On the creep theory for the strain-hardening materials

Abstract


The deformation process of the medium with full strains equaled to the sum of elastic and creep strains is considered. Elastic strains are described by Hook’s law while creep strains velocities are functions of stress components and some structural parameters, velocities of their changing are described by Rabotnov’s kinetic equations. It is assumed that Drucker’s stability postulate in big, formulated for materials with time-depending behaviour, is valid for creep strains. The inversion of depends between stresses and strains as well as uniqueness of the solution of boundary value problems are discussed. A special case of aforementioned creep equations for a strengthening material, when the strengthening parameter is the value of specific scattered creep energy, is considered. The sufficient conditions for Drucker’s stability postulate fulfillment in big are determined for this case, the reasons in favor of necessity of these conditions are given.

Full Text

1. Рассматривается изотермический процесс деформирования среды, для которой компоненты тензора деформаций εkl складываются из упругих, подчиняющихся закону Гука, и составляющих ползучести εc : kl εkl = aklmn σmn + εc kl (k, l = 1, 2, 3), (1) где σkl - компоненты тензора напряжений, aklmn = amnkl - компоненты тензора упругих модулей. Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Предполагается, что деформации являются малыми, так что величины εkl связаны с компонентами вектора перемещений uk известными соотношениями Коши [1]. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Ц в е л о д у б И. Ю. О теории ползучести упрочняющихся материалов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 106-117. doi: 10.14498/vsgtu1345. 106 О теории ползучести упрочняющихся материалов Для скоростей деформаций ползучести ηkl = εc примем общие представ˙kl ления, предложенные в [2]: ηkl = ηkl (σmn , qi ) (k, l, m, n = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p), (2) где qi - набор структурных параметров, изменение которых во времени описывается кинетическими уравнениями вида qi = qi (σmn , σmn , εc , qj ) (i, j = 1, 2, . . . , p; m, n = 1, 2, 3). ˙ ˙ ˙ mn (3) Указанные выше зависимости при задании дифференцируемых функций σkl = σkl (t) можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно εc и qi (k, l = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Будем kl предполагать, что при известных значениях εc и qi в некоторый начальный kl момент времени t = t0 эта система имеет единственное решение при t > t0 . Таким образом, при задании пути нагружения σkl = σkl (t) и значений εc kl и qi при t = t0 однозначно определяется путь деформирования εc = εc (t), kl kl а значит, и ηkl = ηkl (t). Следовательно, при указанных начальных условиях соотношения между напряжениями и скоростями деформаций ползучести можно представить в операторном виде ηkl = Fkl (σmn ) (k, l, m, n = 1, 2, 3). (1) (1) (2) (2) Рассмотрим два пути нагружения: σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), им соот(1) (1) (2) (2) ветствуют значения ηkl = ηkl (t) и ηkl = ηkl (t); при этом для обоих путей значения εc и qi при t = t0 совпадают. Предположим, что связь между наkl пряжениями и скоростями деформаций ползучести такова, что для любого момента времени t > t0 имеет место неравенство t ∆σkl ∆ηkl dt 0, (4) t0 (1) (2) (1) (2) где ∆σkl (t) = σkl - σkl , ∆ηkl (t) = ηkl - ηkl . Условие (4) означает, что работа, произведенная дополнительными напряжениями ∆σkl на дополнительных деформациях ползучести ∆εc , должна kl быть неотрицательной на любой момент t > t0 при условии, что ∆εc = 0, kl ∆qi = 0 при t = t0 . Это вполне аналогично формулировке постулата устойчивости Друккера в большом для материалов, свойства которых зависят от времени [3]. Очевидно, неравенство (4) накладывает сильные ограничения на связь ηkl = Fkl (σmn ) и вряд ли является пригодным для общего случая соотношений (2), (3). Тем не менее в п. 2 будет рассмотрен класс упрочняющихся материалов и получены достаточные условия выполнимости (4), которые являются вполне разумными и общепринятыми. Условие (4), как и аналогичный постулат в теории пластичности, сформулированный в несколько отличной от (4) форме [1], позволяет доказать некоторые общие утверждения для рассматриваемых здесь сред. Утверждение. Соотношения (1)-(3) между напряжениями и деформациями однозначны, т. е. при задании компонент тензора полных деформаций как функций времени εkl = εkl (t) и значений εc и qi при t = t0 из (1)-(3) kl однозначно определяются компоненты тензора напряжений σkl = σkl (t) на любой момент времени t t0 . 107 Ц в е л о д у б И. Ю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два тензора с ком(1) (1) (2) (2) понентами σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), соответствующие одним и тем же значениям εkl = εkl (t) и указанным начальным условиям. Следовательно, на основании (1) для любого момента времени имеют место равенства aklmn ∆σmn + ∆εc = 0 (k, l = 1, 2, 3), kl умножая которые на ∆σkl и свертывая по индексам k и l, получим aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆εc = 0. kl Учитывая, что ∆εc = 0 при t = t0 последнее равенство можно представить kl в форме t aklmn ∆σkl ∆σmn + t ∆σkl ∆εc dt = 0. ˙ kl ∆σkl ∆ηkl dt + t0 (5) t0 Из очевидных соотношений ∆σkl ∆εkl = ∆σkl ∆εkl = 0 получим ˙ ˙ aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆ηkl = aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆εc = 0. ˙ ˙ ˙ kl Но aklmn ∆σkl ∆σmn = aklmn ∆σkl ∆σmn ˙ ˙ вследствие симметрии упругих коэффициентов aklmn , тогда и ∆σkl ∆ηkl = ∆σkl ∆εc ˙ kl и равенство (5) примет вид t aklmn ∆σkl ∆σmn + 2 ∆σkl ∆ηkl dt = 0. t0 Данное соотношение возможно только при ∆σkl = 0 в силу (4) и того факта, что величина aklmn ∆σkl ∆σmn представляет собой удвоенную потенциальную энергию упругой деформации, соответствующую напряжениям ∆σkl (k, l = 1, 2, 3). Утверждение доказано. Заметим, что на основании (3) и начальных данных для qi эти величины также определяются единственным образом. Аналогично доказывается теорема единственности решения краевых задач для сред, процесс деформирования которых описывается соотношениями (1)-(3) при условии (4) и в предположении малости полных деформаций. Теорема. Рассмотрим односвязное тело объема v с поверхностью S, на части Su которой заданы перемещения uk = uk (t), а на остальной части ST - поверхностные нагрузки pk = pk (t) (k = 1, 2, 3). При t = t0 известно распределение в теле деформаций ползучести εc = εc (xj ) и значений kl kl структурных параметров qi = qi (xj ), где xj - координаты точек тела в некоторой фиксированной системе координат. Под действием указанных нагрузок в теле возникнут поля напряжений σkl = σkl (xj , t), деформаций 108 О теории ползучести упрочняющихся материалов εkl = εkl (xj , t) и значений qi = qi (xj , t) (k, l, j = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Покажем, что эти поля определяются единственным образом на любой момент t t0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два различных решения указанной задачи, удовлетворяющих соотношениям (1)- (3), уравнениям равновесия, соотношениям Коши и одним и тем же указанным граничным и начальным условиям. Следовательно, к разности этих полей можно применить известное уравнение виртуальных работ, которое вследствие нулевых граничных условий дает [1]: ∆σkl ∆εkl dv = 0. (6) v Применяя (6) к полям ∆σkl и ∆εkl , а затем к ∆σkl и ∆εkl , получим ра˙ ˙ венства ∆σkl ∆εkl dv = ˙ ∆σkl ∆εkl dv = 0. ˙ v v Используя эти равенства и проводя рассуждения, аналогичные рассмотренным выше, нетрудно преобразовать (6) к виду t aklmn ∆σkl ∆σmn + 2 v ∆σkl ∆ηkl dt dv = 0, t0 что возможно только при ∆σkl = 0. Тогда на основании (1)-(3) и ∆εkl = = ∆εc = 0, ∆qi = 0 (k, l = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p) на любой момент t t0 . kl О единственности решения краевых задач необходимо сделать следующее замечание. Доказательство, приведенное выше, справедливо при условии, что компоненты тензоров напряжений и деформаций в каждой точке тела и соответствующие граничные условия являются дифференцируемыми функциями времени. Если же предположить, что указанные функции имеют производные любого порядка при t t0 , то теорема единственности может быть доказана без использования условия (4). Действительно, покажем сначала, что при выполнении указанных условий все производные по времени от компонент напряжений при t = t0 опре(N ) деляются единственным образом, т. е. ∆σkl = 0 во всем объеме тела (k, l = ˙ = 1, 2, 3; N = 1, 2, . . . ). Заметим, что при t = t0 поля ∆σkl = 0 (доказательство этого факта приведено в [1]). Следовательно, на основании (2) и начальных условий однозначно будут определяться и εc , т. е. ∆εc = 0 (k, l = 1, 2, 3). kl kl Применим к полям ∆σkl и ∆εkl при t = t0 уравнение виртуальных работ: ˙ ˙ ∆σkl ∆εkl dv = ˙ ˙ v ∆εc ∆σkl dv = 0. ˙kl ˙ aklmn ∆σkl ∆σmn dv + ˙ ˙ v v Так как ∆εc = 0, первый интеграл второй части равенства равен нулю, что ˙kl возможно только при ∆σkl = 0 (k, l = 1, 2, 3). На основании (3) единственным ˙ образом будут определяться и qi при t = t0 . ˙ 109 Ц в е л о д у б И. Ю. Применяя уравнение виртуальных работ к полям ∆¨kl и ∆¨kl и учитывая, σ ε что из (2) следует εc = εc (σmn , σmn , qi , qi ), ¨kl ¨kl ˙ ˙ т. е. при t = t0 поля ∆¨c = 0, получим ∆¨kl = 0 при t = t0 . εkl σ (N ) Проводя последовательно аналогичные рассуждения для полей ∆σkl и ˙ (N ) (N )c ∆εkl и учитывая, что на основании (2) и (3) компоненты εkl зависят от ˙ ˙ (N -1) производных по t не выше N - 1 порядка от σmn и qi , а qi ˙ - от аналогичных производных не выше N - 1 порядка от σmn и N - 2 порядка от (N ) εc и qj , убеждаемся в том, что ∆σkl = 0 при t = t0 для любого N > 2 ˙ mn (k, l, m, n = 1, 2, 3; i, j = 1, 2, . . . , p) во всем объеме тела. Раскладывая разность двух решений для напряжений в ряды Тейлора по времени при t t0 , получим ∞ ∆σkl (xj , t) = N =0 (t - t0 )N (N ) ∆σkl (xj , t0 ) (k, l, j = 1, 2, 3). ˙ N! Эти ряды сходятся к нулю. Следовательно, компоненты напряжений в теле определяются единственным образом при любом конечном t t0 . Тогда из (1)-(3) и начальных условий получим, что поля εkl = εkl (xj , t), εc = εc (xj , t), kl kl qi = qi (xj , t) также единственны (k, l, j = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Необходимо отметить, что аналогичный прием был использован в [4] при доказательстве теоремы единственности для упрочняющегося упругопластического тела. 2. Рассмотрим процесс деформирования упрочняющейся среды, одноосная ползучесть которой при постоянном напряжении σ > 0 описывается уравнением [2] ε = Bε-α σ n , ˙ (7) где ε - деформация ползучести, B > 0, n > 0, α > 0 - характеристики материала. Эта зависимость хорошо описывает первые участки кривых ползучести при постоянных напряжениях. В случае переменных нагрузок для удовлетворительного описания одноосной ползучести, как показано в [2, 5], более надежной является зависимость ε = BA-α σ n+α , ˙ t A= σ εdt, ˙ (8) t0 совпадающая с уравнением (7) при σ = const, если ε(t0 ) = 0. Параметр упрочнения A, входящий в (8), представляет собой величину удельной рассеянной при ползучести энергии. Соотношение (8) можно обобщить на случай сложного напряженного состояния разными способами. По-видимому, наиболее простое и удобное обобщение состоит в предположении о том, что зависимость между скоростями деформаций ползучести и напряжениями имеет вид [2] ηkl = A-α 110 ∂Φ , ∂σkl t A= σkl ηkl dt, t0 (9) О теории ползучести упрочняющихся материалов где Φ - однородная степени n + α + 1 функция относительно компонент напряжений. Умножая (9) на σkl , суммируя по индексам k и l и учитывая однородность Φ, получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины A во времени: ˙ A = (m + 1)A-α Φ, m = n + α. (10) Соотношения (9), (10) описывают процесс ползучести изотропно упрочняющегося материала и являются частным случаем общих уравнений (2), (3), когда в качестве единственного структурного параметра взята величина удельной рассеянной энергии. За счет подходящего выбора функции Φ могут быть учтены, например, такие свойства материала, как разносопротивляемость растяжению и сжатию, начальная анизотропия и т. д. [2, 6-8]. Из условия (4) следует выпуклость поверхностей Φ = const в пространстве напряжений [6], что накладывает на функцию Φ = Φ(σkl ) определенные ограничения. Для случая изотропной среды последние приведены в [9]. В дальнейшем аналогично [2] будем считать, что зависимость Φ от напряжений имеет вид Φ = B/(m + 1)sm+1 , где s = s(σkl ) > 0 - некоторый инвариант тензора напряжений, являющийся выпуклой однородной функцией первой степени относительно σkl и совпадающий при одноосном растяжении с σ. Тогда условие выпуклости поверхностей Φ = const сведется к требованию m 0, которое удовлетворяется в силу первоначального предположения о том, что константы n и α положительны. Как видно из уравнений (9), (10), скорости деформаций ползучести будут бесконечно большими, если в какой-то момент времени A = 0. Однако, несмотря на эту особенность, можно получить достаточные условия выполнимости неравенства (4) и тем самым обеспечить справедливость доказанных в п. 1 теорем для рассматриваемого класса упрочняющихся материалов. Для этого представим связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями в явном виде. Интегрируя (10) и учитывая вид функции Φ, получим равенство 1/(α+1) t A = Aα+1 + B(α + 1) 0 sm+1 dt , t0 где A0 - значение A при t = t0 , подстановка которого в (9) дает искомое представление ∂s ηkl = BF -κ sm (k, l = 1, 2, 3), (11) ∂σkl где t α F = Aα+1 + B(α + 1) sm+1 dt, κ = (0 < κ < 1). 0 α+1 t0 (1) (1) (2) (2) Рассмотрим два пути нагружения: σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), которым (1) (1) (2) (2) соответствуют согласно (11) значения ηkl = ηkl (t) и ηkl = ηkl (t), причем при t = t0 величина A = A0 для обоих путей. Как и в п. 1, соответствующие разности будем обозначать, вводя символ ∆. Докажем следующее утверждение. 111 Ц в е л о д у б И. Ю. Утверждение. Для того чтобы имело место неравенство (4) при законе связи между напряжениями и скоростями деформаций в форме (11) для любых двух указанных путей и при любом значении A0 0, достаточно выполнения известного условия из [10]: n > α + 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (11) имеем -κ ∆σkl ∆ηkl = B F1 sm 1 ∂s ∂σkl -κ - F2 sm 2 (1) σkl =σkl ∂s ∂σkl (2) σkl =σkl ∆σkl . Так как s = s(σkl ) - выпуклая функция, ∂s ∂σkl (1) σkl =σkl ∆σkl ∆s, - ∂s ∂σkl (2) σkl =σkl ∆σkl -∆s (см., например, [11]), следовательно, -κ -κ B F1 sm - F2 sm ∆s = B∆ F -κ sm ∆s. 2 1 ∆σkl ∆ηkl (12) Рассмотрим выражение ψ(λ) = F -κ (s2 + λ(s1 - s2 )) [s2 + λ(s1 - s2 )]m , (1) (1) (2) (2) которое при заданных σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t) и фиксированном значении t является функцией числового аргумента λ: ψ = ψ(λ), 0 λ 1. -κ -κ Очевидно, что ψ(0) = F2 sm и ψ(1) = F1 sm . Раскладывая ее в ряд Тейло1 2 ра в окрестности нуля, получим ψ(1) = ψ(0) + dψ dλ λ=λ∗ , 0 < λ∗ < 1, следовательно, ∆ F -κ sm = dψ dλ λ=λ∗ = t -κ-1 = -κF∗ B(α + 1)(m + 1) -κ sm ∆sdt sm + F∗ msm-1 ∆s, (13) ∗ ∗ ∗ t0 где звездочка указывает на то, что соответствующие величины берутся при значении s∗ = s2 + λ∗ (s1 - s2 ). Таким образом, с учетом (12) и полученного равенства (13) будем иметь t t -B 2 κ(α + 1)(m + 1) ∆σkl ∆ηkl dt t0 t0 t + Bm -κ F∗ sm-1 (∆s)2 dt = - ∗ t0 -κ-1 × F∗ 2 t t sm ∆sdt ∗ t0 112 -κ-1 m F∗ s∗ ∆s - t0 t sm ∆sdt ∗ t0 B2 κ(α + 1)(m + 1)× 2 B2 κ(κ + 1)(α + 1)(m + 1)× 2 dt+ О теории ползучести упрочняющихся материалов t × 2 t -κ-2 ˙ F∗ F∗ sm ∆sdt ∗ dt + Bm t0 t0 t t -κ F∗ sm-1 (∆s)2 dt ∗ t0 t + Bκm + t0 t -κ-1 ˙ F∗ F∗ sm-1 (∆s)2 dt dt. (14) ∗ t0 t0 В (14) использована процедура интегрирования по частям, соответствующие члены в подынтегральных выражениях, следующие в (14) за знаком неравенства, взяты в квадратные скобки. При t = t0 будем иметь t -κ F∗ -κ-1 sm-1 (∆s)2 dt = F∗ ∗ t0 2 t sm ∆sdt ∗ = 0. t0 -κ -κ-1 > 0, а оба интеграла Действительно, если A0 > 0 , то F∗ > 0 и F∗ при t = t0 обращаются в нуль. Если же A0 = 0, то в обоих приведенных выражениях получается неопределенность типа [0/0]. Раскроем, например, второе из них, учитывая соотношение для F из (11) (κ = α/(α + 1)): 2 t sm ∆sdt ∗ lim t→t0 -κ-1 F∗ = [B(α + 1)]-κ-1 [s∗ (t0 )]β [∆s(t0 )]2 lim (t - t0 )ξ , t→t0 t0 где β = (n - α - 1)/(α + 1), ξ = 1/(α + 1). Видно, что этот предел равен нулю при любом s∗ (t0 ) 0, если n > α + 1. Совершенно аналогично показывается, что и t -κ lim F∗ sm-1 (∆s)2 dt = 0 при n > α + 1. ∗ t→t0 t0 С учетом сделанного замечания и неравенств F∗ 0, ˙ F∗ = B(α + 1)sm+1 ∗ 0 из (14) следует, что (4) будет иметь место, если Φ1 0, где t sm-1 (∆s)2 dt - ∗ Φ1 = mF∗ (t) t0 B (κ + 1)(α + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ . t0 Для наших целей достаточно первого неравенства, так как оно обеспечивает выполнимость второго. Оценим величину Φ1 . Используя выражение для F∗ из (11) и учитывая, что A0 0, получим следующую цепочку неравенств: t Φ1 t sm+1 dt ∗ B(α + 1) m t0 sm-1 (∆s)2 dt - ∗ t0 1 - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm (∆s)dt ∗ t0 113 Ц в е л о д у б И. Ю. t B(α + 1) m 1/2(m+1) 1/2(m-1) s∗ s∗ ∆sdt 2 - t0 1 - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ = t0 1 = B(α + 1) m - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ . t0 Здесь было применено известное неравенство Коши-Буняковского. Таким образом, постулат устойчивости в форме (4) для рассматриваемого закона ползучести (11) будет заведомо выполнен, если 2m - (κ + 1)(m + 1) 0, откуда с учетом равенств κ = α/(α +1), m = n+α следует условие n α + 1. Для того чтобы избежать отмеченной выше возможной особенности при t = = t0 , когда s∗ (t0 ) = 0, достаточно, чтобы это неравенство было строгим. Утверждение доказано. Приведем некоторые соображения в пользу необходимости условия n α + 1 для выполнимости (4). Будем рассматривать два бесконечно близ(1) (2) ких пути σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t) + δσkl (t). Соответствующие приращения δηkl можно найти из (11): δσkl δηkl = B -κF -κ-1 δF sm δs + mF -κ sm-1 (δs)2 + F -κ sm δ 2 s , δs = ∂s δσkl , ∂σkl δ2s = ∂2s δσkl δσij , ∂σkl ∂σij (15) t sm δsdt. δF = B(α + 1)(m + 1) t0 Очевидно, всегда можно подобрать такие приращения напряжений δσkl , чтобы выполнялось равенство δ 2 s = 0. Действительно, так как s - однородная первой степени относительно напряжений функция, σij ∂ 2 s = 0 (k, l = 1, 2, 3). ∂σkl ∂σij Следовательно, если положить δσkl = δξσkl (δξ - любой скалярный множитель), то δ 2 s = 0. В дальнейшем величины s, δs и t будем считать безразмерными, т. е. отнесенными к некоторым положительным постоянным s0 , δs0 и t0 . За исходный путь нагружения возьмем такой, при котором A0 = 0, s = tp , p > 0, t 0, а дополнительный примем пропорциональным исходному: δσkl = t-p σkl . Тогда δs = 1 и δ 2 s = 0. Подставляя эти величины в (15) и затем интегрируя по времени от нуля до t, после несложных выкладок получим t J= δσkl δηkl dt = 0 114 ck γ t t , γ 0 (16) О теории ползучести упрочняющихся материалов B 1-κ (α + 1)-κ κ p(m + 1) + 1 > 0, pm + 1 p n2 - α(α + 1) + n p(n - α - 1) + 1 k= , γ= . α+1 α+1 c= Отсюда видно, что если n α + 1, то γ > 0, k > 0, поскольку p > 0 и J > 0. Если же n < α + 1, то возможны три случая: 1) γ > 0, k < 0, т. е. когда 1 n max α(α + 1) - n2 α + 1 - n в этом случае J = -∞; 3) γ < 0, k > 0; если n > [α(α + 1)]1/2 , то достаточно выбрать p> 1 , α+1-n если же n < [α(α + 1)]1/2 , то 1 n α; в этом случае J = +∞. Таким образом, если n < α + 1, то при подходящем выборе p > 0 значение интеграла (16) может быть либо отрицательным, т. е. постулат (4) будет нарушен, либо бесконечно большим при конечных значениях времени и действующих напряжений. Последнее, очевидно, лишено элементарного физического смысла.

About the authors

Igor Yu Tsvelodub

M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS

Email: itsvel@hydro.nsc.ru
15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russian Federation (Dr. Phys. & Math. Sci.; itsvel@hydro.nsc.ru), Head of Laboratory, Laboratory of Static Strength, Dept. of Structural Mechanics

References

  1. Koiter W. T. General theorems for elastic-plastic solids / Progress in solid mechanics. Vol. 1. Amsterdam: North-Holland Publ., 1960. 165-221 pp.
  2. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  3. Drucker D. C. A definition of a stable inelastic material // ASME Journal of Applied Mechanics, 1959. vol. 26, no. 1. pp. 101-106.
  4. Быковцев Г. И. О теоремах единственности в теории течения упрочняющихся упругопластических тел / Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. С. 84-91.
  5. Соснин О. В., Шокало И. К. Энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности: Сообщ. 2. Ползучесть и разрушение материалов с начальным упрочнением // Проблемы прочности, 1974. № 1. С. 43-48.
  6. Цвелодуб И. Ю. О формах связи между тензорами напряжений и скоростей деформаций ползучести в изотропных устойчивых средах // Проблемы прочности, 1979. № 9. С. 27-30.
  7. Никитенко А. Ф., Цвелодуб И. Ю. О ползучести анизотропных материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие / Динамика сплошной среды: Сб. статей., Вып. 43. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1978. С. 69-78.
  8. Цвелодуб И. Ю. О некоторых возможных путях построения теории установившейся ползучести сложных сред // Изв. АН. СССР. МТТ, 1981. № 2. С. 48-55.
  9. Цвелодуб И. Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов / Динамика сплошной среды: Сб. статей, Вып. 32. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1977. С. 123-131.
  10. Шестериков С. А. Об одном условии для законов ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. Механ. и машиностр., 1961. № 1. С. 131.
  11. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости: Наука, 1969. 366 с.

Statistics

Views

Abstract - 9

PDF (Russian) - 0

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies