Локальная разрешимость задачи определения пространственной части многомерного ядра в интегро-дифференциальном уравнении гиперболического типа

Полный текст

Рассмотрим начально-краевую задачу t k(t − τ, z, x)u(τ, z, x)dτ, utt − uzz − ∆u = (x, t) ∈ Rn+1 , z > 0, (1) 0 u|t<0 ≡ 0, uz |z=0 = −δ (t) + f (t, x)θ(t), (x, t) ∈ Rn+1 . (2) Здесь ∆ — оператор Лапласа по переменным (x1 , x2 , · · · , xn ) = x, δ (t) — производная дельта-функции Дирака, θ(t) — функция Хевисайда, f — заданная гладкая функция. Предполагается, что ядро интегрального члена уравнения (1) имеет вид k(t, z, x) = k0 (t)p(z, x), где k0 (t) — известная функция. Обратная задача заключается в определении функции p(z, x) по известному дополнительному условию относительно ре 37 Д у р д и е в Д. К, С а ф а р о в Ж. Ш. шения прямой задачи (1), (2): u|z=0 = −δ(t) + g(t, x)θ(t), (x, t) ∈ Rn+1 , (3) g(t, x) — заданная достаточно гладкая функция. Идея применения метода шкал банаховых пространств аналитических функций, развитая в работах Л. В. Овсянникова [1] и Л. Ниренберга [2], к многомерным обратным задачам принадлежит В. Г. Романову. В работах [3–5] он применил этот метод (с некоторыми модификациями) к вопросам локальной разрешимости многомерных обратных задач. На основе данного метода в [6] изучена задача определения функции k в уравнении (1), когда она не зависит от переменной z. В данной работе исследуется обратная задача (1)– (3) об определении (n + 1)-мерной пространственной части функции k(t, z, x). Доказывается, что поставленная задача локально однозначно разрешима в классе функций, аналитических по переменной x. Следуя [7, с. 92], введём в рассмотрение банахово пространство As аналитических функций h(x), x ∈ R, для которых конечна норма ∞ h s (r) = sup |x| r |α|=0 Здесь r > 0, s > 0 и D α = ∂ |α| , α ∂x1 1 ···∂xαn n s|α| α |D φ(x)| < ∞. α! α = (α1 , α2 , · · · αn ), αi — неотрицательные целые числа, |α| = α1 +α2 +· · ·+αn , α! = (α1 )!·(α2 )!·· · ··(αn )!. В дальнейшем параметр r будет считаться фиксированным, в то время как параметр s рассматривается как переменный параметр. Далее для простоты параметр r будем опускать в обозначениях норм пространства As . При изменении параметра s возникает шкала банаховых пространств As , s > 0. Очевидно следующее свойство: если h(x) ∈ As , то h(x) ⊂ As для всех s ∈ (0, s), следовательно, As ⊂ As , если s < s. Кроме того, если h(x) ∈ As , то D α h(x) ⊂ As для s ∈ (0, s), и в частности, справедливо неравенство ∆h s 4π h s, (s − s) s > s > 0. (4) Пусть D0T = {(t, z) | 0 z t T − t}, T > 0 — фиксированное число и DT = D0T × Rn . Определение. Функция w = w(t, z, x) ∈ C (As , D0T ), если w ∈ As для всех (t, z) ∈ D0T , непрерывна в D0T как элемент пространства As и, кроме того, удовлетворяет условию sup (t,z)∈D0T w s (t, z) < ∞. Из равенств (1), (2) следует, что u ≡ 0, 0 < t < z, x ∈ Rn . Функция u(t, z, x) как решение задачи (1), (2) имеет в окрестности характеристической поверхности t = z следующую структуру: u(t, z, x) = −δ(t − z) + v(t, z, x)θ(t − z), 38 Локальная разрешимость задачи определения пространственной части . . . где v(t, z, x) — функция, непрерывная при переходе через поверхность t = z. Из последнего уравнения следует равенство v(z + 0, z, x) = 0. Из вышесказанного следует, что обратная задача (1)–(3) эквивалентна задаче определения функции p(z, x) из следующих уравнений: t−z k0 (α)v(t − α, z, x)dα, vtt − vzz = ∆v + k0 (t − z)p(z, x) + p(z, x) (5) 0 (t, z, x) ∈ D = {(t, z, x) | 0 < z < t, x ∈ Rn }, v |z=0 = g(x, t) , vz |z=0 = f (x, t) , t > 0, x ∈ Rn , u|t=z+0 = 0, x ∈ Rn . (6) (7) Построим исходя из этих равенств систему интегро-дифференциальных уравнений для неизвестных функций. Функция v удовлетворяет уравнению: v(t, z, x) = v0 (t, z, x) − 1 2 ∆v (τ, ξ, x) + k0 (τ − ξ)p(ξ, x)+ ∆(z,t) τ −ξ k0 (α)v(τ − α, ξ, x)dα dτ dξ, (8) + p(ξ, x) 0 в котором v0 (t, z, x) = 1 1 [g(t + z, x) + g(t − z, x)] + 2 2 t+z f (τ, x)dτ, t−z ∆(z, t) = {(ξ, τ ) | 0 ξ z, ξ + t − z τ −ξ + t + z} — характеристический треугольник в плоскости (ξ, τ ) с вершиной в точке (z, t) и основанием на оси τ . Выше была использована формула Даламбера с данными Коши на плоскости z = 0. Из формулы (8), являющейся решением прямой задачи (5), (6), с использованием условия (7) на характеристике при t → z + 0 имеем 2v0 (z + 0, z, x) = ∆v(τ, ξ, x) + k0 (τ − ξ)p(ξ, x)+ ∆(z,z+0) τ −ξ k0 (α)v(τ − α, ξ, x)dα dξ. (9) + p(ξ, x) 0 Полагая в (9) z = 0, находим условие, которому должна удовлетворять функция g: g(+0, x) = 0. Дифференцируем равенство (9) по z, получаем d v0 (z + 0, z, x) = dz z [∆v(2z − ξ, ξ, x) + p(ξ, x)k0 [2(z − ξ)]+ 0 2(z−ξ) k0 (α)v(2z − ξ − α, ξ, x)dα]dξ. (10) + p(ξ, x) 0 39 Д у р д и е в Д. К, С а ф а р о в Ж. Ш. Из (8) следует, что d v0 (z + 0, z, x) = gt (t, x) |t=2z + f (2z, x). dz Отсюда и из предыдущего равенства находим условие согласования для заданных функций: gt (+0, x) = f (+0, x). Интегральное уравнение для неизвестной функции p(z, x) находим дифференцированием по z соотношения (10): p(z, x) = p0 (z, x) − 2 k0 (0) z [∆vt (2z − ξ, ξ, x) + p(ξ, x)k0 (2z − 2ξ)+ 0 2z−2ξ k0 (α)vt (2z − ξ − α, ξ, x)dα]dξ, (11) + p(ξ, x) 0 где p0 (z, x) = 1 d2 2 [gtt (t, x) + ft (t, x)]t=2z . v (z + 0, z, x) = 2 0 k0 (0) dz k0 (0) Воспользуемся формулой (8) для вычисления vt . Дифференцируя это уравнение по t, получим vt (t, z, x) = v0t (t, z, x)− − 1 2 t−z z k0 (α)v(ξ+t−z−α, ξ, x)dα− [∆v(ξ+t−z, ξ, z)+k0 (t−z)p(ξ, x)+p(ξ, x) 0 0 − ∆v(−ξ + t + z, ξ, x) − k0 (t + z − 2ξ)p(ξ, x)− t+z−2ξ k0 (α)v(t + z − ξ − α, ξ, x)dα]dξ, (12) − p(ξ, x) 0 где v0t (t, z, x) = ∂ v0 (t, z, x) = ∂t 1 1 = [gt (t + z, x) + gt (t − z, x)] + [f (t + z, x) − f (t − z, x)] . 2 2 Основным результатом настоящей работы является следующая теорема о локальной разрешимости поставленной задачи. Теорема. Пусть k0 (t) ∈ C 1 [0, T ], k(0) = 0 и выполнены условия согласования g(+0, x) = 0, gt (+0, x) = f (+0, x), x ∈ Rn , кроме того, [f (t, x), g(t, x), gt (t, x), ft (t, x), gtt (t, x)] ∈ C(As0 , [0, T ]), T R0 max g s0 (t), max(1, ) f s0 (t), gt s0 (t) , 2 2 40 Локальная разрешимость задачи определения пространственной части . . . max ft s0 (t), gtt R0 , 4 |k(0)|−1 s0 (t) t ∈ [0, T ] , R0 — известное положительное число. Тогда найдется a ∈ (0, T /2) такое, что для любого s ∈ (0, s0 ) в области ΓST := DT ∩ {(t, z, s) | 0 z a(s0 − s)} существует единственное решение системы уравнений (8), (11), (12), для которого (v, vt ) ∈ C(As0 , F ), p ∈ C(As0 , [0, a(s0 − s)]), F = {(t, z, s) | (t, z) ∈ D0T , 0 < z < a(s0 − s)}, причём v − v0 s (t, z) R0 , vt − v0t R0 , s0 − s s p − p0 s R0 . (s0 − s)2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Для удобства дальнейших исследований введём обозначения: φ1 (t, z, x) = v(t, z, x), φ2 (t, z, x) = vt (t, z, x), φ3 (z, x) = p (z, x) , φ0 (t, z, x) = v0 (t, z, x), 1 φ0 (t, z, x) = v0t (t, z, x), 2 φ0 (z, x) = p0 (z, x) . 3 Уравнения (8), (11), (12) образуют полную систему равенств для неизвестных функций в области DT = {(t, z, x) |0 z t T − z, x ∈ Rn }. Согласно введённым обозначениям для вектор-функций φ = (φ1 , φ2 , φ3 ) запишем эту систему в операторном виде φ = Bφ, (13) где B = (B1 , B2 , B3 ), и компоненты оператора B в соответствии с интегродифференциальными уравнениями (8), (11), (12) определяются по формулам B1 φ = φ0 (t, z, x) − 1 1 2 ∆φ1 (τ, ξ, x) + k0 (τ − ξ)φ3 (ξ, x)+ ∆(z,t) τ −ξ k0 (α)φ1 (τ − α, ξ, x)dα dτ dξ, + φ3 (ξ, x) 0 B2 φ = φ0 (t, z, x)− 2 1 2 z ∆φ1 (ξ +t−z, ξ, x)+(k0 (t−z)−k0 (t+z −2ξ)φ3 (ξ, x)− 0 t−z k0 (α)φ1 (ξ + t − z − α, ξ, x)dα− − ∆φ1 (−ξ + t + z, ξ, x) + φ3 (ξ, x) 0 t+z−2ξ k0 (α)φ1 (t + z − ξ − α, ξ, x)dα dξ, − φ3 (ξ, x) 0 B3 φ = φ0 (z, x) − 3 2 k0 (0) z 0 ∆φ2 (2z − ξ, ξ, x) + φ3 (ξ, x)k0 (2z − 2ξ)+ 2z−2ξ k0 (α)φ2 (2z − ξ − α, ξ, x)dα dξ. + φ3 (ξ, x) 0 41 Д у р д и е в Д. К, С а ф а р о в Ж. Ш. Пусть убывающая числовая последовательность {an }∞ определена соотноn=0 шениями −1 1 , n = 0, 1, 2, . . . , an+1 = an 1 + 2 (n + 1) а число a — формулой ∞ a = lim an = a0 n→∞ 1+ n=0 1 (n + 1)2 −1 . Положительное число a0 < T /(2s0 ) будет выбрано позже. Для уравнения (13) построим последовательные приближения: φn+1 = Bφn , φn = (φn , φn , φn ), 1 2 3 n = 0, 1, 2, . . . , и обозначим ψ n = φn+1 − φn , n = 0, 1, 2, . . . , n n n ψ n = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) . Определим функцию s (z) формулой s + v n (z) , 2 s (z) = v n (z) = s0 − z . an (14) В дальнейшем нижний индекс у φ означает номер компоненты вектор-функции φ, а верхний индекс — номер приближения. Докажем, что при подходящем выборе a0 выполнены следующие неравенства: λn = max sup (t,z,s)∈Fn v n ψ1 s (t, z) n (z) −s sup (t,z,s)∈Fn φn+1 − φ0 i i s0 , z sup (t,z,s)∈Fn ψ3 s (z) R0 (t, z) (s0 − s)i−1 , (v n (z) − s)2 , ψ2 s (t, z) z (v n (z) − s)3 z < +∞, (15) i = 1, 2, 3, (16) для (t, z, s) ∈ Fn+1 . Здесь Fn = {(t, z, s) | (t, z) ∈ D0T , 0 < z < an (s0 − s), 0 < s < s0 }. На самом деле для n = 0 имеем 0 ψ1 (t, z) s 1 2 z 0 + φ0 3 t+z−ξ t−z+ξ τ −ξ (ξ) s 0 1 2 42 ∆φ0 1 z 0 s (τ, ξ) + |k0 (τ − ξ)| φ0 3 k0 (α) φ0 1 t+z−ξ t−z+ξ s s (ξ)+ (τ − α, ξ)dα dτ dξ 4πR0 + k1 R0 (1 + R0 t) dτ dξ. (s (ξ) − s)2 Локальная разрешимость задачи определения пространственной части . . . Здесь использована оценка (4) и введено обозначение k1 = k0 (t) пользуя функцию s (ξ) из (14), для n = 0 получим 0 ψ1 z (t, z) s (z − ξ) 0 16πR0 (v 0 (ξ) − s)2 Ис- + k1 R0 (1 + R0 t) dξ z R0 16π + s2 k1 (1 + R0 T ) 0 R0 C 1 [0,T ] . (z − ξ)dξ (v 0 (ξ) − s)2 z 16π + s2 k1 (1 + R0 T ) 0 , 0 v (z) − s 0 (t, z, s) ∈ F0 . Поступая аналогично, находим 0 ψ2 s (t, z) z 1 2 8πR0 + 2k1 R0 (1 + 2R0 t) dξ (s (ξ) − s)2 0 R0 16π + s2 k1 (1 + 2R0 T ) 0 0 ψ3 s (z) z (v 0 (z) − s)2 , z 2s0 R0 , 16π + s2 k1 (1 + 2R0 T ) 0 0 (z) − s)3 |k0 (0)| (v (t, z, s) ∈ F0 , (t, z, s) ∈ F0 . В последних оценках были использованы неравенства 1 v (ξ) − s 1 v 0 (z) −s v 0 (z) − s < s0 , , справедливые для ξ ∈ (0, z), s ∈ (0, s0 ), (t, z, s) ∈ F0 . Из полученных оценок следует выполнение неравенства (15) при n = 0. Кроме того, для (t, z, s) ∈ F1 находим φ1 − φ0 i i 0 (t, z) = ψi s (t, s) s λ0 z 2i−1 a0 λ0 (v 0 (z) − s)i (s0 − s)i−1 , i = 1, 2, 3. При выборе a0 так, что 4a0 λ0 R, неравенства (16) будут выполняться для n = 0. Покажем методом индукции, что неравенства (15), (16) имеют место и для других n, если выбрать a0 подходящим образом. Пусть неравенства (15), (16) справедливы для n = 1, 2, 3, . . . , j. Тогда для (t, z, s) ∈ Fj+1 j+1 ψ1 (t, z) j + k1 ψ3 s (ξ) 1 2 z 0 1 2 z 0 τ −ξ 0 t+z−ξ t+z−ξ j j ∆ψ1 (τ, ξ) + k1 ψ3 (ξ)+ t−z+ξ φj+1 (τ − α, ξ)dα + k1 φj 1 3 t−z+ξ k1 λj tξR0 (1 + s2 ) 0 + j (ξ) − s)(s − s)2 (v 0 4πλj ξ (s (ξ) − s) dτ dξ 2 (v j (ξ) − s) + λj a2 16π + k1 0 τ −ξ 0 j ψ1 (τ − α, ξ)dα dτ dξ k1 λj ξ j (ξ) − s)3 (v + 2k1 R0 λj tξ + (v j (ξ) − s)3 z 1 + 3R0 T + R0 s2 T . 0 v j+1 (z) − s 43 Д у р д и е в Д. К, С а ф а р о в Ж. Ш. Здесь в промежуточных выкладках функция s (ξ) взята в виде (14) при n = j и использованы неравенства φj+1 s (t, z) 1 φj s (z) 3 2R0 , 2R0 1 + s2 0 , (s0 − s)2 справедливые согласно индуктивному предположению, а также очевидные j+1 неравенства ai a0 , v j+1 (z) v j (z). Аналогичные рассуждения для ψ2 , j+1 ψ3 приводят к следующим неравенствам: j+1 ψ2 (t, z) + 1 2 z 0 8πλj ξ 2 (s (ξ) − s) k1 λj tξR0 (1 + s2 ) 0 dξ (v j (ξ) − s)(s0 − s)2 j+1 ψ3 (z) 2 |k0 (0)| (v j (ξ) − s) + 2k1 λj ξ j (ξ) − s)3 (v + λj a0 16π + k1 1 + 2R0 T + R0 s2 T 0 z 4πλj ξ 2k1 R0 λj tξ (v j (ξ) − s)3 z + (v j+1 (z) − s)2 k1 λj ξ + (s (ξ) − s) (v j (ξ) − s) (v j (ξ) − s)3 2k1 zR0 λj (1 + s0 )ξ 2k1 λj zξR0 (1 + s2 ) 0 + + dξ j (ξ) − s)3 (s − s)2 j (ξ) − s)2 (s − s)2 (v (v 0 0 2λj a0 z , (t, z, s) ∈ Fj+1 . 16π + k1 s0 + 2k1 R0 T 2 + s0 + s2 0 j (z) − s)3 |k0 (0)| (v 0 + 2 2 Из полученных оценок следует λj+1 λj ρ, λj+1 < ∞, ρ = a0 [16π + max(1, s0 ) k1 + 2k1 R0 T (2 + s0 + s2 ) max(1, a0 ,2|k0 (0)|−1 ). 0 Вместе с тем для (t, z, s) ∈ Fj+2 имеем j+1 φj+2 − φ0 s (t, z) i i φn+1 − φn s (t, z) = i i n=0 j+1 j+1 n ψi s (t, z) = λn z i n=0 n=0 j+1 1 i−1 (v n (z) − s) (s0 − s) λ0 a0 (s0 − s)i−1 n=0 λn aj+2 1 − aj+2 a−1 n j+1 ρn (n + 1)2i , i = 1, 2, 3. n=0 Выберем a0 ∈ (0, T /2) таким, что ∞ ρ 1, ρn (n + 1)6 λ0 a0 R0 . n=0 Тогда φj+2 − φ0 s (t, z) i i 44 R0 , (s0 − s)i−1 i (t, z, s) ∈ Fj+2 , i = 1, 2, 3. , Локальная разрешимость задачи определения пространственной части . . . Так как выбор a0 не зависит от номера приближения, последовательные приближения φn = (φn , φn , φn ) принадлежат C(F, As ), F = ∞ Fn и для них 1 2 3 n=0 имеют место неравенства φn − φ0 i i s R0 (t, z) (s0 − s)i−1 , (t, z, s) ∈ F, i = 1,2,3. n−1 При s ∈ (0, s0 ) ряды ∞ φn − φi , i = 1, 2, 3, сходятся равномерно i n=0 в норме пространства C(F, As ), поэтому φn = (φn , φn , φn ) → φ = (φ1 , φ2 , φ3 ) 3 2 1 предельная функция φ является элементом C(F, As ) и удовлетворяет уравнению (13). (1) (1) (1) Покажем, что найденное решение единственно. Пусть φ(1) = (φ1 , φ2 , φ3 ) (2) (2) (2) и φ(2) = (φ1 , φ2 , φ3 ) — любые два решения, удовлетворяющие неравенствам (j) φi − φ0 s (t, z) i (1) R0 , i = 1, 2, 3; j = 1, 2, (t, z, s) ∈ F. (2) Обозначим wi = φi − φi , i = 1, 2, 3, и пусть 1 i 3 wi s (t, z) sup λ = max (t,z,s)∈F ∞ где v(z) = s0 − s/a, a = a0 1+ n=0 1 (n+1)2 (v(z) − s) i z −1 < ∞, . Тогда из формулы (13) для функций wi можно получить соотношения w1 (t, z, x) = − 1 2 ∆w1 (τ, ξ, x) + k0 (τ − ξ)w3 (ξ, x)+ ∆(z,t) τ −ξ + w3 (ξ, x) 0 (1) k0 (α)φ1 (τ − α, ξ, x)dα+ τ −ξ (2) + φ3 (ξ, x) w2 (t, z, x) = − 1 2 k0 (α)w1 (τ − α, ξ, x)dα dτ dξ, 0 z ∆w1 (ξ + t − z, ξ, x)+(k0 (t − z) − k0 (t + z − 2ξ)) w3 (ξ, x)− 0 τ −ξ − ∆w1 (ξ + t − z, ξ, x) + w3 (ξ, x) 0 t+z−2ξ (2) − φ3 (ξ, x) w3 (t, x) = − 2 k0 (0) (1) k0 (α)φ1 (ξ + t + z − α, ξ, x)dα− k0 (α)w1 (t + z − ξ − α, ξ, x)dα dξ, 0 z 0 ∆w2 (2z − ξ, ξ, x) + k0 (2z − 2ξ)w3 (ξ, x)+ 45 Д у р д и е в Д. К, С а ф а р о в Ж. Ш. 2z−2ξ (1) k0 (α)φ2 (2z − ξ − α, ξ, x)dα+ + w3 (ξ, x) 0 2z−2ξ (2) k0 (α)w2 (2z − ξ − α, ξ, x)dα dξ. + φ3 (ξ, x) 0 Применяя к ним оценки, приведённые выше, имеем неравенство λ λρ , где ρ = a 16π + max(1, s0 )k1 + 2k1 R0 T0 (2 + s0 + s2 ) max(1, α0 , |k0 (0)|−1 ) < ρ < 1. 0 (1) Следовательно λ = 0. Поэтому φi (2) = φi , i = 1,2,3. Теорема доказана.

Об авторах

Дурдимурод Каландарови Дурдиев

Бухарский государственный университет

Email: durdiev65@mail.ru
(д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математической физики и анализа. 705018, Узбекистан, Бухара, ул. М. Икбала, 11

Журабек Шакарович Сафаров

Ташкентский университет информационных технологий

инженер-программист, центр информационных технологий 700000, Узбекистан, Ташкент, ул. А. Тимура, 108

Список литературы

Дополнительные файлы