The well-posedness of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation

Abstract


This paper proves the unique solvability of the local boundary value problem in a cylindric domain for the multi-dimensional wave equation, which is the generalization of the Dirichlet and Poincare problems. We also obtain the criterion for the uniqueness of the regular solution.

Full Text

В работе показана однозначная разрешимость локальной краевой задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения, которая является обобщением задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения. Для двумерного пространства в [1] было показано, что одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колебаний струны — некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применить в приложениях. Для трёхмерного пространства получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболических уравнений [6, 7], а в [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения. Пусть Dα — цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точек (x1 , x2 , . . . , xm , t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1}, плоскостями t = α > 0 и t = 0, где |x| — длина вектора x = (x1 , x2 , . . . , xm ). Части этих поверхностей, образующих границу ∂Dα области Dα , обозначим через Γα , Sα , S0 соответственно. В области Dα рассмотрим многомерное волновое уравнение ∆x u − utt = 0, (1) где ∆x — оператор Лапласа по переменным x1 , . . . , xm , m 2. В дальнейшем для удобства перейдём от декартовых координат x1 , x2 , . . . , xm , t к сферическим r, θ1 , θ2 , . . . , θm−1 , t, r 0, 0 θ1 < 2π, 0 θi π, i = 2, 3, . . . , m − 1. 48 Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области Рассмотрим следующую локальную краевую задачу. Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Dα из класса C(D α ) ∩ C 1 (Dα ∪ S0 ) ∩ C 2 (Dα ), удовлетворяющее краевым условиям u Sα = ϕ1 (r, θ), u Γα = φ1 (t, θ), (βu + γut ) S0 = ϕ2 (r, θ), где β, γ = const, β 2 + γ 2 = 0, которая является обобщением задач Дирихле (γ = 0) и Пуанкаре (β = 0). k Пусть {Yn,m (θ)} — система линейно независимых сферических функций порядка n, 1 k kn , (m−2)!n!kn = (n+m−3)!(2n+m−2), θ = (θ1 , . . . , θm−1 ), l W2 (l = 0, 1, . . . ) — пространства Соболева. Имеют место следующие утверждения [10]. l Лемма 1. Пусть f (r, θ) ∈ W2 (S). Если l ∞ m − 1, то ряд kn k k fn (r)Yn,m (θ), f (r, θ) = (2) n=0 k=1 а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p сходятся абсолютно и равномерно. l−m+1, l Лемма 2. Для того чтобы f (r, θ) ∈ W2 (S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (2) удовлетворяли неравенствам ∞ 1 |f0 (r)| kn c1 , n=1 k=1 k n2l |fn (r)|2 c2 , c1 , c2 = const. k ¯2n Через ϕk (r), ψn (t), ϕk (r) обозначим коэффициенты разложения ряда ¯1n (2), соответственно функций ϕ1 (r, θ), ψ(t, θ), ϕ2 (r, θ). l l l Теорема 1. Пусть ϕ1 (r, θ) ∈ W2 (Sα ), ψ(t, θ) ∈ W2 (Γα ), ϕ2 (r, θ) ∈ W2 (S0 ), l > 3m/2 и β sin µs,n α = γ cos µs,n α, s = 1, 2, . . . . (3) Тогда задача 1 однозначно разрешима, где µs — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+(m−2)/2 (z). Д о к а з а т е л ь с т в о. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид 1 m−1 ur − 2 δu − utt = 0, (4) urr + r r m−1 δ≡− j=1 g1 = 1, 1 gj sin m−j−1 ∂ ∂ sinm−j−1 θj , ∂θj θj ∂θj gj = (sin θ1 · · · sin θj−1 )2 , j > 1. Известно [10], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = = n(n + m − 2), n = 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонорk мированных собственных функций Yn,m (θ). 49 А л д а ш е в С. А. ¯ Так как искомое решение задачи D принадлежит классу C(Dα ) ∩ C 2 (Dα ), его можно искать в виде ∞ kn k uk (r, t)Yn,m (θ), ¯n u(r, θ, t) = (5) n=0 k=1 где uk (r, t) — функции, подлежащие определению. ¯n Подставляя (5) в (4), используя ортогональность сферических функций k Yn,m (θ) (см. [10]), будем иметь uk + ¯nrr m−1 k λn unr − uk − 2 uk = µ¯k , ¯ ¯ntt ¯ un r r n k = 1, 2, . . . , kn , n = 0, 1, . . . , (6) при этом первое условие краевых условий (2) с учётом леммы 1 запишется в виде β uk (r,0) ¯n ¯1n uk (r, α) = ϕk (r), ¯n + γ uk (r,0) = ϕk (r), ¯nt ¯2n k uk (1, t) = ψn (t), ¯n k = 1, 2, . . . kn , n = 0, 1, . . . . (7) k ¯n Произведя замену υn (r, t) = uk (r, t) − ψn (t) в соотношениях (6), (7), получим ¯k λn k m−1 k ¯k υnr − 2 υn − υntt = fn (r, t), ¯ ¯ ¯k r r υn (r, α) = ϕk (r), υn (1, t) = 0, β υn (r,0) + γ υnt (r,0) = ϕk (r), ¯k ¯k ¯k ¯k 1n 2n λn k k k ¯k fn (r, t) = ψnrr + 2 ψn , ϕk (r) = ϕk (r) − ψn (α), ¯1n 1n r k k ϕk (r) = ϕk (r) − βψn (0) − γψnt (0), k = 1, 2, . . . , kn , n = 0, 1, . . . . ¯2n 2n υnrr + ¯k (8) (9) k После замены υn (r, t) = r (1−m)/2 υn (r, t) задача (8), (9) приводится к следую¯k щему виду: ¯ λn k k υ = fn (r, t), r2 n k k k k υn (r, α) = ϕk (r), υn (1, t) = 0, βυn (r,0) + γυnt (r,0) = ϕk (r), ˜1n ˜2n k (m−1)/2 ¯k ¯ λn = ((m − 1)(3 − m) − 4λn )/4, f (r, t) = r f (r, t), k k k Lυn ≡ υnrr − υntt + ϕk (r) ˜jn = n (m−1)/2 k r ϕjn (r), (10) (11) n j = 1, 2. Решение задачи (10), (11) представляется так: k k k υn (r, t) = υ1n (r, t) + υ2n (r, t), (12) k где υ1n (r, t) — решение задачи k k Lυ1n = fn (r, t), k υ1n (r, α) 50 = 0, k υ1n (1, t) = 0, k βυ1n (r,0) (13) + k γυ1nt (r,0) = 0, (14) Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области k а υ2n (r, t) — решение задачи k Lυ2n = 0, k υ2n (r, α) = ϕk (r), ˜1n k υ2n (1, t) = 0, (15) k βυ1n (r,0) + k γυ2nt (r,0) = ϕk (r). ˜2n (16) Решение вышеуказанных задач будем искать в виде ∞ k υn (r, t) (17) Rs (r)Ts (t), = s=1 при этом ∞ ∞ k fn (r, t) as,n (t)Rs (r), = s=1 ϕk (r) ˜1n s=1 ∞ ϕk (r) ˜2n bs,n Rs (r), = (18) es,n Rs (r). = s=1 Подставляя (17) в (13), (14), с учётом (18) получим ¯ λn Rs + µRs = 0, 0 < r < 1, r2 Rs (1) = 0, Rs (0) < ∞, Tstt + µTs (t) = −as,n (t), 0 < t < α, Ts (α) = 0, βTs (0) + γTst (0) = 0. Rsrr + Согласно [11], ограниченным решением задачи (19), (20) является √ Rs (r) = rJν (µs,n r), (19) (20) (21) (22) (23) где ν = (n + (m − 2))/2, µ = µ2 . s,n Общее решение уравнения (21) представимо в виде Ts,n (t) = c1s cos µs,n t + c2s sin µs,n t + cos µs,n t t as,n (ξ) sin µs,n ξdξ− µs,n 0 sin µs,n t t − as,n (ξ) cos µs,n ξdξ, (24) µs,n 0 где c1s , c2s — произвольные постоянные [10]. Удовлетворив условиям (22), получим систему алгебраических уравнений  α  c1s cos µs,n α + c2s sin µs,n α = − cos µs,n α as,n (ξ) sin µs,n ξdξ+    µs,n 0 sin µs,n α α (25) + as,n (ξ) cos µs,n ξdξ,    µs,n 0  βc1s + γµs c2s = 0, которое имеет единственное решение, если выполняется условие (3). 51 А л д а ш е в С. А. Подставляя (23) в (18), определяем ∞ k r −1/2 fn (r, t) = ∞ r −1/2 ϕk (r) = ˜1n as,n (t)Jν (µs,n r), s=1 ∞ r −1/2 ϕk (r) ˜2n es,n Jν (µs,n r), = bs,n Jν (µs,n r), s=1 (26) 0 < r < 1. s=1 Ряды (26) — разложения в ряды Фурье—Бесселя [12], если 1 as,n (t) = 2[Jν+1 (µs,n )]−2 0 1 bs,n = 2[Jν+1 (µs,n )]−2 0 1 es,n = 2[Jν+1 (µs,n )]−2 0 k ξfn (ξ, t)Jν (µs,n ξ)dξ, (27) ξ ϕk (ξ)Jν (µs,n ξ)dξ, ˜1n ξ ϕk (ξ)Jν (µs,n ξ)dξ, ˜2n (28) µs , s = 1, 2, . . . — положительные нули функций Бесселя Jν (z), расположенные в порядке возрастания их величины. Из (23), (24) получим решение задачи (13), (14) в виде ∞ k υ1n (r, t) = √ (29) rTs,n (t)Jν (µs,n r), s=1 где as,n (t), c1s , c2s определяются из (27), (25). Далее, подставляя (23) в (15) и (16), с учётом (18) будем иметь задачу Vstt + µ2 Vs = 0, s Vs (α) = bs,n , βVs (0) + γVst (0) = es . (30) (31) Общее решение уравнения (30) имеет вид (32) Vs,n (t) = c1s cos µs,n t + c2s sin µs,n t, где c1s , c2s — произвольные постоянные. Удовлетворив условиям (31), получим c1s cos µs,n α + c2s sin µs,n α = bs,n , (33) βc1s + γµs c2s = es,n . Из (23), (32) имеем ∞ k υ2n (r, t) = √ (34) rVs,n (t)Jν (µs,n r), s=1 где bs , es , c1s , c2s находятся из (28), (33). Таким образом, из (5), (12) следует, что решением задачи 1 является ряд ∞ kn k k k ψn (t) + r (1−m)/2 υ1n (r, t) + υ2n (r, t) u(r, θ, t) = k Yn,m (θ), n=0 k=1 k k где υ1n (r, t), υ2n (r, t) определяются из (29), (34). Отметим следующие свойства нулей функций Бесселя (см. [12, 13]): 52 (35) Корректность локальной краевой задачи в цилиндрической области 1◦ ) если µν,1 , µν,2 , . . . — положительные нули функций Jν (z), упорядоченные по возрастанию значений, то 0 < µν,1 < µν+1, 1 < µν,2 < µν+1, 2 < µν,3 < . . . , ν > −1; (36) 2◦ ) если µν , µν , µν являются наименьшими положительными нулями функций Jν (z), Jν (z), Jν (z) соответственно, то справедливы неравенства ν(ν + 2) < µν < 2(ν + 1)(ν + 3), ν(ν + 2) < µν < ν(ν − 1) < µν < ν > 0, 2ν(ν + 1), (ν 2 − 1), (37) ν > 0, ν>1 и формулы ∞ sin z = z 1 − z Jν (z) = (4n2 − 1)−1 [Jn (nz)]2 , n=1 1 π π 2 + O 3/2 , cos z − ν − πz 2 4 z 2Jν (z) = Jν−1 (z) − Jν+1 (z). ν 0, (38) Учитывая (36)–(38) и применяя признак Даламбера, можно показать, что ряды (29), (34) и продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно. Далее, используя формулы (38) и оценки [12] |kn | c1 nm−2 , ∂q k (θ) qY ∂θj n,m c2 nm/2−1+q , (39) где j = 1, 2, . . . , m − 1, q = 0, 1, . . . , а также леммы, ограничения на заданные функции ϕ1 (r, θ), ϕ2 (r, θ), ψ(t, θ), аналогично [8, 9] показывается, что полученное решение в виде ряда (35) и дважды продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно. Это означает, что решение (35) принадле¯ жит классу C(Dα ) ∩ C 1 (Dα ∪ S0 ) ∩ C 2 (Dα ). Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (3). Д о к а з а т е л ь с т в о. Если выполняется условие (3), то из теоремы 1 вытекает единственность решения задачи 1. Пусть теперь условие (3) нарушено хотя бы для одного s = p. Тогда нетривальным решением однородной задачи, соответствующей задаче 1, является функция ∞ kn u(r, θ, t) = n=0 k=1 k n−l r (2−m)/2 [β sin µp t − γµp cos µp t] Jn+(m−2)/2 (µp r)Yn,m (θ), при этом из (38), (39) следует, что она принадлежит искомому классу, если l > 3m/2. 53 А л д а ш е в С. А. В заключение отметим, что в [14] для уравнения (1) внутри характеристической области приведены корректные постановки задач Дирихле и Пуанкаре.

About the authors

Serik A Aldashev

Aktobe State University after K. Zhubanov

Email: aldash51@mail.ru
263, Zhubanov Bruthers st., Aktobe, Kazakhstan, 030000
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Director, Institute of Applied Mathematics

References

  1. Hadamard J. Sur les problèmes aux dérivés partielles et leur signification physique // Princeton University Bulletin, 1902. Vol. 13. Pp. 49–52.
  2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. 164 с.
  3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.
  4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem for the virbrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc., 1939. Vol. 45. Pp. 851–858.
  5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem for the wave equation // Ann. Mat. Pura Appl. (4), 1958. Vol. 46. Pp. 155–182.
  6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диффер. уравн., 1970. Т. 6, № 1. С. 190–191.
  7. Dunninger D. R.; Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hyperbolic equations in cylindrical domains // J. Math. Mech., 1969. Vol. 18. Pp. 763–766.
  8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Probl. Eng, 2010. Vol. 2010, 653215. 7 pp.
  9. Алдашев С. А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения / Современная математика и ее приложения, Т. 67, Уравнения с частными производными, 2010. С. 28–32.
  10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматлит, 1962. 254 с.
  11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.
  12. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. II / ed. H. Bateman. New York – Toronto – London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 396 pp.
  13. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.
  14. Алдашев С. А. Задачи Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения // Изв. НАН РК, Cер. физ.-мат., 2010. № 1. С. 3–6.

Statistics

Views

Abstract - 17

PDF (Russian) - 9

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies