On one class of analytic solutions of the stationary axisymmetric convection Bénard–Maragoni viscous incompreeible fluid

Abstract


The purpose of this work is to find solutions for the system of equations Oberbeck– Boussinesq flat convection Bénard–Marangoni a viscous incompressible fluid. In this viscous incompressible fluid the radial component of the temperature gradient may become zero. It is shown that the initial system may be reduced to the system of equations of ordinary differential equations of the eleventh order. We obtain the exact solution at the point of the extremum of the temperature (at zero including Grasgof’s). Integration of equations is carried out in dimensionless variables, which are non-classical way: put the scale factor for each variable, and not by linear characteristic size of the layer. The solution is the initial approximation to the solution of convection Bénard–Marangoni in numbers Grasgof’s, the big zero.

Full Text

Введение. Не вызывает сомнений, что конвективное течение жидкости, связанное с неоднородным нагревом, является самым распространенным во Вселенной [1]. Систематические исследования конвективных течений вязкой несжимаемой жидкости датируются тысяча восемьсот восемьдесят восьмым годом, когда Томсон наблюдал образование сотовых структур в мыльной воде и мясном бульоне [2]. Это эмпирическое наблюдение легло в основу экспериментальной гидродинамики и регулярно используется для подтверждения или опровержения новых теоретических концепций, позволяющих количественно и качественно оценить основные характеристики течений. В работах Бенара [3–5] отражено продолжение экспериментальных исследований конвективных течений и описана структура течения, представляющая собой пчелиные соты. При интерпретации опыта Бенаром в качестве механизма образования конвекции при подогревании плоского горизонтального слоя указывалась связь вязкости жидкости с термокапиллярными силами, возникающими на свободной поверхности [3–5], а не подъемная сила, как предполагали другие исследватели [1, 2]. Несмотря на то, что изучение конвекции жидкости началось с плоских течений, не меньший интерес вызывают осесимметричные течения. Осесимметричная конвекция Бенара— Марангони очень важна при изучении ряда технологических процессов, например, при описании выращивания кристаллов методом Чохральского [6], в Сергей Николаевич Аристов (д.ф.-м.н.), главный научный сотрудник, лаб. гидродинамической устойчивости. Просвиряков Евгений Юрьевич (к.ф.-м.н.), докторант, доцент, каф. основ конструирования. 110 Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции . . . астрофизике [7], геофизической гидродинамике [7–10], метеорологии и климатологии [7, 9, 10]. Точное решение уравнений, описывающих термокапиллярную конвекцию, впервые было найдено Бирихом [11]. Развитие и обобщение решения Бириха, интерпретацию физического смысла механизмов термокапиллярной конвекции можно проследить по работам [11–16]. Отметим, что до сих пор исчерпывающе не решена задача об описании осесимметричных термокапиллярных течений вблизи экстремальных значений температуры, в которых производная, вычисленная по радиальной координате, обращается в нуль. Построенные решения [11–16] не позволяют изучить анонсируемый класс течений, поэтому целью настоящей работы является построение точного решения системы Обербека—Буссинеска термокапиллярной конвекции, описывающего экстремальное температурное поле при числе Грасгофа, стремящемся к нулю. Найденное решение при необременительных ограничениях может быть использовано в качестве начального приближения для поиска устойчивых и неустойчивых решений осесимметричной конвекции Бенара—Марангони. 1. Постановка задачи. Запишем систему уравнений в цилиндрической системе координат, описывающих термокапиллярную конвекцию при установившемся осесимметричном движении вязкой несжимаемой жидкости (система уравнений Обербека—Буссинеска [17, 18]): 2 Vϕ ∂Vz ∂P Vr ∂Vr + Vz − =− + ν ∆Vr − 2 , Vr ∂r ∂z r ∂r r ∂Vϕ Vr Vϕ Vϕ ∂Vϕ + Vz + = ν ∆Vϕ − 2 , Vr ∂r ∂z r r ∂Vz ∂Vz ∂P Vr + Vz =− + gβT + ν∆Vz , ∂r ∂z ∂z ∂T 1 ∂ (rVr ) ∂Vz ∂T + Vz = χ∆T, + = 0. Vr ∂r ∂z r ∂r ∂z (1) В системе уравнений (1) введены следующие обозначения: Vr , Vϕ , Vz — радиальная, азимутальная и вертикальная скорости соответственно; P — отклонение давления от гидростатического, делённое на постоянную среднюю плотность жидкости ρ; T — отклонение от средней температуры; ν, χ — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности жидкости ∂ ∂ ∂2 соответственно; ∆ = 1 ∂r r ∂r + ∂z 2 — оператор Лапласа, определённый в r цилиндрической системе координат. При достаточно малом нагреве решения системы (1) могут быть разложены в ряды Тейлора с различным числом удерживаемых членов для анализа течений [19, 20]. Решение системы (1) будем искать в следующем классе [19]: Vr = ru, Vϕ = rv, Vz = w, T = T0 + r2 r2 T11 , P = P0 + P11 . 2 2 (2) Класс решений (2) обобщает решения, полученные Бирихом [11], Карманом [17], Сидоровым [20], Линем [21]. Подставим класс (2) в (1), получим полиномиальные выражения, которые в силу линейной независимости степенного базиса формируют систему уравнений, распадающуюся на две под111 С. Н. А р и с т о в, Е. Ю. П р о с в и р я к о в системы: ∂u ∂2u − v 2 = −P11 + ν 2 , ∂z ∂z ∂T11 ∂ 2 T11 2uT11 + w =χ ; ∂z ∂z 2 ∂w ∂P11 = 0, = gβT11 , ∂z ∂z ∂v ∂2v 2uv + w = ν 2, ∂z ∂z u2 + w 2u + (3) ∂P0 ∂2w ∂T0 ∂ 2 T0 ∂w =− + ν 2 + gβT0 , w = χ T11 + . (4) ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z 2 Запишем граничные условия, учитывая, что на верхней, свободной, границе задан локализованный источник тепла: w T = θ r 1− 2 R 2 . (5) Здесь θ — характерная разность температур, R — максимальное радиальное значение. Для основной системы (3) восьмого порядка граничные условия имеют следующий вид: при z = −h : v = w = при z = 0 : w = ∂w = 0; ∂z ∂v θ ∂u σ = 0, P11 = 0, T11 = − 2 , = − T11 , ∂z R ∂z η где σ = ∂α/∂T температурный коэффициент поверхностного натяжения α, η — коэффициент динамической вязкости [18]. Для вспомогательной системы третьего порядка граничные условия имеют следующий вид: при z = −h : T0 + T11 R2 θ = 0; при z = 0 : T0 = , P0 = A. 2 2 (6) Здесь A — атмосферное давление [13, 17, 18]. Граничное условие на твёрдой поверхности задается из условия, согласно которому имеет место нулевая температура на радиальной границе. Раскладывая в ряды Тейлора граничные условия, убеждаемся, что класс решений (2) удовлетворяет граничным условиям. 2. Решение редуцированной системы уравнений Обербека—Буссинеска. Для решения краевой задачи (3)–(6) приведем уравнения (3), (4) и граничные условия (5)–(6) к безразмерному виду. В качестве базиса выберем следующие размерные комплексы: h — вертикальный (поперечный) характерный размер; R — радиальный характерный размер; θ — температура; gβθh4 /(νR2 ) — вертикальная скорость; gβθh — давление, делённое на постоянную плотность. Используя выбранный базис, получим краевую задачу, записанную в безразмерной форме для систем (3) и (4): ∂w ∂P11 = 0, = T11 ; ∂z ∂z ∂v ∂2v Gr 2uv + w = 2, ∂z ∂z 2u + 112 ∂u ∂2u − v 2 = −P11 + 2 ; ∂z ∂z 2T ∂T11 1 ∂ 11 Gr 2uT11 + w = ; ∂z Pr ∂z 2 Gr u2 + w (7) Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции . . . ∂w ∂T0 ∂P0 ∂2w 1 2 ∂ 2 T0 =− + δ 2 2 + T0 , Grw = δ T11 + ; ∂z ∂z ∂z ∂z Pr ∂z 2 ∂w = 0; при z = −1 : v = w = ∂z ∂v ∂u при z = 0 : w = = 0, P11 = 0, T11 = −1, = −MgT11 ; ∂z ∂z Grδ 2 w при z = −1 : T0 + (8) T11 1 = 0; при z = 0 : T0 = , P0 = 1. 2 2 (9) Здесь Gr = gβθh5 /(ν 2 R2 ) — осесимметричное число Грасгофа, записанное для вертикального и радиального характерных масштабов; Pr = ν/χ и Mg = = σ/(ρh2 gβ) — число Прандтля и Марангони соответственно; δ = h/R — безразмерный геометрический параметр. Отметим, что если осуществлять обезразмеривание с одним характерным масштабом, то есть h = R, то получим классическое число Грасгофа: Gr = gβθh3 /ν 2 [1, 2, 6–18, 20]. При числе Грасгофа, равном нулю (Gr = 0), краевая задача (7)–(9) имеет аналитическое решение: 1 z2 1 z − 1, P11 = 15 Mg − − z, 4 4 2 1 z4 z3 3 1 u = 15 Mg − − + Mgz + Mg − , 4 4! 3! 8 96 1 z5 z4 z2 3 1 w = 15 −2Mg + + 2 − 2Mg + − Mg + , 2 5! 4! 2 4 48 1 z3 z2 15 15 5 δ2 1 − Mg + δ2 + − Mg + Mgδ 2 − z+ , T0 = 15δ 2 4 3! 2! 8 2 2 8 2 1 z4 z3 15 15 5 δ2 z2 − Mg + 3δ 2 + − Mg + Mgδ 2 − + P0 = 45δ 2 4 4! 3! 8 2 2 8 2! 1 + − 2δ 2 Mg z + 1. 2 T11 = 15 Mg − (10) 3. Исследование полученных решений. Проанализируем знаки значений гидродинамических полей (10). Рассмотрим для начала вертикальную скорость Vz = w. Найденное решение принадлежит классу многочленов пятой степени. Отметим, что в силу граничных условий (8), (9) многочлен w можно факторизовать следующим образом [22]: w = z (z + 1)2 g = z(z + 1)2 1 Mg 2 Mg 1 1 3Mg − z + − z+ − . 16 4 2 24 48 4 Поскольку координата z определена на отрезке [−1; 0], то z(z + 1)2 0, следовательно, знак скорости будет определяться знаком квадратичного полинома g, коэффициенты которого непрерывно зависят от числа Марангони. При Mg ∈ [0; 1/36] скорость w принимает только отрицательные значения на области определения координаты (рис. 1), при Mg ∈ (1/36; 1/12) — как положительные, так и отрицательные значения, а при Mg 1/12 — положительные значения (рис. 1). Таким образом, в зависимости от числа Марангони на 113 С. Н. А р и с т о в, Е. Ю. П р о с в и р я к о в свободной (верхней) и твёрдой (нижней) границах скорость может одновременно иметь разные знаки (рис. 1). Полученный эффект смены знака вертикальной скорости на свободной границе при изменении числа Марангони наблюдался в экспериментальных и теоретических исследованиях [1, 11, 13, 18]. Знак радиальной скорости Vr = ru, очевидно, зависит от знака полинома u, который факторизуется следующим образом: 5 3 5Mg 1 2 5Mg − z − + z + 8 32 8 96 5Mg 1 3Mg 1 + + z+ − . 8 96 8 96 На рис. 2 изображено множество значений функции u, что в силу класса (2) и области определения переменной r ∈ [0; 1] с точностью до положительного множителя определяет множество значений радиальной скорости. При Mg ∈ [0; 1/36) ∪ (1/12; +∞) полином s имеет один корень в области определения, а при Mg ∈ [1/36; 1/12] — два корня. Данная локализация корней поясняет геометрию множества значений радиальной скорости. Используя решение (10), приведем (рис. 3) распределение температуры на твёрдой границе (z = −1), зависящей, как нетрудно видеть, только от числа Марангони. Отметим, что на твёрдой границе при Mg ∈ [0; 11/60] жидкость имеет отрицательную температуру, при Mg > 0 — положительную. Если рассматривать z ∈ (−1; 0), то знак и распределение температуры существенно зависят от величины δ, причем существуют такие значения числа Марангони, что параметр δ принимает значения, большие шести. Это обстоятельство подчеркивает важность учета и введения различных масштабных параметров, а не одного [19]. Отметим, что для обобщённого давления можно провести анализ, аналогичный температурному, и уже на твёрдой границе (z = −1) проявляется зависимость распределения знаков приведенного давления от числа Марангони Mg и параметра δ. На рис. 4–8 представлены изолинии обобщённой (модифицированной) функции тока [17], давления, отнесенного к плотности, и температуры при числе Марангони Mg = 0 и δ = 1/2. Для уточнения типа изолиний, изображенных на рис. 4 – 8, приведем алгоритм, позволяющий определить характер изолинии. Не ограничивая общности, рассмотрим алгоритм для температурного поля. Известно, что тип функции нескольких переменных (геометрически — поверхность) можно определить, анализируя знак гауссовой кривизны, который определяется знаками собственных значений ее матрицы Гессе [23–26]. Матрица Гессе, записанная для температуры, имеет следующий вид: u = (z + 1)s = (z + 1) H(T ) = ∂2T ∂r2 ∂2T ∂z∂r ∂2T ∂r∂z ∂2T ∂z 2 = T11 r ∂T11 ∂z r ∂T11 ∂z ∂ 2 T0 ∂z 2 . Изолинии температуры будут принадлежать к параболическому типу тогда, когда матрица Гессе имеет собственные значения одного знака, гиперболического — собственные числа разных знаков [23–26]. Воспользовавшись методами локализации собственных значений [22, 27, 28], получим, что изолинии температуры и других гидродинамических полей могут принадлежать только к гиперболическому типу. 114 Об одном классе аналитических решений стационарной осесимметричной конвекции . . . Рис. 1. Множество значений вертикальной скорости w при различных числах Марангони Mg (закрашенная область соответствует положительным значениям, незакрашенная — отрицательным) Рис. 2. Множество значений функции u при различных числах Марангони Mg (закрашенная область соответствует положительным значениям, незакрашенная — отрицательным) Рис. 3. Множество значений температуры на твёрдой границе при различных числах Марангони Mg (закрашенная область соответствует положительным значениям, незакрашенная — отрицательным) Рис. 4. Изолинии модифицированной функции тока при Mg = 10, δ = 1/2 (изолинии построены для значений, принадлежащих отрезку [0; 1,4], с шагом, равным 0,1) Рис. 5. Изолинии обобщённого давления при Mg = 0,01, δ = 1/2 (изолинии построены для значений, принадлежащих отрезку [0,25; 0,9], с шагом, равным 0,05; для значений, принадлежащих отрезку [0,9; 1] с шагом, равным 0,01) Рис. 6. Изолинии обобщённого давления при Mg = 10, δ = 1/2 (изолинии построены для значений, принадлежащих отрезку [−30; 40], с шагом, равным 5) 115 С. Н. А р и с т о в, Е. Ю. П р о с в и р я к о в Рис. 7. Изолинии температуры при Mg = = 0,01, δ = 1/2 (изолинии построены для значений, принадлежащих отрезку [−1; 0,4], с шагом, равным 0,05) Рис. 8. Изолинии температуры при Mg = 10, δ = 1/2 (изолинии построены для значений, принадлежащих отрезку [0; 60], с шагом, равным 5) На рис. 5, 6 и рис. 7, 8 показана зависимость направления теплового потока от величины числа Марангони. Пограничное значение числа Марангони вычисляется методами локализации корней степенных решений (10), которые были использованы выше [22, 27, 28]. Заключение. Построено новое точное решение системы уравнений Обербека—Буссинеска, описывающее осесимметричное термокапиллярное течение вязкой несжимаемой жидкости при локальном параболическом нагреве свободной поверхности. Рассмотрен случай, когда число Грасгофа стремится к нулю. Определены области постоянств знаков у множеств значений решений в зависимости от числа Марангони и безразмерного параметра δ. Найдено граничное значение числа Марангони, при котором происходит смена знака вертикальной и радиальной скоростей. Показано, что изолинии гидродинамических и температурного полей могут принадлежать только к гиперболическому типу. Отметим, что полученные решения можно обобщить в следующих случаях. Во-первых, можно получить точные решения для расширенного класса (2), совершая преобразование сдвига для давления и температуры. Во-вторых, найденное решение может служить стартовым (начальным) решением при использовании итерационных методов нахождения точных решений конвекции Бенара—Релея при числах Грасгофа, больших нуля.

About the authors

Sergey N Aristov

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: asn@icmm.ru
1, Academician Koroleva st., Perm, 614013, Russia (Dr. Phys. & Math. Sci.), Chief Researcher, Lab. Hydrodynamical Instability

Evgeii Yu Prosviryakov

Kazan National Research Technical University named after A. N. Tupolev

Email: evgen_pros@mail.ru
10, Karl Marx st., Kazan, 420111, Russia (Ph. D. Phys. & Math.), Doctoral Candidate, Dept. of Bases of Construction

References

  1. А. В. Гетлинг, “Формирование пространственных структур конвекции Рэлея–Бенара” // УФН, 1991. Т. 161, № 9. С. 1–80.
  2. Ф. А. Гарифуллин, “Возникновение конвекции в горизонтальных слоях жидкости” // Соросовск. образоват. ж., 2000. Т. 6, № 8. С. 108–114.
  3. H. Bénard, Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide propageant de la chaleur par convection, en régime permanent. Thèse. Paris: Gauthier-Villars, 1901. 88 pp.; Ann. de Chim. et Phys., 1901. Vol. 23. Pp. 62–144.
  4. H. Bénard, “Etude expérimentale des courants de convection dans une nappe liquide. — Régime permanent: tourbillons cellulaires” // J. Phys. Theor. Appl., 1900. Vol. 9, no. 1. Pp. 513–524.
  5. H. Bénard, “Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide. – Méthodes optiques d’obeservation et d’enregistrement” // J. Phys. Theor. Appl., 1901. Vol. 10, no. 1. Pp. 254–266.
  6. Н. В. Никитин, С. А. Никитин, В. И. Полежаев, “Конвективные неустойчивости в гидродинамической модели роста кристаллов методом Чохральского” // Усп. Мех., 2003. Т. 2, № 4. С. 3–45.
  7. Г. С. Голицин, Природные процессы и явления: волны, планеты, конвекция, климат, статистика. М.: Физматлит, 2004. 344 с.
  8. В. В. Алексеев, А. М. Гусев, “Свободная конвекция в геофизических процессах” // УФН, 1983. Т. 141, № 2. С. 311–343.
  9. А. С. Монин, Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 424 с.
  10. А. Гилл, Динамика атмосферы и океана. Т. 1. М.: Мир, 1986. 397 с.
  11. Р. В. Бирих, “О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости” // ПМТФ, 1966. № 3. С. 69–72.
  12. L. G. Napolitano, “Plane Marangoni-Poiseuille flow of two immissible fluids” // Acta Astronaut., 1980. Vol. 7, no. 4–5. Pp. 461–478.
  13. В. К. Андреев, Решения Бириха уравнений конвекции и некоторые его обобщения: Препринт № 1-10. Красноярск: ИВМ СО РАН, 2010. 68 с.
  14. O. Goncharova, O. Kabov, “Gas flow and thermocapillary effects of fluid flow dynamics in a horizontal layer” // Microgravity Sci. Technol., 2009. Vol. 21, no. 1. Pp. 129–137.
  15. Л. Х. Ингель, М. В. Калашник, “Нетривиальные особенности гидротермодинамики морской воды и других стратифицированных растворов” // УФН, 2012. Т. 182, № 4. С. 379–406.
  16. В. С. Бескин, “Осесимметричные стационарные течения в астрофизике” // УФН, 2003. Т. 173, № 11. С. 1247–1253.
  17. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. VI: Гидродинамика. М.: Наука, 2006. 736 с.
  18. Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
  19. С. Н. Аристов, Вихревые течения в тонких слоях жидкости: Автореф.. дис. докт. физ.-мат. наук. Владивосток, 1990. 32 с.
  20. А. Ф. Сидоров, “Об одном классе решений уравнений газовой динамики и естественной конвекции” / В сб.: Численные и аналитические методы решения задач механики сплошной среды; ред. А. Ф. Сидоров, Ю. Н. Кондюрин. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 101–117.
  21. C. C. Lin, “Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics” // Arch. Rational Mech. Anal., 1958. Vol. 1, no. 1. Pp. 391–395.
  22. Е. Е. Тыртышников, Матричный анализ и линейная алгебра. М.: Физматлит, 2007. 480 с.
  23. С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Наука, 1987. 432 с.
  24. В. И. Арнольд, Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.
  25. Т. Постон, И. Стюарт, Теория катастроф и её приложения. М.: Мир, 1980. 608 с.
  26. Р. Гилмор, Прикладная теория катастроф. Т. 1. М.: Мир, 1984. 350 с.
  27. Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.
  28. М. М. Постников, Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981. 176 с.

Statistics

Views

Abstract - 5

PDF (Russian) - 1

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies