Creep theory inverse problem for non-work-hardening body

Abstract


The body formation by constant external forces in the conditions of the steady-state creep during set time problem is formulated and solved so that after removal of loadings the movements of points of a surface accepted preset values. The case of small deformations is considered. At certain assumptions and restrictions the uniqueness theorem for the solution of this task is proved. Applied questions of a problem of finding the external influences which are necessary for receiving a demanded shape of a body for set time in the conditions of rheological deformation after removal of external forces (taking into account elastic unloading) are analyzed. The analysis of a thin-walled isotropic plate for a case of a flat tension is made in details. The solution for movements is searched in the form of an expansion in small parameter. The model solution for a round plate of single radius under the influence of constant external loadings which should have the set field of movements after creep and elastic unloading is provided.

Full Text

1. Рассмотрим односвязное тело объема V с поверхностью S, определяющие уравнения деформирования которого имеют вид [1] εkl = aklmn σmn + εc , kl k, l = 1, 2, 3, (1) где εkl , εc σkl , aklmn = amnkl - компоненты тензоров полных деформаций, деkl формаций ползучести, напряжений и упругих податливостей соответственно; по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Компоненты εkl предполагаются малыми и выражающимися через компоненты перемещений ukl известными соотношениями Коши. Компоненты скоростей деформаций ползучести εc = ηkl (точка обозна˙kl чает дифференцирование по времени t) являются функциями напряжений ηkl = ηkl (σmn ) , k, l, m, n = 1, 2, 3, (2) причем для произвольных бесконечно малых приращений δσkl и соответствуISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1320 © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец цитирования: И. Ю. Ц в е л о д у б, “Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 115-124. 115 И. Ю. Ц в е л о д у б ющих им приращений δηkl имеет место неравенство δσkl δηkl 0. (3) Соотношения (2) описывают процесс ползучести неупрочняющегося тела. Неравенство (3) выражает известный постулат Друккера для вязких деформаций. Вопросы, связанные с выяснением ограничений, накладываемых условием (3) на функции (2), достаточно подробно изложены в [2, 3]. Общие теоремы для рассматриваемых сред приведены в [1]. Сформулируем обратную задачу теории ползучести: какие внешние нагрузки pk = pk (t), 0 t < t∗ , (считаем, что массовые силы отсутствуют) нужно приложить к поверхности тела, находящегося при t < 0 в естественном недеформированном состоянии, чтобы в момент времени t = t∗ после снятия этих нагрузок тело приняло заданную форму, т.е. при t = t∗ перемещения uk = ur на S, где ur - заданные функции точек поверхности (k = 1, 2, 3). k k Решение этой задачи может быть неединственным, т.е. может существовать множество путей нагружения pk = pk (t), при которых тело деформируется из исходного состояния в заданное. В данной работе рассмотрим только один частный случай: pk = const при 0 t < t∗ (k = 1, 2, 3). Утверждение. Если существует решение рассматриваемой задачи для указанного случая (pk = const при 0 t < t∗ , k = 1, 2, 3), то при некоторых условиях, указанных ниже, оно будет единственным. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим процесс деформирования тела при заданных условиях: 0 t < t∗ , pk = const на S, k = 1, 2, 3. Пусть существуют два решения этой задачи, разности соответствующих величин будем обозначать с помощью символа ∆. Так как ∆pk = 0 на S, на основании уравнения ˙ виртуальных работ [4] получим ∆σkl ∆εkl dV = 0. ˙ (4) V Поле напряжений, возникающих в теле, в любой момент времени можe e но представлять в виде σkl = σkl + ρkl , где σkl соответствует решению чисто упругой задачи с теми же внешними нагрузками на S; ρkl - компоненты остаточных напряжений, т.е. тех напряжений, которые возникли бы в теле после снятия внешних нагрузок в текущий момент времени [4]. Последние, как и их производные по t, являются самоуравновешенными при любом t, им соe ответствуют нулевые нагрузки на S. Кроме того, σkl = const, т.е. σkl = 0, ˙e поскольку pk = const на S. Интегрируя равенство (4) по t от 0 до t∗ , с учётом (1), (2) и сделанных замечаний получим1 1 При выводе (5) использовалась процедура интегрирования по частям, а также равенства σkl = 0 и ˙e e aklmn ∆σmn ∆ρkl dV = V e aklmn ∆ρmn ∆σkl dV = V e aklmn ∆ρmn ∆σkl dV = 0, ˙ V e так как поле ∆εe = aklmn ∆σmn является совместным (соответствует решению упругой kl задачи), а поля ∆ρkl , ∆ρkl - самоуравновешенными [4]. ˙ 116 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела e e aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆ρkl ∆ρmn + ∆σkl ∆εc dV kl V - 1 2 aklmn ∆ρkl ∆ρmn dV V t∗ 0 t∗ 0 - t∗ - ∆σkl ∆ηkl dV dt = 0. (5) 0 V e e Ввиду того, что ∆σkl (0) = ∆σkl t∗ и ∆ρkl (0) = ∆εc (0) = 0, равенство (5) kl примет вид I1 - I2 = 0, aklmn ∆ρkl ∆ρmn + ∆σkl ∆εkl dV I1 = V I2 = 1 2 t=t∗ , t∗ aklmn ∆ρkl ∆ρmn dV V t=t∗ ∆σkl ∆ηkl dV dt. + 0 V Величину I1 можно представить в форме ∆εr ∆σkl dV kl I1 = V t=t∗ , где εr = aklmn ρmn + εkl - поле остаточных деформаций, возникающих в теле kl при t = t∗ после снятия внешних нагрузок. В силу уравнения виртуальных работ ∆εr ∆σkl dV. kl I1 = S Следовательно, и I2 = 0, что возможно только в том случае, если во всем объёме тела ∆ρkl (t∗ ) = 0 и ∆σkl ∆ηkl = 0 в любой момент времени t (0 t < t∗ ), поскольку из (3) следует аналогичное неравенство для конечных разностей [3]. Последнее равенство для сжимаемого при ползучести тела возможно только при ∆σkl = 0, а для несжимаемого - при ∆σkl = ∆pδkl , где δkl - компоненты единичного тензора [3]. Из уравнений равновесия и в силу того, что pk = const на S, следует, что ∆p = const. Таким образом, для несжимаемой при ползучести среды два решения рассматриваемой задачи могут отличаться только на величину произвольного постоянного гидростатического давления. Это очевидно, поскольку последнее в этом случае не влияет на процесс ползучести [3], а упругие деформации, соответствующие этой величине, вычтутся из решения при разгрузке в момент t = t∗ . Если на части поверхности тела известны внешние нагрузки или одна из диагональных компонент тензора напряжений (как, например, в случае плоского напряженного состояния), то ∆p = 0. Утверждение доказано. 2. Рассмотрим случай плоского напряженного состояния, когда тело представляет собой изотропную тонкую пластинку и решение обратной задачи о её деформировании в заданное состояние при постоянных внешних нагрузках единственно. Считаем, что осреднённая плоскость пластинки занимает односвязную область, ограниченную замкнутым гладким контуром L. Соотношения (2) возьмём в виде общепринятых однородных функций степени n [5]. Тогда для скоростей полных деформаций в системе координат Oxy, выбранной в срединной плоскости пластинки, будем иметь εx = ˙ 1 n-1 2σx - σy (σx - ν σy ) + Bσi ˙ ˙ , E 2 117 И. Ю. Ц в е л о д у б 1 n-1 2σy - σx (σy - ν σx ) + Bσi ˙ ˙ , E 2 1+ν n-1 3 σxy + Bσi ˙ σxy , εxy = ˙ E 2 εy = ˙ (6) где E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона; B, n - константы ползу2 2 2 чести; σi = σx + σy - σx σy + 3σxy - интенсивность напряжений. Предполагаем, что n > 1, тем самым обеспечивается выполнимость (3) [2, 3]. Пусть после деформирования пластинки в течение времени t∗ под действием постоянных внешних нагрузок и их последующего снятия при t = t∗ требуется получить перемещения точек границы L вида ux = c x + δux1 (x, y) + δ 2 ux2 (x, y) + . . . , uy = c y + δuy1 (x, y) + δ 2 uy2 (x, y) + . . . , (7) где c, δ - константы, 0 < δ < 1, т.е. ux , uy могут быть представлены в виде рядов по степеням малого параметра δ. Для определённости примем, что c > 0. Для решения данной задачи применим метод возмущений [6]. При δ = = 0 условия (7) соответствуют однородному деформированному состоянию, вызванному равномерным растяжением по осям x и y. Для нахождения нулевого приближения положим σx = σy = σ0 = const; σ0 > 0 при 0 t < t∗ . Из (6) получим, что после разгрузки при t = t∗ 1 n εx = εy = Bσi t∗ . 2 Легко видеть, что в силу (7) должно быть εx = εy = c, следовательно, σ0 = 2c Bt∗ 1/n . Для нахождения последующих приближений все напряжения, перемещения и деформации при 0 t < t∗ представим в виде рядов по степеням δ. С использованием методики [6] из (6) для скоростей полных деформаций k-того приближения нетрудно получить ∂ uxk ˙ 1 f0 = (σxk - ν σyk ) + ˙ ˙ (σxk - ν1 σyk ) + ηx0k , ∂x E E ∂ uyk ˙ 1 f0 εyk = ˙ = (σyk - ν σxk ) + ˙ ˙ (σyk - ν1 σxk ) + ηy0k , ∂y E E ∂ uyk ˙ 1 ∂ uxk f0 ˙ 1 = + = (1 + ν)σxyk + (1 + ν1 )σxyk + ηxy0k , 2 ∂y ∂x E E εxk = ˙ εxyk ˙ (8) n-1 где ν1 = (3 - n)/(3 + n), -1 < ν1 < 1/2; f0 = BEσ0 (n + 3)/4; ηx0k , ηy0k , ηxy0k - функции координат и времени, зависящие от компонент напряжений не выше (k - 1) приближения. Например, для первого приближения ηx01 = = ηy01 = ηxy01 = 0, для второго ηx02 = 118 n-2 Bσ0 2 2 (n - 1) (n + 9)σx1 + (n - 3)σy1 (σy1 + 2σx1 ) + 12σxy1 , 16 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела ηy02 = n-2 Bσ0 2 2 (n - 1) (n + 9)σy1 + (n - 3)σx1 (σx1 + 2σy1 ) + 12σxy1 , 16 n-2 3Bσ0 ηxy02 = (n - 1)σxy1 (σx1 + σy1 ). 4 Всюду в дальнейшем индексы k , входящие в (8), будем опускать, считая функции ηx0 , ηy0 , ηxy0 известными для рассматриваемого приближения. Для каждого приближения введём функцию напряжений Φ = Φ(x, y, t), при этом [7] ∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ , σy = , σxy = - . (9) σx = ∂y 2 ∂x2 ∂x∂y Подставляя (8), (9) в известное уравнение совместности скоростей деформаций, получим ˙ ˙ (10) ∆2 Φ + f0 ∆2 Φ = F0 (x, y, t), где ∆2 - бигармонический оператор, ∂ 2 ηxy0 ∂ 2 ηy0 ∂ 2 ηx0 ˙ F0 = E - - . ∂x∂y ∂x2 ∂y 2 Интегрируя (10) как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно ∆2 Φ и учитывая, что ∆2 Φ = 0 при t = 0 (что соответствует упругому распределению напряжений), найдём t ∆2 Φ = e-f0 t ˙ F0 ef0 t dt. (11) 0 Предположим, что функции ηx0 , ηy0 , ηxy0 при любом 0 t < t∗ являются аналитическими в занятой пластиной области. Тогда возможен переход к комплексным переменным z = x+iy, z = x-iy, при этом функции перемен¯ ных и y аналитически продолжаются в область комплексных значений при подстановке x = (z + z )/2, y = (z - z )/2i, а z и z считаются независимыми ¯ ¯ ¯ комплексными переменными [8]. При указанной замене (11) примет вид t ˙ ˙ ∂4U ∂2ε ∂2ε ˙ ¯ ∂2I = -Ee-f0 t ef0 t + 2 +2 dt, ∂z 2 ∂ z 2 ¯ ∂ z 2 ∂z ¯ ∂z∂ z ¯ 0 t ¯ z+z z-z ¯ , ,t , ε = ηy0 - ηx0 + 2iηxy0 dt, U (z, z , t) = Φ ¯ 2 2i 0 16 t t ηy0 - ηx0 - 2iηxy0 dt, ε= ¯ (12) I= 0 ηx0 + ηy0 dt. 0 Общее решение (12) представим в форме U = U0 (z, z , t) + U1 (z, z , t) + U2 (z, z ) , ¯ ¯ ¯ (13) где U0 = - E -f0 t e 16 t 0 ˙ ˙ ¯ ˙ F + F + 2Q ef0 t dt, z z z0 z0 F = εdzdz, 119 И. Ю. Ц в е л о д у б ¯ F = z ¯ z ¯ z ¯ z0 ¯ z0 ¯ z z0 ¯ εd¯d¯, z z z0 Q= Idzd¯, z U1 , U2 - бигармоничны, т.е. Ui = z ϕi + z ϕi + χi + χi /2 (i = 1, 2) [7], при¯ ¯ ¯ чём последние выбираются таким образом, что сумма U0 + U1 соответствует решению, дающему нулевые нагрузки на L в любой момент t (0 t < t∗ ), а U2 - решению задачи теории упругости с искомыми граничными условиями. Отметим, что функции ϕ2 и χ2 не зависят от t, поскольку внешние нагрузки на L постоянны. Компоненты напряжений определяются из соотношений (9), которые можно представить в виде σx + σy = 4 ∂2U , ∂z∂ z ¯ σy - σx + 2iσxy = 4 ∂2U . ∂z 2 (14) Найдём общие напряжения для перемещений и их скоростей при 0 t < t∗ . Для этого из первого уравнения (8) вычтем второе и прибавим третье, умноженное на 2i. Это после введения комплексного перемещения W = ux + iuy с учётом (14) даёт 2 ˙ ˙ ˙ 4 (1 + ν) ∂ 2 U 4 (1 + ν1 ) ∂ 2 U ∂W ˙ =- - f0 2 - ε, ¯ ∂z ¯ E ∂z2 ˙ E ∂z ˙ отсюда ˙ 2 (1 + ν) ∂ U 2 (1 + ν1 ) ∂U 1 ˙ W =- - f0 - E ∂z ¯ E ∂z ¯ 2 z ¯ ˙ εd¯ + f1 (z, t) . ¯ z (15) z0 ¯ Входящую в (15) функцию f1 = f1 (z, t) определим из условия удовлетворения сумме двух уравнений (8), которое можно записать так: ˙ ˙ ¯ 4 (1 - ν) ∂ 2 U 4 (1 - ν1 ) ∂ 2 U ∂w ∂w ˙ ˙ + = + f0 + I. ∂z ∂z ¯ E ∂z∂ z ¯ E ∂z∂ z ¯ Подставляя в это соотношение выражение для w из (15), аналогичное ˙ ˙ представление для w и учитывая (13), получим ¯ f1 - 4 4 ¯ ˙ (ϕ + f0 ϕ ) = - f1 - ˙ ϕ + f0 ϕ ¯ ¯ E E , где ϕ = ϕ1 + ϕ2 , штрих обозначает дифференцирование по z. Последнее равенство возможно только при f1 - 4 ϕ + f0 ϕ = ic1 (t), ˙ E где c1 (t) - действительнозначащая функция. Отсюда f1 (z, t) = 120 4 (ϕ + f0 ϕ) + ic1 (t)z + c2 (t), ˙ E Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела где c2 (t) - комплекснозначная функция. Отбрасывая в выражении для f1 последние два слагаемых, дающие только жёсткое смещение, с учётом (13), (15) после некоторых упрощений найдём w= ˙ 2 (ν - ν1 ) ∂U0 1 + ν ∂ ˙ ˙ ¯ ˙ F - κ F + 2Q + f0 + E ∂z ¯ 8 ∂z ¯ 1+ν 1 + ν1 ˙ ¯ ¯ ˙ + κϕ - zϕ - ψ + ˙ ¯ f0 κ1 ϕ - z ϕ - ψ , (16) ¯ E E где ψ = ψ1 + ψ2 , ψi = κi , i = 1, 2; 3 - ν1 3-ν , κ1 = . κ= 1=ν 1 + ν1 Интегрируя (16) по времени от 0 до t и учитывая, что при t = 0 выпол¯ няется F = F = Q = 0, после несложных выкладок получим w= t ν1 - ν ∂ 1+ν ∂ ¯ ¯ f0 e-f0 t F + F + 2Q ef0 t dt + F - κ F + 2Q + 8 ∂z 0 ¯ 8 ∂z ¯ t 1+ν 1 + ν1 ¯ ¯ + κϕ - z ϕ - ψ + ¯ f0 κ1 ϕ - z ϕ - ψ dt. (17) ¯ E E 0 После снятия внешних нагрузок при t = t∗ произойдёт упругая разгрузка, поэтому выражения для остаточных напряжений и перемещений получаются из (13), (14) (17) путём вычитания членов, соответствующих функциям ϕ = ϕ(z) и ψ2 = ψ2 (z). Так, для остаточных перемещений найдём wr = g(z, z ) + ¯ 1 + ν1 ¯ f0 t∗ κ1 ϕ - z ϕ2 - ψ2 , ¯ E (18) где g= t∗ 1+ν ∂ ν1 - ν ∂ ¯ ¯ ˙ F -κ F +2Q ef0 t∗ dt+ f0 e-f0 t∗ F -κ F +2Q t=t∗ + 8 ∂z 0 ¯ 8 ∂z ¯ t∗ 1+ν 1 + ν1 + κϕ1 - z ϕ1 - ϕ1 t=t∗ + ¯ ¯ f0 κ1 ϕ1 - z ϕ1 - ϕ1 dt. ¯ ¯ E E 0 Полученные выше общие соотношения для напряжений и перемещений определяют очевидную последовательность решения задачи о деформировании пластинки в заданное состояние. Она заключается в следующем. По ˙ известным величинам ε, ε, I, которые являются функциями z, z и t, находят˙ ¯ ˙ ¯ ˙ , Q, F , F , Q, а следовательно, из (13) и U = U (z, z , t). Затем на L ˙ ¯ ¯ ся F , F ¯ 0 0 вычисляется значение ∂U0 ∂U0 ∂U0 f= +i =2 , ∂x ∂y ∂z ¯ которое компенсируется выбором функций ϕ1 = ϕ1 (z, t) и ψ1 = ψ1 (z, t) так, что суммарное решение, соответствующее U0 + U1 , даёт ненулевые нагрузки на L при любом t (0 t < t∗ ). Подобная задача нахождения ϕ1 и ψ1 рассмотрена в [7]. 121 И. Ю. Ц в е л о д у б После того как найдены функции ϕ1 = ϕ1 (z, t) и ψ1 = ψ1 (z, t), для определения ϕ2 = ϕ2 (z) и ψ2 = ψ2 (z) из (18) получим 1 + ν1 ¯ ¯ f0 t∗ κ1 ϕ2 - z ϕ2 - ψ2 = wr - g E на L, где правая часть этого равенства неизвестна. Эта задача также рассмотрена в [7]. Легко видеть, что если область плоскости z, занятая пластиной, конформно отображается на круг единичного радиуса плоскости ζ при помощи функции z = ω(ζ), являющейся полиномом, то решение для любого приближения может быть получено в замкнутом виде. Соответствующие формулы для нахождения ϕi и ψi (i = 1, 2) приведены в [7]. В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о круглой пластинке единичного радиуса, которая деформируется под действием постоянных внешних нагрузок в течение времени t∗ и которая при t = t∗ после снятия этих нагрузок должна иметь на границе радиальное и окружное остаточные перемещения вида ur = c + δα cos 3θ, uθ = δβ sin 3θ, где c, α, β - константы. Используя изложенную выше методику и опуская достаточно громоздкие выкладки, для первого приближения получим U0 = ϕ1 = ψ1 = 0, ϕ= a 4 n-1 z , 12Bσ0 t∗ ψ2 = - b n-1 z 6Bσ0 t∗ 2 , где 2c 1/n , Bt∗ для второго приближения - σ0 = U0 = - a= 4(α + β) , κ1 b = 2 (a + α - β) ; ¯ ¯ 2n + 51 4 4 AG(t) 2 (2n + 3) z 7 z + z 7 z a + z z + ¯ 36 14 16 AG(t) z6 + z6 ¯ 3 + ab + 3z 3 z 3 + b2 z 2 z 2 , ¯ ¯ 36 10 4 AG(t) 2n + 3 2 7 2n + 51 2 9 3 a z + a - ab + b2 z , 18 14 8 2 4 AG(t) n-1 ψ1 = - abz 5 , G(t) = 1 - e-f0 t , A = 2 2n-1 2 , 30 B σ0 t∗ (n + 3) A(n + 3) 2 2 7 2n + 27 2 z A(n + 3) ϕ2 = - a z + a - 12ab + 3b2 , ψ2 = abz 5 . 36 7 2 2n 45 ϕ1 = Из вышеперечисленных формул вытекает, что для получения заданной формы пластинки к её границе следует приложить следующие постоянные усилия (с учётом двух приближений): 122 Обратная задача теории ползучести для неупрочняющегося тела σr = σ0 + σrθ = 2δ 2(α + β) α-β+ cos 3θ- n-1 κ1 3Bσ0 t∗ (n - 1)δ 2 3 2(α + β)2 8(α2 - β 2 ) - + (α - β)2 + cos 6θ , 2n-1 2 n κ1 κ1 9B 2 σ0 t∗ 2(α + β) -α+β κ1 2δ 8(n - 1)(α + β)δ 2 sin 3θ - sin 6θ , n-1 2n-1 2 3Bσ0 t∗ 9B 2 σ0 t∗ κ1 а при t = t∗ эти нагрузки снять. В заключение отметим, что в случае линейной вязкоупругой среды Максвелла, т.е. при n = 1, задачи, аналогичные рассмотренным выше, могут быть решены без использования метода малого параметра, поскольку общие соотношения (6) между скоростями деформаций и напряжениями и линеаризованные (8) при n = 1, совпадают.

About the authors

Igor Yu Tsvelodub

M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS

Email: itsvel@hydro.nsc.ru
15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russian Federation
(Dr. Phys. & Math. Sci.)), Head of Laboratory, Laboratory of Static Strength, Dept. of Structural Mechanics

References

  1. И. Ю. Цвелодуб, “К теории нелинейной вязкоупругости” // Изв. АН. СССР. Мех. Тверд. тела, 1982. № 2. С. 70-75.
  2. I. Yu. Tsvelodub, “On the theory of nonlinear viscoelasticity” // Mechanics of solids, 1982. vol. 17, no. 2. pp. 59-63.
  3. И. Ю. Цвелодуб, “Устойчивость в малом и её приложения к исследованию определяющих уравнений ползучести” // Изв. АН. СССР. Мех. тверд. тела, 1978. № 2. С. 125-128.
  4. И. Ю. Цвелодуб, “О построении определяющих уравнений установившейся ползучести” // Изв. АН. СССР. Мех. тверд. тела, 1979. № 3. С. 104-110.
  5. W. T. Koiter, “General theorems for elastic-plastic solids” / Progress in Solid Mechanics. V. 6, eds. I. N. Sneddon, R. Hill, Amsterdam, North-Holland, 1960, pp. 165-221.
  6. В. Т. Койтер, Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М.: Иностр. лит., 1961. 79 с.
  7. Ю. Н. Работнов, Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  8. Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов, Метод возмущений в теории упругопластического тела. М.: Наука, 1978. 208 с.
  9. Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
  10. N. I. Muskhelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity, Netherlands, Springer, 1977, xxxi+732 pp. doi: 10.1007/978-94-017-3034-1.
  11. И. Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 296 с.
  12. I. N. Vekua, New Methods for Solving Elliptic Equations, Amsterdam, North-Holland, 1967, xii+358 pp.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 3

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies