Gauge-invariant tensors of 4-manifold with conformal torsion-free connection and their applications for modeling of space-time

Full Text

Введение. Статья является непосредственным продолжением исследований, опубликованных в [1], в частности, сохраняются обозначения и терминология. Хотя в [1] мы определили наше понимание калибровочной группы, но в настоящей статье это понятие становится центральным. Поэтому разъясним его подробнее. Структурная группа слоя расслоенного пространства действует в разных слоях независимо и потому не является функцией точки базового многообразия. Но в большинстве задач, требующих для решения рассмотрения расслоенного пространства, исследуемый объект задан не в отдельной точке базового пространства, а непрерывно или гладко зависит от точки некоторого подмножества базы. Поэтому и параметры структурной группы, действующей на этот объект, должны быть непрерывными или гладкими функциями точки этого подмножества. Группы, параметры которых являются функциями точки пространства-времени, в физике называются калибровочными. Таким образом, структурная группа расслоенного пространства чаще всего используется как калибровочная группа базы. Но использование структурной группы слоя как калибровочной группы базы осуществляется, как правило, при задании в расслоенном пространстве дополнительной геометрической структуры - связности. В статьях [1-6] 4-многообразие конформной связности с сигнатурой угловой метрики (- + ++) трактуется как модель пространства-времени, поэтому структурную группу слоя расслоенного пространства мы называем калибровочной группой. Напомним [1], что 4-многообразие конформной связности мы рассматриваем как базу расслоенного пространства, слоем которого служит 5-мерное проективное пространство P5 с фиксированной в нем квадрикой. Для обеспечения необходимой сигнатуры угловой метрики эту квадрику в подходящем репере из 6 точек проективного пространства {X0 , X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } следует задать в виде -(x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 + (x4 )2 + 2x0 x5 = 0. (1) Уравнения инфинитезимальных перемещений этого репера имеют вид 0 dX0 = X0 ω0 + Xi ω i , 0 dX5 = -Xi η ij ωj - X5 ω0 , k - X η ωj , dXi = X0 ωi + Xk ωi 5 ij (2) где ηij - стандартный тензор Минковского сигнатуры (- + ++), индексы i, j, k, . . . принимают значения 1, 2, 3, 4. Матрица пфаффовых форм   0 ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 0 2 3 4 ω1 ω1 ω1 ω1   ω1 0  2 2 3 -ω 4 -ω  0 -ω2  ω ω1 2  2 Ω= 3  3 3 4 0 -ω3 -ω3   ω ω1 ω2  ω4 ω4 ω4 4 ω3 0 -ω4  1 2 1 -ω 2 -ω 3 -ω 4 -ω 0 0 ω 0 181 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в называется матрицей конформной связности. Её задание на каждой карте некоторого атласа определяет структуру многообразия конформной связности. Через матрицу Ω вычисляется матрица Φ конформной кривизны, состоящая из внешних 2-форм:   0 Φ0 Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 0 Φ2 Φ3 Φ4 Φ1   Φ1 0 1 1 1  2 2 3 -Φ4 -Φ  0 -Φ2  Φ Φ1 2  2 Φ = dΩ + Ω ∧ Ω =  3 . 0 -Φ4 -Φ3   Φ Φ3 Φ3 1 2 3  Φ4 Φ4 Φ4 Φ4 0 -Φ4  1 2 3 1 -Φ2 -Φ3 -Φ4 -Φ0 0 Φ 0 В развернутом виде 0 Φ0 = dω0 + ωi ∧ ω i , 0 i = dω i + ω i ∧ ω k + ω i ∧ ω + η im η ω ∧ ω n , Φj j jn m j j k k 0 Φi = dωi + ωk ∧ ωi + ω0 ∧ ωi , 0 i Φi = dω i + ωk ∧ ω k + ω i ∧ ω0 . (3) Калибровочная группа порождается следующими преобразованиями репера: 1) преобразованиями перенормировки X0 = λX0 , X5 = 1 X5 , λ Xi = Xi ; 2) преобразованиями нормализации X0 = X0 , 1 X5 = X5 - η ij λj Xi - η ij λi λj X0 , 2 Xi = Xi + λi X0 ; 3) преобразованиями Лоренца X0 = X0 , X5 = X5 , Xi = λj Xj , i где (λj ) - матрица Лоренца, определяемая условиями ηij λi λj = ηmn . m n i Это все те проективные преобразования P5 , которые квадрику (1) переводят в себя и оставляют неподвижной точку X0 . Из уравнений (2) вытекают следующие формулы преобразования компонент матрицы конформной связности: 1) преобразования перенормировки 0 0 ω0 = ω0 + dλ , λ ω i = λω i , ωi = 1 ωi , λ j j ωi = ωi ; 2) преобразования нормализации j j ωi = ωi + λi ω j - η mj λm ηik ω k , 1 k 0 ωi = ωi + dλi - λk ωi + λi ω0 - λi λk ω k + η mn λm λn ηik ω k ; 2 0 0 ω0 = ω0 - λk ω k , 182 ωi = ωi, Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . 3) преобразования Лоренца 0 0 ω0 = ω0 , ω i = (λ-1 )i ω k , k ωi = λk ωk , i j m ωi = (λ-1 )j dλm +(λ-1 )j ωk λk , m i m i где (λ-1 )k - матрица, обратная к матрице Лоренца (λj ). i i Из этих формул видно, что квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j изменяется только при перенормировке: ψ = λ2 ψ. Она называется угловой метрикой. В свою очередь, калибровочные преобразования матрицы конформной связности Ω индуцируют преобразования компонент матрицы Φ конформной кривизны: 1) преобразования перенормировки Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = λΦi , Φi = 1 Φi , λ Φj = Φj ; i i (4) 2) преобразования нормализации Φ0 = Φ0 - λk Φk , 0 0 i = Φi , Φ Φj = Φj + λi Φj - η mj λm ηik Φk , i i 1 Φi = Φi - λk Φk + λi Φ0 - λi λk Φk + 2 η mn λm λn ηik Φk ; 0 i (5) 3) преобразования Лоренца Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = (λ-1 )i Φk , k Φi = λ k Φk , i Φj = (λ-1 )j Φm λk . m k i i (6) Так как в этих формулах внешние 2-формы Φk преобразуются только через самих себя, они образуют геометрический объект, называемый кручением. Внешние 2-формы Φ1 , Φ2 , Φ3 , Φ4 , Φ0 также образуют геометрический объект, 0 который не получил в литературе никакого названия. Но в [2] мы называем многообразие конформной связности беззарядным при равенстве нулю этих внешних форм, имея в виду сам этот геометрический объект называть зарядом. Если на беззарядном многообразии конформной связности выполняются уравнения Эйнштейна Φk = 0, то Картан назвал этот случай нормальной ijk конформной связностью. Заметим, что судя по ссылке [7, c. 178], Картан знал, что условие Φk = 0 - уравнения Эйнштейна. Всё изложенное выше составijk ляет основу понятия многообразия конформной связности и введено Картаном в [7]. Только Картан рассматривал случай многообразия произвольной размерности, а квадратичную форму угловой метрики считал положительно определённой. Нормальная конформная связность Картана (НКСК) в современной литературе является объектом интенсивного исследования (см., например, [8-13]). Точку X0 репера мы считаем общей точкой базы и слоя. Из (2) следует, что 0 при ω i = 0 получается dX0 = X0 ω0 , поэтому пфаффовы формы ω i должны 183 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в быть базисными. Если uα - локальные координаты базового многообразия, то имеют место равенства i ω i = Bα duα . (7) i Величины Bα зависят от локальных координат и образуют невырожденную квадратную матрицу 4-го порядка. Они задают вложение касательного векторного слоя (размерности 4) в 5-мерный проективный слой. Образом служит 4-мерная аффинная плоскость, которая получается удалением из проективной 4-плоскости, натянутой на точки X0 , X1 , X2 , X3 , X4 , проективной 3-плоскости, натянутой на 4 точки i Yα = lα X0 + Bα Xi , 0 где lα - коэффициенты разложения пфаффовой формы ω0 = lα duα . В модуле над кольцом гладких функций, порождённом дифференциалами duα , действует группа общекоординатных преобразований. Но в этом же модуле, взяв за базис пфаффовы формы ω i , с помощью формул ω i = λω i и ω i = = (λ-1 )i ω k можно задать действие калибровочных преобразований перенорk мировки и Лоренца, действие преобразований нормализации в этом случае является тождественным. Как указано в [3], мы не умеем решать уравнения Янга-Миллса на 4многообразии конформной связности с кручением, поэтому мы вынуждены ограничиться многообразиями с нулевым кручением, Φi = 0. В этом случае уравнения Янга-Миллса во многих случаях становятся уже решаемыми в конечном виде [4-6]. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики из [4], выражающееся через эллиптическую функцию Вейерштрасса, многократно использовалось в статьях [14, 15] для исследования структуры кварков, адронов, атомного ядра и других целей. Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях с конформной структурой изучались в работах [8-10]. Однако в отличие от нашей работы [3] в них уравнения Эйнштейна не выводятся из уравнений Янга-Миллса, а постулируются путём наложения соответствующих условий на компоненты связности, и только после этого составляются уравнения Янга-Миллса. В [8] рассматривается частный случай конформной связности, именно, НКСК. Но выше мы уже отмечали, что в определение НКСК входит условие Φk = 0, а это и есть уравнение Эйнштейна. В работах ijk [9, 10] вместо конформной связности рассматривается эквивалентная ей твисторная связность специального вида, компоненты которой удовлетворяют условию 1 Φk (ij)k = 0 (в обозначениях Меркулова: Pmn = Q(mn) = 2 Rmn - 1 12 Rgmn ). В [8] не только выведены уравнения Янга-Миллса, но и найдено их решение для однородной метрики Феффермана. При Φi = 0 формулы (4), (5) и (6) существенно упрощаются: Φ0 = Φ0 , 0 0 Φ0 = Φ0 , 0 0 184 Φj = Φj , i i 1 Φi , λ Φj = Φj ; i i (8) Φi = Φi - λk Φk + λi Φ0 ; i 0 (9) Φi = Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = λ k Φk , i Φj = λ-1 i k i Φm λ j . k m (10) Все калибровочно-инвариантные тензоры могут быть найдены только на основе преобразований (8), (9) и (10), если к ним добавить еще оператор Ходжа ∗, действующий на базисные внешние 2-формы согласно правилу [4, c. 352] ∗ ω1 ∧ ω2 = ω3 ∧ ω4, ∗ ω1 ∧ ω4 = ω2 ∧ ω3, ∗ ω2 ∧ ω4 = ω1 ∧ ω3, ∗ ω 1 ∧ ω 3 = -ω 2 ∧ ω 4 , ∗ ω 2 ∧ ω 3 = -ω 1 ∧ ω 4 , ∗ ω 3 ∧ ω 4 = -ω 1 ∧ ω 2 (11) и продолженный на остальные 2-формы по линейности. Из формул (8)-(10) видим, что внешняя 2-форма Φ0 , а также ∗Φ0 инва0 0 риантны относительно всех калибровочных преобразований, а формы Φj (и i ∗Φj ) изменяются только при лоренцевых преобразованиях по формуле (10). i Поскольку это закон преобразования аффинора относительно линейной группы лоренцевых преобразований, а техника работы с аффинорами хорошо известна, калибровочные преобразования (10) никаких хлопот не доставляют. β β i К тому же, используя (7), можно получить Φβ = Bj Φj Bα , где (Bj ) - обратα i i ная матрица для (Bα ). β Величины Φα относительно координатных преобразований образуют аффинор, инвариантный относительно всех калибровочных преобразований. Аффинор Φj (или равносильно Φβ ) мы назвали в [1] основным аффинором многоα i образия конформной связности без кручения. Однако имеется много других калибровочно-инвариантных тензоров. Их отыскание и является целью настоящей статьи. При решении этой задачи преобразования перенормировки (8) тоже не создают проблем. Но преобразования нормализации (9) выражают внешние 2-формы Φi через все внешние формы Φi , Φk и Φ0 - в этом 0 i все сложности. Заметим, что представление тензоров через греческие индексы α, β, . . . называется голономным представлением, а через латинские i, j, . . . - неголономным представлением. Взаимный переход между греческиi ми и латинскими индексами осуществляется с помощью величин Bα . В большинстве случаев работать с неголономным представлением удобнее, так как, во-первых, сигнатура угловой метрики ψ = ηij ω i ω j задана в явном виде, а в голономном представлении ψ = gαβ duα duβ она глубоко скрыта в коэффициентах gαβ ; во-вторых, оператор Ходжа в неголономном представлении задан чрезвычайно простыми формулами (11), а в голономном представлении он намного сложнее. Но когда приходится решать уравнения Янга-Миллса или Эйнштейна, без голономного представления не обойтись. Так как gαβ = i j = ηij Bα Bβ и det (ηij ) = -1, def i g = det (gαβ ) = - det Bα 2 . (12) Отметим, что закон изменения угловой метрики при перенормировке ψ = = λ2 ψ в неголономном представлении возникает за счет формул ω i = λω i , при этом коэффициенты тензора Минковского ηij не меняются. В голономном представлении, наоборот, не меняются дифференциалы duα , но меняются коэффициенты gαβ = λ2 gαβ . (13) 185 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в 0 1. Формы и тензоры, выражаемые через Φ0 и Φj . Если ω0 = li ω i , то преоб0 i 0 = 0, что мы и предполагаем разование нормализации с λi = li приводит к ω0 выполненным. Положим ωi = bij ω j , 1 Φj = Φj ω m ∧ ω n , i 2 imn Φijmn = ηik Φk . jmn Тогда, согласно (3), 1 Φ0 = b[ij] ω j ∧ ω i , 0 2 def где b[ij] = bij - bji . В [1, c. 401] доказано, что тензор Φijmn допускает следующее разложение на неприводимые слагаемые: 1 1 1 Φijmn = Cijmn - ηij ◦ Emn + ηij ◦ b[mn] - Ληij ◦ ηmn . 2 2 6 (14) Здесь Cijmn - тензор Вейля конформной кривизны для квадратичной формы угловой метрики ψ, def Emn = Rmn - 1 Rηmn - b(mn) + 1 bηmn , 4 2 Λ= 1 4 (R - 6b) , def (15) b(mn) = bmn + bnm , Rmn - тензор Риччи этой же квадратичной формы, R = η mn Rmn , b = η mn bmn , кружком обозначено произведение Кулкарни-Номидзу двух тензоров: def aij ◦ cmn = aim cjn + ajn cim - ain cjm - ajm cin . Напомним [1, c. 395], что для 4-валентного тензора aijmn , кососимметричного как по первой паре индексов, так и по второй, символом ∗ aijmn мы обозначаем результат действия оператора Ходжа на левую пару индексов ij, а a∗ ijmn - результат его действия на правую пару индексов mn. Тензор aijmn называется равнодуальным, если ∗ aijmn = a∗ , и косодуальным, если ijmn ∗a ∗ ijmn = -aijmn . Перечислим несколько свойств равнодуальности и косодуальности. 1. Тензор aijmn равнодуален (косодуален) тогда и только тогда, когда ∗ a∗ ∗ ∗ ijmn = -aijmn ( aijmn = aijmn ). 2. Если тензор aijmn равнодуален (косодуален), то таковы же и тензоры ∗a ∗ ijmn и aijmn . 3. Если тензор amn кососимметричен, то тензор ηij ◦ amn равнодуален. 4. Если тензор amn симметричен, то тензор ηij ◦ amn косодуален тогда и только тогда, когда η ij aij = 0. 5. Если тензор amn симметричен, то тензор ηij ◦ amn равнодуален тогда и только тогда, когда amn = ληmn . В разложении (14) второе слагаемое косодуальное, т.к. η mn Emn = 0 (свойство 4), последние два равнодуальны (свойства 3 и 5). Тензор Вейля Cijmn также равнодуален [1, c. 397]. Применяя свойство 1, из формулы (14) получаем следующее разложение на неприводимые слагаемые: ∗ 186 1 1 1 Φ∗ ijmn = -Cijmn - ηij ◦ Emn - ηij ◦ b[mn] + Ληij ◦ ηmn . 2 2 6 (16) Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Так как Φijmn = Rijmn + ηij ◦ bmn [1, формулы (22) и (23)], при bmn = 0 формулы (14) и (16) переходят в разложения на неприводимые слагаемые для тензора Римана: 1 1 1 Rijmn = Cijmn - ηij ◦ Rmn - Rηmn - Rηij ◦ ηmn , 2 4 24 1 1 1 ∗ ∗ Rijmn = -Cijmn - ηij ◦ Rmn - Rηmn + Rηij ◦ ηmn . 2 4 24 Путём свёртки равенств (14) и (16) с η in , используя формулу η in (ηij ◦ cmn ) = -2cjm - η in cin ηjm , получим ещё два разложения на неприводимые слагаемые: def η in Φijmn = Φjm = Ejm - b[jm] + Ληjm , η in (∗ Φ∗ ) = Ejm + b[jm] - Ληjm . ijmn (17) Тензор Emn из (15) естественно назвать конформным тензором Эйнштейна, так как его обращение в нуль даёт уравнение Эйнштейна с космологическим членом [1, c. 398]. Роль космологической константы играет скаляр 1 Λ = 4 (R - 6b) , но только он не является константой. Это функция на 4-многообразии, которая изменяется только при преобразовании перенормировки по закону 1 Λ = 2 Λ. (18) λ Тензор Emn имеет нулевой след: η mn Emn = 0. В голономном представлении он записывается в виде 1 1 def Eαβ = Rαβ - Rgαβ - b(αβ) + bgαβ . 4 2 Здесь левая часть калибровочно-инвариантна, а слагаемые в правой части - нет. Для получения калибровочно-инвариантного выражения запишем равенство (17) в голономном представлении Eαβ = Φαβ + b[αβ] - Λgαβ . (19) Здесь все 4 тензора калибровочно-инвариантны. Симметризуя это равенство, получим другое калибровочно-инвариантное представление тензора Eαβ : 1 Eαβ = Φ(αβ) - Λgαβ , 2 def Φ(αβ) = Φαβ + Φβα . (20) Уравнения Эйнштейна без космологического члена также можно записать в трёх эквивалентных формах: 1 Rαβ - Rgαβ = b(αβ) , 6 Φαβ + b[αβ] = 0, Φ(αβ) = 0. (21) Свёртывая первое из этих уравнений с g αβ , убеждаемся, что Λ = 0. 187 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в При Λ = 0 последнее слагаемое в равенстве (19) задаёт на 4-многообразии калибровочно-инвариантную метрику ds2 = Ληij ω i ω j = Λgαβ duα duβ . (22) Если мы точку X0 4-многообразия конформной связности без кручения снабдим множителем |Λ|, то получим калибровочно-инвариантный объект |Λ|X0 , который будем называть материальной точкой. Метрика (22) позволяет составить функционал действия для движения материальной точки SM = |ds| = |Λ| |gαβ duα duβ |. В силу закона преобразования (18) Λ можно свести к константе в некоторой окрестности точки x0 4-многообразия путем подходящей перенормировки. Тогда, полагая равной нулю вариацию δSM , придём к известным в общей теории относительности уравнениям движения материальной точки |Λ| duβ duγ d2 uα + Γα βγ ds2 ds ds = 0. Здесь Γα - символы Кристоффеля квадратичной формы gαβ duα duβ , а s - βγ инвариантный параметр. Это позволяет нам трактовать величину |Λ| как массу. Таким образом, масса непосредственно связана с космологическим скаляром. Отсюда следует, что уравнения Эйнштейна с космологическим членом предпочтительнее уравнений Эйнштейна без него, так как при выполнении последних, как мы видели, Λ = 0, следовательно, в пространстве-времени нет массы. Итак, при Λ = 0 многообразие конформной связности без кручения является лоренцевым многообразием с дополнительной структурой. Дополнительная структура задается конформным тензором Эйнштейна Eαβ с нулевым следом, кососимметрическим тензором b[αβ] , а также внешними формами Φi , которые не образуют геометрического объекта, но из них в дальнейшем будет сконструировано несколько тензоров. Калибровочно-инвариантный тенα зор Вейля Cβγδ не является самостоятельным объектом, так как выражается через вторые частные производные метрического тензора. Калибровочно-инвариантный тензор εαβ оператора Ходжа также алгебраически выражается γδ через метрический тензор. Формула (17) показывает, что разложение тензора η in (∗ Φ∗ ) на неприводимые слагаемые не даёт новых неприводимых тензоijmn ров второй валентности. Но априори не исключена возможность образования таких тензоров путём разложения на неприводимые слагаемые тензоров η in (∗ Φijmn ) и η in Φ∗ . Этот вопрос будет исследован в разделе 3. ijmn 2. Вариационный принцип для уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Космологический скаляр Λ, если он не равен нулю, позволяет сконструировать калибровочно-инвариантную внешнюю 4-форму i Θ = Λ2 ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 = Λ2 det Bα du1 ∧ du2 ∧ du3 ∧ du4 . 188 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Отсюда с помощью формулы (12) можно получить неориентированный эле√ мент объёма dV = Λ2 -gdu1 du2 du3 du4 . Из законов преобразований (13) и (18) видно, что этот элемент объема калибровочно-инвариантен. Рассмотрим гравитационный функционал действия Sg = √ Λ2 -gdu1 du2 du3 du4 . Интегрирование осуществляется по координатной окрестности данной точки x0 многообразия. На границе окрестности никаких ограничений не накладывается. Свёртывая (19) c g αβ , получим 1 1 Λ = g αβ Φαβ = g αβ Φ(αβ) . 4 8 Будем варьировать функционал Sg по переменным g αβ . При этом Φ(αβ) есть калибровочно-инвариантный тензор, не зависящий от g αβ , поэтому δΦ(αβ) = 0. Следовательно, 1 δ Λ2 = 2ΛδΛ = Φ(αβ) δg αβ . 4 √ √ √ Вариация от -g вычислена в [16, c. 351], δ -g = - 1 -ggαβ δg αβ . Поэтому 2 δSg = √ 1 1 Λ Φ(αβ) - Λgαβ -gδg αβ du1 du2 du3 du4 . 2 2 Так как 10 вариаций δg αβ независимы, то при Λ = 0 равенство δSg = 0 возможно только при 1 Φ - Λgαβ = 0. 2 (αβ) Согласно (20), это и есть уравнение Эйнштейна с космологическим членом. Как видим, приведённый вариационный принцип не имеет ничего общего с указанным в [1] вариационным принципом для уравнений Эйнштейна без космологического члена. 3. Разложение на неприводимые слагаемые тензоров η in (∗ Φijmn ) и η in Φ∗ ijmn . Мы снова отправляемся от формулы (14). Чтобы иметь возможность вместо 4-валентных тензоров работать с более привычными 2-валентными, применим стандартный приём - использование собирательных индексов: 12 -→ 1, 13 -→ 2, 14 -→ 3, 34 -→ 4, 42 -→ 5, 23 -→ 6. Тогда любой тензор aijmn , кососимметричный как по первой, так и по второй парам индексов, заменится двухвалентным тензором в 6-мерном векторном 189 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в пространстве. Поэтому тензор aijmn может быть задан квадратной матрицей 6-го порядка, которую целесообразно разбить на 4 блока из квадратных X Y , где матриц 3-го порядка U V     a1212 a1213 a1214 a1234 a1242 a1223 X =  a1312 a1313 a1314  , Y =  a1334 a1342 a1323  a1412 a1413 a1414 a1434 a1442 a1423 и т. д. Для тензора a∗ ijmn соответствующая матрица имеет вид X Y U V · 0 -E E 0 -X -U Y V = , (23) а для тензора ∗ aijmn матрица будет такой: 0 E -E 0 · X Y U V U V -X -Y = . Здесь E - единичная матрица 3-го порядка. Отсюда следует, что матрицы равнодуального и косодуального тензоров имеют соответственно вид X Y Y -X X -Y и Y X . (24) Будем применять оператор Ходжа к правой паре индексов каждого слагаемого равенства (14). Тензор Вейля Cijmn равнодуален, поэтому его матрица имеет вид 1-й матрицы (24), причём все алгебраические соотношения между его компонентами сводятся к тому, что матрицы X и Y симметричны и име∗ ют нулевые следы [1, c. 400]. Формула (23) даёт для тензора Cijmn матрицу Y -X . Матрицы Y и (-X) по-прежнему симметричны и с нулевы-X -Y ∗ ми следами, следовательно, тензор Cijmn обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Вейля, в частности ∗ η in Cijmn = 0. (25) 1 Второе слагаемое равенства (14) 2 ηij ◦ Emn косодуально, поэтому его матM N рица имеет вид 2-й матрицы (24) , а матрица тензора ( 1 ηij ◦ Emn )∗ 2 -M N N -M имеет вид , где, согласно [1, формула (16)], N M   -E23 -E24 1  E11 - E22 , -E32 E11 - E33 -E34 M= 2 -E42 -E43 E11 - E44   E14 -E13 1 0 -E14 0 E12  . N= 2 E -E 0 13 190 12 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Покомпонентные вычисления при выполнении операции свёртывания с тензором η in приводят к формуле η in 1 ηij ◦ Emn 2 ∗ = 0. (26) Третье слагаемое (14) 1 ηij ◦b[mn] равнодуально, поэтому его матрица имеет 2 U V , где вид V -U  U= 0 1 b[23] 2 b[24]    -b[23] -b[24] 0 b[14] -b[13] 1 0 -b[34]  , V =  -b[14] 0 b[12]  . 2 b[34] 0 b[13] -b[12] 0 Следовательно, матрица тензора 1 2 ηij ◦ b[mn] ∗ имеет вид -U . От-V ∗ 1 2 ηij ◦ b[mn] : V -U сюда, свёртывая с тензором η in , найдём матрицу тензора η in   0 b[34] b[42] b[23]  -b[34] 0 -b[14] b[13]   .  -b[42] b[14] 0 -b[12]  -b[23] -b[13] b[12] 0 Это можно записать и так: 1 ηij ◦ b[mn] 2 η in ∗ = - ∗ b[jm] . (27) Осталось 4-е слагаемое равенства (14). Так как матрица тензора ηij ◦ ηmn -E 0 имеет вид 2 , матрица тензора (ηij ◦ ηmn )∗ , согласно первой форму0 E 0 E ∗ ле (24), имеет вид 2 , следовательно, матрица тензора 1 Ληij ◦ ηmn 6 E 0 0 E 1 такова: 3 Λ . Свёртывая с η in , получим E 0 η in 1 Ληij ◦ ηmn 6 ∗ = 0. (28) Итак, матрица тензора Φ∗ ijmn имеет вид Y -X -X -Y + N N -M M + V -U -U -V 1 + Λ 3 0 E E 0 . Здесь все 4 слагаемых неприводимы. Формулы (25)-(28) приводят к следующему равенству: η in Φ∗ (29) ijmn + ∗b[jm] = 0. 191 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в В силу косодуальности тензора 1 ηij ◦ Emn и равнодуальности остальных 2 трёх слагаемых равенства (14) формулы (25)-(28) остаются в силе и при перебрасывании в этих формулах знака ∗ справа налево. Поэтому справедлива формула η in (∗ Φijmn ) + ∗b[jm] = 0. (30) Таким образом, новых неприводимых двухвалентных тензоров, линейно выражающихся через матрицу конформной кривизны, кроме Λgαβ , Eαβ , b[αβ] (и, конечно, ∗b[αβ] ), не существует. При bαβ = 0 будет Φijmn = Rijmn и формулы (29) и (30) дают два свойства тензора Римана: η αδ (∗ Rαβγδ ) = 0. ∗ η αδ Rαβγδ = 0, 4. Тензоры и формы, порожденные внешними 2-формами Φi . В этом разделе мы будем иметь дело с 3-валентными тензорами. Приведём нужные нам факты о разложении таких тензоров на неприводимые компоненты. Согласно схеме Юнга, произвольный 3-валентный тензор Tijk раскладывается на 4 инвариантных и неприводимых относительно линейной группы GL (4) слагаемых: Tijk = 1 Tijk = 3 1 T - T(jik) , 6 (ijk) Tijk = 2 1 (Tijk + Tkji - Tjik - Tjki ) , 3 1 (Tijk + Tjik - Tkij - Tkji ) , 6 Tijk = 4 1 T + T(jik) . 6 (ijk) def Мы обозначаем T(ijk) = Tijk + Tjki + Tkij . Если Tijk = -Tikj , то последний тензор обращается в нуль, и получим разложение 1 1 1 Tijk = T(ijk) + (Tijk + Tkji ) + (Tijk + Tjik ) . 3 3 3 (31) Но если группу GL (4) уменьшить до линейной подгруппы группы инвариантности уравнения ηij ω i ω j = 0, последние два слагаемых в (31) уже не будут неприводимыми. В этом случае неприводимые слагаемые будут иметь вид 1 Tijk = T(ijk) , 3 1 Tijk 4 1 1 1 2 Tijk + Tkji - ηij Tk - ηjk Ti + ηik Tj , 3 3 3 3 2 1 2 1 1 Tijk = Tijk + Tjik - ηij Tk + ηjk Ti + ηik Tj , (32) 3 3 3 3 3 1 1 = (ηij Tk + ηjk Ti - 2ηik Tj ) , Tijk = (2ηij Tk - ηjk Ti - ηik Tj ) , 9 9 5 Tijk = def где Tk = η ij Tijk = 3η ij Tijk = 4 3 ij 2 η Tijk . 5 При этом η ij Tijk = 0 при p = 1, 2,3; p η ij T(ijk) = 0 при p = 2, 3, 4, 5; T(ijk) = T(ijk) . p 192 1 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Приступим к конструированию калибровочно-инвариантных тензоров. Наша задача состоит в том, чтобы в равенствах (9) k Φi = Φi - λk (Φk - δi Φ0 ) i 0 (33) k (δi - символ Кронекера) исключить параметры λk преобразования нормализации. I. Самый простой способ - умножить (33) внешне на ω i и воспользоваться k тождеством Бианки Φk - δi Φ0 ∧ω i = 0 [3, формула (18)]. Получим Φi ∧ω i = 0 i = Φi ∧ω i . Так как ω i не меняется при преобразовании нормализации, Φi ∧ ω i = = Φi ∧ ω i . Это означает, что 3-форма Ψ = Φi ∧ ω i (34) 1 инвариантна относительно преобразования нормализации. Из законов преобразований ω i и Φi , описанных во введении, легко установить, что Ψ также 1 инвариантна относительно преобразований Лоренца и перенормировки. Если положить 1 1 Φi = Φijk ω j ∧ ω k , Ψ = Ψijk ω i ∧ ω j ∧ ω k , 1 2 6 1 то из (34) получаем инвариантный относительно преобразования нормализации тензор Ψijk = Φ(ijk) . 1 i j k Bα Bβ Bγ Φ(ijk) инвариантен относительно всех калибровочТензор Φαβγ = ных преобразований. Поскольку он кососимметричен по всем трём индексам, то неприводим. Ковектор η im ∗ Φimn имеет своими компонентами величины Φ(ijk) , следовательно, их инвариантность равносильна инвариантности относительно преобразования нормализации ковектора η im ∗ Φimn . II. Запишем равенство (33) в компонентах: k Φimn = Φimn - λk (Φk + δi b[mn] ). imn (35) Свернём эти равенства с η im . Введя обозначения Bn = η im Φimn , 2 Bn = η im Φimn 2 и используя разложение (17), получим k Bn = Bn - λk (η ki Ein + Λδn ). 2 Обозначим (36) 2 1 k def η ki Ein + Λδn = Ak = η ki Φ(in) . n 2 2 Тогда из (36) получим λk = Bn - Bn A-1 2 2 2 n . k 193 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в Подставим это в (33): Φi = Φi + Bn - Bn A-1 2 2 2 n k k Φk - δi Φ0 . i 0 (37) Учитывая, что матрица Ak , а вместе с ней и обратная матрица (A-1 )n , инваn k 2 2 риантны относительно преобразований нормализации, мы можем переписать равенства (37) в виде Φi - Bn A-1 2 2 n k k Φk - δi Φ0 = Φi - Bn A-1 0 i 2 2 n k k Φk - δi Φ0 . i 0 Это означает, что внешние 2-формы def Ψi = Φi - Bn A-1 2 2 2 n k k Φk - δi Φ0 i 0 (38) инвариантны относительно преобразования нормализации. Отсюда легко поi лучить, что внешние 2-формы Ψα = Ψi Bα инвариантны относительно всех 2 2 калибровочных преобразований и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований. Свёртка компонентной записи равенства (38) Ψimn = Φimn - Bp A-1 2 2 2 p k k Φk - δi b[nm] imn c η im даёт η im Ψimn = 0, следовательно, в формулах (32) 4-й и 5-й тензоры 2 равны нулю, поэтому разложение на неприводимые слагаемые имеет вид (31): 1 1 1 Ψijk = Ψ(ijk) + Ψijk + Ψkji + Ψijk + Ψjik . 3 2 3 2 3 2 2 2 2 k Вычислим первое слагаемое. Так как Φk - δi Φ0 ∧ ω i = 0 [3, формула 18], 0 i из (38) имеем Ψi ∧ ω i = Φi ∧ ω i , что равносильно 2 Ψ(ijk) = Φ(ijk) . (39) 2 III. Вместо свёртывания с η im имеется другой способ исключения параметров λi преобразования нормализации в равенствах (33), основанный на внешнем умножении. Равенства (33) можно умножить внешне 4-мя способами: на Φ0 , Φn , ∗Φ0 , ∗Φn . Обозначим 0 0 i i k Φk - δi Φ0 ∧ Φ0 = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ Φ0 = Bi ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 0 i 0 3 3 k Φk - δi Φ0 ∧ Φi = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ Φi = Bn ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 n n n 4 4 k Φk - δi Φ0 ∧ ∗Φ0 = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ ∗Φ0 = Bi ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 0 i 0 5 194 5 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . k Φk - δi Φ0 ∧ ∗Φi = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ ∗Φi = Bn ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 . i 0 n n n 6 6 Тогда теми же рассуждениями, что и в п. II этого раздела, доказывается, что внешние 2-формы def Ψi = Φi - Bn A-1 p p p n k k Φk - δi Φ0 , i 0 p = 3, 4, 5, 6, (40) инвариантны относительно преобразований нормализации, а внешние формы i Ψα = Ψi Bα инвариантны относительно всех калибровочных преобразований p p и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований. Формула (39) остаётся в силе: Ψ(ijk) = Φ(ijk) , p = 3, 4, 5, 6, (41) p но теперь, записывая (40) в компонентах и свёртывая с η im , имеем j η im Ψimn = Bn - Bj A-1 k Ak = 0, n p 2 p p p = 3, 4, 5, 6, (42) 2 и поэтому каждый тензор Ψijk имеет в разложении 5 неприводимых слагаеp мых вида (32), хотя 1-е слагаемое у них одно и то же - (41). Формулы (42) дают 4 ковектора η im Ψimn , инвариантных относительно преобразований норp мализации. В голономном представлении будем иметь 4 ковектора g αβ Ψαβγ , p инвариантных относительно всех калибровочных преобразований, кроме перенормировки. Но если Λ = 0, то получим 4 калибровочно-инвариантных ковектора Λ-1 g αβ Ψαβγ , p = 3, 4, 5, 6. p IV. Применяя оператор Ходжа к внешним 2-формам Ψi , p = 2, 3, 4, 5, 6, p заданных формулами (38) и (40), получим 5 ковекторов с компонентами из внешних 2-форм: def ∗Ψi = Ψi = ∗Φi - Bn A-1 p p p+5 p n k k ∗Φk - δi ∗ Φ0 , i 0 p = 2, 3, 4, 5, 6, (43) инвариантных относительно преобразований нормализации. Переходя к гоi лономному представлению Ψα = Ψi Bα и выписывая компоненты, получим p+5 p+5 новые 5 тензоров валентности три Ψαβγ , инвариантные относительно всех каp+5 либровочных преобразований. Они все приводимы. Но следует иметь в виду, что неприводимые компоненты пары тензоров Ψαβγ и Ψαβγ не имеют ничего p p+5 общего. Например, свёртка компонентной записи (43) Ψimn = ∗Φimn - Bj A-1 p+5 p p j k k (Φk )∗ - δi ∗ b[nm] imn 195 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в с η im в силу (29) даёт один и тот же ковектор η im ∗ Φimn (найденный в п. I), поэтому в разложении Ψαβγ на неприводимые компоненты (32) последние два p+5 слагаемых одинаковые при p = 2, 3, 4, 5, 6, но первые слагаемые, в отличие от Ψαβγ , - разные. p Замечание. В специальных случаях некоторые из матриц Ak могут окаn p заться вырожденными. Понятно, что в таких случаях конструкция соответствующего ковектора Ψi из внешних 2-форм не проходит. Например, если выp 1 полняются уравнения Эйнштейна (21) Φ(in) = 0, то матрица Ak = 2 η ik Φ(in) n 2 является нулевой, поэтому, вследствие (36), получаем вместо 3-валентного тензора Ψimn лишь инвариантный относительно преобразования нормали2 зации ковектор Bn = η im Φimn . Справедливо и обратное: если ковектор Bn 2 2 инвариантен относительно преобразования нормализации, то выполняются уравнения Эйнштейна. В самом деле, свертывая (35) с η im , получим 1 k λk η im Φk - δi b[nm] = λk Ak = λk η ki Φ(in) = 0. imn n 2 2 Так как λk - произвольные функции, приходим к требуемому Φ(in) = 0. Таким образом, доказано, что в пространстве конформной связности без кручения уравнения Эйнштейна без космологического члена выполняются тогда и только тогда, когда ковектор Bn = η im Φimn является инвариантным 2 относительно преобразования нормализации. Эта характеризация конформных многообразий Эйнштейна [1, c. 394] позволяет классифицировать их по типу ковектора Bn на времениподобные, про2 странственноподобные, светоподобные и изотропные (когда ковектор Bn ну2 левой). Хотя конформные многообразия Янга-Миллса [3, c. 437] автоматически являются конформными многообразиями Эйнштейна, эта классификация для них бесполезна, так как они всегда изотропны. Это объясняется тем, что компонентны тензора η im Φimn (с точностью до знака и порядка) такие же, как компоненты внешней 3-формы ∗Φi ∧ ω i , которая в конформном многообразии Янга-Миллса равна нулю [2, с. 440].

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt2@ya.ru
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics 24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation

Vyacheslav A Luk'yanov

Zavolzhskij Branch of Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt2@ya.ru
Senior Lecturer, Dept. of Computer Science and General Disciplines 1a, Pavlovskogo st., Zavolzh’e, Nizhegorodskaya obl., 606520, Russian Federation

References

Supplementary files