On the creep theory for the strain-hardening materials

Full Text

1. Рассматривается изотермический процесс деформирования среды, для которой компоненты тензора деформаций εkl складываются из упругих, подчиняющихся закону Гука, и составляющих ползучести εc : kl εkl = aklmn σmn + εc kl (k, l = 1, 2, 3), (1) где σkl - компоненты тензора напряжений, aklmn = amnkl - компоненты тензора упругих модулей. Здесь и в дальнейшем по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Предполагается, что деформации являются малыми, так что величины εkl связаны с компонентами вектора перемещений uk известными соотношениями Коши [1]. © 2014 Самарский государственный технический университет. Образец для цитирования: Ц в е л о д у б И. Ю. О теории ползучести упрочняющихся материалов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 3 (36). С. 106-117. doi: 10.14498/vsgtu1345. 106 О теории ползучести упрочняющихся материалов Для скоростей деформаций ползучести ηkl = εc примем общие представ˙kl ления, предложенные в [2]: ηkl = ηkl (σmn , qi ) (k, l, m, n = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p), (2) где qi - набор структурных параметров, изменение которых во времени описывается кинетическими уравнениями вида qi = qi (σmn , σmn , εc , qj ) (i, j = 1, 2, . . . , p; m, n = 1, 2, 3). ˙ ˙ ˙ mn (3) Указанные выше зависимости при задании дифференцируемых функций σkl = σkl (t) можно рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно εc и qi (k, l = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Будем kl предполагать, что при известных значениях εc и qi в некоторый начальный kl момент времени t = t0 эта система имеет единственное решение при t > t0 . Таким образом, при задании пути нагружения σkl = σkl (t) и значений εc kl и qi при t = t0 однозначно определяется путь деформирования εc = εc (t), kl kl а значит, и ηkl = ηkl (t). Следовательно, при указанных начальных условиях соотношения между напряжениями и скоростями деформаций ползучести можно представить в операторном виде ηkl = Fkl (σmn ) (k, l, m, n = 1, 2, 3). (1) (1) (2) (2) Рассмотрим два пути нагружения: σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), им соот(1) (1) (2) (2) ветствуют значения ηkl = ηkl (t) и ηkl = ηkl (t); при этом для обоих путей значения εc и qi при t = t0 совпадают. Предположим, что связь между наkl пряжениями и скоростями деформаций ползучести такова, что для любого момента времени t > t0 имеет место неравенство t ∆σkl ∆ηkl dt 0, (4) t0 (1) (2) (1) (2) где ∆σkl (t) = σkl - σkl , ∆ηkl (t) = ηkl - ηkl . Условие (4) означает, что работа, произведенная дополнительными напряжениями ∆σkl на дополнительных деформациях ползучести ∆εc , должна kl быть неотрицательной на любой момент t > t0 при условии, что ∆εc = 0, kl ∆qi = 0 при t = t0 . Это вполне аналогично формулировке постулата устойчивости Друккера в большом для материалов, свойства которых зависят от времени [3]. Очевидно, неравенство (4) накладывает сильные ограничения на связь ηkl = Fkl (σmn ) и вряд ли является пригодным для общего случая соотношений (2), (3). Тем не менее в п. 2 будет рассмотрен класс упрочняющихся материалов и получены достаточные условия выполнимости (4), которые являются вполне разумными и общепринятыми. Условие (4), как и аналогичный постулат в теории пластичности, сформулированный в несколько отличной от (4) форме [1], позволяет доказать некоторые общие утверждения для рассматриваемых здесь сред. Утверждение. Соотношения (1)-(3) между напряжениями и деформациями однозначны, т. е. при задании компонент тензора полных деформаций как функций времени εkl = εkl (t) и значений εc и qi при t = t0 из (1)-(3) kl однозначно определяются компоненты тензора напряжений σkl = σkl (t) на любой момент времени t t0 . 107 Ц в е л о д у б И. Ю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два тензора с ком(1) (1) (2) (2) понентами σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), соответствующие одним и тем же значениям εkl = εkl (t) и указанным начальным условиям. Следовательно, на основании (1) для любого момента времени имеют место равенства aklmn ∆σmn + ∆εc = 0 (k, l = 1, 2, 3), kl умножая которые на ∆σkl и свертывая по индексам k и l, получим aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆εc = 0. kl Учитывая, что ∆εc = 0 при t = t0 последнее равенство можно представить kl в форме t aklmn ∆σkl ∆σmn + t ∆σkl ∆εc dt = 0. ˙ kl ∆σkl ∆ηkl dt + t0 (5) t0 Из очевидных соотношений ∆σkl ∆εkl = ∆σkl ∆εkl = 0 получим ˙ ˙ aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆ηkl = aklmn ∆σkl ∆σmn + ∆σkl ∆εc = 0. ˙ ˙ ˙ kl Но aklmn ∆σkl ∆σmn = aklmn ∆σkl ∆σmn ˙ ˙ вследствие симметрии упругих коэффициентов aklmn , тогда и ∆σkl ∆ηkl = ∆σkl ∆εc ˙ kl и равенство (5) примет вид t aklmn ∆σkl ∆σmn + 2 ∆σkl ∆ηkl dt = 0. t0 Данное соотношение возможно только при ∆σkl = 0 в силу (4) и того факта, что величина aklmn ∆σkl ∆σmn представляет собой удвоенную потенциальную энергию упругой деформации, соответствующую напряжениям ∆σkl (k, l = 1, 2, 3). Утверждение доказано. Заметим, что на основании (3) и начальных данных для qi эти величины также определяются единственным образом. Аналогично доказывается теорема единственности решения краевых задач для сред, процесс деформирования которых описывается соотношениями (1)-(3) при условии (4) и в предположении малости полных деформаций. Теорема. Рассмотрим односвязное тело объема v с поверхностью S, на части Su которой заданы перемещения uk = uk (t), а на остальной части ST - поверхностные нагрузки pk = pk (t) (k = 1, 2, 3). При t = t0 известно распределение в теле деформаций ползучести εc = εc (xj ) и значений kl kl структурных параметров qi = qi (xj ), где xj - координаты точек тела в некоторой фиксированной системе координат. Под действием указанных нагрузок в теле возникнут поля напряжений σkl = σkl (xj , t), деформаций 108 О теории ползучести упрочняющихся материалов εkl = εkl (xj , t) и значений qi = qi (xj , t) (k, l, j = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Покажем, что эти поля определяются единственным образом на любой момент t t0 . Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что существуют два различных решения указанной задачи, удовлетворяющих соотношениям (1)- (3), уравнениям равновесия, соотношениям Коши и одним и тем же указанным граничным и начальным условиям. Следовательно, к разности этих полей можно применить известное уравнение виртуальных работ, которое вследствие нулевых граничных условий дает [1]: ∆σkl ∆εkl dv = 0. (6) v Применяя (6) к полям ∆σkl и ∆εkl , а затем к ∆σkl и ∆εkl , получим ра˙ ˙ венства ∆σkl ∆εkl dv = ˙ ∆σkl ∆εkl dv = 0. ˙ v v Используя эти равенства и проводя рассуждения, аналогичные рассмотренным выше, нетрудно преобразовать (6) к виду t aklmn ∆σkl ∆σmn + 2 v ∆σkl ∆ηkl dt dv = 0, t0 что возможно только при ∆σkl = 0. Тогда на основании (1)-(3) и ∆εkl = = ∆εc = 0, ∆qi = 0 (k, l = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p) на любой момент t t0 . kl О единственности решения краевых задач необходимо сделать следующее замечание. Доказательство, приведенное выше, справедливо при условии, что компоненты тензоров напряжений и деформаций в каждой точке тела и соответствующие граничные условия являются дифференцируемыми функциями времени. Если же предположить, что указанные функции имеют производные любого порядка при t t0 , то теорема единственности может быть доказана без использования условия (4). Действительно, покажем сначала, что при выполнении указанных условий все производные по времени от компонент напряжений при t = t0 опре(N ) деляются единственным образом, т. е. ∆σkl = 0 во всем объеме тела (k, l = ˙ = 1, 2, 3; N = 1, 2, . . . ). Заметим, что при t = t0 поля ∆σkl = 0 (доказательство этого факта приведено в [1]). Следовательно, на основании (2) и начальных условий однозначно будут определяться и εc , т. е. ∆εc = 0 (k, l = 1, 2, 3). kl kl Применим к полям ∆σkl и ∆εkl при t = t0 уравнение виртуальных работ: ˙ ˙ ∆σkl ∆εkl dv = ˙ ˙ v ∆εc ∆σkl dv = 0. ˙kl ˙ aklmn ∆σkl ∆σmn dv + ˙ ˙ v v Так как ∆εc = 0, первый интеграл второй части равенства равен нулю, что ˙kl возможно только при ∆σkl = 0 (k, l = 1, 2, 3). На основании (3) единственным ˙ образом будут определяться и qi при t = t0 . ˙ 109 Ц в е л о д у б И. Ю. Применяя уравнение виртуальных работ к полям ∆¨kl и ∆¨kl и учитывая, σ ε что из (2) следует εc = εc (σmn , σmn , qi , qi ), ¨kl ¨kl ˙ ˙ т. е. при t = t0 поля ∆¨c = 0, получим ∆¨kl = 0 при t = t0 . εkl σ (N ) Проводя последовательно аналогичные рассуждения для полей ∆σkl и ˙ (N ) (N )c ∆εkl и учитывая, что на основании (2) и (3) компоненты εkl зависят от ˙ ˙ (N -1) производных по t не выше N - 1 порядка от σmn и qi , а qi ˙ - от аналогичных производных не выше N - 1 порядка от σmn и N - 2 порядка от (N ) εc и qj , убеждаемся в том, что ∆σkl = 0 при t = t0 для любого N > 2 ˙ mn (k, l, m, n = 1, 2, 3; i, j = 1, 2, . . . , p) во всем объеме тела. Раскладывая разность двух решений для напряжений в ряды Тейлора по времени при t t0 , получим ∞ ∆σkl (xj , t) = N =0 (t - t0 )N (N ) ∆σkl (xj , t0 ) (k, l, j = 1, 2, 3). ˙ N! Эти ряды сходятся к нулю. Следовательно, компоненты напряжений в теле определяются единственным образом при любом конечном t t0 . Тогда из (1)-(3) и начальных условий получим, что поля εkl = εkl (xj , t), εc = εc (xj , t), kl kl qi = qi (xj , t) также единственны (k, l, j = 1, 2, 3; i = 1, 2, . . . , p). Необходимо отметить, что аналогичный прием был использован в [4] при доказательстве теоремы единственности для упрочняющегося упругопластического тела. 2. Рассмотрим процесс деформирования упрочняющейся среды, одноосная ползучесть которой при постоянном напряжении σ > 0 описывается уравнением [2] ε = Bε-α σ n , ˙ (7) где ε - деформация ползучести, B > 0, n > 0, α > 0 - характеристики материала. Эта зависимость хорошо описывает первые участки кривых ползучести при постоянных напряжениях. В случае переменных нагрузок для удовлетворительного описания одноосной ползучести, как показано в [2, 5], более надежной является зависимость ε = BA-α σ n+α , ˙ t A= σ εdt, ˙ (8) t0 совпадающая с уравнением (7) при σ = const, если ε(t0 ) = 0. Параметр упрочнения A, входящий в (8), представляет собой величину удельной рассеянной при ползучести энергии. Соотношение (8) можно обобщить на случай сложного напряженного состояния разными способами. По-видимому, наиболее простое и удобное обобщение состоит в предположении о том, что зависимость между скоростями деформаций ползучести и напряжениями имеет вид [2] ηkl = A-α 110 ∂Φ , ∂σkl t A= σkl ηkl dt, t0 (9) О теории ползучести упрочняющихся материалов где Φ - однородная степени n + α + 1 функция относительно компонент напряжений. Умножая (9) на σkl , суммируя по индексам k и l и учитывая однородность Φ, получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение величины A во времени: ˙ A = (m + 1)A-α Φ, m = n + α. (10) Соотношения (9), (10) описывают процесс ползучести изотропно упрочняющегося материала и являются частным случаем общих уравнений (2), (3), когда в качестве единственного структурного параметра взята величина удельной рассеянной энергии. За счет подходящего выбора функции Φ могут быть учтены, например, такие свойства материала, как разносопротивляемость растяжению и сжатию, начальная анизотропия и т. д. [2, 6-8]. Из условия (4) следует выпуклость поверхностей Φ = const в пространстве напряжений [6], что накладывает на функцию Φ = Φ(σkl ) определенные ограничения. Для случая изотропной среды последние приведены в [9]. В дальнейшем аналогично [2] будем считать, что зависимость Φ от напряжений имеет вид Φ = B/(m + 1)sm+1 , где s = s(σkl ) > 0 - некоторый инвариант тензора напряжений, являющийся выпуклой однородной функцией первой степени относительно σkl и совпадающий при одноосном растяжении с σ. Тогда условие выпуклости поверхностей Φ = const сведется к требованию m 0, которое удовлетворяется в силу первоначального предположения о том, что константы n и α положительны. Как видно из уравнений (9), (10), скорости деформаций ползучести будут бесконечно большими, если в какой-то момент времени A = 0. Однако, несмотря на эту особенность, можно получить достаточные условия выполнимости неравенства (4) и тем самым обеспечить справедливость доказанных в п. 1 теорем для рассматриваемого класса упрочняющихся материалов. Для этого представим связь между скоростями деформаций ползучести и напряжениями в явном виде. Интегрируя (10) и учитывая вид функции Φ, получим равенство 1/(α+1) t A = Aα+1 + B(α + 1) 0 sm+1 dt , t0 где A0 - значение A при t = t0 , подстановка которого в (9) дает искомое представление ∂s ηkl = BF -κ sm (k, l = 1, 2, 3), (11) ∂σkl где t α F = Aα+1 + B(α + 1) sm+1 dt, κ = (0 < κ < 1). 0 α+1 t0 (1) (1) (2) (2) Рассмотрим два пути нагружения: σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t), которым (1) (1) (2) (2) соответствуют согласно (11) значения ηkl = ηkl (t) и ηkl = ηkl (t), причем при t = t0 величина A = A0 для обоих путей. Как и в п. 1, соответствующие разности будем обозначать, вводя символ ∆. Докажем следующее утверждение. 111 Ц в е л о д у б И. Ю. Утверждение. Для того чтобы имело место неравенство (4) при законе связи между напряжениями и скоростями деформаций в форме (11) для любых двух указанных путей и при любом значении A0 0, достаточно выполнения известного условия из [10]: n > α + 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (11) имеем -κ ∆σkl ∆ηkl = B F1 sm 1 ∂s ∂σkl -κ - F2 sm 2 (1) σkl =σkl ∂s ∂σkl (2) σkl =σkl ∆σkl . Так как s = s(σkl ) - выпуклая функция, ∂s ∂σkl (1) σkl =σkl ∆σkl ∆s, - ∂s ∂σkl (2) σkl =σkl ∆σkl -∆s (см., например, [11]), следовательно, -κ -κ B F1 sm - F2 sm ∆s = B∆ F -κ sm ∆s. 2 1 ∆σkl ∆ηkl (12) Рассмотрим выражение ψ(λ) = F -κ (s2 + λ(s1 - s2 )) [s2 + λ(s1 - s2 )]m , (1) (1) (2) (2) которое при заданных σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t) и фиксированном значении t является функцией числового аргумента λ: ψ = ψ(λ), 0 λ 1. -κ -κ Очевидно, что ψ(0) = F2 sm и ψ(1) = F1 sm . Раскладывая ее в ряд Тейло1 2 ра в окрестности нуля, получим ψ(1) = ψ(0) + dψ dλ λ=λ∗ , 0 < λ∗ < 1, следовательно, ∆ F -κ sm = dψ dλ λ=λ∗ = t -κ-1 = -κF∗ B(α + 1)(m + 1) -κ sm ∆sdt sm + F∗ msm-1 ∆s, (13) ∗ ∗ ∗ t0 где звездочка указывает на то, что соответствующие величины берутся при значении s∗ = s2 + λ∗ (s1 - s2 ). Таким образом, с учетом (12) и полученного равенства (13) будем иметь t t -B 2 κ(α + 1)(m + 1) ∆σkl ∆ηkl dt t0 t0 t + Bm -κ F∗ sm-1 (∆s)2 dt = - ∗ t0 -κ-1 × F∗ 2 t t sm ∆sdt ∗ t0 112 -κ-1 m F∗ s∗ ∆s - t0 t sm ∆sdt ∗ t0 B2 κ(α + 1)(m + 1)× 2 B2 κ(κ + 1)(α + 1)(m + 1)× 2 dt+ О теории ползучести упрочняющихся материалов t × 2 t -κ-2 ˙ F∗ F∗ sm ∆sdt ∗ dt + Bm t0 t0 t t -κ F∗ sm-1 (∆s)2 dt ∗ t0 t + Bκm + t0 t -κ-1 ˙ F∗ F∗ sm-1 (∆s)2 dt dt. (14) ∗ t0 t0 В (14) использована процедура интегрирования по частям, соответствующие члены в подынтегральных выражениях, следующие в (14) за знаком неравенства, взяты в квадратные скобки. При t = t0 будем иметь t -κ F∗ -κ-1 sm-1 (∆s)2 dt = F∗ ∗ t0 2 t sm ∆sdt ∗ = 0. t0 -κ -κ-1 > 0, а оба интеграла Действительно, если A0 > 0 , то F∗ > 0 и F∗ при t = t0 обращаются в нуль. Если же A0 = 0, то в обоих приведенных выражениях получается неопределенность типа [0/0]. Раскроем, например, второе из них, учитывая соотношение для F из (11) (κ = α/(α + 1)): 2 t sm ∆sdt ∗ lim t→t0 -κ-1 F∗ = [B(α + 1)]-κ-1 [s∗ (t0 )]β [∆s(t0 )]2 lim (t - t0 )ξ , t→t0 t0 где β = (n - α - 1)/(α + 1), ξ = 1/(α + 1). Видно, что этот предел равен нулю при любом s∗ (t0 ) 0, если n > α + 1. Совершенно аналогично показывается, что и t -κ lim F∗ sm-1 (∆s)2 dt = 0 при n > α + 1. ∗ t→t0 t0 С учетом сделанного замечания и неравенств F∗ 0, ˙ F∗ = B(α + 1)sm+1 ∗ 0 из (14) следует, что (4) будет иметь место, если Φ1 0, где t sm-1 (∆s)2 dt - ∗ Φ1 = mF∗ (t) t0 B (κ + 1)(α + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ . t0 Для наших целей достаточно первого неравенства, так как оно обеспечивает выполнимость второго. Оценим величину Φ1 . Используя выражение для F∗ из (11) и учитывая, что A0 0, получим следующую цепочку неравенств: t Φ1 t sm+1 dt ∗ B(α + 1) m t0 sm-1 (∆s)2 dt - ∗ t0 1 - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm (∆s)dt ∗ t0 113 Ц в е л о д у б И. Ю. t B(α + 1) m 1/2(m+1) 1/2(m-1) s∗ s∗ ∆sdt 2 - t0 1 - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ = t0 1 = B(α + 1) m - (κ + 1)(m + 1) 2 2 t sm ∆sdt ∗ . t0 Здесь было применено известное неравенство Коши-Буняковского. Таким образом, постулат устойчивости в форме (4) для рассматриваемого закона ползучести (11) будет заведомо выполнен, если 2m - (κ + 1)(m + 1) 0, откуда с учетом равенств κ = α/(α +1), m = n+α следует условие n α + 1. Для того чтобы избежать отмеченной выше возможной особенности при t = = t0 , когда s∗ (t0 ) = 0, достаточно, чтобы это неравенство было строгим. Утверждение доказано. Приведем некоторые соображения в пользу необходимости условия n α + 1 для выполнимости (4). Будем рассматривать два бесконечно близ(1) (2) ких пути σkl = σkl (t) и σkl = σkl (t) + δσkl (t). Соответствующие приращения δηkl можно найти из (11): δσkl δηkl = B -κF -κ-1 δF sm δs + mF -κ sm-1 (δs)2 + F -κ sm δ 2 s , δs = ∂s δσkl , ∂σkl δ2s = ∂2s δσkl δσij , ∂σkl ∂σij (15) t sm δsdt. δF = B(α + 1)(m + 1) t0 Очевидно, всегда можно подобрать такие приращения напряжений δσkl , чтобы выполнялось равенство δ 2 s = 0. Действительно, так как s - однородная первой степени относительно напряжений функция, σij ∂ 2 s = 0 (k, l = 1, 2, 3). ∂σkl ∂σij Следовательно, если положить δσkl = δξσkl (δξ - любой скалярный множитель), то δ 2 s = 0. В дальнейшем величины s, δs и t будем считать безразмерными, т. е. отнесенными к некоторым положительным постоянным s0 , δs0 и t0 . За исходный путь нагружения возьмем такой, при котором A0 = 0, s = tp , p > 0, t 0, а дополнительный примем пропорциональным исходному: δσkl = t-p σkl . Тогда δs = 1 и δ 2 s = 0. Подставляя эти величины в (15) и затем интегрируя по времени от нуля до t, после несложных выкладок получим t J= δσkl δηkl dt = 0 114 ck γ t t , γ 0 (16) О теории ползучести упрочняющихся материалов B 1-κ (α + 1)-κ κ p(m + 1) + 1 > 0, pm + 1 p n2 - α(α + 1) + n p(n - α - 1) + 1 k= , γ= . α+1 α+1 c= Отсюда видно, что если n α + 1, то γ > 0, k > 0, поскольку p > 0 и J > 0. Если же n < α + 1, то возможны три случая: 1) γ > 0, k < 0, т. е. когда 1 n max α(α + 1) - n2 α + 1 - n в этом случае J = -∞; 3) γ < 0, k > 0; если n > [α(α + 1)]1/2 , то достаточно выбрать p> 1 , α+1-n если же n < [α(α + 1)]1/2 , то 1 n α; в этом случае J = +∞. Таким образом, если n < α + 1, то при подходящем выборе p > 0 значение интеграла (16) может быть либо отрицательным, т. е. постулат (4) будет нарушен, либо бесконечно большим при конечных значениях времени и действующих напряжений. Последнее, очевидно, лишено элементарного физического смысла.

About the authors

Igor Yu Tsvelodub

M. A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of RAS

Email: itsvel@hydro.nsc.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.; itsvel@hydro.nsc.ru), Head of Laboratory, Laboratory of Static Strength, Dept. of Structural Mechanics 15, Lavrentyeva pr., Novosibirsk, 630090, Russian Federation

References

Supplementary files