Inverse problem for quazilinear partial integro-differential equations of higher order

Abstract


A method of studying an inverse problem for the some classes of quasilinear partial integro-differential equation of the higher order is proposed. A theorem on the existence and uniqueness of the solution of this problem is proved.

Full Text

1. Постановка задачи. С точки зрения физических приложений представляют большой интерес дифференциальные уравнения в частных производных высоких порядков. Изучение многих задач газовой динамики, теории упругости, теории пластин и оболочек приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных производных высоких порядков. Локальная теория дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, основанная на понятиях производной по направлению и характеристик, начала формироваться еще в XVIII веке. Характеристики замечательны тем, что выражения в левой части уравнений в частных производных первого порядка представляют собой производную неизвестной функции по направлению вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить уравнение в частных производных первого порядка как обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение неизвестной функции вдоль линии характеристики. Основная идея, на которой основан развиваемый в статье подход, состоит в том, что выражение уравнений в частных производных высокого порядка через суперпозицию дифференциальных операторов в частных производных первого порядка позволяет применять методы решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В области D ≡ DT × R рассматривается нелинейное уравнение вида ∂2 ∂2 − 2 ∂t2 ∂x n L0 [u(t, x)] = f (t, x, ϑ(t)) (1) с начальными u(t, x)|t=0 = ϕ1 (x), ∂ i u(t, x) ∂ti t=0 = ϕi+1 (x), x ∈ R, i = 1, 2n, (2) 46 Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений . . . и дополнительными t P (t, s)u(s, x)ds 0 ϑ(t) t=0 x=x0 t ∈ DT , = ψ(t), = ϕ0 = const (3) (4) условиями, где ∞ T L0 [u(t, x)] ≡ ut + aux , K(s, y)u(s, y)dyds ; a = a t, x, 0 −∞ ψ(0) = 0; u(t, x) и ϑ(t) — неизвестные функции; f (t, x, ϑ) ∈ C(D×DT ); P (t, s) ∈ 2 C(DT ); a(t, x, u) ∈ C 2n, 2n (D × R); K(t, x) ∈ C(D); ϕi (x) ∈ C 2n+2 (R), i = = 1, 2n + 1; ψ(t) ∈ C(DT ); DT ≡ [0, T ], 0 < T < ∞; n — произвольное натуральное число. Изучению разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящено большое количество работ. Библиографию многих публикаций, посвященных теории линейных обратных задач, можно найти в [1–3]. В настоящей работе изучается обратная задача, где восстанавливаемая функция ϑ(t) нелинейно входит в уравнение. При решении обратной задачи (1)–(4) относительно восстанавливаемой функции получается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью неклассического интегрального преобразования сводится к нелинейному интегральному уравнению второго рода. Задание условия (4) при преобразовании обеспечивает единственность решения нелинейного интегрального уравнения первого рода и определяет значение неизвестной функции в начальной точке t = 0, т. е. ϑ(0) = ϕ0 . Обратные задачи для квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка ранее рассматривались в работах [4, 5]. Определение. Решением обратной задачи (1)–(4) называется пара непрерывных функций u(t, x) ∈ C 2n+1,2n+1 (D), ϑ(t) ∈ C(DT ) , удовлетворяющая уравнению (1) и условиям (2)–(4). 2. Задача Коши (1), (2). Левую часть уравнения (1) запишем в виде ∂2 ∂2 − 2 2 ∂t ∂x n L0 [u] = ∂ ∂ − ∂t ∂x n ∂ ∂ + ∂t ∂x n L0 [u] = Ln Ln L0 [u] , 2 1 где L2 Ln L0 [u] 1 ≡ Ln L0 [u] 1 t − Ln L0 [u] 1 x , L1 L0 [u] ≡ (L0 [u])t +(L0 [u])x . Тогда уравнение (1) приобретает вид Ln Ln L0 [u] 2 1 = f (t, x, ϑ(t)). (5) Из (5) видно, что уравнение (1) имеет одну однократную характеристику: t x− T ∞ a s, x, 0 K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds = C1 ; 0 −∞ 47 Т. К. Ю л д а ш е в, А. И. С е р е д к и н а две n-кратные характеристики: x − t = C2 , x + t = C3 , где Ci — произвольные постоянные, i = 1, 2, 3. Тогда, интегрируя уравнения (5) n раз вдоль линии третьей характеристики, получаем t Ln−1 Ln L0 [u] 1 2 = Φ1 (x + t) + f (s, x, ϑ(s))ds, (6) 0 t Ln−2 Ln L0 [u] 1 2 (t − s)f (s, x, ϑ(s))ds, = Φ2 (x + t) + Φ1 (x + t)t + (7) 0 . . . n Ln L0 [u] = 1 Φi (x + t) i=1 tn−i + (n − i)! t 0 (t − s)n−1 f (s, x, ϑ(s))ds, (n − 1)! (8) где Φi (x), i = 1, n — произвольные непрерывные функции, которые подлежат дальнейшему определению. Из (6) в силу начального условия (2) имеем Φ1 (x) = ϕ2n+1 . Так как вдоль третьей характеристики (x + t = C3 ) dLn L0 [u] ∂Ln L0 [u] ∂Ln L0 [u] ∂x 1 1 1 = + = Ln L0 [u] 1 dt ∂t ∂x ∂t . . . dn Ln L0 [u] ∂ ∂ 1 = − n dt ∂t ∂x n t − Ln L0 [u] 1 Ln L0 [u] , 1 x , (9) в силу условия (2) из (7) и (8) имеем Φ2 (x) = ϕ2n (x), . . . , Φn (x) = ϕn+2 (x). Тогда уравнение (8) приобретает следующий вид интегро-дифференциального уравнения: n Ln L0 [u] = 1 ϕn+i+1 (x + t) i=1 ti−1 + (i − 1)! t 0 (t − s)n−1 f (s, x, ϑ(s))ds. (n − 1)! (10) Аналогично, интегрируя уравнения (10) n раз вдоль второй характеристики, получаем n Ln−1 L0 [u] = Φn+2 (x − t) + 1 t ϕn+j+1 (x + s) j=1 0 t + 0 48 sj−1 ds+ (j − 1)! (t − s)n f (s, x, ϑ(s))ds, (11) n! Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений . . . Ln−2 L0 [u] = Φn+3 (x − t) + Φn+2 (x − t)t+ 1 n t (t − s)ϕn+j+1 (x + s) + j=1 0 t sj−1 ds + (j − 1)! 0 (t − s)n+1 f (s, x, ϑ(s))ds, (12) (n + 1! . . . 2n L0 [u] = i=n+1 t2n−i + Φi+1 (x−t) (2n − i)! n t 0 j=1 (t − s)n−1 sj−1 ϕn+j+1 (x+s) ds+ (n − 1)! (j − 1)! t (t − s)2n−1 f (s, x, ϑ(s))ds, (13) (2n − 1! + 0 где Φi (x), i = n + 1, 2n — произвольные непрерывные функции, которые подлежат дальнейшему определению. Из (11) в силу начального условия (2) имеем Φn+1 (x) = ϕn+1 (x). Вдоль третьей характеристики справедливо (9). А вдоль второй характеристики имеем dL0 [u] ∂L0 [u] ∂L0 [u] ∂x = + = L0 [u] dt ∂t ∂x ∂t . . . dn L0 [u] = dtn t + L0 [u] x , n ∂ ∂ + ∂t ∂x L0 [u]. (14) Тогда в силу (2) из (12) и (13) получаем Φn+2 (x) = ϕn (x), . . . , Φ2n (x) = ϕ2 (x). Отсюда имеем следующее квазилинейное интегро-дифференциальное уравнение: n ϕi+1 (x − t) L0 [u] = i=1 ti−1 + (i − 1)! n t j=1 0 (t − s)n−1 sj−1 ϕn+j+1 (x + s) ds+ (n − 1)! (j − 1)! t + 0 (t − s)2n−1 f (s, x, ϑ(s))ds. (15) (2n − 1! Интегрируя (15) один раз вдоль линии первой характеристики, с учётом начального условия (2) получаем нелинейное интегральное уравнение Вольтерра (см. [4, 5]): t u(t, x) ≡ Θ1 (t, x; u, ϑ) = ϕ1 x − 0 n ϕi+1 (x − t) + i=1 ti + i! n j=1 t 0 T ∞ a s, x, K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds + 0 −∞ (t − s)n−1 sj−1 ϕn+j+1 (x + s) ds+ (n − 1)! (j − 1)! 49 Т. К. Ю л д а ш е в, А. И. С е р е д к и н а t + 0 (t − s)2n f (s, x, ϑ(s))ds, (16) (2n)! где x играет роль параметра. Функция t ϕ1 x − ∞ T a s, x, 0 K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds −∞ 0 является первым интегралом уравнения ut + aux = 0 и она постоянна вдоль решения этого уравнения. Производные этой функции вдоль первой характеристики равны нулю и сама функция удовлетворяет данному уравнению. В (16) также отметим, что функции ϕ2 (x − t), ϕ3 (x − t), . . . , ϕn+1 (x − t) ∂ ∂ n являются первыми интегралами уравнения ∂t + ∂x u(t, x) = 0 и они постоянны вдоль решения этого уравнения. Производные этих функций вдоль второй характеристики равны нулю и сами эти функции удовлетворяют данному уравнению. А функции ϕn+2 (x + t), ϕn+3 (x + t), . . . , ϕ2n+1 (x + t) являются первыми интегралами уравнения ∂ ∂ − ∂t ∂x n u(t, x) = 0 и они постоянны вдоль решения этого уравнения. Вдоль третьей характеристики эти функции удовлетворяют данному уравнению. Исходя из этих соображений покажем, что интегральное уравнение (16) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (1). Путём (2n + 1)-кратного дифференцирования из (16) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение d2n+1 u(t, x) = f (t, x, ϑ(t)), (17) dt2n+1 где x играет роль параметра. Так как вдоль третьей характеристики справедливо (9), а вдоль второй характеристики — (14), имеем d2n+1 u(t, x) ∂ ∂ = − 2n+1 dt ∂t ∂x n ∂ ∂ + ∂t ∂x n L0 [u] = ∂2 ∂2 − 2 ∂t2 ∂x n ut + aux . Отсюда заключаем, что из обыкновенного дифференциального уравнения (17) следует диффференциальное уравнение в частных производных (1). 3. Уравнение для восстанавливаемой функции. Используя условие (4), из (16) получаем t ψ(t) = α(t)ϕ1 x0 −  n t + P (t, s)  0 50 i=1 T ∞ a s, x0 , K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds +  n si sn+j  ϕi+1 (x0 − t) + ϕn+j+1 (x0 + t) ds+ i! (n + j)! 0 0 −∞ j=1 Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений . . . t P (t, s) + 0 t (t − s)2n+1 f (s, x0 , ϑ(s))ds, α(t) = (2n + 1)! P (t, s)ds 0 или t h(t, s, ϑ(s))ds = g(t)− 0 t − α(t)ϕ1 x0 − ∞ T a s, x0 , K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds , (18) 0 −∞ 0 где h(t, s, ϑ(s)) = P (t, s) n t g(t) = ψ(t) − (t − s)2n+1 f (s, x0 , ϑ(s)), (2n + 1)! ϕi+1 (x0 − t) P (t, s) 0 i=1 si + i! n ϕn+j+1 (x0 + t) j=1 sn+j ds. (n + j)! Относительно восстанавливаемой функции ϑ(t) уравнение (18) является нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода. Его с помощью классических методов невозможно свести к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, к которому мы могли бы применять метод последовательных приближений. Уравнение (18) запишем в виде [6] t ϑ(t) + G(s)ϑ(s)ds = ϑ(t) + g(t)− 0 t − α(t)ϕ1 x0 − ∞ T a s, x0 , K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds + 0 −∞ 0 t G(s)ϑ(s) − h(t, s, ϑ(s)) ds, (19) + 0 где 0 < G(t) — произвольная функция такая, что t exp − G(s)ds 1. 0 Применяя к (19) метод резольвенты ядра [−G(s)], получаем t ϑ(t) = ϑ(t) + g(t) − α(t)ϕ1 x0 − T 0 K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds + 0 t −∞ t G(s)ϑ(s) − h(t, s, ϑ(s)) ds − + ∞ a s, x0 , G(s) exp −µ(t, s) 0 ϑ(s) + g(s)− 0 s − α(s)ϕ1 x0 − ∞ T a θ, x0 , 0 K(ξ, y)u(ξ, y)dydξ dθ + −∞ 0 s G(θ)ϑ(θ) − h(s, θ, ϑ(θ)) dθ ds, (20) + 0 51 Т. К. Ю л д а ш е в, А. И. С е р е д к и н а где t µ(t, s) = G(θ)dθ, µ(t, 0) = µ(t). s После несложных преобразований из (20) имеем ϑ(t) ≡ Θ2 (t; u, ϑ) = ϑ(t) + g(t)− ∞ T t − α(t)ϕ1 x0 − K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds + a s, x0 , −∞ 0 0 t G(s)ϑ(s) − h(t, s, ϑ(s)) ds exp −µ(t) + + 0 t G(s) exp −µ(t, s) + g(t) − g(s) + ϑ(t) − ϑ(s)− 0 T ∞ T t − α(t)ϕ1 x0 − −∞ ∞ a s, x0 , 0 K(θ, y)u(θ, y)dydθ ds + 0 s + α(s)ϕ1 x0 − a θ, x0 , 0 K(ξ, y)u(ξ, y)dydξ dθ + −∞ 0 t s G(s)ϑ(s) − h(t, s, ϑ(s)) ds − + 0 G(θ)ϑ(θ) − h(s, θ, ϑ(θ)) dθ ds. (21) 0 Уравнение (18) при начальном условии (4) эквивалентно уравнению (21). 4. Разрешимость обратной задачи (1)–(4). Итак, мы получаем, что разрешимость обратной задачи (1)–(4) эквивалентна разрешимости следующей системы нелинейных интегральных уравнений: u(t, x) ≡ Θ1 (t, x; u, ϑ), ϑ(t) ≡ Θ2 (t; u, ϑ), (22) где x играет роль параметра. Для произвольной непрерывной в области D функции h(t, x) норму вводим следующим образом: h(t, x) = max |h(t, x)|, (t,x)∈D где x играет роль параметра. Аналогично вводится норма для функции одной переменной. Теорема. Пусть выполняются следующие условия: 2n+1 Ti ∆0 < ∞; i! i=1 2) f (t, x, ϑ) ∈ Bnd(M0 (t)) ∩ Lip{L0 (t)|ϑ }; T (T − s)2n 3) 0 < M0 (s)ds ∆1 < ∞; (2n)! 0 1) |ϕi (x)| 52 Mi , 0 < Mi Обратная задача для квазилинейных интегро-дифференциальных уравнений . . . T (T − s)2n L0 (s)ds ∆2 < ∞; (2n)! 0 5) ϕ1 (x) ∈ Lip{L1 |x }, 0 < L1 < ∞; 6) a(t, x, z) ∈ Lip{L2 (t)|z }, 4) 0 < ∞ T T ∆3 < ∞; K(s, y)dydsdt L2 (t) 0 < L1 −∞ max{β1 ; β2 }, T 0 0 7) ρ < 1, где ρ = β2 = max{∆3 ; α(t) ∆3 M0 }, T ∆2 G(t) dt + P (t, s) M0 , 2n + 1 β1 = max ∆2 ; 1 + 0 t M0 = max exp −µ(t) + 2 t∈DT G(s) exp −µ(t, s) ds 1. 0 Тогда обратная задача (1)–(4) имеет единственное решение в области D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся методом последовательных приближений. Рассмотрим следующий итерационный процесс: u0 (t, x) = 0, uk+1 (t, x) ≡ Θ1 (t, x; uk , ϑk ), ϑ0 (t) = 0, ϑk+1 (t) ≡ Θ2 (t; uk , ϑk ), k = 0, 1, 2, . . . , (23) где x играет роль параметра. Тогда в силу условий теоремы из (23) получаем, что справедливы следующие оценки: 2n+1 u1 (t, x) − u0 (t, x) Mi i=1 ti + i! t (t − s)2n M0 (s)ds (2n)! 0 ∆0 + ∆ 1 ; (24) uk+1 (t, x) − uk (t, x) t L1 T 0 0 t + 0 ∞ K(θ, y) uk (θ, y) − uk−1 (θ, y) dydθds+ L2 (s) (t −∞ − s)2n L0 (s) ϑk (s) − ϑk−1 (s) ds (2n)! ∆3 uk (t, x) − uk−1 (t, x) + ∆2 ϑk (t) − ϑk−1 (t) ; (25) t ϑ1 (t) − ϑ0 (t) g(t) + α(t) M1 + h(t, s, 0, 0) ds exp −µ(t) + 0 t t G(s) exp −µ(t, s) +2 g(t) + α(t) M1 + 0 h(t, s, 0, 0) ds ds 0 T g(t) + α(t) M1 + h(T, s, 0, 0) ds M0 , (26) 0 t M0 = max exp −µ(t) + 2 t∈DT G(s) exp −µ(t, s) ds 1; 0 53 Т. К. Ю л д а ш е в, А. И. С е р е д к и н а ϑk+1 (t) − ϑk (t) K(θ, y) uk (θ, y) − uk−1 (θ, y) dydθds+ L2 (s) −∞ 0 0 t + 1+ ∞ T t α(t) M0 L1 T G(s) ds + 0 (T − s)2n+1 L0 (s)ds M0 ϑk (t) − ϑk−1 (t) (2n + 1)! α(t) ∆3 uk (t, x) − uk−1 (t, x) + P (t, s) 0 T + 1+ G(t) dt + P (t, s) 0 T ∆2 M0 ϑk (t) − ϑk−1 (t) . (27) 2n + 1 Примем следующие обозначения: T β1 = max ∆2 ; 1 + T ∆2 M0 , 2n + 1 ρ = max β1 ; β2 . G(t) dt + P (t, s) 0 β2 = max ∆3 ; α(t) ∆3 M0 , Тогда из (25) и (27) имеем Uk+1 (t, x) − Uk (t, x) ρ Uk (t, x) − Uk−1 (t, x) , (28) где Uk (t, x) − Uk−1 (t, x) ≡ uk (t, x) − uk−1 (t, x) + ϑk (t) − ϑk−1 (t) . Из оценок (24), (26) и (28) следует, что операторы в правой части системы (22) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)–(4) имеет единственное решение в области D.

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia (Ph. D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

Anna I Seredkina

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: anytik888@yandex.ru
31, pr. “Krasnoyarski Rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia Graduate Student, Ingineer, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. А. М. Денисов, Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 285 с.
  2. В. Г. Романов, Обратные задачи для математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.
  3. М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1999. 330 с.
  4. Т. К. Юлдашев, “Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка” // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2012. № 2. С. 56–62.
  5. Т. К. Юлдашев, “Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка” // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика, 2012. Т. 6, № 11(270). С. 35–41.
  6. Т. К. Юлдашев, “Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 2(19). С. 38–44.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 5

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies