σα) 16 y > 0, n > N ; (49) y < 0, n > N. (50) Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом . . . убывает экспоненциально, остальные множители, входящие в правую часть неравенств (49) и (50), имеют степенной рост, поэтому ряд, имеющий своим общим членом правую часть неравенств (49) и (50), сходится, а значит ряд s4 (x, y) сходится равномерно в Dε . Доказательство равномерной сходимости ряда ∞ vn (y)x sin 2πnx, n=1 почленно продифференцированного по y дважды, однократно и двукратно почленно продифференцированного по x, а также равномерной сходимости ряда ∞ un (y) cos 2πnx, n=1 однократно и двукратно почленно продифференцированного по x и по y соответственно, проводится аналогичным образом. Теорема 2 доказана.

About the authors

Anton A Abashkin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: samcocaa@rambler.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.; samcocaa@rambler.ru), Assistant, Dept. of High Mathematics

References

  1. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Изв. вузов. Матем., 1960. № 6. С. 214-225.
  2. Волкодавов В. Ф. О единственности решения задачи T N для одного уравнения смешанного типа / Волжский математический сборник, Вып. 9. Куйбышев, 1970. С. 55-65.
  3. Репин О. А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2005. № 34. С. 5-9. doi: 10.14498/vsgtu331.
  4. Рузиев М. Х. О нелокальной задаче для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом в неограниченной области // Изв. вузов. Матем., 2010. № 11. С. 41-49.
  5. Сабитов К. Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН, 2007. Т. 413, № 1. С. 23-26.
  6. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Изв. вузов. Матем., 2007. № 4. С. 45-53.
  7. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках // Матем. моделирование, 1990. Т. 2, № 8. С. 139-156.
  8. Франкль Ф. И. К образованию скачков уплотнения в дозвуковых течениях с местными сверхзвуковыми скоростями // Прикл. матем. и мех., 1947. Т. 11, № 1. С. 199-202.
  9. Моисеев Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи // Диффер. уравн., 1999. Т. 35, № 8. С. 1094-1100.
  10. Лернер М. Е., Репин О. А. О задачах типа задачи Франкля для некоторых эллиптических уравнений с вырождением разного рода // Диффер. уравн., 1999. Т. 35, № 8. С. 1087-1093.
  11. Сабитов К. Б., Сидоренко О. Г. Нелокальная задача для вырождающегося гиперболического уравнения / Современные проблемы физики и математики: Труды Всероссийской научной конференции. Т. 1 (16-18 сентября 2004 г.). Уфа: Гилем, 2004. С. 80-86.
  12. Сидоренко О. Г. Существенно нелокальная задача для уравнения смешанного типа в полуполосе // Изв. вузов. Матем., 2007. № 3. С. 60-64.
  13. Лернер М. Е., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Диффер. уравн., 2001. Т. 37, № 11. С. 1562-1564.
  14. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Диффер. уравн., 2001. Т. 37, № 11. С. 1565-1567.
  15. Абашкин А. А. Однозначная разрешимость нелокальной задачи для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2011. № 2(83). С. 5-14.
  16. Абашкин А. А. Об одной нелокальной задаче для осесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 3(24). С. 26-34. doi: 10.14498/vsgtu852.
  17. Сабитова Ю. К. Нелокальная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Труды Стерлитамакского филиала АН РБ, Вып. 6. Уфа: Гилем, 2009. С. 94-102.
  18. Сабитова Ю. К. Краевые задачи с нелокальным условием для уравнений смешанного типа в прямоугольной области: Дисс.. к.ф.м.н. Стерлитамак, 2007. 133 с.
  19. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. Спб.: Лань, 2010. 368 с.
  20. Зорич В. А. Математический анализ. Т. 2. М.: МЦНМО, 2002. 787 с.

Statistics

Views

Abstract - 12

PDF (Russian) - 5

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies