Gauge-invariant tensors of 4-manifold with conformal torsion-free connection and their applications for modeling of space-time

Abstract


We calculated basic gauge-invariant tensors algebraically expressed through the matrix of conformal curvature. In particular, decomposition of the main tensor into gaugeinvariant irreducible summands consists of 4 terms, one of which is determined by only one scalar. First, this scalar enters the Einstein’s equations with cosmological term as a cosmological scalar. Second, metric being multiplied by this scalar becomes gauge invariant. Third, the geometric point, which is not gauge-invariant, after multiplying by the square root of this scalar becomes gauge-invariant object - a material point. Fourth, the equations of motion of the material point are exactly the same as in the general relativity, which allows us to identify the square root of this scalar with mass. Thus, we obtained an unexpected result: the cosmological scalar coincides with the square of the mass. Fifth, the cosmological scalar allows us to introduce the gauge-invariant 4measure on the manifold. Using this measure, we introduce a new variational principle for the Einstein equations with cosmological term. The matrix of conformal curvature except the components of the main tensor contains other components. We found all basic gauge-invariant tensors, expressed in terms of these components. They are 1- or 3-valent. Einstein’s equations are equivalent to the gauge invariance of one of these covectors. Therefore the conformal connection manifold, where Einstein’s equations are satisfied, can be divided into 4 types according to the type of this covector: timelike, spacelike, light-like or zero.

Full Text

Введение. Статья является непосредственным продолжением исследований, опубликованных в [1], в частности, сохраняются обозначения и терминология. Хотя в [1] мы определили наше понимание калибровочной группы, но в настоящей статье это понятие становится центральным. Поэтому разъясним его подробнее. Структурная группа слоя расслоенного пространства действует в разных слоях независимо и потому не является функцией точки базового многообразия. Но в большинстве задач, требующих для решения рассмотрения расслоенного пространства, исследуемый объект задан не в отдельной точке базового пространства, а непрерывно или гладко зависит от точки некоторого подмножества базы. Поэтому и параметры структурной группы, действующей на этот объект, должны быть непрерывными или гладкими функциями точки этого подмножества. Группы, параметры которых являются функциями точки пространства-времени, в физике называются калибровочными. Таким образом, структурная группа расслоенного пространства чаще всего используется как калибровочная группа базы. Но использование структурной группы слоя как калибровочной группы базы осуществляется, как правило, при задании в расслоенном пространстве дополнительной геометрической структуры - связности. В статьях [1-6] 4-многообразие конформной связности с сигнатурой угловой метрики (- + ++) трактуется как модель пространства-времени, поэтому структурную группу слоя расслоенного пространства мы называем калибровочной группой. Напомним [1], что 4-многообразие конформной связности мы рассматриваем как базу расслоенного пространства, слоем которого служит 5-мерное проективное пространство P5 с фиксированной в нем квадрикой. Для обеспечения необходимой сигнатуры угловой метрики эту квадрику в подходящем репере из 6 точек проективного пространства {X0 , X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } следует задать в виде -(x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 + (x4 )2 + 2x0 x5 = 0. (1) Уравнения инфинитезимальных перемещений этого репера имеют вид 0 dX0 = X0 ω0 + Xi ω i , 0 dX5 = -Xi η ij ωj - X5 ω0 , k - X η ωj , dXi = X0 ωi + Xk ωi 5 ij (2) где ηij - стандартный тензор Минковского сигнатуры (- + ++), индексы i, j, k, . . . принимают значения 1, 2, 3, 4. Матрица пфаффовых форм   0 ω0 ω1 ω2 ω3 ω4 0 2 3 4 ω1 ω1 ω1 ω1   ω1 0  2 2 3 -ω 4 -ω  0 -ω2  ω ω1 2  2 Ω= 3  3 3 4 0 -ω3 -ω3   ω ω1 ω2  ω4 ω4 ω4 4 ω3 0 -ω4  1 2 1 -ω 2 -ω 3 -ω 4 -ω 0 0 ω 0 181 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в называется матрицей конформной связности. Её задание на каждой карте некоторого атласа определяет структуру многообразия конформной связности. Через матрицу Ω вычисляется матрица Φ конформной кривизны, состоящая из внешних 2-форм:   0 Φ0 Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 0 Φ2 Φ3 Φ4 Φ1   Φ1 0 1 1 1  2 2 3 -Φ4 -Φ  0 -Φ2  Φ Φ1 2  2 Φ = dΩ + Ω ∧ Ω =  3 . 0 -Φ4 -Φ3   Φ Φ3 Φ3 1 2 3  Φ4 Φ4 Φ4 Φ4 0 -Φ4  1 2 3 1 -Φ2 -Φ3 -Φ4 -Φ0 0 Φ 0 В развернутом виде 0 Φ0 = dω0 + ωi ∧ ω i , 0 i = dω i + ω i ∧ ω k + ω i ∧ ω + η im η ω ∧ ω n , Φj j jn m j j k k 0 Φi = dωi + ωk ∧ ωi + ω0 ∧ ωi , 0 i Φi = dω i + ωk ∧ ω k + ω i ∧ ω0 . (3) Калибровочная группа порождается следующими преобразованиями репера: 1) преобразованиями перенормировки X0 = λX0 , X5 = 1 X5 , λ Xi = Xi ; 2) преобразованиями нормализации X0 = X0 , 1 X5 = X5 - η ij λj Xi - η ij λi λj X0 , 2 Xi = Xi + λi X0 ; 3) преобразованиями Лоренца X0 = X0 , X5 = X5 , Xi = λj Xj , i где (λj ) - матрица Лоренца, определяемая условиями ηij λi λj = ηmn . m n i Это все те проективные преобразования P5 , которые квадрику (1) переводят в себя и оставляют неподвижной точку X0 . Из уравнений (2) вытекают следующие формулы преобразования компонент матрицы конформной связности: 1) преобразования перенормировки 0 0 ω0 = ω0 + dλ , λ ω i = λω i , ωi = 1 ωi , λ j j ωi = ωi ; 2) преобразования нормализации j j ωi = ωi + λi ω j - η mj λm ηik ω k , 1 k 0 ωi = ωi + dλi - λk ωi + λi ω0 - λi λk ω k + η mn λm λn ηik ω k ; 2 0 0 ω0 = ω0 - λk ω k , 182 ωi = ωi, Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . 3) преобразования Лоренца 0 0 ω0 = ω0 , ω i = (λ-1 )i ω k , k ωi = λk ωk , i j m ωi = (λ-1 )j dλm +(λ-1 )j ωk λk , m i m i где (λ-1 )k - матрица, обратная к матрице Лоренца (λj ). i i Из этих формул видно, что квадратичная форма ψ = ηij ω i ω j изменяется только при перенормировке: ψ = λ2 ψ. Она называется угловой метрикой. В свою очередь, калибровочные преобразования матрицы конформной связности Ω индуцируют преобразования компонент матрицы Φ конформной кривизны: 1) преобразования перенормировки Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = λΦi , Φi = 1 Φi , λ Φj = Φj ; i i (4) 2) преобразования нормализации Φ0 = Φ0 - λk Φk , 0 0 i = Φi , Φ Φj = Φj + λi Φj - η mj λm ηik Φk , i i 1 Φi = Φi - λk Φk + λi Φ0 - λi λk Φk + 2 η mn λm λn ηik Φk ; 0 i (5) 3) преобразования Лоренца Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = (λ-1 )i Φk , k Φi = λ k Φk , i Φj = (λ-1 )j Φm λk . m k i i (6) Так как в этих формулах внешние 2-формы Φk преобразуются только через самих себя, они образуют геометрический объект, называемый кручением. Внешние 2-формы Φ1 , Φ2 , Φ3 , Φ4 , Φ0 также образуют геометрический объект, 0 который не получил в литературе никакого названия. Но в [2] мы называем многообразие конформной связности беззарядным при равенстве нулю этих внешних форм, имея в виду сам этот геометрический объект называть зарядом. Если на беззарядном многообразии конформной связности выполняются уравнения Эйнштейна Φk = 0, то Картан назвал этот случай нормальной ijk конформной связностью. Заметим, что судя по ссылке [7, c. 178], Картан знал, что условие Φk = 0 - уравнения Эйнштейна. Всё изложенное выше составijk ляет основу понятия многообразия конформной связности и введено Картаном в [7]. Только Картан рассматривал случай многообразия произвольной размерности, а квадратичную форму угловой метрики считал положительно определённой. Нормальная конформная связность Картана (НКСК) в современной литературе является объектом интенсивного исследования (см., например, [8-13]). Точку X0 репера мы считаем общей точкой базы и слоя. Из (2) следует, что 0 при ω i = 0 получается dX0 = X0 ω0 , поэтому пфаффовы формы ω i должны 183 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в быть базисными. Если uα - локальные координаты базового многообразия, то имеют место равенства i ω i = Bα duα . (7) i Величины Bα зависят от локальных координат и образуют невырожденную квадратную матрицу 4-го порядка. Они задают вложение касательного векторного слоя (размерности 4) в 5-мерный проективный слой. Образом служит 4-мерная аффинная плоскость, которая получается удалением из проективной 4-плоскости, натянутой на точки X0 , X1 , X2 , X3 , X4 , проективной 3-плоскости, натянутой на 4 точки i Yα = lα X0 + Bα Xi , 0 где lα - коэффициенты разложения пфаффовой формы ω0 = lα duα . В модуле над кольцом гладких функций, порождённом дифференциалами duα , действует группа общекоординатных преобразований. Но в этом же модуле, взяв за базис пфаффовы формы ω i , с помощью формул ω i = λω i и ω i = = (λ-1 )i ω k можно задать действие калибровочных преобразований перенорk мировки и Лоренца, действие преобразований нормализации в этом случае является тождественным. Как указано в [3], мы не умеем решать уравнения Янга-Миллса на 4многообразии конформной связности с кручением, поэтому мы вынуждены ограничиться многообразиями с нулевым кручением, Φi = 0. В этом случае уравнения Янга-Миллса во многих случаях становятся уже решаемыми в конечном виде [4-6]. Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики из [4], выражающееся через эллиптическую функцию Вейерштрасса, многократно использовалось в статьях [14, 15] для исследования структуры кварков, адронов, атомного ядра и других целей. Уравнения Янга-Миллса на 4-многообразиях с конформной структурой изучались в работах [8-10]. Однако в отличие от нашей работы [3] в них уравнения Эйнштейна не выводятся из уравнений Янга-Миллса, а постулируются путём наложения соответствующих условий на компоненты связности, и только после этого составляются уравнения Янга-Миллса. В [8] рассматривается частный случай конформной связности, именно, НКСК. Но выше мы уже отмечали, что в определение НКСК входит условие Φk = 0, а это и есть уравнение Эйнштейна. В работах ijk [9, 10] вместо конформной связности рассматривается эквивалентная ей твисторная связность специального вида, компоненты которой удовлетворяют условию 1 Φk (ij)k = 0 (в обозначениях Меркулова: Pmn = Q(mn) = 2 Rmn - 1 12 Rgmn ). В [8] не только выведены уравнения Янга-Миллса, но и найдено их решение для однородной метрики Феффермана. При Φi = 0 формулы (4), (5) и (6) существенно упрощаются: Φ0 = Φ0 , 0 0 Φ0 = Φ0 , 0 0 184 Φj = Φj , i i 1 Φi , λ Φj = Φj ; i i (8) Φi = Φi - λk Φk + λi Φ0 ; i 0 (9) Φi = Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Φ0 = Φ0 , 0 0 Φi = λ k Φk , i Φj = λ-1 i k i Φm λ j . k m (10) Все калибровочно-инвариантные тензоры могут быть найдены только на основе преобразований (8), (9) и (10), если к ним добавить еще оператор Ходжа ∗, действующий на базисные внешние 2-формы согласно правилу [4, c. 352] ∗ ω1 ∧ ω2 = ω3 ∧ ω4, ∗ ω1 ∧ ω4 = ω2 ∧ ω3, ∗ ω2 ∧ ω4 = ω1 ∧ ω3, ∗ ω 1 ∧ ω 3 = -ω 2 ∧ ω 4 , ∗ ω 2 ∧ ω 3 = -ω 1 ∧ ω 4 , ∗ ω 3 ∧ ω 4 = -ω 1 ∧ ω 2 (11) и продолженный на остальные 2-формы по линейности. Из формул (8)-(10) видим, что внешняя 2-форма Φ0 , а также ∗Φ0 инва0 0 риантны относительно всех калибровочных преобразований, а формы Φj (и i ∗Φj ) изменяются только при лоренцевых преобразованиях по формуле (10). i Поскольку это закон преобразования аффинора относительно линейной группы лоренцевых преобразований, а техника работы с аффинорами хорошо известна, калибровочные преобразования (10) никаких хлопот не доставляют. β β i К тому же, используя (7), можно получить Φβ = Bj Φj Bα , где (Bj ) - обратα i i ная матрица для (Bα ). β Величины Φα относительно координатных преобразований образуют аффинор, инвариантный относительно всех калибровочных преобразований. Аффинор Φj (или равносильно Φβ ) мы назвали в [1] основным аффинором многоα i образия конформной связности без кручения. Однако имеется много других калибровочно-инвариантных тензоров. Их отыскание и является целью настоящей статьи. При решении этой задачи преобразования перенормировки (8) тоже не создают проблем. Но преобразования нормализации (9) выражают внешние 2-формы Φi через все внешние формы Φi , Φk и Φ0 - в этом 0 i все сложности. Заметим, что представление тензоров через греческие индексы α, β, . . . называется голономным представлением, а через латинские i, j, . . . - неголономным представлением. Взаимный переход между греческиi ми и латинскими индексами осуществляется с помощью величин Bα . В большинстве случаев работать с неголономным представлением удобнее, так как, во-первых, сигнатура угловой метрики ψ = ηij ω i ω j задана в явном виде, а в голономном представлении ψ = gαβ duα duβ она глубоко скрыта в коэффициентах gαβ ; во-вторых, оператор Ходжа в неголономном представлении задан чрезвычайно простыми формулами (11), а в голономном представлении он намного сложнее. Но когда приходится решать уравнения Янга-Миллса или Эйнштейна, без голономного представления не обойтись. Так как gαβ = i j = ηij Bα Bβ и det (ηij ) = -1, def i g = det (gαβ ) = - det Bα 2 . (12) Отметим, что закон изменения угловой метрики при перенормировке ψ = = λ2 ψ в неголономном представлении возникает за счет формул ω i = λω i , при этом коэффициенты тензора Минковского ηij не меняются. В голономном представлении, наоборот, не меняются дифференциалы duα , но меняются коэффициенты gαβ = λ2 gαβ . (13) 185 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в 0 1. Формы и тензоры, выражаемые через Φ0 и Φj . Если ω0 = li ω i , то преоб0 i 0 = 0, что мы и предполагаем разование нормализации с λi = li приводит к ω0 выполненным. Положим ωi = bij ω j , 1 Φj = Φj ω m ∧ ω n , i 2 imn Φijmn = ηik Φk . jmn Тогда, согласно (3), 1 Φ0 = b[ij] ω j ∧ ω i , 0 2 def где b[ij] = bij - bji . В [1, c. 401] доказано, что тензор Φijmn допускает следующее разложение на неприводимые слагаемые: 1 1 1 Φijmn = Cijmn - ηij ◦ Emn + ηij ◦ b[mn] - Ληij ◦ ηmn . 2 2 6 (14) Здесь Cijmn - тензор Вейля конформной кривизны для квадратичной формы угловой метрики ψ, def Emn = Rmn - 1 Rηmn - b(mn) + 1 bηmn , 4 2 Λ= 1 4 (R - 6b) , def (15) b(mn) = bmn + bnm , Rmn - тензор Риччи этой же квадратичной формы, R = η mn Rmn , b = η mn bmn , кружком обозначено произведение Кулкарни-Номидзу двух тензоров: def aij ◦ cmn = aim cjn + ajn cim - ain cjm - ajm cin . Напомним [1, c. 395], что для 4-валентного тензора aijmn , кососимметричного как по первой паре индексов, так и по второй, символом ∗ aijmn мы обозначаем результат действия оператора Ходжа на левую пару индексов ij, а a∗ ijmn - результат его действия на правую пару индексов mn. Тензор aijmn называется равнодуальным, если ∗ aijmn = a∗ , и косодуальным, если ijmn ∗a ∗ ijmn = -aijmn . Перечислим несколько свойств равнодуальности и косодуальности. 1. Тензор aijmn равнодуален (косодуален) тогда и только тогда, когда ∗ a∗ ∗ ∗ ijmn = -aijmn ( aijmn = aijmn ). 2. Если тензор aijmn равнодуален (косодуален), то таковы же и тензоры ∗a ∗ ijmn и aijmn . 3. Если тензор amn кососимметричен, то тензор ηij ◦ amn равнодуален. 4. Если тензор amn симметричен, то тензор ηij ◦ amn косодуален тогда и только тогда, когда η ij aij = 0. 5. Если тензор amn симметричен, то тензор ηij ◦ amn равнодуален тогда и только тогда, когда amn = ληmn . В разложении (14) второе слагаемое косодуальное, т.к. η mn Emn = 0 (свойство 4), последние два равнодуальны (свойства 3 и 5). Тензор Вейля Cijmn также равнодуален [1, c. 397]. Применяя свойство 1, из формулы (14) получаем следующее разложение на неприводимые слагаемые: ∗ 186 1 1 1 Φ∗ ijmn = -Cijmn - ηij ◦ Emn - ηij ◦ b[mn] + Ληij ◦ ηmn . 2 2 6 (16) Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Так как Φijmn = Rijmn + ηij ◦ bmn [1, формулы (22) и (23)], при bmn = 0 формулы (14) и (16) переходят в разложения на неприводимые слагаемые для тензора Римана: 1 1 1 Rijmn = Cijmn - ηij ◦ Rmn - Rηmn - Rηij ◦ ηmn , 2 4 24 1 1 1 ∗ ∗ Rijmn = -Cijmn - ηij ◦ Rmn - Rηmn + Rηij ◦ ηmn . 2 4 24 Путём свёртки равенств (14) и (16) с η in , используя формулу η in (ηij ◦ cmn ) = -2cjm - η in cin ηjm , получим ещё два разложения на неприводимые слагаемые: def η in Φijmn = Φjm = Ejm - b[jm] + Ληjm , η in (∗ Φ∗ ) = Ejm + b[jm] - Ληjm . ijmn (17) Тензор Emn из (15) естественно назвать конформным тензором Эйнштейна, так как его обращение в нуль даёт уравнение Эйнштейна с космологическим членом [1, c. 398]. Роль космологической константы играет скаляр 1 Λ = 4 (R - 6b) , но только он не является константой. Это функция на 4-многообразии, которая изменяется только при преобразовании перенормировки по закону 1 Λ = 2 Λ. (18) λ Тензор Emn имеет нулевой след: η mn Emn = 0. В голономном представлении он записывается в виде 1 1 def Eαβ = Rαβ - Rgαβ - b(αβ) + bgαβ . 4 2 Здесь левая часть калибровочно-инвариантна, а слагаемые в правой части - нет. Для получения калибровочно-инвариантного выражения запишем равенство (17) в голономном представлении Eαβ = Φαβ + b[αβ] - Λgαβ . (19) Здесь все 4 тензора калибровочно-инвариантны. Симметризуя это равенство, получим другое калибровочно-инвариантное представление тензора Eαβ : 1 Eαβ = Φ(αβ) - Λgαβ , 2 def Φ(αβ) = Φαβ + Φβα . (20) Уравнения Эйнштейна без космологического члена также можно записать в трёх эквивалентных формах: 1 Rαβ - Rgαβ = b(αβ) , 6 Φαβ + b[αβ] = 0, Φ(αβ) = 0. (21) Свёртывая первое из этих уравнений с g αβ , убеждаемся, что Λ = 0. 187 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в При Λ = 0 последнее слагаемое в равенстве (19) задаёт на 4-многообразии калибровочно-инвариантную метрику ds2 = Ληij ω i ω j = Λgαβ duα duβ . (22) Если мы точку X0 4-многообразия конформной связности без кручения снабдим множителем |Λ|, то получим калибровочно-инвариантный объект |Λ|X0 , который будем называть материальной точкой. Метрика (22) позволяет составить функционал действия для движения материальной точки SM = |ds| = |Λ| |gαβ duα duβ |. В силу закона преобразования (18) Λ можно свести к константе в некоторой окрестности точки x0 4-многообразия путем подходящей перенормировки. Тогда, полагая равной нулю вариацию δSM , придём к известным в общей теории относительности уравнениям движения материальной точки |Λ| duβ duγ d2 uα + Γα βγ ds2 ds ds = 0. Здесь Γα - символы Кристоффеля квадратичной формы gαβ duα duβ , а s - βγ инвариантный параметр. Это позволяет нам трактовать величину |Λ| как массу. Таким образом, масса непосредственно связана с космологическим скаляром. Отсюда следует, что уравнения Эйнштейна с космологическим членом предпочтительнее уравнений Эйнштейна без него, так как при выполнении последних, как мы видели, Λ = 0, следовательно, в пространстве-времени нет массы. Итак, при Λ = 0 многообразие конформной связности без кручения является лоренцевым многообразием с дополнительной структурой. Дополнительная структура задается конформным тензором Эйнштейна Eαβ с нулевым следом, кососимметрическим тензором b[αβ] , а также внешними формами Φi , которые не образуют геометрического объекта, но из них в дальнейшем будет сконструировано несколько тензоров. Калибровочно-инвариантный тенα зор Вейля Cβγδ не является самостоятельным объектом, так как выражается через вторые частные производные метрического тензора. Калибровочно-инвариантный тензор εαβ оператора Ходжа также алгебраически выражается γδ через метрический тензор. Формула (17) показывает, что разложение тензора η in (∗ Φ∗ ) на неприводимые слагаемые не даёт новых неприводимых тензоijmn ров второй валентности. Но априори не исключена возможность образования таких тензоров путём разложения на неприводимые слагаемые тензоров η in (∗ Φijmn ) и η in Φ∗ . Этот вопрос будет исследован в разделе 3. ijmn 2. Вариационный принцип для уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Космологический скаляр Λ, если он не равен нулю, позволяет сконструировать калибровочно-инвариантную внешнюю 4-форму i Θ = Λ2 ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 = Λ2 det Bα du1 ∧ du2 ∧ du3 ∧ du4 . 188 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Отсюда с помощью формулы (12) можно получить неориентированный эле√ мент объёма dV = Λ2 -gdu1 du2 du3 du4 . Из законов преобразований (13) и (18) видно, что этот элемент объема калибровочно-инвариантен. Рассмотрим гравитационный функционал действия Sg = √ Λ2 -gdu1 du2 du3 du4 . Интегрирование осуществляется по координатной окрестности данной точки x0 многообразия. На границе окрестности никаких ограничений не накладывается. Свёртывая (19) c g αβ , получим 1 1 Λ = g αβ Φαβ = g αβ Φ(αβ) . 4 8 Будем варьировать функционал Sg по переменным g αβ . При этом Φ(αβ) есть калибровочно-инвариантный тензор, не зависящий от g αβ , поэтому δΦ(αβ) = 0. Следовательно, 1 δ Λ2 = 2ΛδΛ = Φ(αβ) δg αβ . 4 √ √ √ Вариация от -g вычислена в [16, c. 351], δ -g = - 1 -ggαβ δg αβ . Поэтому 2 δSg = √ 1 1 Λ Φ(αβ) - Λgαβ -gδg αβ du1 du2 du3 du4 . 2 2 Так как 10 вариаций δg αβ независимы, то при Λ = 0 равенство δSg = 0 возможно только при 1 Φ - Λgαβ = 0. 2 (αβ) Согласно (20), это и есть уравнение Эйнштейна с космологическим членом. Как видим, приведённый вариационный принцип не имеет ничего общего с указанным в [1] вариационным принципом для уравнений Эйнштейна без космологического члена. 3. Разложение на неприводимые слагаемые тензоров η in (∗ Φijmn ) и η in Φ∗ ijmn . Мы снова отправляемся от формулы (14). Чтобы иметь возможность вместо 4-валентных тензоров работать с более привычными 2-валентными, применим стандартный приём - использование собирательных индексов: 12 -→ 1, 13 -→ 2, 14 -→ 3, 34 -→ 4, 42 -→ 5, 23 -→ 6. Тогда любой тензор aijmn , кососимметричный как по первой, так и по второй парам индексов, заменится двухвалентным тензором в 6-мерном векторном 189 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в пространстве. Поэтому тензор aijmn может быть задан квадратной матрицей 6-го порядка, которую целесообразно разбить на 4 блока из квадратных X Y , где матриц 3-го порядка U V     a1212 a1213 a1214 a1234 a1242 a1223 X =  a1312 a1313 a1314  , Y =  a1334 a1342 a1323  a1412 a1413 a1414 a1434 a1442 a1423 и т. д. Для тензора a∗ ijmn соответствующая матрица имеет вид X Y U V · 0 -E E 0 -X -U Y V = , (23) а для тензора ∗ aijmn матрица будет такой: 0 E -E 0 · X Y U V U V -X -Y = . Здесь E - единичная матрица 3-го порядка. Отсюда следует, что матрицы равнодуального и косодуального тензоров имеют соответственно вид X Y Y -X X -Y и Y X . (24) Будем применять оператор Ходжа к правой паре индексов каждого слагаемого равенства (14). Тензор Вейля Cijmn равнодуален, поэтому его матрица имеет вид 1-й матрицы (24), причём все алгебраические соотношения между его компонентами сводятся к тому, что матрицы X и Y симметричны и име∗ ют нулевые следы [1, c. 400]. Формула (23) даёт для тензора Cijmn матрицу Y -X . Матрицы Y и (-X) по-прежнему симметричны и с нулевы-X -Y ∗ ми следами, следовательно, тензор Cijmn обладает всеми алгебраическими свойствами тензора Вейля, в частности ∗ η in Cijmn = 0. (25) 1 Второе слагаемое равенства (14) 2 ηij ◦ Emn косодуально, поэтому его матM N рица имеет вид 2-й матрицы (24) , а матрица тензора ( 1 ηij ◦ Emn )∗ 2 -M N N -M имеет вид , где, согласно [1, формула (16)], N M   -E23 -E24 1  E11 - E22 , -E32 E11 - E33 -E34 M= 2 -E42 -E43 E11 - E44   E14 -E13 1 0 -E14 0 E12  . N= 2 E -E 0 13 190 12 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Покомпонентные вычисления при выполнении операции свёртывания с тензором η in приводят к формуле η in 1 ηij ◦ Emn 2 ∗ = 0. (26) Третье слагаемое (14) 1 ηij ◦b[mn] равнодуально, поэтому его матрица имеет 2 U V , где вид V -U  U= 0 1 b[23] 2 b[24]    -b[23] -b[24] 0 b[14] -b[13] 1 0 -b[34]  , V =  -b[14] 0 b[12]  . 2 b[34] 0 b[13] -b[12] 0 Следовательно, матрица тензора 1 2 ηij ◦ b[mn] ∗ имеет вид -U . От-V ∗ 1 2 ηij ◦ b[mn] : V -U сюда, свёртывая с тензором η in , найдём матрицу тензора η in   0 b[34] b[42] b[23]  -b[34] 0 -b[14] b[13]   .  -b[42] b[14] 0 -b[12]  -b[23] -b[13] b[12] 0 Это можно записать и так: 1 ηij ◦ b[mn] 2 η in ∗ = - ∗ b[jm] . (27) Осталось 4-е слагаемое равенства (14). Так как матрица тензора ηij ◦ ηmn -E 0 имеет вид 2 , матрица тензора (ηij ◦ ηmn )∗ , согласно первой форму0 E 0 E ∗ ле (24), имеет вид 2 , следовательно, матрица тензора 1 Ληij ◦ ηmn 6 E 0 0 E 1 такова: 3 Λ . Свёртывая с η in , получим E 0 η in 1 Ληij ◦ ηmn 6 ∗ = 0. (28) Итак, матрица тензора Φ∗ ijmn имеет вид Y -X -X -Y + N N -M M + V -U -U -V 1 + Λ 3 0 E E 0 . Здесь все 4 слагаемых неприводимы. Формулы (25)-(28) приводят к следующему равенству: η in Φ∗ (29) ijmn + ∗b[jm] = 0. 191 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в В силу косодуальности тензора 1 ηij ◦ Emn и равнодуальности остальных 2 трёх слагаемых равенства (14) формулы (25)-(28) остаются в силе и при перебрасывании в этих формулах знака ∗ справа налево. Поэтому справедлива формула η in (∗ Φijmn ) + ∗b[jm] = 0. (30) Таким образом, новых неприводимых двухвалентных тензоров, линейно выражающихся через матрицу конформной кривизны, кроме Λgαβ , Eαβ , b[αβ] (и, конечно, ∗b[αβ] ), не существует. При bαβ = 0 будет Φijmn = Rijmn и формулы (29) и (30) дают два свойства тензора Римана: η αδ (∗ Rαβγδ ) = 0. ∗ η αδ Rαβγδ = 0, 4. Тензоры и формы, порожденные внешними 2-формами Φi . В этом разделе мы будем иметь дело с 3-валентными тензорами. Приведём нужные нам факты о разложении таких тензоров на неприводимые компоненты. Согласно схеме Юнга, произвольный 3-валентный тензор Tijk раскладывается на 4 инвариантных и неприводимых относительно линейной группы GL (4) слагаемых: Tijk = 1 Tijk = 3 1 T - T(jik) , 6 (ijk) Tijk = 2 1 (Tijk + Tkji - Tjik - Tjki ) , 3 1 (Tijk + Tjik - Tkij - Tkji ) , 6 Tijk = 4 1 T + T(jik) . 6 (ijk) def Мы обозначаем T(ijk) = Tijk + Tjki + Tkij . Если Tijk = -Tikj , то последний тензор обращается в нуль, и получим разложение 1 1 1 Tijk = T(ijk) + (Tijk + Tkji ) + (Tijk + Tjik ) . 3 3 3 (31) Но если группу GL (4) уменьшить до линейной подгруппы группы инвариантности уравнения ηij ω i ω j = 0, последние два слагаемых в (31) уже не будут неприводимыми. В этом случае неприводимые слагаемые будут иметь вид 1 Tijk = T(ijk) , 3 1 Tijk 4 1 1 1 2 Tijk + Tkji - ηij Tk - ηjk Ti + ηik Tj , 3 3 3 3 2 1 2 1 1 Tijk = Tijk + Tjik - ηij Tk + ηjk Ti + ηik Tj , (32) 3 3 3 3 3 1 1 = (ηij Tk + ηjk Ti - 2ηik Tj ) , Tijk = (2ηij Tk - ηjk Ti - ηik Tj ) , 9 9 5 Tijk = def где Tk = η ij Tijk = 3η ij Tijk = 4 3 ij 2 η Tijk . 5 При этом η ij Tijk = 0 при p = 1, 2,3; p η ij T(ijk) = 0 при p = 2, 3, 4, 5; T(ijk) = T(ijk) . p 192 1 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . Приступим к конструированию калибровочно-инвариантных тензоров. Наша задача состоит в том, чтобы в равенствах (9) k Φi = Φi - λk (Φk - δi Φ0 ) i 0 (33) k (δi - символ Кронекера) исключить параметры λk преобразования нормализации. I. Самый простой способ - умножить (33) внешне на ω i и воспользоваться k тождеством Бианки Φk - δi Φ0 ∧ω i = 0 [3, формула (18)]. Получим Φi ∧ω i = 0 i = Φi ∧ω i . Так как ω i не меняется при преобразовании нормализации, Φi ∧ ω i = = Φi ∧ ω i . Это означает, что 3-форма Ψ = Φi ∧ ω i (34) 1 инвариантна относительно преобразования нормализации. Из законов преобразований ω i и Φi , описанных во введении, легко установить, что Ψ также 1 инвариантна относительно преобразований Лоренца и перенормировки. Если положить 1 1 Φi = Φijk ω j ∧ ω k , Ψ = Ψijk ω i ∧ ω j ∧ ω k , 1 2 6 1 то из (34) получаем инвариантный относительно преобразования нормализации тензор Ψijk = Φ(ijk) . 1 i j k Bα Bβ Bγ Φ(ijk) инвариантен относительно всех калибровочТензор Φαβγ = ных преобразований. Поскольку он кососимметричен по всем трём индексам, то неприводим. Ковектор η im ∗ Φimn имеет своими компонентами величины Φ(ijk) , следовательно, их инвариантность равносильна инвариантности относительно преобразования нормализации ковектора η im ∗ Φimn . II. Запишем равенство (33) в компонентах: k Φimn = Φimn - λk (Φk + δi b[mn] ). imn (35) Свернём эти равенства с η im . Введя обозначения Bn = η im Φimn , 2 Bn = η im Φimn 2 и используя разложение (17), получим k Bn = Bn - λk (η ki Ein + Λδn ). 2 Обозначим (36) 2 1 k def η ki Ein + Λδn = Ak = η ki Φ(in) . n 2 2 Тогда из (36) получим λk = Bn - Bn A-1 2 2 2 n . k 193 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в Подставим это в (33): Φi = Φi + Bn - Bn A-1 2 2 2 n k k Φk - δi Φ0 . i 0 (37) Учитывая, что матрица Ak , а вместе с ней и обратная матрица (A-1 )n , инваn k 2 2 риантны относительно преобразований нормализации, мы можем переписать равенства (37) в виде Φi - Bn A-1 2 2 n k k Φk - δi Φ0 = Φi - Bn A-1 0 i 2 2 n k k Φk - δi Φ0 . i 0 Это означает, что внешние 2-формы def Ψi = Φi - Bn A-1 2 2 2 n k k Φk - δi Φ0 i 0 (38) инвариантны относительно преобразования нормализации. Отсюда легко поi лучить, что внешние 2-формы Ψα = Ψi Bα инвариантны относительно всех 2 2 калибровочных преобразований и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований. Свёртка компонентной записи равенства (38) Ψimn = Φimn - Bp A-1 2 2 2 p k k Φk - δi b[nm] imn c η im даёт η im Ψimn = 0, следовательно, в формулах (32) 4-й и 5-й тензоры 2 равны нулю, поэтому разложение на неприводимые слагаемые имеет вид (31): 1 1 1 Ψijk = Ψ(ijk) + Ψijk + Ψkji + Ψijk + Ψjik . 3 2 3 2 3 2 2 2 2 k Вычислим первое слагаемое. Так как Φk - δi Φ0 ∧ ω i = 0 [3, формула 18], 0 i из (38) имеем Ψi ∧ ω i = Φi ∧ ω i , что равносильно 2 Ψ(ijk) = Φ(ijk) . (39) 2 III. Вместо свёртывания с η im имеется другой способ исключения параметров λi преобразования нормализации в равенствах (33), основанный на внешнем умножении. Равенства (33) можно умножить внешне 4-мя способами: на Φ0 , Φn , ∗Φ0 , ∗Φn . Обозначим 0 0 i i k Φk - δi Φ0 ∧ Φ0 = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ Φ0 = Bi ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 0 i 0 3 3 k Φk - δi Φ0 ∧ Φi = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ Φi = Bn ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 n n n 4 4 k Φk - δi Φ0 ∧ ∗Φ0 = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ ∗Φ0 = Bi ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , i 0 0 i 0 5 194 5 Калибровочно-инвариантные тензоры 4-многообразия конформной связности . . . k Φk - δi Φ0 ∧ ∗Φi = Ak ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 , Φi ∧ ∗Φi = Bn ω 1 ∧ ω 2 ∧ ω 3 ∧ ω 4 . i 0 n n n 6 6 Тогда теми же рассуждениями, что и в п. II этого раздела, доказывается, что внешние 2-формы def Ψi = Φi - Bn A-1 p p p n k k Φk - δi Φ0 , i 0 p = 3, 4, 5, 6, (40) инвариантны относительно преобразований нормализации, а внешние формы i Ψα = Ψi Bα инвариантны относительно всех калибровочных преобразований p p и преобразуются по ковекторному закону относительно координатных преобразований. Формула (39) остаётся в силе: Ψ(ijk) = Φ(ijk) , p = 3, 4, 5, 6, (41) p но теперь, записывая (40) в компонентах и свёртывая с η im , имеем j η im Ψimn = Bn - Bj A-1 k Ak = 0, n p 2 p p p = 3, 4, 5, 6, (42) 2 и поэтому каждый тензор Ψijk имеет в разложении 5 неприводимых слагаеp мых вида (32), хотя 1-е слагаемое у них одно и то же - (41). Формулы (42) дают 4 ковектора η im Ψimn , инвариантных относительно преобразований норp мализации. В голономном представлении будем иметь 4 ковектора g αβ Ψαβγ , p инвариантных относительно всех калибровочных преобразований, кроме перенормировки. Но если Λ = 0, то получим 4 калибровочно-инвариантных ковектора Λ-1 g αβ Ψαβγ , p = 3, 4, 5, 6. p IV. Применяя оператор Ходжа к внешним 2-формам Ψi , p = 2, 3, 4, 5, 6, p заданных формулами (38) и (40), получим 5 ковекторов с компонентами из внешних 2-форм: def ∗Ψi = Ψi = ∗Φi - Bn A-1 p p p+5 p n k k ∗Φk - δi ∗ Φ0 , i 0 p = 2, 3, 4, 5, 6, (43) инвариантных относительно преобразований нормализации. Переходя к гоi лономному представлению Ψα = Ψi Bα и выписывая компоненты, получим p+5 p+5 новые 5 тензоров валентности три Ψαβγ , инвариантные относительно всех каp+5 либровочных преобразований. Они все приводимы. Но следует иметь в виду, что неприводимые компоненты пары тензоров Ψαβγ и Ψαβγ не имеют ничего p p+5 общего. Например, свёртка компонентной записи (43) Ψimn = ∗Φimn - Bj A-1 p+5 p p j k k (Φk )∗ - δi ∗ b[nm] imn 195 Л. Н. К р и в о н о с о в, В. А. Л у к ь я н о в с η im в силу (29) даёт один и тот же ковектор η im ∗ Φimn (найденный в п. I), поэтому в разложении Ψαβγ на неприводимые компоненты (32) последние два p+5 слагаемых одинаковые при p = 2, 3, 4, 5, 6, но первые слагаемые, в отличие от Ψαβγ , - разные. p Замечание. В специальных случаях некоторые из матриц Ak могут окаn p заться вырожденными. Понятно, что в таких случаях конструкция соответствующего ковектора Ψi из внешних 2-форм не проходит. Например, если выp 1 полняются уравнения Эйнштейна (21) Φ(in) = 0, то матрица Ak = 2 η ik Φ(in) n 2 является нулевой, поэтому, вследствие (36), получаем вместо 3-валентного тензора Ψimn лишь инвариантный относительно преобразования нормали2 зации ковектор Bn = η im Φimn . Справедливо и обратное: если ковектор Bn 2 2 инвариантен относительно преобразования нормализации, то выполняются уравнения Эйнштейна. В самом деле, свертывая (35) с η im , получим 1 k λk η im Φk - δi b[nm] = λk Ak = λk η ki Φ(in) = 0. imn n 2 2 Так как λk - произвольные функции, приходим к требуемому Φ(in) = 0. Таким образом, доказано, что в пространстве конформной связности без кручения уравнения Эйнштейна без космологического члена выполняются тогда и только тогда, когда ковектор Bn = η im Φimn является инвариантным 2 относительно преобразования нормализации. Эта характеризация конформных многообразий Эйнштейна [1, c. 394] позволяет классифицировать их по типу ковектора Bn на времениподобные, про2 странственноподобные, светоподобные и изотропные (когда ковектор Bn ну2 левой). Хотя конформные многообразия Янга-Миллса [3, c. 437] автоматически являются конформными многообразиями Эйнштейна, эта классификация для них бесполезна, так как они всегда изотропны. Это объясняется тем, что компонентны тензора η im Φimn (с точностью до знака и порядка) такие же, как компоненты внешней 3-формы ∗Φi ∧ ω i , которая в конформном многообразии Янга-Миллса равна нулю [2, с. 440].

About the authors

Leonid N Krivonosov

Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt2@ya.ru
24, Minina st., Nizhnii Novgorod, 603600, Russian Federation
(Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics

Vyacheslav A Luk'yanov

Zavolzhskij Branch of Nizhny Novgorod State Technical University

Email: oxyzt2@ya.ru
1a, Pavlovskogo st., Zavolzh’e, Nizhegorodskaya obl., 606520, Russian Federation
Senior Lecturer, Dept. of Computer Science and General Disciplines

References

  1. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Уравнения Эйнштейна на четырехмерном многообразии конформной связности без кручения” // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2012. Т. 5, № 3. С. 393-408.
  2. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна” // Изв. вузов. Матем., 2009. № 9. С. 69-74.
  3. L. N. Krivonosov, V. A. Luk'yanov, “The relationship between the Einstein and Yang-Mills equations” // Russian Math. (Iz. VUZ), 2009. vol. 53, no. 9. pp. 62-66. doi: 10.3103/S1066369X09090072.
  4. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Связь уравнений Янга-Миллса с уравнениями Эйнштейна и Максвелла” // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2009. Т. 2, № 4. С. 432-448.
  5. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Полное решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики” // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 2011. Т. 4, № 3. С. 350-362.
  6. L. N. Krivonosov, V. A. Luk'yanov, “Purely time-dependent solutions to the Yang-Mills equations on a 4-dimensional manifold with conformal torsion-free connection” // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2013. vol. 6, no. 1. pp. 40-52.
  7. Л. Н. Кривоносов, В. А. Лукьянов, “Решение уравнений Янга-Миллса для центральносимметрической метрики при наличии электромагнитного поля” // Пространство, время и фундаментальные взаимодействия, 2013. № 3. С. 54-63.
  8. Э. Картан, Пространства аффинной, проективной и конформной связности. Казань: Изд-во Казанского университета, 1962. 210 с.
  9. M. Korzyński, J. Lewandowski, “The normal conformal Cartan connection and the Bach tensor” // Class. Quantum Grav., 2003. vol. 20, no. 16. 3745. arXiv: gr-qc/0301096, doi: 10.1088/0264-9381/20/16/314.
  10. С. А. Меркулов, “Твисторная связность и конформная гравитация” // ТМФ, 1984. Т. 60, № 2. С. 311-316.
  11. S. A. Merkulov, “Twistor connection and conformal gravitation” // Theoret. and Math. Phys., 1984. vol. 60, no. 2. pp. 842-845 doi: 10.1007/BF01018984.
  12. S. A. Merkulov, “A conformally invariant theory of gravitation and electromagnetism” // Class. Quantum Grav., 1984. vol. 1, no. 4. 349. doi: 10.1088/0264-9381/1/4/007.
  13. C. Kozameh, E. T. Newman, P. Nurowski, “Conformal Einstein equations and Cartan conformal connection” // Class. Quantum Grav., 2003. vol. 20, no. 14. 3029, arXiv: grqc/0302080, doi: 10.1088/0264-9381/20/14/305.
  14. E. Gallo, C. Kozameh, E. T. Newman, K. Perkins, “Cartan normal conformal connections from pairs of second-order PDEs” // Class. Quantum Grav., 2004. vol. 21, no. 17. 4063, arXiv: gr-qc/0404072, doi: 10.1088/0264-9381/21/17/004.
  15. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теория поля / Теоретическая физика. Т. 2. М.: Наука, 1973. 504 с.

Statistics

Views

Abstract - 14

PDF (Russian) - 1

Cited-By


PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2014 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies