A cases of solvability of the integral equation in quadratures

Abstract


We consider Volterra equation with two-variable, commonly encountered in the theory of elasticity. The purpose is to find new variants of sufficient conditions for it’s solvability in explicit calculation. The reduction principle of the original equation, first, to Goursat problem for differential equation of third order, and after that to two problems solving consecutively for equations of the first and second order is devised. One of these problems can be solved by direct equation integration, and the other’s solution can be written through Riemann function for which variants of its explicit construction are found. Seven variants of conditions for mentioned calculation were obtained in terms of coefficients of the original equation. Considering that there are four variants of factorization of equation of third order involved into the reasoning, virtually there are 28 variants of conditions for original equation solvability in quadratures noted in this article.

Full Text

Одним из традиционных направлений в математике является отыскание решений различных уравнений в явном виде. Если говорить об интегральных уравнениях, то многие результаты в указанной области отражены в справочнике [1], причём большинство из них относится к уравнениям типа Фредгольма, когда пределы содержащих искомую функцию интегралов являются постоянными. В настоящей работе рассматривается уравнение типа Вольтерра x u(x, y) + y K1 (x, y, ξ)u(ξ, y)dξ + x0 K2 (x, y, η)u(x, η)dη+ y0 x y x0 y0 + K(x, y, ξ, η)u(ξ, η)dξdη = F (x, y), (1) где (x, y) ∈ D = {x0 < x < x1 , y0 < y < y1 }. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Ш а к и р о в а И. М. К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 57-65. doi: 10.14498/vsgtu1323. 57 Ш а к и р о в а И. М. Аналогичные по своей структуре уравнения Фредгольма изучались, например, в [2]. Уравнения вида (1) встречаются в теории упругости [3, c. 279, формула (62.12), описывает изгиб тонкой сферической оболочки]. При непрерывных в D коэффициентах K, K1 , K2 для (1) известна теорема существования единственного решения [3, c. 18; 4, c. 180]. Мы занимаемся здесь выделением до сих пор неизвестных частных случаев уравнения (1), в которых его решение могут быть построены в виде явных формул. Для этого предлагается развитие методики работы [5], в которой указаны некоторые простые случаи редукции (1) к задаче Гурса для уравнения вида uxy + aux + buy + cu = f, (2) что на основании результатов из [6, c. 15, 16; 7] позволило сформулировать достаточные условия разрешимости исходного уравнения (1) в явном виде. В настоящей статье схема рассуждений из [5] распространяется на более сложные ситуации, когда к (2) мы приходим через факторизацию уравнения vxxy + Avxx + Bvxy + Cvx + Dvy + Ev = F. (3) Данное уравнение является обобщением известного уравнения Аллера (M. Hallaire) ux = (αuy + βuxy )y , встречающегося при моделировании процесса переноса почвенной влаги в зоне аэрации [8, 9]. С различных точек зрения (3) изучалось в [6] и [10-16]. В нужном нам аспекте (3) исследовалось в [6, c. 136]. Но об этом несколько позже. Сейчас же предположим, что (1) имеет вид x u(x, y) + a1 (x, y) b1 (ξ, y)u(ξ, y)dξ+ x0 x y x0 y0 b2 (ξ, η)u(ξ, η)dξdη = f (x, y), (4) + a2 (x, y) a1 (x, y)b1 (x, y)a2 (x, y)b2 (x, y) = 0. (5) Разделив (4) на a2 , продифференцировав затем полученное соотношение по y и по x и сделав замену искомой функции x v(x, y) = b1 (ξ, y)u(ξ, y)dξ, (6) x0 приходим к уравнению (3) с коэффициентами A = -λy , B = a1 b1 - λx , C = a2 b2 + b1 a1y - a1 (ln a2 )y - λyx + λy λx , D = a2 b1 (a1 /a2 )x , E = a2 b1 (a1 /a2 )yx , F = a2 b1 (f /a2 )yx , (7) где для некоторой компактности формул (7) введено обозначение λ = ln a2 b1 . Из (4) для u(x, y0 ) = ψ(x) имеем соотношение x ψ(x) + a1 (x, y0 ) b1 (ξ, y0 )ψ(ξ)dξ = f (x, y0 ), x0 58 К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах являющееся фактически обыкновенным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Действительно, обозначив интеграл через σ(x), имеем при условии b1 (x, y0 ) = 0 (это верно в силу (5)) σ + a1 b1 σ = b1 f, σ(x0 ) = 0. Решая это уравнение, например, с помощью интегрирующего множителя x a1 b1 dξ, найдём exp x0 x ξ b1 f exp σ(x) = x0 a1 b1 dξ1 dξ, x после чего по формуле ψ = σ /b1 вычислим u(x, y0 ) = ψ(x) = f (x, y0 ) - a1 (x, y0 ), x ξ b1 (ξ, y0 )f (ξ, y0 ) exp x0 a1 (ξ1 , y0 )b1 (ξ1 , y0 )dξ1 dξ. x Подставив это значение в (6) при y = y0 , определим v(x, y0 ) = θ(x), являющееся одним из граничных значений в задаче Гурса для уравнения (3). Остальные два условия даются вытекающими из (6) формулами v(x0 , y) = 0, vx (x0 , y) = b1 (x0 , y)f (x0 , y). (8) В [6, c. 136] предложен подход к выявлению случаев явного решения задачи Гурса для (3), основанный на факторизации оператора, стоящего в левой части этого уравнения. Например, при выполнении тождеств (6.13) из [6], имеющих в обозначениях (7) вид λxx - λyx + λy a1 b1 - λx + λy ≡ (a1 b1 )x - a2 b1 (a1 /a2 )x , λ3 y - λ2 λx + λyx λx - 2λy + λy λxx - a2 b2 - a1y b1 + a1 b1 (ln a2 )y ≡ y (9) ≡ a2 b1 (a1 /a2 )xy - (a2 b2 )x - (a1y b1 )x + (a1 b1 )x (ln a2 )y + a1 b1 (ln a2 )yx , уравнение (3) можно представить в форме ∂ +A ∂x ∂2v ∂v ∂v + A1 + B1 + C1 v = F, ∂x∂y ∂x ∂y где A1 = A = -λy , B1 = B - A = a1 b1 - λx + λy , C1 = C - Ax - A2 = a2 b2 + b1 a1y - a1 (ln a2 )y + λy λx - λ2 . y (10) В результате задача (3), (8) с учётом v(x, y0 ) = θ(x) распадается на две последовательно решаемые задачи: wx + Aw = F, w(x0 , y) = b1 (x0 , y)f (x0 , y) y + A(x0 , y)b(x0 , y)f (x0 , y) и vxy + A1 vx + B1 vy + C1 v = w, v(x0 , y) = 0, v(x, y0 ) = θ(x). (11) 59 Ш а к и р о в а И. М. Первая из них очевидным образом решается путём непосредственного интегрирования уравнения, так что все сводится к задаче Гурса (11). Решение же задачи (11) записывается через функцию Римана рассматриваемого уравнения [6, формула (1.20)], причём для последней имеются [6, c. 15, 16; 17, 18] случаи её построения в явном виде. В только что указанных источниках условия, обеспечивающие эти случаи, представлены через коэффициенты уравнения (2): 1) ax + ab - c ≡ 0; 2) by + ab - c ≡ 0; 3) ax ≡ by , c - ax - ab ≡ ξ0 (x)η0 (y) = 0; 4) by - ax ≡ ax + ab - c ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; 5) ax - by ≡ by + ab - c ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; 6) max - by ≡ mby - ax ≡ (m - 1)(ab - c); 2s (x)t (y) , s(x) + t(y) s (x)t (y)(2 - m) = 0. 7) ω = (2 - m)[s(x) + t(y)]2 Здесь ξ0 , η0 ∈ C; ξk , ηk ∈ C 1 , k = 1, 2; s, t, m ∈ C 2 , причём m зависит лишь от одной из переменных (x, y). В остальном перечисленные функции произвольны, а коэффициенты a, b, c имеют гладкость, обеспечивающую возможность выполнения записанных соотношений. Предполагается также, что классы гладкости задаются на замкнутых множествах определения соответствующих функций. Каждого из тождеств 1), 2) и наборов 3)-5) достаточно для получения явного вида функций Римана. Формулами же 6), 7) следует пользоваться совместно: при выполнении набора 6) функцию Римана можно построить в случаях, когда левая часть хотя бы одного из соотношений 1), 2) имеет вид ω, указанной в (7). Другими словами, мы имеем семь вариантов условий разрешимости в квадратурах задачи Гурса для уравнения (2). Для всех случаев виды функций Римана можно найти в [6,17,18]. Таким образом, общее количество вариантов указанной разрешимости равно 7. Понятно, что для записи 1)-7) в терминах коэффициентов уравнения (4) следует заменить a, b, c соответственно на A1 , B1 , C1 с подставленными в них значениями из (10) и (7). Всё это приводит к следующим соотношениям: h = λyx + λy a2 b1 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ≡ 0; (12) k = (a1 b1 )y - a2 b2 - a1y b1 + a1 b1 (ln a2 )y - λy a1 b1 ≡ 0; (13) (a1 b1 )y + λyy ≡ 0, λyx + λy a2 b1 + a2 b2 + b1 [a1y - a1 (ln a2 )y ] ≡ ξ0 (x)η0 (y); (14) (a1 b1 )y + λyy ≡ h ≡ ξ1 (x)η1 (y) = 0; (15) -(a1 b1 )y - λyy ≡ k ≡ ξ2 (x)η2 (y) = 0; (16) λxy (1 - m) - λyy - (a1 b1 )y ≡ m[λyy + (a1 b1 )y ] + λxy (1 - m) ≡ ≡ (1 - m)[λy a1 b1 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ]. (17) При этом следует помнить, что мы ранее ввели обозначение λ = ln a2 b1 ; a, h, k из (15), (16) заданы в (12), (13). Вместо 7) будем рассматривать ωk = 2sk (x)tk (y) , (2 - m)[sk (x) + tk (y)]2 [sk (x) + tk (y)]sk (x)tk (y)(2 - m) = 0, (18) причём ω1 , ω2 нужно считать равными h или k из (12), (13) соответственно. Из проведенных рассуждений следует Теорема. Пусть при наличии тождеств (9) и неравенства (5): 60 К случаям разрешимости одного интегрального уравнения в квадратурах 1) или удовлетворяется хотя бы одно из тождеств (12), (13); 2) или существуют такие функции m, ξk , ηk , k = 0, 1, 2; sk , tk , k = 1, 2, указанных выше классов, что либо выполнена хотя бы одна из трех групп соотношений (14)-(16), либо вместе с тождеством (17) имеет место представление (18) хотя бы для одной из двух записанных выше функций ω1 , ω2 . Тогда уравнение (4) разрешимо в квадратурах. Отметим, что в [6] указаны ещё три варианта факторизации уравнения (3). Одна из них приводит его к виду ∂ ∂ ∂2 + A2 + B2 + C2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂v + Av = F, ∂x где A2 = A = -λy , B2 = B - A = a1 b1 - λx + λy , 2 C2 = C - Ay - A = a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y - λyx + λy λx + λyy - λ2 . y Факторизация обеспечивается условиями λyx + λy [a1 b1 + λy - λx ] ≡ -a2 b1 (a1 /a2 )x , λxyy + λyy [2λy + λx - a1 b1 ]+ +λy [λy λx - 2λxy - λ2 + a2 b2 + a1y b1 - a1 b1 (ln a2 )y ] ≡ -a2 b1 (a1 /a2 )x . y Аналогичным образом можно использовать факторизации ∂ ∂2v ∂v +B +A - [Ax + AB - C]v = F, ∂x ∂x∂y ∂x ∂2 ∂ ∂v +A - [By + AB - C] + Bv = F, ∂x∂y ∂x ∂x возможность каждой из которых определяется соответственно парами тождеств D ≡ 0, B(Ax + AB - C) - (Ax + AB - C)x - E ≡ 0, Bx - D ≡ 0, Dy + AD - BBy - AB 2 - CB ≡ 0. Во всех случаях одна из задач оказывается связанной с уравнением вида (2), возможности решения которой в квадратурах отыскиваются с помощью соотношений 1)-7). Таким образом, общее число вариантов разрешимости оказывается равным 28. Обратим ещё внимание на уравнение y u(x, y) + a3 (x, y) b3 (x, η)u(x, η)dη+ y0 x y x0 y0 + a2 (x, y) b2 (ξ, η)u(ξ, η)dξdη = f (x, y). Это тоже частный случай (1), отличающийся от (3) лишь тем, что в нём переменные (x, y) поменялись ролями. Ясно, что все проведённые для (3) 61 Ш а к и р о в а И. М. рассуждения можно осуществить и здесь, что даёт ещё 28 вариантов разрешимости уравнения (1) в квадратурах. В дополнение к приведённой выше теореме можно сформулировать ещё семь её модернизаций в соответствии с только что перечисленными возможностями. Каждый вариант сформулированной теоремы представляет собой три или четыре соотношения, связывающие четыре коэффициента ak , bk , k = 1, 2. Число этих соотношений может быть уменьшено. Покажем это на примере варианта с условиями (9), (12), содержащими три соотношения для определения четырёх коэффициентов. Перенося слагаемое a1 b1 λy из левой части первого условия (9) в правую его часть, получим λxx - λyx + λ2 - λx λy ≡ {b1x + b1 (ln a2 )x - b1 [ln(a2 b1 )]y }a1 . y (19) Если считать a2 и b1 временно известными, то левая часть здесь и множитель при a1 тоже будут известны. Если этот множитель отличен от нуля, то из (19) определится a1 , а после этого из (12) вычисляется b2 (в силу (5)). Понятно, что a1 и b2 будут зависеть от a2 , b1 . Подставляя a1 , b2 во второе соотношение (9), мы получим одно тождество, связывающее уже только a2 и b1 . Оно и будет фактически заменять все три соотношения (9) и (12). Аналогичные рассуждения можно построить и для других вариантов. В заключение отметим, что вопросы, близкие к обсуждаемым в данной статье, были предметом изучения в работах А. А. Андреева и Ю. О. Яковлевой [19, 20].

About the authors

Inna M Shakirova

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: inna.sarvarova@yandex.ru
18, Kremlyovskaya st., Kazan, 420008, Russian Federation
Postgraduate Student, Dept. of Differential Equations

References

  1. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 2003. 608 с.
  2. Забрейко П. П., Калитвин А. С., Фролова Е. В. Об интегральных уравнениях с частными интегралами в пространстве непрерывных функций // Дифференц. Уравнения, 2002. Т. 38, № 4. С. 538-546.
  3. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 296 с.
  4. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. М., Л.: Гостехтеориздат, 1934. 330 с.
  5. Жегалов В. И. Решение уравнений Вольтерры с частными интегралами с помощью дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 2008. Т. 44, № 7. С. 874-882.
  6. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанское матем. об-во, 2001. 226 с.
  7. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  8. Hallaire M. Le potentiel efficace de l’eau dans le sol en régime de déssèchement / L’Eau et la Production Végétale. Paris: Institut National de la Recherche Agronomique, 1964. pp. 27-62.
  9. Mounier J. Évapotranspiration potentielle et besoins en eau // Norois, 1965. vol. 47, no. 47. pp. 349-352. doi: 10.3406/noroi.1965.1531.
  10. Colton D. Pseudoparabolic equation in one space variable // J. Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  11. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1977. vol. 63, no. 1. pp. 77-81. doi: 10.1090/s0002-9939-1977-0433037-4.
  12. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations in noncylindrical domains // J. Differ. Equations, 1978. vol. 27, no. 3. pp. 394-404. doi: 10.1016/0022-0396(78)90059-1.
  13. Rundell W. The Stefan Problem for a pseudo-heat equation // Indiana Univ. Math. J., 1978. vol. 27. pp. 739-750.
  14. Rundell W. The uniqueness class for the Cauchy problem for pseudoparabolic equations // Proc. Amer. Math. Soc., 1979. vol. 76, no. 2. pp. 253-257. doi: 10.1090/s0002-9939-1979-0537083-3.
  15. Шханухов М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
  16. Шханухов М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнений третьего порядка // ДАН СССР, 1982. Т. 265, № 6. С. 1327-1330.
  17. Жегалов В. И. К случаям разрешимости гиперболических уравнений в терминах специальных функций / Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2002. С. 73-79.
  18. Жегалов В. И., Сарварова И. М. К условиям разрешимости задачи Гурса в квадратурах // Изв. вузов. Матем., 2013. № 3. С. 68-73.
  19. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 3(24). С. 35-41. doi: 10.14498/vsgtu996.
  20. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2013. Т. 13, № 1(2). С. 3-6.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies