On irregular singular curves of Whittaker type systems

Full Text

Предварительные сведения. Изучением особых точек и их классификацией, а также построением аналитических решений в окрестности особых точек занимались многие известные математики прошлого, такие как К. Вейерштрасс, Л. Фукс, Г. Фробениус, Я. Горн, Л. Томе и др. Существуют различные классификации особых точек: подвижные и неподвижные, существенные и несущественные, регулярные и иррегулярные и др. Неподвижными особыми точками обладают линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Аналитический характер решений этих уравнений вполне определяется их поведением в области неподвижных особых точек. С регулярной особой точкой связано понятие «регулярное решение». Введение термина «регулярное решение» связано с имением Л. Томе [1]. Линейные дифференциальные уравнения, решения которых имеют все особые точки регулярными, называются уравнениями класса Фукса [2]. К. Я. Латышева регулярность и иррегулярность особых точек определяет [3] с помощью понятия ранга p = 1 + k (k — подранг), введённого А. Пуанкаре [4], и антиранга m = −1 − χ (χ — антиподранг), введенного Л. Томе. Обобщение понятия особых точек на функции многих переменных было дано К. Вейерштрассом в 1880 г. Было установлено, что аналитическая функция двух и более переменных не может иметь изолированные особые точки. Малоизученными остаются особенности системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, где особенностями являются особые линии или пересечения нескольких особых кривых. Целью данной работы является установление регулярных и иррегулярных особых кривых системы дифференциальных уравнений в частных производ 25 Ж. Н. Т а с м а м б е т о в ных второго порядка P0 (x, y)Zxx + P1 (x, y)Zy + P2 (x, y)Z = 0, Q0 (x, y)Zyy + Q1 (x, y)Zx + Q2 (x, y)Z = 0. (1) Здесь коэффициенты Pi = Pi (x, y) и Qi = Qi (x, y), i = 1, 2 — многочлены двух переменных: m,n π i δi m,n a(i)ν xµ y ν , µ, Pi (x, y) = x y γi λi b(i)ν xµ y ν , µ, Qi (x, y) = x y µ, ν=0 (2) µ, ν=0 где πi , δi , γi , λi — целые неотрицательные числа. Требуется изучить возможности установления основных особых кривых, исследовать их регулярность и иррегулярность и построить вблизи этих особенностей соответствующие им регулярные, а также иррегулярные решения. Допустим, что система (1) с коэффициентами вида (2) совместная. Согласно общей теории таких систем [5], при выполнении условия совместности система (1), (2) имеет четыре линейно независимых частных решения Zk (x, y), а общее решение системы представляется в виде Z(x, y) = C1 Z1 (x, y) + C2 Z2 (x, y) + C3 Z3 (x, y) + C4 Z4 (x, y), то есть общее решение системы зависит от четырёх произвольных постоянных. Классификация регулярности и иррегулярности особых кривых. Данную классификацию лучше проводить для конкретных систем вида x2 p0 (x, y)Zxx + yp1 (x, y)Zy + p2 (x, y)Z = 0, y 2 g0 (x, y)Zxx + xg1 (x, y)Zx + g2 (x, y)Z = 0, где pi = pi (x, y) и gi = gi (x, y), i = 0, 1, 2 — полиномы двух переменных второго порядка: 2 2 a(i)ν xµ y ν , µ, pi (x, y) = µ, ν=0 (i) a0,0 = b(i)ν xµ y ν ; µ, gi (x, y) = µ, ν=0 0, (i) b0,0 = 0; i = 0, 1, 2. Это соответствует случаю, когда в (2) m = n = 2. Приравнивая к нулю коэффициенты при вторых частных производных Zxx и Zyy , то есть полагая x2 p0 (x, y) = 0 и y 2 g0 (x, y) = 0, для определения особых кривых в раскрытом виде получим следующую систему уравнений (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) x2 a00 + a10 x + a01 y + a11 xy + a20 x2 + a02 y 2 = 0, (0) (0) (0) (0) y 2 b00 + b10 x + b01 y + b11 xy + b20 x2 + ab02 y 2 = 0. (3) Совместное решение (3) позволяет определить особые кривые заданной системы. 26 Об иррегулярных особых кривых систем типа Уиттекера В работе [6] установлен простой признак определения регулярности и иррегулярности особых кривых. Действительно, пусть задана система вида (0) (0) (1) (1) x2 (a00 + a10 x)Zxx + y(a00 + a10 x)Zy + (2) (2) (2) (2) (0) (0) +(a00 + a10 x + a01 y + a11 xy + a20 x2 + a02 y 2 )Z = 0, (0) (0) (1) (1) y 2 (b00 + b01 y)Zyy + x(b00 + b01 y)Zx + (2) (2) (2) (2) (0) (4) (0) +(b00 + b10 x + b01 y + b11 xy + b20 x2 + b02 y 2 )Z = 0 с известными постоянными коэффициентами. (0) (0) Особенности (особые кривые) системы: (0, 0), (0, ∞), (∞, 0), (−a00 /a10 , 0), (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0, −b00 /b01 ), (−a00 /a10 , −b00 /b01 ), (∞, ∞). (0) (0) Правило 1. Если в системе (4) коэффициенты a00 = 0 и b00 = 0, то особенность (0, 0) является особой иррегулярной. Когда они отличны от нуля, особенность (0, 0) является особой регулярной. В этом случае получим систему с регулярной особенностью. Соответствующее им решение имеет вид ∞ Zi (x, y) = xρi y σi (i) Cµ, ν xµ y ν , (i) C0, 0 = 0, i = 1, 2, 3, 4, (5) µ, ν=0 (i) где ρi , σi , Cµ,ν — известные постоянные. Решение системы с иррегулярной особенностью представляется в виде ∞ Aµ, ν xµ y ν , Z(x, y) = eQ(x,y) xρ y σ A0, 0 = 0, (6) µ, ν=0 где ρ, σ, Aµ, ν — неизвестные постоянные; Q(x, y) — многочлен двух переменных: αp0 p α0p p x + y + · · · + α11 xy + α10 x + α01 y (7) Q(x, y) = p p с неизвестными коэффициентами αp0 , α0p , . . . , α11 , α10 , α01 . Решение вида (6) называется нормально-регулярным. В случае функции одной переменной для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вблизи особенности x = 0 термин «нормально-регулярное решение» впервые введён профессором Киевского государственного университета К. Я. Латышевой. (0) (0) Правило 2. Если в системе (4) коэффициенты a10 = 0 и b01 = 0, то особенность (∞, ∞) является особой иррегулярной. Когда они отличны от нуля, особенность (∞, ∞) является особой регулярной. Тогда получим систему с регулярной особенностью вблизи (∞, ∞) с соответствующим решением: ∞ (i) Bµ, ν x−µ y −ν , ρi σi Zi (x, y) = x y (i) B0, 0 = 0, (8) µ, ν=0 (i) где ρi , σi , Bµ, ν — неизвестные постоянные. Решение системы вблизи иррегулярной особенности (∞, ∞) представляется в виде ∞ Bµ, ν x−µ y −ν , Z(x, y) = eQ(x,y) xρ y σ B0, 0 = 0, (9) µ, ν=0 27 Ж. Н. Т а с м а м б е т о в где ρ, σ, Bµ, ν — неизвестные коэффициенты; Q(x, y) — многочлен двух переменных вида (7) и является общим для решений (6) и (9). Выражение (9) является формальным решением в виде нормальных рядов Томе двух переменных. В общем случае регулярность и иррегулярность особенностей системы (1), (2) устанавливаются с помощью понятия ранга p и антиранга m. Для таких систем с полиномиальными коэффициентами одновременно можно говорить и о ранге p = k + 1 и антиранге m = −1 − χ системы, то есть можно определить как величину подранга k: k = max τl − τ0 , l l = 1, 2, τj − τ0 , j j = 1, 2, так и величину антиподранга χ: χ = min где τl и τj совпадают с одним из чисел πi , δi , γi и λi , i = 0, 1, 2. На самом деле, если x = 0 является особой регулярной кривой системы, то выполняется неравенство вида π0 πs + s, s = 1, 2. (10) Если хотя бы при одном значении s выполняется неравенство π0 > πs + s, s = 1, 2, то x = 0 является особой иррегулярной. Из (10) следует, что для регулярной особой точки πs − π0 + s или πs − π0 s −1, s = 1, 2. Отсюда вытекает, что если x = 0 — особая регулярная кривая, то число ms 0, а когда особая кривая x = 0 — иррегулярная, число ms > 0. Такие же условия должны выполняться и относительно переменной y. Используя понятия ранга и антиранга, можно доказать ряд теорем. Теорема 1. Система (1), (2) имеет регулярные решения в виде рядов двух переменных (5), сходящихся вблизи особенности (x = 0, y = 0) в том и только в том случае, когда антиранги системы ms , s = 1, 2, равны нулю. Доказательство теоремы аналогично доказательству из [7]. Следствие. Для того чтобы система (1), (2) имела четыре регулярных решения Zj (x, y), j = 1, 2, 3, 4, вблизи особенности (x = 0, y = 0), необходимо и достаточно, чтобы антиподранги системы χs −1, s = 1, 2. Аналогичные теоремы имеют место относительно ранга системы. Определение величины ранга p и антиранга m позволит нам: во-первых, определить степень многочлена Q(x, y); во-вторых, произвести классификацию особых кривых по виду заданных коэффициентов. Если одновременно p 0иm 0, то особенности (0, 0) и (∞, ∞) регулярные и вблизи них можно построить регулярные решения вида (5) и (8). 28 Об иррегулярных особых кривых систем типа Уиттекера Построение иррегулярных решений. Нормально-регулярное решение (6) можно построить только тогда, когда ранг p > 0 и антиранг m 0, то есть когда особенность (∞, ∞) — иррегулярная, а особенность (0, 0) — регулярная. При построении нормально-регулярного решения (6) важное место имеет преобразование Z(x, y) = eQ(x,y) U (x, y) (11) над системой (1), и полученную систему назовём вспомогательной. Это позволяет нам рассматривать правую часть нормально-регулярного решения (6) как произведение двух сомножителей: а) eQ(x,y) (12) — определяющий множитель с неопределёнными коэффициентами αp0 , α0p , . . . , α11 , α10 и α01 многочлена (7); б) ∞ xρ y σ Aµ, ν xµ y ν , A0, 0 = 0 µ, ν=0 — обобщённый степенной ряд двух переменных, представляющий решение вблизи особенности (0,0), где ρ, σ, Aµ, ν — неизвестные постоянные. Для нахождения неизвестных коэффициентов многочлена (7) и обобщённого степенного ряда (5) применяем методику, приведённую в [8]. Это позволяет получить ряд утверждений для рассматриваемой системы (1), (2). Неопределённые коэффициенты многочлена Q(x, y) определяющего множителя (12) находятся из так называемых систем характеристических уравнений (j) (j) (j) (j) (j) bn0 = 0, b0n = 0, bn−1,1 = 0, . . . , b10 = 0, b00 = 0, j = 1, 2, (13) полученных из вспомогательной системы приравниванием к нулю коэффициентов при наивысших степенях независимых переменных x и y. Первое необходимое условие существования нормально-регулярного решения связано с определением неизвестных коэффициентов αp0 , α0p , . . . , α01 многочлена Q(x, y) и формулируется в следующем виде. Теорема 2. Для того чтобы вспомогательная система имела хотя бы одно решение вида (6), необходимо выполнение равенства (13). Второе необходимое условие связано с определением неизвестных постоянных ρ, σ, Aµ, ν обобщённого степенного ряда двух переменных (5), представляющего решение вспомогательной системы вблизи особенности (0, 0). Приведём формулировку второго необходимого условия. Теорема 3. Для существования у системы (1) с коэффициентами (2) решения вида (6) необходимо, чтобы пара (ρ, σ) была корнем системы определяющих уравнений относительно особенности (0, 0) вида (0) (1) (2) a00 ρ(ρ − 1) + a00 σ + a00 = 0, (0) (1) (2) b00 σ(σ − 1) + b00 ρ + b00 = 0, (14) полученных из вспомогательной системы путём подстановки вместо неизвестной Z(x, y) = xρ y σ . 29 Ж. Н. Т а с м а м б е т о в Система определяющих уравнений (14) имеет до четырёх пар корней (ρk , σk ), k = 1, 2, 3, 4, действительных и комплексных. Поэтому система (1), (2) может иметь до четырёх линейно независимых частных решений вида (6), если выполняются условия теорем 2 и 3. Тем самым и устанавливается вид нормально-регулярного решения. Важно установить, имеют ли системы характеристических уравнений (13) простые или кратные пары корней. Следующее утверждение обеспечивает существование четырёх решений вида (6). Теорема 4. Если системы характеристических уравнений (13) имеют только простые пары корней, то система (1), (2) при положительном ранге p > 0 и антиранге m 0 допускает четыре нормально-регулярных решения вида (13). Аналогичные утверждения имеют место и для нормальных решений вида (8) вблизи иррегулярной особенности (∞, ∞). Применение этих результатов покажем на конкретном примере. Пример. Пусть задана система 1 x2 xy − + kx + − µ2 Z = 0, 4 2 4 y 2 xy 1 2 + ky + − ν 2 Z = 0. y Zyy − xyZx + − − 4 2 4 x2 Zxx − xyZy + − (15) Это известная система Уиттекера, и для неё выполняются все условия совместности [5]. Применяя вышеприведенный метод Фробениуса—Латышевой, требуется определить регулярные и иррегулярные особенности заданной системы и построить вблизи этих особенностей регулярные и иррегулярные решения. Определим особенности системы. Легко заметить, что система (15) является частным случаем системы (4). Поэтому на основании вышеприведенных правил 1 и 2 особенность (0, 0) является особой регулярной, а (∞, ∞) — особой иррегулярной. Это подтверждается также определением ранга и антиранга. Действительно, по наибольшим степеням независимых переменных x и y определим подранги: k1 = 0, k1 = 0, а ранг p = 1 + k = 1. Тогда преобразование (11) запишется в виде Z = exp(α10 x + α01 y)Φ(x, y), где α10 и α01 — неопределённые коэффициенты, которые следует определить. В преобразованной системе x2 Φxx + 2α10 x2 Φx − xyΦy + 2 2 + (α10 − 1/4)x2 − (α01 − 1/2)xy + kx + 1/4 − µ2 Φ = 0, 2 y 2 Φyy + xyΦx + 2α01 x2 Φy + 2 2 + (α01 − 1/4)y 2 − (α10 + 1/2)xy + ky + 1/4 − ν 2 Φ = 0, (16) приравнивая к нулю коэффициенты при наибольших степенях независимых переменных при неизвестной Φ(x, y), определим систему характеристических уравнений вида (13): (1) 2 f10 (α10 , α01 ) = α10 − 1/4 = 0, 30 (2) 2 f01 (α10 , α01 ) = α01 − 1/4 = 0. (17) Об иррегулярных особых кривых систем типа Уиттекера Система (16) — вспомогательная. Система характеристических уравнений (17) имеет четыре пары корней: (1) (1) (2) (1) (1) (2) (2) (α10 , α01 ) = (1/2, 1/2), (2) (α10 , α01 ) = (1/2, −1/2), (18) (α10 , α01 ) = (−1/2, 1/2), (α10 , α01 ) = (−1/2, −1/2), определяющие четыре многочлена первой степени вида (7): (i) (i) Qi (x, y) = α10 x + α01 y, i = 1, 2, 3, 4. Следует отметить, что степень многочлена Q(x, y) определяется величиной ранга. В (7) p = 1, то есть наибольшая степень многочлена Q(x, y) равна (l) (l) единице. Четыре пары (α10 , α01 ), l = 1, 2, в (18) определяют четыре системы из вспомогательной системы (16). Они называются присоединёнными. Итак, применение первого необходимого условия позволило нам определить четыре системы. Решения каждой системы следует находить в отдельности. Для каждой из них должны существовать по четыре линейно независимых решения. Таким образом, исходная система (1), (2) имеет всего 16 линейно независимых решений. Однако подробное исследование показывает, что из вышеназванных четырёх систем только система x2 Φxx + x2 Φx − xyΦy + kx + 1/4 − µ2 Φ = 0, y 2 Φyy − y 2 Φy − xyΦx + ky + 1/4 − ν 2 Φ = 0 имеет четыре линейно независимых частных решения. Все они выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию Горна Ψ2 (α, γ, γ , x, y): Φ1 (x, y) = x1/2+µ y 1/2+ν Ψ2 (µ + ν + 1 − k, 2µ + 1, 2ν + 1; x, y), Φ2 (x, y) = x1/2+µ y 1/2−ν Ψ2 (µ − ν + 1 − k, 2µ + 1, 2ν − 1; x, y), Φ3 (x, y) = x1/2−µ y 1/2+ν Ψ2 (−µ + ν + 1 − k, 2µ − 1, 2ν + 1; x, y), Φ4 (x, y) = x1/2−µ y 1/2−ν Ψ2 (−µ − ν + 1 − k, 2µ − 1, 2ν − 1; x, y). Это показывается выполнением второго необходимого условия (теорема 3). Система определяющих уравнений относительно особенности (0, 0) (1) f00 (ρ, σ) = ρ(ρ − 1) + 1/4 − µ2 = 0, (2) f00 (ρ, σ) = σ(σ − 1) + 1/4 − ν 2 = 0 имеет четыре пары корней: (ρ1 , σ1 ) = (1/2 + µ, 1/2 + ν), (ρ1 , σ2 ) = (1/2 + µ, 1/2 − ν), (ρ2 , σ1 ) = (1/2 − µ, 1/2 + ν), (ρ2 , σ2 ) = (1/2 − µ, 1/2 − ν). Выполнение двух необходимых условий обеспечивает существование четырёх нормально-регулярных решений: Z1 (x, y) = exp(−x/2 − y/2)Φ1 (x, y) = Mk, µ, ν (x, y), Z2 (x, y) = exp(−x/2 − y/2)Φ2 (x, y) = Mk, µ, −ν (x, y), Z3 (x, y) = exp(−x/2 − y/2)Φ3 (x, y) = Mk, −µ, ν (x, y), Z4 (x, y) = exp(−x/2 − y/2)Φ4 (x, y) = Mk, −µ, −ν (x, y). 31 Ж. Н. Т а с м а м б е т о в Общее решение таких систем зависит [5] от четырёх произвольных постоянных. Поэтому общее решение (15) выражается следующим образом: Z(x, y) = C1 Mk, µ, ν (x, y) + C2 Mk, µ, −ν (x, y)+ + C3 Mk, −µ, ν (x, y) + C4 Mk, −µ, −ν (x, y) и найденные таким путём все частные решения совпадают с решениями, приведёнными в [5], где Mk, ±µ, ±ν (x, y) — функции Уиттекера двух переменных. Нормальные решения не существуют, так как не выполняется второе необходимое условие, поскольку отсутствует система определяющих уравнений относительно особенности (∞, ∞). Таким образом, благодаря применению метода Фробениуса—Латышевой нам полностью удалось исследовать всевозможные особые кривые системы (1), (2), в частности, системы Уиттекера, решениями которой являются функции Уиттекера двух переменных. Системы вида (1), (2), решениями которых являются специальные функции двух переменных, остаются малоизученными. Отсутствует общий метод исследования. Поэтому исследования в этом направлении ждут своего продолжения.

About the authors

Zhaksylyk N Tasmambetov

Aktobe State University after K. Zhubanov

Email: tasmam@rambler.ru
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Informatics and Computer Science 263, Zhubanov Bruthers st., Aktobe, 030000, Kazakhstan

References

Supplementary files