Method for nonlinear stochastic problem of creep solving for a plane taking into account damage of the material

Abstract


The analytical method for nonlinear stochastic problem of creep solving for a plane taking into account the damage of the material and the third stage of creep is developed. Determinative creep equations are taken in accordance with the energy version of the nonlinear theory of a viscous flow in a stochastic form. Stochasticity of the material is determined by two random functions of coordinates $x_1$ and $x_2$. Linearization of the problem relative to the nominal stress on the basis of small parameter method is produced. The variance of the random stress fields is found on the hypothesis that processes of creep and damage accumulation are independent. The case when the plane is stretched in two orthogonal directions in proportion to some parameter is given as an example. The provided analysis showed that at the third stage of creep magnitude stress fluctuation is increased relative to the value at the stage in steady-state creep.

Full Text

Одним из основных методов решения стохастических краевых задач является метод малого параметра, который позволяет свести статистически нелинейную задачу к последовательности статистически линейных задач. Однако уже использование второго приближения метода малого параметра при решении плоской нелинейной стохастической задачи ползучести приводит к громоздким выражениям [1, 2]. Аналитические методы решения стохастических задач с учетом накопления повреждённости и третьей стадии ползучести были разработаны лишь для равномерного растяжения плоскости на основе первого приближения метода малого параметра [3]. В данной работе в общем виде приводится решение нелинейной стохастической задачи ползучести неоднородной плоскости с учётом повреждённости материала. В силу стохастической неоднородности среды компоненты тензоров напряжений и деформаций в декартовой ортогональной системе координат будут являться случайными функциями координат x1 и x2 и времени t. Упругие деформации считаются малыми настолько, что ими можно пренебречь. 69 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а Определяющие соотношения ползучести с учётом третьей стадии принимаются в соответствии с энергетическим вариантом [4] нелинейной теории вязкого течения в стохастической форме [3]: 1 1 ¯ σ ¯ ¯ ¯ pij = c¯n−1 σij − δij σkk 1 + α1 U1 (x1 , x2 ) , s2 = (3¯ij σij − σii σjj ) , (1) ˙ s ¯ ¯ 3 2 σij = σij (1 + ω), ω = b (1 + α2 U2 (x1 , x2 )) σij pij , ¯ ˙ ¯ ˙ (2) где σij — компоненты тензора истинных напряжений; σij — компоненты тензо¯ ра номинальных напряжений, pij — компоненты тензора скоростей деформа˙ ций; δij — символ Кронекера; c, b, n, α1 , α2 — постоянные материала; ω — скалярный параметр повреждённости, Ui (x1 , x2 ) — случайные однородные функции, описывающие стохастические свойства материала с математическим ожиданием Ui = 0 и дисперсией Ui2 = 1. По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2. К определяющим соотношениям ползучести (1) присоединяются уравнения равновесия для номинальных напряжений и условие совместности деформаций, сформулированное для скоростей деформаций ползучести: σij ,j = 0, i, j = 1, 2, Λij Λkl pjk,il = 0, ˙ (3) (4) где Λij — единичный антисимметричный псевдотензор. Поставленная задача в дальнейшем решается относительно номинальных напряжений σij на основе линеаризации методом малого параметра. Очевидно, что при ω = 0 соотношения (1)–(4) задают нелинейную стохастическую задачу установившейся ползучести при плоском напряжённом состоянии без учёта накопления повреждённости и третьей стадии ползучести, аналитические методы решения которой приведены в работах [1, 2]. Представим определяющие соотношения (1), (2) в виде pij = rij (1 + ω)n , ˙ ˙ (5) n+1 ω = b 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij (1 + ω) ˙ ˙ , (6) где 1 rij = csn−1 σij − δij σkk 1 + α1 U1 (x1 , x2 ) . ˙ 3 Здесь s — интенсивность номинальных напряжений. Разделим переменные в уравнении (6): ω ˙ = b (1 + α2 U2 (x1 , x2 )) σij rij ˙ (1 + ω)n+1 и проинтегрируем полученное при начальном условии ω(0) = 0: t 1 1 1− = b 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) n (1 + ω)n σij rij dτ. ˙ (7) 0 Выразим величину (1 + ω)n из последнего соотношения: −1 t (1 + ω)n = 1 − bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij dτ ˙ 0 70 (8) Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . и проведём линеаризацию правой части соотношения (8): t (1 + ω)n ≈ 1 + bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) σij rij dτ . ˙ (9) 0 Тогда соотношение (5) с учётом (9) приводится к виду t pij = rij 1 + bn 1 + α2 U2 (x1 , x2 ) ˙ ˙ σij rij dτ . ˙ (10) 0 Пусть тензор номинальных напряжений представлен в виде суммы детер0 ∗ минированного слагаемого σij и флуктуации σij : 0 ∗ σij = σij + σij , 0 σij = σij . (11) Линеаризация соотношения (7) была произведена в работе [5] при усло∗ ∗ ∗ вии, что величины вида σij σkl и α1 U σij малы и ими можно пренебречь: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ r11 = r11 + A (2σ11 − σ22 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl1 + α1 U1 l1 ) , ˙ ˙0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ r22 = r22 + A (2σ22 − σ11 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl2 + α1 U1 l2 ) , ˙ ˙0 ∗ ∗ ∗ ∗ r12 = r12 + 3A (σ12 + (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 )kl3 + α1 U1 l3 ) , ˙ ˙0 где 1 A = csn−1 , 3 0 2 r11 = Al1 , ˙0 2 r22 = Al2 , ˙0 0 0 0 0 0 s2 = σ11 + σ22 −σ11 σ22 +3 σ12 0 2 r12 = 3Al3 , ˙0 k= n−1 , 2s2 0 0 0 0 0 0 , l1 = 2σ11 −σ22 , l2 = 2σ22 −σ11 , l3 = σ12 . Представим величины pij , rij , σij в виде разложения (11) и подставим их ˙ ˙ в соотношение (10): p0 + p∗ = rij + rij ˙ij ˙ij ˙0 ˙∗ t 1 + bn (1 + α2 U2 ) 0 ∗ σij + σij rij + rij dτ . ˙0 ˙∗ (12) 0 Учитывая при раскрытии скобок в (12) только члены первого порядка малости, для флуктуаций скоростей деформаций получим p∗ = A2 bnl1 I + A2 bnα2 U2 l1 Et+ ˙11 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) (2σ11 − σ22 + kl1 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l1 ) , p∗ = A2 bnl2 I + A2 bnα2 U2 l2 Et+ ˙22 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) (2σ22 − σ11 + kl2 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l2 ) , (13) p∗ = 3A2 bnl3 I + 3A2 bnα2 U2 l3 Et+ ˙12 ∗ ∗ ∗ ∗ + 3A(1 + A1 t) (σ12 + kl3 (σ11 l1 + σ22 l2 + 6σ12 l3 ) + α1 U1 l3 ) , где t I = I(t, x1 , x2 ) = B1 0 t ∗ σ11 dτ + B2 0 t ∗ σ22 dτ + B3 ∗ σ12 dτ, 0 71 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а A1 = AbnE, E= 0 σ11 l1 + B1 = l1 (2 + kE), 0 0 σ22 l2 + 6σ12 l3 . B2 = l2 (2 + kE), B3 = 6l3 (2 + kE), Если в уравнение совместности для флуктуаций скоростей деформаций, которое можно записать в виде p∗ ,22 − 2p∗ ,12 + p∗ ,11 = 0, ˙11 ˙12 ˙22 подставить (13), то получим следующее соотношение A2 bn (l1 I,22 + l2 I,11 − 6l3 I,12 ) + A2 bnEtα2 (l1 U2,22 + l2 U2,11 − 6l3 U2,12 ) + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + A(1 + A1 t) 2σ11,22 − σ22,22 + 2σ22,11 − σ11,11 − 6σ12,12 + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + kl1 σ11,22 l1 + σ22,22 l2 + 6σ12,22 l3 + kl2 σ11,11 l1 + σ22,11 l2 + 6σ12,11 l3 − ∗ ∗ ∗ − 6kl3 σ11,12 l1 + σ22,12 l2 + 6σ12,12 l3 + α1 (U1,22 l1 + U1,11 l2 − 6U1,12 l3 ) = 0. (14) Введём функцию напряжений F для флуктуаций тензора номинальных напряжений такую, что ∗ σ11 = F,22 , ∗ σ22 = F,11 , ∗ σ12 = −F,12 . (15) ∗ Очевидно, что уравнения равновесия для флуктуаций напряжений (σij ,j = 0) удовлетворяются при этом тождественно. Подставив (15), (13) в (14), получим следующее интегро-дифференциальное уравнение относительно функции напряжений F : t t t A2 bn B1 l1 t t F,1122 dτ + l2 + B2 l1 0 0 F,1112 dτ F,1122 dτ + t F,1112 dτ − 6l3 0 − 0 t F,1222 dτ + l2 0 t F,1111 dτ − 6l3 t − B3 l1 + 0 0 0 F,1222 dτ F,1122 dτ − 6l3 F,2222 dτ + l2 0 + α1 Et (l1 U1,22 + l2 U1,11 − 6l3 U1,12 ) + α2 Et (l1 U2,22 + l2 U2,11 − 6l3 U2,12 ) + 2 2 + (1 + A1 t) F,2222 (2 + kl1 ) + 2F,1122 (2 + kl1 l2 ) + F,1111 (2 + kl2 )− − 12kl3 (F,1222 l1 + F,1112 l2 − 3F,1122 l3 )+ + α1 (U1,22 l1 + U1,11 l2 − 6U1,12 l3 ) = 0. (16) Однородные функции Up (x1 , x2 ), p = 1, 2, считаются изотропными, с их помощью задаются случайные поля возмущений реологических свойств материала. Согласно принятым условиям будем брать функции Up (x1 , x2 ) в виде 72 Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . стохастических интегралов Фурье—Стилтьеса [4]: +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) dϕp (q1 , q2 ) , Up (x1 , x2 ) = −∞ p = 1, 2, (17) −∞ причём случайные дифференциалы dϕp (q1 , q2 ) удовлетворяют условию стохастической ортогональности: dϕp (q1 , q2 ) dϕp (q1 , q2 ) = Sp (q1 , q2 ) δ q1 − q1 δ q2 − q2 dq1 dq2 dq1 dq2 , где Sp (q1 , q2 ) — спектральная плотность поля Up , δ(x) — дельта-функция Дирака; черта означает комплексное сопряжение (по индексу p не проводится суммирование). Поскольку случайные поля микронеоднородностей Up (x1 , x2 ) являются быстроосциллирующими, решение линеаризованной задачи (16) также будет однородным и его можно искать в виде +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) (b1 (q1 , q2 , t)dϕ1 (q1 , q2 ) + b2 (q1 , q2 , t)dϕ2 (q1 , q2 )) , F = −∞ −∞ (18) где bp (q1 , q2 , t), p = 1, 2 — неизвестные весовые функции. Подставив представления (17), (18) в соотношение (16), получим два уравнения для вычисления весовых функций bp (q1 , q2 , t): t Kb1 (1 + A1 t) + L b1 dτ = (1 + 2A1 t)α1 M, (19) 0 t Kb2 (1 + A1 t) + L b2 dτ = A1 tα2 M, (20) 0 где 2 2 K = 2 q1 + q2 2 + kM 2 , 2 2 L = AbnM q2 B1 + q1 B2 − q1 q2 B3 , 2 2 M = q1 l2 + q2 l1 − 6q1 q2 l3 . Решим уравнение (19). Используя замену переменной b1 (t) = x(t), при˙ водим уравнение (19) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка K(1 + A1 t)x(t) + Lx(t) = (1 + 2A1 t)α1 M. ˙ (21) Общее решение уравнения (21), найденное с помощью подстановки Бернулли в виде произведения двух функций, имеет вид − ALK x(t) = C(1 + A1 t) 1 + α1 M 2α1 M K (1 + 2A1 t) − (1 + A1 t). L L(L + A1 K) (22) Здесь C — произвольная постоянная. Дифференцируя решение (22), получим b1 (t) = −C L α 1 A1 M − L −1 (1 + A1 t) A1 K + 2 . K L + A1 K 73 Н. Н. П о п о в, О. О. Ч е р н о в а Используя начальное условие b1 (0) = α1 M /K, полученное из (19) при t = 0, найдём α1 M (L − A1 K) . C=− L(L + A1 K) В итоге весовая функция b1 (t) определяется формулой b1 (t) = α1 M (L − A1 K) α 1 A1 M − L −1 (1 + A1 t) A1 K + 2 . K(L + A1 K) L + A1 K (23) Уравнение (20) решается аналогично при начальном условии b2 (0) = 0. Его решение имеет следующий вид: b2 (t) = α2 A1 M − L −1 1 − (1 + A1 t) A1 K . L + A1 K (24) Таким образом, согласно (8), (23), (24) компоненты тензора флуктуаций номинальных напряжений вычисляются по формуле ∗ σkl = +∞ +∞ ei(q1 x1 +q2 x2 ) (ckl (q1 , q2 , t)dϕ1 (q1 , q2 ) + dkl (q1 , q2 , t)dϕ2 (q1 , q2 )) , −∞ −∞ 2 2 2 где c11 = −q2 b1 , c12 = q1 q2 b1 , c22 = −q1 b1 ; d11 = −q2 b2 , d1 = q1 q2 b2 , d11 = 2 = −q1 b2 . Дисперсии случайного поля напряжений вычислялись в предположении, что процессы ползучести и накопления повреждённости оказывают независимое влияние на вероятностные характеристики напряжений. В этом случае дисперсии напряжений определяются следующим образом: Dkl (t) = D (σkl ) = |σkl |2 = +∞ +∞ = −∞ −∞ S1 (q1 , q2 )c2 (q1 , q2 , t) + S2 (q1 , q2 )d2 (q1 , q2 , t) dq1 dq2 . (25) kl kl В случае изотропного скалярного поля Up спектральная плотность Sp за2 2 висит только от модуля волнового вектора q0 = q1 + q2 , а для дисперсии выполняется равенство [8] ∞ DUp (t) = 2π Sp (q0 )q0 dq0 = 1. (26) 0 Поэтому целесообразно в интеграле (25) сделать переход к полярным координатам q1 = q0 cos ϕ, q2 = q0 sin ϕ. Тогда дисперсии напряжений с учётом (26) будут определяться по формуле 2π 1 2 Rkl (t, cos ϕ, sin ϕ) + Q2 (t, cos ϕ, sin ϕ) dϕ, kl 2π 0 где Rkl (t, cos ϕ, sin ϕ), Qkl (t, cos ϕ, sin ϕ) — известные рациональные функции. В силу громоздкости они здесь не выписаны. В качестве примера рассмотрим случай, когда плоскость растягивается в двух ортогональных направлениях пропорционально параметру h, т. е. Dkl (t) = 74 Метод решения нелинейной стохастической задачи . . . 0 0 0 σ11 = σ 0 , σ22 = hσ 0 , σ12 = 0. Расчёты производились при h = 2, σ 0 = = 33,24 МПа и следующих параметрах определяющих соотношений, заимствованных из работы [9]: n = 3,2, c = 6,67 · 10−9 МПа−3,2 ч−1 , b = 0,141. В табл. 1 приведены значения коэффициента вариации D11 (0)/σ 0 (в процентах), полученные для случая установившейся ползучести при различных значениях α1 без учёта повреждённости (при t = 0). В табл. 2 представлены значения D11 (1000)/σ 0 в зависимости от параметров α1 и α2 . Таблица 1 α1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 D11 (0)/σ 0 1,26 2,52 3,78 5,04 6,30 Таблица 2 α1 α2 = 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 2,74 5,05 7,45 9,88 12,31 D11 (1000)/σ 0 α2 = 0,2 α2 = 0,3 α2 = 0,4 3,46 5,48 7,75 10,10 12,49 4,41 6,12 8,22 10,47 12,79 5,47 6,92 8,83 10,96 13,19 α2 = 0,5 6,59 7,84 9,56 11,55 13,69 Из табл. 2 следует, что наблюдается существенное изменение величины коэффициента вариации D11 (t)/σ 0 с течением времени. В зависимости от сочетания параметров α1 и α2 и времени t эта величина может в несколько раз превышать соответствующее значение в случае установившейся ползучести без учёта повреждённости материала. Иными словами, на третьей стадии ползучести происходит увеличение величины флуктуации напряжения с течением времени, что, в свою очередь, может служить теоретическим обоснованием экспериментально наблюдаемого увеличения разброса деформации ползучести на стадии разупрочнения по сравнению с разбросом на стадии установившейся ползучести.

About the authors

Nikolay N Popov

Samara State Technical University

Email: ponick25@gmail.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

Olga O Chernova

Samara State Technical University

Email: chernova_olga@citydom.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
Junior Research Scientist, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Н. Н. Попов, С. А. Забелин, “Решение нелинейной стохастической задачи ползучести методом малого параметра при плоском напряженном состоянии” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2006. № 43. С. 106–112.
  2. Н. Н. Попов, О. О. Чернова, “Решение нелинейной задачи ползучести для стохастически неоднородной плоскости на основе второго приближения метода малого параметра” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2011. № 4(25). С. 50–58.
  3. В. П. Радченко, Н. Н. Попов, “Нелинейная стохастическая задача ползучести неоднородной плоскости с учетом поврежденности материала” // ПМТФ, 2007. Т. 48, № 2. С. 140–145.
  4. В. П. Радченко, Ю. А. Ерёмин, Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. М.: Машиностроение-1, 2004. 265 с.
  5. В. П. Радченко, Н. Н. Попов, “Стохастические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости” // Изв. вузов. Машиностроение, 2006. № 2. С. 3–11.
  6. Н. Н. Попов, Л. В. Коваленко, М. А. Яшин, “Решение плоской нелинейной стохастической задачи ползучести методом спектральных представлений” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 2(19). С. 99–106.
  7. Л. В. Коваленко, Н. Н. Попов, В. П. Радченко, “Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести” // ПММ, 2009. Т. 73, № 6. С. 1009–1016.
  8. А. А. Свешников, Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968. 464 с.
  9. Закономерности ползучести и длительной прочности / ред. С. А. Шестериков. М.: Машиностроение, 1983. 102 с.

Statistics

Views

Abstract - 13

PDF (Russian) - 6

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies