Investigations of the numerical range of a operator matrix

Abstract


We consider a $2\times2$ operator matrix $A$ (so-called generalized Friedrichs model) associated with a system of at most two quantum particles on ${\rm d}$-dimensional lattice. This operator matrix acts in the direct sum of zero- and one-particle subspaces of a Fock space. We investigate the structure of the closure of the numerical range $W(A)$ of this operator in detail by terms of its matrix entries for all dimensions of the torus ${\bf T}^{\rm d}$. Moreover, we study the cases when the set $W(A)$ is closed and give necessary and sufficient conditions under which the spectrum of $A$ coincides with its numerical range.

Full Text

Исследование числовой области значений одной операторной матрицы ч.о.з. оператора является выпуклым. Отметим, что отмеченные выше результаты верны не только для матриц, но и в более общем случае - для любого линейного ограниченного оператора. В работе [3] доказано, что спектр любого линейного ограниченного оператора содержится в замыкании ч.о.з. этого оператора. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [4-10]. Ч.о.з. матриц хорошо изучены во многих работах, см. например [11-14]. В частности, в работе [11] доказано, что ч.о.з. матрицы 2 × 2 есть эллипс. Если элементами матрицы являются линейные операторы, то такие операторы обычно называются блочно-операторными матрицами (или просто операторными матрицами) и изучение ч.о.з. таких операторов в бесконечномерном пространстве представляет собой особый интерес. Поэтому исследование структуры ч.о.з. операторных матриц в терминах его матричных элементов является одной из интересных задач в спектральном анализе операторов. Отметим, что в случае, когда оператор является ограниченным и самосопряженным, замыкание числовой области значений есть выпуклая оболочка спектра [11]. Возникает естественной вопрос: для каких классов ограниченных самосопряженных операторов в бесконечномерном пространстве спектр совпадает с числовой областью значений? Вообще, существует ли такой оператор, кроме скалярного оператора? В данной работе установлена непустота такого класса. В настоящей работе рассматривается 2 × 2 операторная матрица (обобщённая модель Фридрихса) A, ассоциированная с системой не более чем двух квантовых частиц на d-мерной решётке. Отметим, что вопросы, проводящее к изучению спектральных свойств таких операторов, обычно возникают в задачах статистической физики [15], гидродинамики [16] и физики твёрдого тела [17]. Основной целью данной работы является подробное изучение ч.о.з. операторной матрицы A, а точнее: а) описание структуры множества W (A) при всех размерностях тора Td в терминах матричных элементов операторной матрицы A; б) выделение случаев, когда множество W (A) замкнуто; в) нахождение необходимых и достаточных условий для того, чтобы оператор A имел спектр, совпадающий с множеством W (A). В последующих пунктах мы обсудим вышеуказанные вопросы. При обсуждении вопроса в) используется метод порогового анализа. Структура работы такова. В пункте 1 даны некоторые основные свойства ч.о.з. линейного оператора. В пункте 2 операторная матрица A вводится как ограниченный самосопряженный оператор в прямой сумме нуль-частичного и одночастичного подпространств фоковского пространства и описана структура ч.о.з. оператора A. В пункте 3 доказано, что если граничные точки существенного спектра оператора A являются его «пороговыми» собственными значениями, то спектр этого оператора совпадает с множеством W (A). 1. Основные свойства числовой области значений линейного оператора. Обозначим через N, Z, R и C - множество всех натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Всюду в работе под ( · , · ) и · понимаются скалярное произведение и норма в соответствующих гильбертовых пространствах. 51 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в Для полноты сначала приведём ряд основных свойств ч.о.з. линейного оператора (вообще говоря, несамосопряженного) A: H → H, доказательства которых вытекают непосредственно из определения: 1) если A ограниченный оператор, то W (A) ⊂ {λ ∈ C : |λ| ||A||}; 2) W (A∗ ) = {λ : λ ∈ W (A)}; 3) W (I) = {1}; если α и β - произвольные комплексные числа, то имеет место W (αA + β) = αW (A) + β; 4) для самосопряженного оператора A имеет место вложение W (A) ⊂ R; 5) если H - конечномерное пространство, то множества W (A) является компактным; 6) если A, B: H→H - унитарно-эквивалентные операторы, то W (A)=W (B); 7) σp (A) ⊂ W (A). Определим (см. [18]) аппроксимативно точечный спектр линейного оператора A как σapp (A) := {λ ∈ C : ∃{xn }∞ ⊂ D(A), xn = 1, (A - λ)xn → 0, n → ∞}. 1 Подчеркнём, что последнее множество имеет еще одно название: «ядро спектра» оператора A (см. [19]). Следующее утверждение устанавливает связь между σapp (A) и W (A): 8) σapp (A) ⊂ W (A). Следующий пример показывает, что даже для ограниченного самосопряжённого оператора B в гильбертовом пространстве H мы не сможем утверждать, что σ(B) ⊂ W (B) или W (B) ⊂ σ(B). Пусть B : l2 → l2 , Bx = (x1 , x2 /2, . . . , xn /n, . . .), x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ l2 . Легко проверяется, что σ(B) = {1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} = {0, 1, 1/2, . . . , 1/n, . . .} , W (B) = (0, 1]. Остановимся на доказательстве факта 0 ∈ W (B). Допустим противное. Пусть 0 ∈ W (B). Тогда существует x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ l2 такое, что x = 1 и (Bx, x) = 0. Имеем ∞ 1 (Bx, x) = |xn |2 = 0. n k=1 Отсюда следует, что x ≡ 0. Это противоречит факту x = 1. Значит 0 ∈ W (B). Следовательно, в этом случае имеем σ(B) ⊂ W (B), W (B) ⊂ σ(B). 2. Операторная матрица и обсуждения основных результатов. Пусть Td - d-мерный тор, т.е. куб (-π, π]d с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе Td рассматривается как абелева группа, 52 Исследование числовой области значений одной операторной матрицы в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в Rd по модулю (2πZ)d . Пусть L2 (Td ) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определённых на Td . Обозначим через H прямую сумму пространств H0 = C и H1 = L2 (Td ), т.е. H = H0 ⊕ H1 . Пространства H0 и H1 называются ноль-частичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства F(L2 (Td )) над L2 (Td ) соответственно. Рассмотрим обобщённую модель Фридрихса A ≡ A(w, µ), действующую в гильбертовом пространстве H как 2 × 2 блочно-операторная матрица A= A00 A01 , A∗ A11 01 где матричные элементы Aij : Hj → Hi , i формулам A00 f0 = wf0 , A01 f1 = √ µ j, i, j = 0, 1, определяются по v(s)f1 (s)ds, (A11 f1 )(p) = u(p)f1 (p). Td Здесь fi ∈ Hi , i = 0, 1; w, µ ∈ R, µ > 0 и u( · ), v( · ) - вещественно-аналитические функции на Td , а A∗ - сопряжённый оператор к A01 . 01 Оператор A01 называется оператором уничтожения, а A∗ называется опе01 ратором рождения. Можно проверить, что при этих предположениях оператор, которому соответствует матрица A, является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве H. Обозначим через σ( · ), σess ( · ) и σdisc ( · ) соответственно спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряжённого оператора. Пусть оператор A0 действует в H как A0 = 0 0 . 0 A11 Оператор возмущения A - A0 оператора A0 является самосопряжённым оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора A совпадает с существенным спектром оператора A0 . Известно, что σess (A0 ) = [m; M ], где числа m и M определяются следующим образом: m = min u(p), p∈Td M = max u(p). p∈Td Из последних фактов следует, что σess (A) = [m; M ]. (1) 53 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в Пусть Ii - единичный оператор в Hi , i = 1, 2. Чтобы определить дискретный спектр оператора A, наряду с этим оператором рассмотрим ещё оператор S(z) : H0 → H0 , который формально определяется следующим образом: S(z) := A00 - zI0 - A01 (A11 - zI1 )-1 A∗ , 01 z ∈ C \ [m; M ]. Определённый таким образом оператор обычно называется первым комплиментом Шура. Определим регулярную в C \ [m; M ] функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором A): ∆µ (w; z) = w - z - µ Td v 2 (s)ds . u(s) - z Тогда S(z) есть оператор умножения в пространстве H0 на функцию ∆µ (w; ·). Установим связь между собственными значениями операторов A и S(z). Лемма 1. Оператор A имеет собственное значение z ∈ C \ [m; M ] тогда и только тогда, когда оператор S(z) имеет нулевое собственное значение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть z ∈ C \ [m; M ] - собственное значение оператора A и f = (f0 , f1 ) ∈ H - соответствующая вектор-функция. Тогда f0 и f1 удовлетворяют системе уравнений (A00 - zI0 ) f0 + A01 f1 = 0, A∗ f0 + (A11 - zI1 ) f1 = 0. 01 (2) Так как z ∈ σ(A11 ) = [m; M ], оператор A11 - zI1 обратим. Следовательно, умножая второе уравнение системы слева на (A11 - zI1 )-1 , для f1 имеем f1 = -(A11 - zI1 )A∗ f0 . 01 Подставляя последнее выражение для f1 в первое уравнение системы (2), получим, что система уравнений (2) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение S(z)f0 = 0 имеет нетривиальное решение. Из леммы 1 вытекает, что σdisc (A) = {z ∈ C \ [m; M ] : S(z) имеет нулевое собственное значение}. Таким образом, σ(A) = [m; M ] ∪ σdisc (A). Надо отметить, что дискретный спектр оператора A играет важную роль при исследовании его ч.о.з. Лемма 2. Оператор A может иметь не более чем по одному простому собственному значению, лежащему левее m и правее M. Д о к а з а т е л ь с т в о леммы 2 вытекает из монотонности и непрерывности функции ∆µ (w; ·) на полуосях (-∞; m) и (M ; +∞), а также леммы 1. Далее в случае существования собственных значений оператора A обозначим их через λk (w, µ), k = 1, 2. Для определённости предположим, что λ1 (w, µ) < m и λ2 (w, µ) > M . 54 Исследование числовой области значений одной операторной матрицы Пусть N1 , N2 ∈ N - фиксированные числа. На протяжении всей работы будем предполагать, что функция u( · ) имеет невырожденный минимум в точках pi ∈ Td , i = 1, N1 , и невырожденный максимум в точках qj ∈ Td , j = 1, N2 . В качестве такой функции u( · ) можно взять d 1 - cos np(k) , u(p) = p = (p(1) , . . . , p(d) ) ∈ Td , n ∈ N. k=1 Обозначим через N1 ≡ N1 (n) и N2 ≡ N2 (n) число точек (1) (d) (1) ∈ Td pi = pi , . . . , p i (d) ∈ Td , и qj = qj , . . . , q j соответственно, для которых (k) pi ∈ (k) qj ∈ 4 n1 2 0; ± π; ± π; . . . ; ± π n n n 1 3 n2 ± π; ± π; . . . ; ± π n n n {π}, если n чётное, ∅, если n нечётное, ∪ ∅, если n чётное, {π}, если n нечётное, ∪ k = 1, d; k = 1, d; причём pi = pj , qi = qj при i = j; здесь n1 := n - 2, если n чётное, n - 1, если n нечётное; n2 := n - 1, если n чётное, n - 2, если n нечётное. Очевидно, что определённая так функция u( · ) имеет невырожденный минимум в точках pi ∈ Td , невырожденный максимум в точках qj ∈ Td , причём N1 = n, N2 = n - 1. Таким образом, множество значений функций u( · ) совпадает с отрезком [0, 2d]. I. Случай d 3. В дальнейшем через δ, C1 , C2 и C3 обозначаются различные положительные постоянные, значения которых не конкретизированы. Пусть p(1) |p| := 2 2 + . . . + p(d) , p = p(1) , . . . , p(d) ∈ Td ; Uδ (p0 ) := p ∈ Td : |p - p0 | < δ , p0 ∈ Td , δ > 0. Так как функция u( · ) имеет невырожденный минимум в точках pi ∈ Td , i = 1, N1 , существуют числа C1 , C2 , C3 > 0 и δ > 0 такие, что C1 |p - pi |2 u(p) - m C2 |p - pi |2 , p ∈ Uδ (pi ), i = 1, N1 ; (3) N1 u(p) - m C3 , p ∈ Tδ ≡ Td \ Uδ (pi ). (4) i=1 55 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в Имеет место равенство Td v 2 (s)ds = u(s) - m N1 Uδ (pi ) i=1 v 2 (s)ds + u(s) - m Tδ v 2 (s)ds . u(s) - m (5) Учитывая неравенства (3) и непрерывность функции v( · ) на Td , имеем, что i-тое (i ∈ {1, . . . , N1 }) слагаемое в правой части (5) оценивается следующим образом: v 2 (s)ds Uδ (pi ) u(s) - m C1 ds 2 Uδ (0) |s| C1 (2π)d-3 ds(1) ds(2) ds(3) . (1) 2 (2) 2 (3) 2 {p∈T3 :|p|<δ} |s | + |s | + |s | Переходя в сферическую систему координат, убедимся, что последний интеграл конечен. Конечность последнего слагаемого в правой части (5), т.е. интеграла по Tδ , вытекает из непрерывности функции v(·) на Td и неравенства (4). Аналогично показывается, что Td v 2 (s)ds u(s) - M (6) также конечен. Положим µ0 := Td v 2 (s)ds u(s) - m -1 , µ1 := Td v 2 (s)ds M - u(s) -1 . Следующая теорема описывает структуру ч.о.з. оператора A. Теорема 1. Пусть w m. 1. Если 0 < µ (M - w)µ1 , то верно равенство W (A) = [λ1 (w, µ); M ]. 2. При µ > (M -w)µ1 имеет место равенство W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть w ство ∆µ (w; m) < 0. Так как m. Тогда при всех µ > 0 верно неравенlim ∆µ (w; z) = +∞ z→-∞ и функция ∆µ (w; · ) непрерывна и монотонно убывает на полуоси (-∞; m), функция ∆µ (w; · ) имеет единственный простой нуль λ1 (w, µ) в (-∞; m). В силу леммы 1 число λ1 (w, µ) является единственным простым собственным значением оператора A. 1. Предположим, что 0 < µ (M - w)µ1 . Простые вычисления показывают, что ∆µ (w; M ) < 0. Теперь из факта lim ∆µ (w; z) = -∞, z→+∞ а также из непрерывности и монотонности функции ∆µ (w; · ) на полуоси (M ; +∞), вытекает, что функция ∆µ (w; · ) не имеет нулей в (M ; +∞). В силу 56 Исследование числовой области значений одной операторной матрицы леммы 1 оператор A не имеет собственных значений, лежащих в (M ; +∞). Следовательно, в этом случае σ(A) = {λ1 (w, µ)} ∪ [m; M ], λ1 (w, µ) < m. Так как замыкание ч.о.з. оператора A есть выпуклая оболочка спектра σ(A), то W (A) = [λ1 (w, µ); M ]. Первое утверждение теоремы 1 доказано. 2. Пусть теперь µ > (M - w)µ1 . Рассуждая, как и выше, можно показать, что оператор A имеет единственное собственное значение λ2 (w, µ), лежащее на (M ; +∞), т.е. σ(A) = {λ1 (w, µ)} ∪ [m; M ] ∪ {λ2 (w, µ)}, λ1 (w, µ) < m, λ2 (w, µ) > M. Видно, что в этом случае mA := inf (Af, f ) = λ1 (w, µ), f =1 MA := sup (Af, f ) = λ2 (w, µ). (7) f =1 Значит, W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. Покажем, что λk (w, µ) ∈ W (A), k = 1,2. Пусть g1 ∈ H и g2 ∈ H - нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 (w, µ) и λ2 (w, µ) соответственно. Тогда min (Af, f ) = (Ag1 , g1 ) = λ1 (w, µ); f =1 max (Af, f ) = (Ag2 , g2 ) = λ2 (w, µ). f =1 Отсюда следует, что λk (w, µ) ∈ W (A), k = 1, 2. Второе утверждение теоремы 1 доказано. Из доказательства теоремы 1 вытекает следующее замечание. Замечание 1. Пусть H - произвольное гильбертово пространство и A : H → H - произвольный линейный ограниченный самосопряженный оператор. Тогда W (A) = [mA ; MA ]. Если дополнительно выполняется условие σess (A) ⊂ (mA ; MA ), то W (A) = [mA ; MA ]. Здесь числа mA и MA определены по формуле (7). Заметим, что в первом утверждение теоремы 1 число M ∈ σess (A) является предельной точкой множества W (A). Действительно, так как M ∈ σess (A), по критерию Вейля существует ортонормированная система {gn } ⊂ H такая, что ψn := Agn - M gn → 0, n → ∞. Рассмотрим скалярное произведение (ψn , gn ): (ψn , gn ) = (Agn , gn ) - M (gn , gn ) = (Agn , gn ) - M → 0, n → ∞. Отсюда следует, что M есть предельная точка множество W (A). Следующие теоремы доказываются аналогично теореме 1. Теорема 2. Пусть m < w < M. 1. Если µ > max {(w - m)µ0 , (M - w)µ1 }, то W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. 2. Если (w - m)µ0 < (M - w)µ1 и µ ∈ ((w - m)µ0 ; (M - w)µ1 ], то W (A) = [λ1 (w, µ); M ]. 57 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в 3. Если (w - m)µ0 > (M - w)µ1 и µ ∈ ((M - w)µ1 ; (w - m)µ0 ], то W (A) = [m; λ2 (w, µ)]. 4. Если µ < min {(w - m)µ0 , (M - w)µ1 }, то W (A) = [m; M ]. Замечание 2. Если (w - m)µ0 = (M - w)µ1 = µ01 , т.е. если w= mµ0 + M µ1 , µ 0 + µ1 то при µ > µ01 имеем случай первого утверждения, а при 0 < µ четвёртого утверждения теоремы 2. µ01 случай Теорема 3. Пусть w M. 1. Если 0 < µ (w-m)µ0 , то имеет место равенство W (A)=[m; λ2 (w, µ)]. 2. При µ > (w - m)µ0 верно равенство W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. II. Случай d = 1, 2. Предположим, что v(pi ) = 0 и v(qj ) = 0 при некотором i ∈ {1, . . . , N1 } и j ∈ {1, . . . , N2 } соответственно. Тогда существуют числа C1 > 0 и δ > 0 такие, что |v(p)| C1 , p ∈ Uδ (pi ) ∪ Uδ (qj ). (8) Учитывая (3), (8), имеем Td v 2 (s)ds u(s) - m C1 Uδ (0) ds . |s|2 При d = 1 расходимость последнего интеграла очевидна, а при d = 2, переходя в полярную систему координат, убеждаемся, что последний интеграл расходится. Аналогично доказывается расходимость интеграла (6) при d=1, 2. Тогда при всех значениях параметров w и µ верно lim ∆µ (w; z) = -∞, z→m-0 lim ∆µ (w; z) = +∞. z→M +0 Так как lim ∆µ (w; z) = +∞, z→-∞ lim ∆µ (w; z) = -∞ z→+∞ и функция ∆µ (w; ·) непрерывна и монотонно убывает на полуосях (-∞; m) и (M ; +∞), при всех w и µ оператор A имеет два собственных значения, которые мы обозначили через λk (w, µ), k = 1, 2, причём λ1 (w, µ) < m, λ2 (w, µ) > M . В силу замечания 1 для ч.о.з. оператора A имеет место равенство W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. Пусть v(pi ) = 0, i ∈ {1, . . . , N1 } и v(qj ) = 0, j ∈ {1, . . . , N2 }. Тогда существуют числа C1 , C2 > 0, αi , βj ∈ N и δ > 0 такие, что при всех d ∈ N имеет место C1 |p - pi |αi C1 |p - qj |βj 58 |v(p)| |v(p)| C2 |p - pi |αi , C2 |p - qj |βj , p ∈ Uδ (pi ), p ∈ Uδ (qj ), i = 1, N1 ; j = 1, N2 . (9) Исследование числовой области значений одной операторной матрицы Теперь, применяя (3), (4) и (9), а также используя непрерывность функции v( · ) на Td , имеем Td v 2 (s)ds = u(s) - m N1 i=1 Uδ (pi ) v 2 (s)ds + u(s) - m Tδ v 2 (s)ds u(s) - m N1 |s|2αi -2 ds + C2 < ∞. C1 i=1 Uδ (0) Далее совершенно аналогично показывается конечность интеграла (6). Следовательно, числа µ0 и µ1 конечны, в этом случае верны все утверждения теорем 1-3. Осталось рассмотреть случай v(pi ) = 0 при некотором i ∈ {1, . . . , N1 } и v(qj ) = 0, j = 1, N2 . В этом случае при всех w и µ верно min σ(A) = λ1 (w, µ). Рассуждая, как и в теоремах 1-3, получим следующие утверждения: 1) пусть w M ; тогда при всех µ > 0 имеет место равенство W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]; 2) пусть w < M : а) если 0 < µ (M - w)µ1 , то W (A) = [λ1 (w, µ); M ]; б) если µ > (M - w)µ1 , то W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. Случай, когда v(pi ) = 0, i = 1, N1 и v(qj ) = 0 при некотором j ∈ {1, . . . , N2 } аналогичен. Заметим, что если u(p) ≡ u0 = const, то при всех значениях w, µ ∈ R, µ > 0 и d ∈ N числа (w - u0 )2 + 4µ v 2 , 2 w + u0 + (w - u0 )2 + 4µ v 2 λ2 (w, µ) = 2 являются простыми собственными значениями оператора A и имеет место равенство σess (A) = {u0 }, причём λ1 (w, µ) < u0 < λ2 (w, µ). Следовательно, в этом случае имеем W (A) = [λ1 (w, µ); λ2 (w, µ)]. 3. Пороговые эффекты для оператора A. В этом пункте рассмотрим случай d = 3. Пусть C(T3 ) (соответственно L1 (T3 )) - банахово пространство непрерывных (соответственно интегрируемых) функций, определённых на T3 . Определение 1. Пусть w = m (соответственно w = M ). Говорят, что оператор A имеет резонанс с энергией m (соответственно M ), если число 1 является собственным значением оператора λ1 (w, µ) = (Gm ψ)(p) = w + u0 - µv(p) w-m ψ ∈ C(T3 ), T3 v(s)ψ(s)ds , u(s) - m ψ ∈ C(T3 ), T3 v(s)ψ(s)ds , u(s) - M соответственно (GM ψ)(p) = µv(p) w-M 59 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция ψ удовлетворяет условию ψ(pi ) = 0 при некотором i ∈ {1, . . . , N1 } (соответственно ψ(qj ) = 0 при некотором j ∈ {1, . . . , N2 }). В следующей лемме формулируются необходимые и достаточные условия для того, чтобы либо число z = m (соответственно z = M ) являлось собственным значением оператора A, либо оператор A имел резонанс с энергией m (соответственно M ). Лемма 3. 1. Число z = m (z = M ) является собственным значением оператора A тогда и только тогда, когда ∆µ (w; m) = 0 и v(pi ) = 0, i = 1, N1 (∆µ (w; M ) = 0 и v(qj ) = 0, j = 1, N2 ). 2. Оператор A имеет резонанс с энергией m (M ) тогда и только тогда, когда ∆µ (w ; m) = 0 и v(pi ) = 0 при некотором i ∈ {1, . . . , N1 } (∆µ (w ; M ) = 0 и v(qj ) = 0 при некотором j ∈ {1, . . . , N2 }). Для доказательство леммы 3 в случае z = m достаточно воспользоваться схемой доказательства теоремы 1 из работы [20]. А случай z = M доказывается аналогично. Отметим, что в ходе доказательства теоремы 1 в [20] показано, что если число z = m является собственным значением оператора A, то только (с точностью до константы) вектор f = (f0 , f1 ), где f0 и f1 имеют вид √ f0 = const = 0, f1 (p) = - µv(p)f0 , u(p) - m удовлетворяет уравнению Af = mf , более того, f1 ∈ L2 (T3 ) тогда и только тогда, когда v(pi ) = 0, i = 1, N1 . Также в [20] установлено, что если оператор A имеет резонанс с энергией m, то f1 ∈ L1 (T3 ) \ L2 (T3 ). Это и означает, что в определении 1 требование наличия собственного значения 1 оператора Gm соответствует существованию решения уравнения Af = mf , а из условия ψ(pi ) = 0 при некотором i ∈ {1, . . . , N1 } следует, что решение f этого уравнения не принадлежит пространству H. Аналогичные утверждение верны для случая z = M . Так как m и M являются граничными точками σess (A) в случае, когда эти числа являются собственными значениями оператора A, мы назовём их пороговыми собственными значениями этого оператора. Лемма 4. Если либо число z = m (z = M ) является собственным значением оператора A, либо оператор A имеет резонанс с энергией m (M ), то оператор A не имеет собственных значений, лежащих левее m (правее z = M ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если либо число z = m является собственным значением оператора A, либо оператор A имеет резонанс с энергией m, то в силу леммы 3 имеем ∆µ (w ; m) = 0. Из монотонности функции ∆µ (w ; · ) следует, что для любого z < 0 верно ∆µ (w ; z) > ∆µ (w ; 0) = 0. По лемме 1 это означает, что оператор A не имеет собственных значений, лежащих левее m. Случай z = M рассматривается аналогично. 60 Исследование числовой области значений одной операторной матрицы Теорема 4. Верны следующие утверждения: 1) если числа m и M являются пороговыми собственными значениями оператора A, то W (A) = [m; M ]; 2) если число z = m является пороговым собственным значением оператора A и этот оператор также имеет резонанс с энергией M, то W (A) = [m; M ); 3) если оператор A имеет резонанс с энергией m и число z = M является пороговым собственным значением оператора A, то W (A) = (m; M ]; 4) если оператор A имеет резонансы с энергиями m и M, то W (A) = = (m; M ). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если выполняются условия в утверждениях теоремы 4, то в силу равенства (1) и леммы 4 имеем σ(A) = [m; M ]. Как отмечалось выше, в случае, когда оператор A имеет резонанс с энергией m, соответствующий вектор f не принадлежит H. Поэтому в этом случае m ∈ W (A). Пусть число z = m является собственным значением оператора A и f - соответствующий вектор. Положим f = f /||f ||. Тогда (Af , f ) = m(f , f ) = m, т.е. m ∈ W (A). Следующий пример показывает, что класс функций v( · ) и u( · ), удовлетворяющих условиям теоремы 4, непуст. Простые вычисления дают, что если mµ0 + M µ1 (M - m)µ0 µ1 w= , µ= , µ0 + µ1 µ 0 + µ1 то равенства ∆µ (w; m) = 0 и ∆µ (w; M ) = 0 выполняются одновременно независимо от функции v( · ) и u( · ). Пусть 3 (1 - cos p(i) ). u(p) = i=1 Тогда функция u( · ) имеет единственный невырожденный минимум в точке p1 = (0, 0, 0) ∈ T3 и единственный невырожденный максимум в точке q1 = = (π, π, π) ∈ T3 . Далее 1) если v(p) = 1 - cos 2p(1) , то v(p1 ) = v(q1 ) = 0; 2) если v(p) = 1 - cos p(1) , то v(p1 ) = 0 и v(q1 ) = 2 = 0; 3) если v(p) = 1 + cos p(1) , то v(p1 ) = 2 = 0 и v(q1 ) = 0; 4) если v(p) = cos p(1) , то v(p1 ) = 1 = 0 и v(q1 ) = -1 = 0. При этом, сравнивая соответствующие условия леммы 3, получим, что выполняются условия теоремы 4. Если ∆µ (w ; m) > 0, то в силу леммы 3 число z = m не является пороговым собственным значением оператора A и этот оператор не имеет резонанса с энергией m. В этом случае m ∈ W (A). Допустим противное. Пусть m ∈ W (A). Тогда существует f = (f0 , f1 ) ∈ H такой, что f = 1 и (Af, f ) = m. В этом случае легко можно показать, что f0 = 0, а функция f1 ∈ H1 ортогональна к v(·) и f 1 = 1. Имеем (u(s) - m)|f1 (s)|2 ds = 0. (Af, f ) - m = T3 61 Т. Х. Р а с у л о в, Э. Б. Д и л м у р о д о в Отсюда следует, что f1 ≡ 0, а это противоречит условию нормировки f = 1. Значит, m ∈ W (A). Таким образом, равенство W (A) = [m; M ] выполняется тогда и только тогда, когда числа m и M являются «пороговыми» собственными значениями оператора A.

About the authors

Tulkin Kh Rasulov

Bukhara State University

Email: rth@mail.ru
11, Muhammad Igbol st, Bukhara, 200100, Uzbekistan
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Assotiate Professor, Dept. of Mathematical Physics & Analysis

Elyor B Dilmurodov

Bukhara State University

Email: elyor.dilmurodov@mail.ru
11, Muhammad Igbol st, Bukhara, 200100, Uzbekistan
Assistant Lecturer, Dept. of Mathematical Physics & Analysis

References

  1. O. Toeplitz, “Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér” // Math. Z., 1918. vol. 2, no. 1-2. pp. 187-197. doi: 10.1007/BF01212904.
  2. F. Hausdorff, “Der Wertvorrat einer Bilinearform” // Math. Z., 1919. vol. 3, no. 1. pp. 314-316. doi: 10.1007/BF01292610.
  3. A. Wintner, “Zur Theorie der beschränkten Bilinearformen” // Math. Z., 1929. vol. 30, no. 1. pp. 228-281. doi: 10.1007/BF01187766.
  4. H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter, “A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range” // Linear Algebra Appl., 2001. vol. 330, no. 1-3. pp. 89-112. doi: 10.1016/S0024-3795(01)00230-0.
  5. C. Tretter, M. Wagenhofer, “The block numerical range of an n × n block operator matrix” // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl., 2003. vol. 24, no. 4. pp. 1003-1017. doi: 10.1137/S0895479801394076.
  6. L. Rodman, I. M. Spitkovsky, “Ratio numerical ranges of operators” // Integr. Equ. Oper. Theory, 2011. vol. 71, no. 2. pp. 245-257. doi: 10.1007/s00020-011-1898-8.
  7. W. S. Cheung, X. Liu, T. Y. Tam, “Multiplicities, boundary points and joint numerical ranges” // Operators and Matrices, 2011. vol. 5, no. 1. pp. 41-52. doi: 10.7153/oam-05-02.
  8. H. L. Gau , C. K. Li, Y. T. Poon, N. S. Sze, “Higher rank numerical ranges of normal matrices” // SIAM. J. Matrix Anal. & Appl., 2011. vol. 32. pp. 23-43, arXiv: 0902.4869 [math.FA]. doi: 10.1137/09076430X.
  9. B. Kuzma, C. K. Li, L. Rodman, “Tracial numerical range and linear dependence of operators” // Electronic J. Linear Algebra, 2011. vol. 22. pp. 22-52. http://eudml.org/doc/223236.
  10. C. K. Li, Y. T. Poon, “Generalized numerical range and quantum error correction” // J. Operator Theory, 2011. vol. 66, no. 2. pp. 335-351. http://www.mathjournals.org/jot/2011-066-002/2011-066-002-004.html.
  11. K. Gustafson, D. K. M. Rao, Numerical range: The field of values of linear operators and matrices, Berlin, Springer, 1997, xiv+190 pp.
  12. D. S. Keeler, L. Rodman, I. M. Spitkovsky, “The numerical range of 3 × 3 matrices” // Linear Algebra and its Appl., 1997. vol. 252, no. 1-3. pp. 115-139. doi: 10.1016/0024-3795(95)00674-5.
  13. H.-L. Gau, “Elliptic numerical range of 4 × 4 matrices” // Taiwanese J. Math., 2006. vol. 10, no. 1. pp. 117-128.
  14. D. Henrion, “Semidefinite geometry of the numerical range” // Electronic J. Linear Algebra, 2010. vol. 20. pp. 322-332. http://eudml.org/doc/229710, arXiv: 0812.1624 [math.OC].
  15. Р. А. Минлос, Я. Г. Синай, “Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа” // ТМФ, 1970. Т. 2, № 2. С. 230-243.
  16. R. A. Minlos, Ya. G. Sinai, “Spectra of stochastic operators arising in lattice models of a gas” // Theoret. and Math. Phys., 1970. vol. 2, no. 2. pp. 167-176. doi: 10.1007/BF01036789.
  17. М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.
  18. A. I. Mogilner, “Hamiltonians in solid state physics as multiparticle discrete Schrödinger operators: problems and results” // Adv. Soviet Math., 1991. vol. 5. pp. 139-194.
  19. M. Reed, B. Simon, Methods of modern mathematical physics, V. IV, Analysis of operators, New York-London, Academic Press, 1978, 396 pp.
  20. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики. Т. 4: Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 430 с.
  21. М. Саломяк, М. Бирман, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: ЛГУ, 1980. 264 с.
  22. Т. Х. Расулов, Х. Х. Турдиев, “Некоторые спектральные свойства обобщённой модели Фридрихса” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 2(23). С. 181-188. doi: 10.14498/vsgtu904.

Statistics

Views

Abstract - 16

PDF (Russian) - 7

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies