Estimation of the order of the matrix method approximation of numerical integration of boundary-value problems for the second order inhomogeneous linear ordinary differential equations

Abstract


Using the first three terms of Taylor expansion of the required function in the approximate derivative by finite differences leads to the second order approximation of the traditional numerical quadrature method of boundary value problems for linear ordinary second order differential equations with variable coefficients. The paper shows previously proposed numerical quadrature method using tools of matrix calculus where the approximate derivative by finite differences was not used. Agreeing to above method the arbitrary number of terms of Taylor expansion for the required solution may be used when compiling the difference equation system. When using the three first terms of expansion the difference equation system coincided with the traditional system. The estimation of residuals and the order of approximation depending on the number of the used terms of Taylor expansion is given. It is theoretically shown that for the boundary value problem with boundary conditions of the first kind the approximation method order increases in direct proportion with the increasing in the number of members used in Taylor series expansion only for odd values of this number. For even values of this number the order of approximation coincides with the order of approximation for the number less by unit of the odd values. For boundary value problems with boundary conditions of the second and third kinds the order of approximation was directly proportional to the number of used terms in the Taylor series expansion of the required solution of the problem regardless of evenness. In these cases the order of approximation of the boundary points and therefore the whole problem turned out to be one unit less than the order for the inner points of the grid for the interval of integration. The method of approximation order increase at the boundary points up to the approximation order in the inner points of the grid is presented. The theoretical conclusions are confirmed by a numerical experiment for a boundary value problem with boundary conditions of the first and third kinds.

Full Text

Классический метод численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ2) u + p(x)u + q(x)u = f (x), u0 = u0 , un = un , (1) где u(x) - искомое точное решение; p(x), q(x), f (x) - заданные функции, дифференцируемые нужное число раз; u0 , un - заданные числа, использующий конечные разности, имеет аппроксимацию второго порядка [1-6]. Использующие конечные разности методы численного интегрирования краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных также имеют аппроксимацию второго порядка [4-8]. Последнее обусловлено тем, что при аппроксимации производных конечными разностями в разложении искомой функции в ряд Тейлора удерживалось всего три члена разложения. В работе [9] предложен метод, использующий обратные матрицы и позволяющий увеличить число членов (до произвольного натурального) в разложении искомой функции в ряд Тейлора при численном интегрировании первой краевой задачи для линейных неоднородных ОДУ2 с переменными коэффициентами, при этом аппроксимация производных конечными разностями не использовалась. Обобщение метода для смешанной краевой задачи для линейных неоднородных и для нелинейных ОДУ2 дано в [10,11], соответственно. Однако оценка порядка аппроксимации метода интегрирования дана не была, исследование которой для первой, второй и третьей краевых задач для линейного неоднородного ОДУ2 поставим целью настоящей работы. Далее будем придерживаться принятых в [4] обозначений: 1) D - область интегрирования, ограниченная отрезком [a, b], Dh - узлы сетки, определяемые значениями xi = x0 + ih, i = 1, 2, . . . , n, x0 = a, xn = b, h = (b - a) /n, n + 1 - число узлов сетки; 2) u(x) - непрерывная функция, являющаяся точным решением краевой задачи (1); 3) [u]h - сеточная функция, совпадающая с точным решением в узлах сетки Dh ; 4) u(h) - искомая сеточная функция. Для краткости примем для любой функции обозначение ϕ(xi ) = ϕi , где xi - узел сетки Dh . В дальнейшем опустим индекс h в наименованиях сеточных функций [u]h , u(h) и будем оговаривать особо случаи, в которых будет использоваться непрерывная функция u(x), являющаяся точным решением, при сохранении обозначений u(xi ) = ui для неё в узлах сетки. 144 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . Согласно изложенному в [9] методу численного интегрирования первой краевой задачи (1) для каждого внутреннего узла xi , i = 1, 2, . . . , n - 1 сетки Dh составляется система линейных алгебраический уравнений (СЛАУ), (k) состоящая из k + 1 уравнений относительно неизвестных ui , ui , ui , . . . , ui . k , Pk Первые два уравнения системы есть многочлены Тейлора Pi-1 i+1 степени k, полученные из соответствующих рядов Тейлора: ui-1 = ui - hui + h2 h3 ui - u + ··· = 2! 3! i k (-1)m m=0 ∞ (-1)m + m=k+1 ui+1 = ui +hui + h2 h3 ui + ui +· · · = 2! 3! k m=0 hm (m) u + m! i hm (m) u + m! i hm (m) k k u = Pi-1 + Ri-1 , m! i ∞ m=k+1 hm (m) k k u = Pi+1 +Ri+1 , m! i где k Ri-1 = hk+1 (k+1) u (ξi ) = O(hk+1 ), (k + 1)! ξi ∈ (xi-1 , xi ) - остаточный член. Здесь и далее верхний индекс означает степень многочлена Тейлора, если речь не идёт о показателях алгебраических степеней, степенях производных и символов обратных матриц. Оставшиеся k - 1 уравнений системы есть равенства, полученные дифференцированием по x обеих частей уравнения (1), т.е. q(x)u + p(x)u + u (r) = f (x)(r) , где r = 0, 1, . . . , k-2, которые записаны в узле xi . Преобразования с использованием обратных матриц полученных систем для каждого узла xi позволяют составить систему разностных уравнений для трёхточечного шаблона xi-1 , xi , xi+1 , i = 1, 2, . . . , n - 1, решение которой даёт приближённое искомое решение. В [9] показано, что увеличение степени используемых многочленов Тейлора приводит к уменьшению погрешности между точным и приближённым решениями задачи в узлах сетки. В дальнейшем систему разностных уравнений при фиксированном k буk дем обозначать, по аналогии с [4], в символьной форме как Lk u = fh , причём h k наряду с Lk u = fh , для краткости эту задачу будем обозначать также как h k. Lh 1. Некоторые формальные преобразования и оценки. Для функции u выполним формально следующие преобразования для тройки узлов xi-1 , xi , xi+1 , i = 1, 2, . . . , n - 1, сетки Dh при фиксированном k. Имеем точные равенства [ui ] - h[ui ] + h2 h3 hk (k) k [ui ] - [ui ] + · · · + (-1)k [ui ] = [ui-1 ] - Ri-1 , 2! 3! k! (2) 145 М а к л а к о в В. Н. [ui ] - h[ui ] + h2 hk-1 (k) k-1 [ui ] + · · · + (-1)k-1 [u ] = [ui-1 ] - Ri-1 , 2! (k - 1)! i (3) и h3 hk (k) h2 k [ui ] + [ui ] + · · · + [u ] = [ui+1 ] - Ri+1 , 2! 3! k! i h2 hk-1 (k) k-1 [ui ] + h[ui ] + [ui ] + · · · + [ui ] = [ui+1 ] - Ri+1 . 2! (k - 1)! [ui ] + h[ui ] + (4) (5) Умножая обе части равенств (2), (3) на некоторые числа α0 = 0, β0 = 0 соответственно и складывая, получим: h3 h2 h2 - β0 h [ui ] + -α0 + β0 [ui ]+ 2! 3! 2! hk hk-1 (k) k α0 - β0 [ui ] = α0 [ui-1 ] - Ri-1 + k! (k - 1)! α0 [ui ] + (-α0 h + β0 )[ui ] + α0 + · · · + (-1)k k-1 k-1 k + β0 [ui-1 ] - Ri-1 = [zi-1 ] - α0 Ri-1 - β0 Ri-1 , (6) где введено обозначение [zi-1 ] = α0 [ui-1 ] + β0 [ui-1 ]. (7) Выполняя аналогичные действия с равенствами (4), (5) и числами α1 = 0, β1 = 0, найдём h2 h3 h2 + β1 h [ui ] + α1 + β1 [ui ]+ 2! 3! 2! hk hk-1 (k) k + · · · + α1 + β1 [ui ] = α1 [ui+1 ] - Ri+1 + k! (k - 1)! α1 [ui ] + (α1 h + β1 )[ui ] + α1 k-1 k-1 k + β1 [ui+1 ] - Ri+1 = [zi+1 ] - α1 Ri+1 - β1 Ri+1 , (8) где [zi+1 ] = α1 [ui+1 ] + β1 [ui+1 ]. (9) Для каждого узла xi , i = 1, 2, . . . , n-1, составим СЛАУ, в которую внесём соотношения (6), (8) и равенства q[u] + p[u ] + [u ] 146 (r) = f (r) , r = 0, 1, . . . , k - 2, Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . записанные в узле xi . В итоге получим   hk-1 hk (k)   α0 [ui ] + (-α0 h + β0 )[ui ] + · · · + (-1)k α0 - β0 [ui ] =   k! (k - 1)!    k-1 k   = [zi-1 ] - α0 Ri-1 - β0 Ri-1 ,     k k-1   (k)  α [u ] + (α h + β ) [u ] + · · · + α h + β h  1 i [u ] =  1 1 1 1 i k! (k - 1)! i k-1 k  = [zi+1 ] - α1 Ri+1 - β1 Ri+1 ,     qi [ui ] + pi [ui ] + [ui ] = fi ,     q [u ] + q + p [u ] + p [u ] + [u ] = f ,  i i  i i i i i i i   . . .     (k-2) (k) (k-2) q [u ] + · · · + [u ] = f . i i i (10) i В матричной форме система (10) имеет вид Ak [Vik ] = [Gk ] i i в обозначениях  -α0 h + β0  α0     α1 α1 h + β1  Ak =  i pi  qi  qi + pi  qi  ...  ... (k-2) qi ... и   [ui ]  [ui ]     [ui ]  k  [Vi ] =  [u ]  ,   i   ...  (k) [ui ] ... ... ... ... ... ... hk-1 hk (-1)k α0 - β0 k! (k - 1)! hk-1 hk α1 + β1 k! (k - 1)! 0 0 ... 1              (11) k-1  k [zi-1 ] - α0 Ri-1 - β0 Ri-1 k  [zi+1 ] - α1 Ri+1 - β1 Rk-1  i+1     fi k . [Gi ] =    fi     ...  (k-2) fi -1 В предположении существования обратной матрицы Ak от матрицы i k найдём Ak -1 [Gk ] = [V k ]. Выпишем первое уравнение последнего матAi i i i ричного равенства k-1 k-1 k k aki [zi-1 ] - α0 Ri-1 - β0 Ri-1 + aki [zi+1 ] - α1 Ri+1 - β1 Ri+1 + 11 12 k+1 (m-3) + aki fi + 13 aki fi 1m = [ui ], m=4 147 М а к л а к о в В. Н. где aki - соответствующие элементы обратной матрицы Ak 1m i или после преобразований [ui ] aki 1 aki - 11 [zi-1 ] + ki - 12 [zi+1 ] = fi + ki ki ki a13 a13 a13 a13 + k -aki (α0 Ri-1 + 11 -1 для узла xi , k+1 (m-3) aki fi 1m m=4 k-1 β0 Ri-1 ) - aki 13 + k-1 k aki (α1 Ri+1 + β1 Ri+1 ) 12 . (12) В дальнейшем матрицы Ak будем называть локальными матрицами, разi мерность которых равна (k + 1). Найдём следующие предварительные оценки: ∞ k Ri+1 - k Ri-1 = m=k+1 hm (m) u - m! i ∞ (-1)m m=k+1 hm (m) u = m! i ∞ = m=k+1 hm (m) u (1 - (-1)m ) (13) m! i и, аналогично, ∞ k k Ri+1 + Ri-1 = m=k+1 hm (m) u + m! i ∞ (-1)m m=k+1 hm (m) u = m! i ∞ = m=k+1 hm (m) u (1 + (-1)m ) . (14) m! i Из равенств (13), (14) для чётного k имеем k k Ri+1 - Ri-1 = k k Ri+1 + Ri-1 = hk+1 (k+1) u (1 + 1) + (k + 1)! i hk+2 (k+2) + u (1 - 1) + · · · = O(hk+1 ), (15) (k + 2)! i hk+1 (k+1) ui (1 - 1) + (k + 1)! hk+2 (k+2) + u (1 + 1) + · · · = O(hk+2 ) (16) (k + 2)! i и для нечётного k - k k Ri+1 - Ri-1 = 148 hk+1 (k+1) ui (1 - 1) + (k + 1)! Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . + k k Ri+1 + Ri-1 = hk+2 (k+2) u (1 + 1) + · · · = O(hk+2 ), (17) (k + 2)! i hk+1 (k+1) u (1 + 1) + (k + 1)! i hk+2 (k+2) + ui (1 - 1) + · · · = O(hk+1 ). (18) (k + 2)! 2. Порядок аппроксимации первой краевой задачи. Сеточная функция ui , i = 0, 1, . . . , n, являющаяся решением некоторой разностной краевой задачи, при подстановке в уравнения этой разностной краевой задачи обратит их в верные равенства. В [4] показано, что подстановка в уравнения задачи сеточной функции [ui ], отличающейся от ui , приведёт к некоторому отличию k от верных равенств. Эти отличия и характеризует невязка δfh [4]. Иными k словами, подстановка [u] в Lk u = fh приведёт к h k k Lk [u] = fh + δfh . h (19) В соответствии с [4] в качестве оценки величины невязки примем норму k k k k δfh = max |δfh0 |, |δfhn |, max |δfhi | , i = 1, 2, . . . , n - 1, где первые две компоненты характеризуют меру отличий в граничных узлах сетки Dh , оставшиеся - во внутренних узлах. Согласно [4, 5] разностная краевая задача аппроксимирует дифференциk альную краевую задачу на точном решении u, если δfh → 0 при h → 0. Если k , где C > 0, k > 0 - некоторые k Ch при этом имеет место неравенство δfh постоянные, не зависящие от h, то говорят, что имеет место аппроксимация порядка k относительно величины h. k Пусть Lk u = fh аппроксимирует первую дифференциальную краевую заh дачу (1). В этом случае положим в равенствах (7), (9), (12) α0 = 1, β0 = 0 и α1 = 1, β1 = 0 для каждого i = 1, 2, . . . , n - 1. При i = 1 равенство (7) обратится в краевое условие [z0 ] = u0 = u0 , равенство (9) - в [z2 ] = [u2 ], а уравнение (12) примет вид ak1 [u1 ] ak1 1 11 - k1 u0 + k1 - 12 [u2 ] = f1 + k1 k1 a13 a13 a13 a13 k+1 (m-3) ak1 f1 1m m=4 + k k -ak1 R0 - ak1 R2 11 12 . (20) ak1 13 Аналогично при i = n - 1 получено краевое условие [zn ] = un = un , равенство [zn-2 ] = [un-2 ] и уравнение - ak, n-1 11 [un-1 ] ak, n-1 [un-2 ] + k, n-1 - 12n-1 un = ak,n-1 a13 ak, 13 13 149 М а к л а к о в В. Н. = fn-1 + k+1 1 (m-3) ak, n-1 13 ak, n-1 fn-1 1m + k k -ak, n-1 Rn-2 - ak, n-1 Rn 11 12 ak, n-1 13 m=4 . (21) Для каждого i = 2, 3, . . . , n - 2 уравнение (12) запишем так: - [ui ] aki aki 11 [ui-1 ] + ki - 12 [ui+1 ] = aki a13 aki 13 13 1 = fi + ki a13 k+1 (m-3) aki fi 1m + m=4 k k -aki Ri-1 - aki Ri+1 11 12 , aki 13 i = 2, 3, . . . , n - 2. (22) Составим СЛАУ из уравнений (20)-(22). Отбрасывание последних дробей в уравнениях системы, что равносильно переходу от точного решения [ui ] к искомому приближённому ui , приведёт эту систему к системе разностных уравнений, соответствующей первой дифференциальной краевой задаче, по крайней мере при k равном трём и пяти, как и было получено в [9]. Следовательно, в соответствии с (19), последняя дробь в уравнениях (20)-(22), да и в (12), характеризует величину невязки в узлах xi , i = 1, 2, . . . , n - 1, т.е. для рассматриваемой задачи имеем k k -aki Ri-1 - aki Ri+1 11 12 . (23) aki 13 Для первой краевой задачи величина невязки (23) в граничных узлах сетки обращается в нуль в силу того, что уравнения (20), (21) содержат известные значения u0 , un искомой функции в этих узлах. Непосредственными вычислениями убедимся в справедливости оценки k δfhi = k 2 M11 ≈ M11 , (24) k где M11 - алгебраическое дополнение элемента tk транспонированной ло11 кальной матрицы Ak . Действительно, для произвольного натурального числа i k 3 имеем, пренебрегая старшими степенями, k M11 = 150 (-1)k+1 hk k! h h2 2! ... = hk-1 (k - 1)! hk k! pi qi + pi 1 pi ... ... 0 0 pi qi + p i . . . si ui vi wi 1 pi ... ... ... ... ... ... 0 0 ... 1 pi 0 0 ... 0 1 . . . si ui . . . vi wi + ... ... ... . . . 1 pi h h2 2! ... hk-1 (k - 1)! pi = qi + p i . . . si 1 pi ... vi ... ... ... ... = 0 0 ... 1 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . k-1 k-1 k-1 cm hm = bk hk + M11 ≈ M11 , = bk hk + m=1 где bk , cm - коэффициенты, не зависящие от h; si , ui , vi , wi - некоторые функции от qi , pi и их производных. Повторное использование несколько раз последней формулы приводит к (24). Аналогично доказывается справедливость оценки k 2 M12 ≈ M12 . (25) k Рассмотрим M13 . Имеем k M13 = + -h h2 2! ... h qi + pi . . . si 2 h pi . . . vi 2! ... ... ... ... hk-1 0 ... 1 (k - 1)! hk 0 ... 0 k! qi + pi . . . si ui (-1)k-1 hk-1 (k - 1)! (-1)k hk k! h h2 -hk 2! = ... k! hk-1 (k - 1)! (-1)k hk k! k-1 = hk m=1 ... ... ... ... + 0 ... 1 pi qi + pi ... si ui pi ... vi wi ... ... ... ... + 0 ... 1 pi h h2 2! ... hk-1 (k - 1)! qi + pi ... si pi ... vi ... ... ... = 0 ... 1 2k-1 k-1 k-1 bm hm + M13 ≈ M13 , cm hm = m=3 1 wi 2k-3 bm hm + = pi vi (-1)k-1 hk-1 (-1)k-1 hk-1 (k - 1)! ... ... (k - 1)! + wi pi -h h2 2! ... -h h2 2! ... ui m=k+1 где bm , cm - коэффициенты, не зависящие от h. После повторного использования несколько раз последней формулы получим k 2 M13 ≈ M13 . (26) 151 М а к л а к о в В. Н. На основании соотношений (24)-(26) для любого k венств Mk ak Mk ak 12 11 - k = - 11 , - k = - 12 k k a13 M13 a13 M13 следуют оценки - M2 ak 2 - hpi 11 ≈ - 11 = , 2 k 2h2 M13 a13 - 3 из очевидных ра- M2 2 + hpi ak 12 ≈ - 12 = . 2 k 2h2 M13 a13 Тогда величину невязки (23) на точном решении [u] во внутренних узлах xi сетки Dh задачи Lk запишем так: h k δfhi = k k k k -ak Ri-1 - ak Ri+1 (2 - hpi ) Ri-1 + (2 + hpi ) Ri+1 11 12 = = 2h2 ak 13 = k k k k Ri+1 + Ri-1 hpi Ri+1 - Ri-1 + h2 2h2 (27) для произвольного k. Для чётного k с учётом (15), (16) из (27) имеем k δfhi = k k k k Ri+1 + Ri-1 hpi Ri+1 - Ri-1 + = h2 2h2 O(hk+2 ) hpi O(hk+1 ) = + = O(hk ) + O(hk ) = O(hk ), (28) h2 2h2 и для нечётного k с учётом (17), (18) - k δfhi = O(hk+1 ) hpi O(hk+2 ) + = O(hk-1 ) + O(hk+1 ) = O(hk-1 ). h2 2h2 (29) k Из равенства (28) следует оценка δfh Chk для чётного k, а из (29) - k k-1 для нечётного k, откуда имеем, что задачи L2m и L2m+1 оценка δfh Ch h h для любого натурального m 1 имеют одинаковый порядок аппроксимации. Следовательно, на практике для уменьшения объёма вычислений следует использовать задачи Lk с чётными значениями k. Действительно, число арифh метических операций только для нахождения обратной матрицы от локальной Ak методом Гаусса вычисляется по формуле [12] i (k + 1)2 k + 1 8 (k + 1)3 - - - 1. 3 2 6 Результат о выборе чётного значения k ниже будет подтверждён численным экспериментом. 3. Порядок аппроксимации второй и третьей краевых задач. При исследовании второй и третьей краевых задач в [4-6] производные в граничных узлах сетки были заменены конечными разностями первого порядка аппроксимации относительно h, в силу чего СЛАУ для вычисления ui стала содержать 152 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными (по сравнению с первой краевой задачей в систему были добавлены два уравнения, содержащие неизвестные u0 , un ). В силу того, что СЛАУ для вычисления ui , составленная из уравнений (20)-(22), записанных без остаточных членов, содержит n-1 уравнений с n- k - 1 неизвестными, то не представляется возможным вычислить невязки δfh0 k с использованием последней дроби в (12). Поэтому далее в качестве и δfhn k k нормы примем δfh = max |δfhi | , i = 1, 2, . . . , n - 1. В узлах сетки Dh с номерами i = 2, 3, . . . , n - 2 второй и третьей краевых задач, граничные условия которых имеют соответственно вид u0 = u0 , un = un и α0 u0 +β0 u0 = z0 , α1 un +β1 un = zn , где u0 , un , z0 , zn , α0 , α1 , β0 , β1 - заданные числа, ситуация полностью совпадает с изложенной выше первой краевой задачей, для которой α0 = 1, β0 = 0 и α1 = 1, β1 = 0. Оценим порядок аппроксимации третьей краевой задачи в узле x1 , в котором α0 = 0, β0 = 0 и α1 = 1, β1 = 0. Из последней дроби равенства (12) следует оценка невязки k δfh1 = k-1 k k -ak1 (α0 R0 + β0 R0 ) - ak1 R2 12 11 . ak1 13 (30) Локальная матрица Ak рассматриваемой задачи отличается только вто1 рой строкой, составленной из коэффициентов разложения (4), от локальной k матрицы (11) при i = 1, поэтому оценка (24) для M11 сохранит форму, а для k k M12 , M13 найдём: k-1 k-1 2 k M12 = bk hk + ck hk-1 + M12 ≈ M12 ≈ M12 , 2k-1 k M13 2k-2 k-1 k-1 2 cm hm + M13 ≈ M13 ≈ M13 , m = bm h + m=k+1 m=k+1 что совпадает с (25) и (26) соответственно. На основании соотношений (24)-(26) для любого k венств ak1 Mk ak1 Mk 11 - k1 = - 11 , - 12 = - 12 k k a13 M13 ak1 M13 13 следуют оценки: - - 3 из очевидных раak1 M2 2 - hp1 2 11 ≈ - 11 = ≈ , 2 2 k1 -3β0 h + 2α0 h -3β0 h M13 a13 ak1 M2 -2β0 - 2h (β0 p1 - α0 ) + α0 h2 p1 2 12 ≈ - 12 = ≈ 2. 2 2 + 2α h3 k1 -3β0 h 3h M13 a13 0 Тогда из соотношения (30) имеем k δfh1 = 2 α0 O(hk+1 ) + β0 O hk -3β0 h + 2 O(hk+1 ) = 3h2 = O(hk-1 ) + O(hk-1 ) = O(hk-1 ), 153 М а к л а к о в В. Н. т.е. порядок аппроксимации в узле x1 , следовательно, и всей разностной краевой задачи Lk оказался на единицу меньше степени многочлена Тейлора k. h Точно такой же вывод о степени аппроксимации второй разностной краевой задачи следует из равенства (12), записанного в узле x1 , в котором α0 = 0, β0 = 1 и α1 = 1, β1 = 0: k δfh1 = k-1 k -ak1 R0 - ak1 R2 11 12 . ak1 13 (31) Ситуация в узле xn-1 третьей (α0 = 1, β0 = 0, и α1 = 0, β1 = 0) и второй (α0 = 1, β0 = 0, и α1 = 0, β1 = 1) краевых задач полностью аналогична изложенной. Действительно, в этом случае локальная матрица Ak задачи n-1 будет отличаться только первой строкой, составленной из коэффициентов разложения (2), от локальной матрицы (11) при i = n - 1. Невязка (31) показывает, что порядок аппроксимации второй разностной краевой задачи L2 равен единице в узлах x1 , xn-1 и, как следует из (28) для h чётного k = 2, равен двум в узлах i = 2, 3, . . . , n-2. Повысим порядок аппроксимации на единицу в узлах x1 , xn-1 , оставаясь в рамке второй разностной краевой задачи L2 . h Запишем систему (10) в узле x1 при α0 = 0, β0 = 1 и α1 = 1, β1 = 0, ограничиваясь степенями производных не старше третьей:  2  [u ] - h[u ] + h [u ] = u - R2 ,  1  0 0 1  2! 1  h2 h3 3 [u1 ] + [u ] = [u2 ] - R2 ,  [u1 ] + h[u1 ] +  2! 3! 1    q1 [u1 ] + p1 [u1 ] + [u1 ] = f1 , в которую подставим значение [u1 ], найденное дифференцированием обеих частей равенства: [u ] = f - p[u ] - q[u]. (32) Получим  2 2  h  - q1 [u1 ] + 1 - h q1 + p1 [u1 ] - h +   2! 2!    h3 h3  1- q1 [u1 ] + h - q1 + p1 [u1 ] + 3! 3!         q1 [u1 ] + p1 [u1 ] + [u1 ] = f1 . h2 h2 2 p1 [u1 ] = u0 - f - R0 , 2! 2 2! 1 h h3 - p1 [u1 ] = 2! 3! h3 3 = [u2 ] - f - R2 , 3! 1 В матричной форме последняя система уравнений имеет вид A2 [V12 ] = [G2 ] 1 1 154 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . в обозначениях h2 - q1  2!  2 3 A1 =  1 - h q  3! 1 q1  h2 1- q1 + p 1 2! h3 h- q1 + p1 3! p1 h2 -h - p1 2! h2 h3 - p1 2! 3! 1    ,    h2 2  u0 - 2! f1 - R0    2 h3 [G1 ] =  3 . f1 - R2   [u2 ] - 3! f1    [u1 ] [V12 ] =  [u1 ] , [u1 ] -1 В предположении существования обратной матрицы A2 от локаль1 2 найдём A2 -1 [G2 ] = [V 2 ]. Выпишем первое уравнение последнего ной A1 1 1 1 матричного равенства a2 u0 - 11 h3 h2 2 3 f1 - R0 + a2 [u2 ] - f - R2 + a3 f1 = [u1 ], 12 13 2! 3! 1 или - 2 3 a 2 h3 -a2 R0 - a2 R2 a2 [u1 ] a2 a2 h2 12 11 12 11 11 f1 - 2 f1 + u0 + 2 - 11 [u2 ] = f1 - 2 , a2 a13 a2 a13 2! a13 3! a2 13 13 13 где последняя дробь характеризует величину невязки. Для рассматриваемого случая имеем следующие оценки коэффициентов: - -12 + 6hp1 - 2h2 p2 - q1 - p1 a2 -2 1 11 = ≈ , 2 2 p - 5h3 (q + p ) 18h + 4h 1 3h a13 1 1 - 12 + 12hp1 + 6h2 p2 - q1 - p1 a2 2 1 12 = ≈ 2, 2 2 + 4h3 p - 5h4 (q + p ) 18h 3h a13 1 1 1 тогда -2 O h3 2 O(h4 ) + = O(h2 ) + O(h2 ) = O(h2 ), 3h 3h2 т.е. порядок аппроксимации в узле x1 и, аналогично, в xn-1 , следовательно, и всей разностной краевой задачи L2 теперь оказался равным двум. h Отметим, что такой же (второй) порядок аппроксимации имеет вторая разностная краевая задача L3 . Действительно, из (29) для нечётного k = 3 h следует второй порядок аппроксимации в узлах xi , i = 2, 3, . . . , n - 2. Точно такой же (второй) порядок даёт невязка (31) при k = 3 в узлах x1 , xn-1 . Таким образом, из вышеизложенного следует, что увеличение степени многочлена Тейлора k и использование операции дифференцирования обеих частей равенства (32) k - 1 раз позволяют аналогичным образом увеличить порядок аппроксимации в узлах x1 , xn-1 , следовательно, и всей задачи до произвольного натурального числа. 2 δfh1 = 155 М а к л а к о в В. Н. Использование в системе (10) различных комбинаций значений α0 , β0 и α1 , β1 для узлов x1 и xn-1 соответственно даёт возможность рассмотреть краевые задачи со смешанными краевыми условиями [10]. 4. Оценка погрешности. Для задачи Lk были приняты следующие две h нормы для погрешности в узлах xi , i = 1, 2, . . . , n - 1 сетки Dh : n-1 2 n-1 1) Dk = 100% - суммарная оценка отноi=1 ([ui ] - ui ) i=1 [ui ] сительной погрешности, которую можно трактовать как некий аналог коэффициента вариации в статистике, который характеризует меру разброса в процентах [13]; величина Dk отличается от коэффициента вариации тем, что стандартное отклонение заменено корнем квадратным из остаточной дисперсии [13]. 2) E k = max [ui ]-ui , i = 1, 2, . . . , n-1 - максимальная оценка абсолютной погрешности. В качестве примера использовано ОДУ2 u - 2 2 u + 2 = x cos x, x x (33) имеющее аналитическое решение u = C1 x + C2 x2 - x cos x, и исследованы первая и третья краевые задачи с краевыми условиями u(5) = 22.32, u(13) = 23.95 (34) и u(5) + 3u (5) = 17.60, 2u(13) + 2u (13) = 56.02 (35) соответственно. Было принято n = 20, h = 0.4. Результаты численного эксперимента для первой краевой задачи (33), (34) приведены в табл. 1, для третьей - в табл. 2. Расчёты для третьей краевой задачи (33), (35) выполнены без использования метода повышения порядка аппроксимации. Анализ данных табл. 1 свидетельствует, что суммарная относительная Dk 2m+1 и максимальная абсолютная E k погрешности задач L2m и Lh , имеющих h одинаковый порядок аппроксимации, различаются незначительно для любого натурального m ∈ [1, 4], тогда как указанная особенность в данных табл. 2 отсутствует, чего и следовало ожидать. Отметим, что погрешности для первой краевой задачи L2m и третьей краевой задачи L2m+1 сравнимы между h h собой, что подтверждает вывод о том, что порядок аппроксимации второй и Таблица 1 Значения погрешностей для первой краевой задачи (33), (34) [The accuracies for the first boundary value problem (33), (34)] k 2 3 7.29 · 10 1.94 · 10-1 4.84 · 10 1.30 · 10-3 4.18 · 10-4 1.04 · 10-3 k 6 7 8 9 D ,% Ek 156 -6 1.96 · 10 5.37 · 10-6 -2 5 8.11 · 10 2.23 · 10-1 k -2 4 D ,% Ek k -6 1.51 · 10 4.10 · 10-6 -4 -7 5.88 · 10 1.21 · 10-6 5.90 · 10-7 1.21 · 10-6 Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования . . . Таблица 2 Значения погрешностей для третьей краевой задачи (33), (35) [The accuracies for the third boundary value problem (33), (35)] k k D ,% Ek k k D ,% Ek 2 3 -1 4 5 6 -5 6.88 · 10 1.15 · 10-4 1.08 · 10 2.79 · 10-1 1.06 · 10 1.79 · 10-2 4.22 · 10-4 1.18 · 10-3 7 6.42 · 10 1.16 -1 8 9 -6 1.24 · 10 2.80 · 10-6 -2 -7 2.98 · 10 7.10 · 10-7 3.04 · 10-7 6.80 · 10-7 третьей разностных краевых задач на единицу меньше степени используемого многочлена Тейлора. Выводы. 1. Теоретически выявлены закономерности между порядком аппроксимации метода и степенью используемого многочлена Тейлора для краевых задач с граничными условиями различных родов. Установлено, что порядок 2m+1 совпадааппроксимации для первых разностных краевых задач L2m и Lh h ет и равен 2m для любого натурального m, тогда как для второй и третьей краевых задач указанная особенность отсутствует, причем порядок аппроксимации задач прямо пропорционален степени используемого многочлена Тейлора и меньше него на единицу. 2. Предложен способ повышения порядка аппроксимации метода до произвольного натурального числа для разностных краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода.

About the authors

Vladimir N Maklakov

Samara State Technical University

Email: makvo63@yandex.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russian Federation (Cand. Phys. & Math. Sci.; makvo63@yandex.ru), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics and Applied Informatics

References

  1. Keller H. B. Accurate Difference Methods for Nonlinear Two-point Boundary Value Problems // SIAM J. Numer. Anal., 1974. vol. 11, no. 2. pp. 305-320. doi: 10.1137/0711028.
  2. Lentini M., Pereyra V. A Variable Order Finite Difference Method for Nonlinear Multipoint Boundary Value Problems // Mathematics of Computation, 1974. vol. 28, no. 128. pp. 981-1003. doi: 10.2307/2005360.
  3. Keller H. B. Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential equations: Survey and Some Resent Results on Difference Methods / Numerical Solutions of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations; ed. A. K. Aziz. New York: Academic Press, 1975. pp. 27-88. doi: 10.1016/b978-0-12-068660-5.50007-7.
  4. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука, 1973. 400 с.
  5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.
  6. Формалеев В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. 400 с.
  7. Boutayeb A., Chetouani A. Global Extrapolations of Numerical Methods for a Parabolic Problem with Nonlocal Boundary Conditions // International Journal of Computer Mathematics, 2003. vol. 80, no. 6. pp. 789-797. doi: 10.1080/0020716021000039209.
  8. Boutayeb A., Chetouani A. A Numerical Comparison of Different Methods Applied to the Solution of Problems with Non Local Boundary Conditions // Applied Mathematical Sciences, 2007. vol. 1, no. 44. pp. 2173-2185.
  9. Радченко В. П., Усов А. А. Модификация сеточных методов решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами на основе тейлоровских разложений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2008. № 2(17). С. 60-65. doi: 10.14498/vsgtu646.
  10. Маклаков В. Н. Численное интегрирование матричным методом смешанных краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Современный научный вестник, 2013. № 16 (155). С. 72-78.
  11. Маклаков В. Н., Усов А. А. Численное интегрирование матричным методом краевых задач для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием итерационных процедур / Труды девятой Всероссийской научной конференции с международным участием (21-23 мая 2013 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2013. С. 35-42.
  12. Турчак Л. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. 320 с.
  13. Закс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. 598 с.

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies