Comparative analysis of the approximate analytical and finite element solutions for misaligned tube

Full Text

Введение. Разработка аналитических методов решения краевых задач ползучести для элементов конструкций с возмущенными границами вследствие физической нелинейности определяющих реологических соотношений представляет трудноразрешимую проблему. Один из подходов состоит в линеаризации граничных условий и реологических соотношений на основе метода малого параметра. Число работ в данном направлении необозримо. Однако, что касается внешних краевых задач реологии (с возмущенными границами), то здесь следует отметить ряд работ по устойчивости однородного растяжения полосы или цилиндра из вязкого материала, чувствительного к скорости деформирования, по отношению к малым возмущениям регулярной или произвольной формы свободных границ, решенных методом малого параметра [1-4]. С другой стороны, развиваются методы решения краевых задач с возмущенным по пространственным переменным полем реологических характеристик (внешние краевые задачи). Так, в работах [5-8] методом малого параметра построены аналитические решения для полей напряжений и скоростей деформаций вплоть до третьего приближения в стохастической краевой задаче установившейся ползучести толстостенной трубы под действием внутреннего давления, а в [9, 10] приведены решения аналогичной задачи ползучести для растягиваемой плоскости. Постановка задачи установившейся ползучести с возмущенными границами методом малого параметра приведена в монографии Л. М. Качанова [11], где, в частности, для несоосной трубы построено решение в первом приближении. Имеются попытки решения этой задачи в работах [12, 13]. Детально метод возмущений (малого параметра) для упругопластических тел изложен в монографии [14] и систематически развивался в научной школе Д. Д. Ивлева в работах его учеников [15-18 и др.] для различных условий пластичности, составных упругопластических тел, различных типов концентраторов и т. д. К сожалению, практически во всех работах по решению внешних и внутренних краевых задач методом малого параметра для сред с реономными свойствами отсутствуют оценки сходимости рядов, поскольку это является сложной и неформализованной задачей. Здесь можно отметить только работу [19], в которой этот вопрос решен для микронеоднородной упругой среды. В связи с вышеизложенным целью данной работы является сравнение приближенного аналитического решения задачи об установившейся ползучести толстостенной несоосной трубы, находящейся под внутренним давлением, методом малого параметра с учетом приближений до второго включительно и конечно-элементного решения данной задачи с помощью программного комплекса инженерного анализа ANSYS. 1. Постановка задачи. Рассматривается несоосная толстостенная труба с внутренним контуром радиуса r = a и смещенным на малую величину δ центром внешнего контура радиуса r = b относительно центра внутренней окружности под действием внутреннего давления q (рис. 1). 80 Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элементного решений . . . Рис. 1. Схема несоосной трубы: 1 - внутренний контур трубы r = a; 2 - внешний смещенный контур трубы; 3 - внешний контур трубы r = b для осесимметричного случая [Figure 1. The scheme of a misaligned tube: 1 - the inner contour of the tube; 2 - the outer displaced contour of the tube; 3 - the outer contour of the tube r = b for axisymmetric case; δ is the small parameter] В качестве малого параметра δ принимается расстояние между центрами внешнего смещенного и внутреннего контуров трубы. При получении приближенного аналитического решения предполагается, что упругие деформации малы по сравнению с деформациями ползучести и ими можно пренебречь. С физической точки зрения это означает, что рассматриваются установившиеся поля скоростей деформаций ползучести и напряжений, т. е. деформацией ползучести, накопленной на первой стадии и вызванной перераспределением напряжений от упругого состояния до состояния установившейся ползучести, пренебрегаем. Разложение тензора напряжений σij , тензора скоростей деформаций ползучести εij и вектора скоростей перемещений ui по малому ˙ ˙ параметру до членов второго порядка имеет вид (0) (1) (2) σij = σij + δσij + δ 2 σij + O(δ 3 ), (1) (2) (1) (2) εij = ε0 + δ εij + δ 2 εij + O(δ 3 ), ˙ ˙ij ˙ ˙ ˙ ˙ ui = u0 + δ ui + δ 2 ui + O(δ 3 ), ˙ ˙i где индексы 0, 1 и 2 соответствуют нулевому, первому и второму приближениям. Уравнение внешнего контура трубы с учетом возмущения δ имеет вид (r cos θ - δ)2 + r2 sin2 θ = b2 . Раскладывая последнее соотношение в степенной ряд по параметру δ и ограничиваясь членами второго порядка включительно, получаем r = b + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ - 1)/4b. Задача решается в условиях плоского деформированного состояния: εzz = 0. ˙ 81 Р а д ч е н к о В. П., М о с к а л и к А. Д., А д е я н о в И. Е. Предполагается несжимаемость материала для скоростей деформаций ползучести, что находит экспериментальное подтверждение [20, 21]: εrr + εθθ = 0. ˙ ˙ Постановка задачи включает в себя уравнения равновесия ∂σrr 1 ∂σrθ σrr - σθθ =- - , ∂r r ∂θ r ∂σrθ ∂σθθ = -r - 2σrθ , ∂θ ∂r которые линейны относительно компонент напряжений и, следовательно, выполняются для каждого приближения. Аналогично, для каждого приближения выполняются уравнения совместности деформаций ∂ ur ˙ εrr = ˙ , ∂r ˙ ur ˙ 1 ∂ uθ + , εθθ = ˙ r ∂θ r 1 1 ∂ ur ˙ ∂ uθ ˙ uθ ˙ . εrθ = ˙ + - 2 r ∂θ ∂r r В качестве определяющих используются соотношения теории установившейся ползучести со степенным законом 3 n-1 εij = Aσe Sij , ˙ 2 где n, A - постоянные характеристики материала, Sij = σij - σkk /3 - девиатор напряжений, σe - интенсивность напряжений для случая плоской деформации. 2. Приближенное аналитическое решение задачи. Согласно [21] решение для нулевого приближения имеет вид (0) σrr (r) = Q 1 - (b/r)p , (0) σθθ (r) = Q 1 - (1 - p)(b/r)p , (1) (0) σzz (r) = Q 1 - (1 + p)(b/r)p , где Q= q , (b/a)p - 1 p = 2/n. (0) При этом σrθ = 0 ввиду симметричности задачи для нулевого приближения. Поскольку граница при r = a не возмущена и задано давление q, линеаризованное граничное условие на внутреннем радиусе трубы для последующих (после нулевого) приближений представимо в виде (k) σrr 82 r=a = 0, (k) σrθ r=a = 0, Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элементного решений . . . где k = 1, 2 - номера приближений. Линеаризованное граничное условие для первого приближения при r = b согласно [14] зависит от нулевого приближения: (0) (1) σrr r=b = (0) dσrr - cos θ, dr (1) σrθ r=b = ∆σ (0) sin θ , b (0) где ∆σ (0) = σrr - σθθ . Для первого приближения согласно [22] выполняется (1) σrr (r, θ) = ρ(1) (r) cos θ, rr (1) (1) (1) (1) σθθ (r, θ) = ρθθ (r) cos θ, (1) (1) σrθ = ρrθ (r) sin θ. (1) Функции ρrr (r), ρθθ (r), ρrθ (r) имеют следующий вид: ρ(1) (r) = rr (1) ρθθ (r) = где 1 v(v - 4p) -w-1 w(w - 4p) -v-1 C11 +C12 s(s-4p)r-1 +C13 r ++C14 r , 2L w+1 v+1 v(v + 4pw) -w-1 w(w + 4pv) -v-1 1 C11 + C12 s2 r-1 + C13 r + +C14 r , 2L w+1 v+1 1 (1) ρrθ (r) = C12 s2 r-1 + C13 v 2 r-w-1 + C14 w2 r-v-1 , 2L √ 3 p L = 3A b Q n n-1 , s = p - 2, v= s+ s2 + 16p , 2 w= s- s2 + 16p . 2 Здесь константы интегрирования C1i , i = 1, 2, 3, 4, определяются из граничных условий для первого приближения. Линеаризованное граничное условие для второго приближения при r = b согласно [14] зависит от нулевого и первого приближений: d (1) ∆σ (0) 1 ∆ρ(1) - ρ - sin 2θ, 2 b dr rθ b (1) (0) (0) 1 dρrr 1 d2 σrr 1 dσrr ∆σ (0) 2 (1) (2) σrr r=b = - - - - + ρrθ cos 2θ+ 2 dr 2 dr2 2b dr b2 b (1) (0) (0) 1 dρrr 1 d2 σrr 1 dσrr ∆σ (0) 1 (1) + - - + + - ρrθ . 2 dr 2 dr2 2b dr 2b2 b (1) (1) (1) = ρ Здесь ∆ρ rr - ρθθ . Для второго приближения согласно [23] выполняется: (2) σrθ = r=b (2) ψ R σrr (r, θ) = σrr (R) cos 2θ + σrr (r), (2) ψ R σθθ (r, θ) = σθθ (R) cos 2θ + σθθ (r), (2) R σrθ (r, θ) = σrθ (R) sin 2θ. Решение зависит от функции R(r), имеющей вид 4 R(r) = [C2k (r) + pk ]mk (r). k=1 83 Р а д ч е н к о В. П., М о с к а л и к А. Д., А д е я н о в И. Е. Здесь C2k (r) - известные функции радиуса r, m1 = r(p+l)/2 cos(h ln r), m2 = = r(p+l)/2 sin(h ln r), m3 = r(p-l)/2 cos(h ln r), m4 = r(p-l)/2 sin(h ln r), l = l(p) и h = h(p) - известные значения для конкретного материала; pk - константы интегрирования. Использование первого и второго приближений метода возмущений позволяет определить напряжения и скорости деформаций ползучести в несоосной трубе. Исследование необходимости построения третьего и более высоких приближений связано с величиной погрешности первых двух приближений, аналитически оценить которую не представляется возможным. Поэтому оценка погрешности приближенного аналитического решения была выполнена на основании его сравнения с численным решением, построенным на основе метода конечных элементов. 3. Анализ приближенного аналитического решения. В качестве модельного примера рассмотрена труба с внутренним радиусом a = 0.115 м, внешним радиусом b = 0.15 м под действием внутреннего давления q = 22.07 МПа. В качестве материалов рассмотрены углеродистая сталь [24] и жаропрочный сплав ХН73МБТЮ (ЭИ698) [25], реологические характеристики которых следующие: углеродистая сталь: n = 3.03, A = 9.04 · 10-9 ; ХН73МБТЮ (ЭИ698): n = 10.96, A = 4.57 · 10-33 . В табл. 1 приведены безразмерные значения тангенциального напряже(0+1) (0) ∗ ния на внешней границе трубы в первом σθθ (r, θ) = σθθ (r, θ)/σθθ (r, θ) при (0+1+2) (0) ∗∗ (r, θ)/σθθ (r, θ) при r = b/a + δ cos θ, θ = π и во втором σθθ (r, θ) = σθθ r = b/a + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ - 1)/4b, θ = π приближениях в зависимости от безразмерной величины малого параметра δ = δ/a с шагом 0.01 для углеродистой стали и жаропрочного сплава ХН73МБТЮ (ЭИ698). Из данных, приведенных в табл. 1, можно сделать вывод, что решение задачи о несоосной трубе имеет тенденцию к сходимости. Однако для теоретического вывода о скорости сходимости решения, построенного по методу малого параметра, данных о первых двух приближениях, вообще говоря, недостаточно. Поэтому следующим шагом исследования является численное решение поставленной задачи и сравнение данных приближенного аналитического и численного решений. Таблица 1 Значения тангенциального напряжения для несоосной трубы [Values of tangential stresses for misaligned tube] δ 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 1.29 1.33 1.37 1.35 1.40 1.46 ´ ХН73МБТЮ (ЭИ698) [KHN73MBTYU (EI698) Alloy] 1.40 1.53 Углеродистая сталь [Carbon Steel] ∗ σθθ ∗∗ σθθ ∗ σθθ ∗∗ σθθ 84 1.0 1.0 1.0 1.0 1.04 1.04 1.09 1.09 1.13 1.14 1.17 1.19 1.21 1.24 1.25 1.29 1.04 1.04 1.09 1.10 1.13 1.14 1.17 1.19 1.22 1.24 1.26 1.29 1.30 1.34 1.34 1.40 1.38 1.46 1.42 1.52 Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элементного решений . . . 4. Конечно-элементная дискретная модель. Для построения численного решения разработана конечно-элементная модель толстостенной несоосной трубы, находящейся под внутренним давлением, с помощью программного комплекса ANSYS. Решение выполняется двумя шагами: 1) упругое решение; 2) решение с учётом свойств ползучести материала за время 1 · 103 ч, поскольку за это время напряженное состояние выходит на стационарный режим, соответствующий стадии установившейся ползучести. Модуль упругости E и плотность материала ρ принимаются постоянными для выбранного материала и температуры: углеродистая сталь: E = 1.56 · 105 МПа, ρ = 7630 кг/м3 , T = 649 ℃; ХН73МБТЮ (ЭИ698): E = 1.44 · 105 МПа, ρ = 7900 кг/м3 , T = 775 ℃. В расчетах использовался плоский восьмиузловой элемент PLANE183, пригодный для моделирования плоского деформированного состояния и позволяющий учитывать большие деформации при установившейся ползучести. В силу симметрии задачи конечно-элементная модель строилась для половины несоосной трубы. Количество элементов для половины трубы составляет порядка 18 000. Отсутствующая часть трубы заменена условием симметричности по оси 0x (см. рис. 1). Для оценки конечно-элементной модели на предварительном этапе решалась задача для осесимметричной трубы, находящейся в условиях установившейся ползучести под внутреннем давлением q. Решение задачи в такой постановке соответствует нулевому приближению (1) поставленной задачи, аналитическое решение которой хорошо известно [21]. При значениях времени t = 10 часов изменения напряжений становятся пренебрежимо малы, а деформации ползучести изменяются линейно, что позволяет говорить о состоянии установившейся ползучести материала при t 10 часов. В качестве решения задачи в условиях установившейся ползучести использовались данные, соответствующие времени 103 часов. 5. Сравнение результатов приближенного аналитического и конечно-элементного решений. В работе проведена оценка погрешности приближенного аналитического и конечно-элементного решений задачи для осесимметричной и несоосной трубы с учетом второго приближения включительно на основе значений радиальных σrr и тангенциальных σθθ напряжений в 15 равноотстоящих точках по координате ri : a ri b + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ - 1)/4, i = 1, 2, . . . , 15 при θ = 0 и θ = π. Вычисление погрешности проведено по двум нормам: s= 15 i=1 (0+1+2) σωωi ans - σωωi и σ= 15 ans i=1 |σωωi | (0+1+2) (0+1+2) σωωi = σωω (ri , θ), 15 i=1 (0+1+2) σωωi 15 i=1 ans - σωωi ans σωωi 2 2 1/2 , ω = r, θ, ans ans где σωωi = σωω (ri , θ) - расчетные значения для аналитического (два приближения) и численного решений соответственно. В табл. 2 приведены оценки различия результатов расчетов между приближенным аналитическим методом и конечно-элементным методом в процентах 85 86 0.12/0.34 0.12/0.34 0.009/0.023 0.009/0.023 0.17/0.38 0.17/0.38 0.02/0.06 0.02/0.06 σrr (r, 0) σrr (r, π) σθθ (r, 0) σθθ (r, π) σrr (δ, 0) σrr (δ, π) σθθ (δ, 0) σθθ (δ, π) 0.04 0.06 0.18/0.40 0.21/0.40 0.36/0.41 0.32/0.35 0.21/0.41 0.21/0.41 0.32/0.32 0.32/0.35 0.34/0.44 0.40/0.46 1.81/2.02 1.22/1.24 0.22/0.42 0.25/0.42 1.31/1.32 1.24/1.29 Углеродистая сталь [Carbon Steel] 0.02 0.08 1.10/1.07 0.55/0.56 6.10/7.05 2.61/2.62 - - - - 0.20/0.41 0.28/0.42 0.27/0.44 0.33/0.51 3.00/3.05 5.41/5.57 2.75/2.80 4.80/4.85 ´ ХН73МБТЮ (ЭИ698) [KHN73MBTYU (EI698) Alloy] 0 δ - - - - 0.47/0.51 0,50/0,65 8.56/8.96 7.37/7.40 0.10 Таблица 2 Оценки различия результатов расчетов между приближенным аналитическим методом и конечно-элементным методом [Evaluation of the differences in the calculation results between the approximate analytical method and the finite element method] Р а д ч е н к о В. П., М о с к а л и к А. Д., А д е я н о в И. Е. Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элементного решений . . . a b Рис. 2. Радиальные напряжения σrr для несоосных труб из малоуглеродистой стали (a) и (0) (0+1) (0+1+2) Ans ˜ сплава ХН73МБТЮ (ЭИ698) (b) при θ = 0, δ = 0.06: 1 - σrr , 2 - σrr , 3 - σrr , 4 - σrr ´ [Figure 2. Radial stresses σrr for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) (0) (0+1) (0+1+2) Ans ˜ misaligned tubes, when θ = 0, δ = 0.06: 1 - σrr , 2 - σrr , 3 - σrr , 4 - σrr ] 87 Р а д ч е н к о В. П., М о с к а л и к А. Д., А д е я н о в И. Е. a b Рис. 3. Тангенциальные напряжения σθθ для несоосных труб из малоуглеродистой ста(0+1) (0) ˜ ли (a) и сплава ХН73МБТЮ (ЭИ698) (b) при θ = π, δ = 0.04: 1 - σθθ , 2 - σθθ , (0+1+2) 3 - σθθ Ans , 4 - σθθ ´ [Figure 3. Tangential stresses σθθ for carbon steel (a) and KHN73MBTYU (EI698) Alloy (b) ˜ = 0.04: 1 - σ (0) , 2 - σ (0+1) , 3 - σ (0+1+2) , 4 - σ Ans ] misaligned tubes, when θ = π, δ θθ θθ θθ θθ 88 Сравнительный анализ приближенного аналитического и конечно-элементного решений . . . для малоуглеродистой стали и сплава ХН73МБТЮ (ЭИ698), используемых в качестве модельных материалов. Через дробную черту приведены оценки, вычисленные по двум нормам: s/σ. В качестве иллюстрации на рис. 2 приведены графики радиальной компоненты σrr тензора напряжений для углеродистой стали (n = 3.03) и жа˜ ропрочного сплава ХН73МБТЮ (ЭИ698) (n = 10.96) при θ = 0, δ = 0.06. Верхний индекс у компонент тензора напряжений означает количество приближений, используемых для оценки величин. Индекс (Ans) означает конечно-элементное решение. На рис. 3 приведены графики для тангенциальной ˜ компоненты σθθ тензора напряжений при δ = 0.04 и значении угла θ = π, соответствующего максимальным значениям тангенциального напряжения σθθ . Анализ данных таблицы 2 и графиков на рис. 2, 3 позволяет сделать следующие выводы: 1) для труб с малыми значениями показателя установившейся ползучести материала (малоуглеродистая сталь) погрешность отклонения приближенного аналитического решения во втором приближении от численного решения по методу конечных элементов вплоть до величины несоосности центров внутреннего и внешнего диаметров δ = 0.1 составляет не более 9 %; для труб с большим показателем нелинейности установившейся ползучести материала (сплав ХН73МБТЮ (ЭИ698)) для величины 0 δ 0.06 - погрешность не более 8 %, а для значений δ > 0.06 - она существенно возрастает; 2) в расчетной практике для труб с небольшим показателем нелинейности установившейся ползучести материала (3 n 8) можно ограничиться вторым приближением вплоть до величины δ = 0.1 (с погрешностью решения до 9 %); для труб с показателем нелинейности установившейся ползучести материала n > 8 с погрешностью не более 9 % приближенное аналитическое решение во втором приближении можно использовать лишь до величины δ = 0.06, а для величины δ > 0.06, по всей видимости, необходимо иметь приближения более высокого порядка.

About the authors

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; radch@samgtu.ru), Head of Department, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Anna D Moskalik

Samara State Technical University

Email: annmoskalik1@gmail.com
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

Igor' E Adeyanov

Samara State Technical University

Email: adigorev@gmail.com
(Cand. Techn. Sci.; adigorev@gmail.com), Associate Professor, Dept. of Mechanics 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation

References

Supplementary files