Inverse problem for nonlinear partial differential equation with high order pseudoparabolic operator

Full Text

1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение n ∂ 2m+1 ∂ 4m+1 ∂ 4m ∂ u(t, x) = + (−1)m + + 4m ∂t ∂t∂x2m ∂t∂x4m ∂x = f t, x, u(τ (t, ϑ(t)), x), ϑ(t − τ0 ) (1) с начальными u(t, x) t=t0 = ϕ1 (x), ∂ j−1 u(t, x) ∂tj−1 t=t0 = ϕj (x), (2) j = 2, 3, . . . , n, граничными u(t, x) x=0 = uxx (t, x) x=0 = ... = ∂ 2(2nm−1) u(t, x) ∂x2(2nm−1) = l l K(x, y)uyy (t, y)dy = K(x, y)u(t, y)dy = = x=0 0 l 0 K(x, y) = ... = 0 ∂ 2(2nm−1) u(t, y)dy = 0 (3) ∂y 2(2nm−1) и дополнительными условиями u(t, x) x=x0 = ψ(t), ϑ(t) = η(t), где f (t, x, u, ϑ) ∈ (D × R × U0 ); ϕj (x) ∈ = ϕj (x) (4nm−2) x=0 l = ...= 0 = . . . =ϕj (4nm−2) K(x, y)ϕj (4) 0 < x0 < l, (5) t ∈ Et0 , C 4m+1 (Dl ), j = 1, 2, . . . , n; ϕj (x) l l (x) x=0 K(x, y)ϕj (y)dy = = 0 (y)dy = 0; K(x, y) ∈ C 1 (Dl2 ); 0 0 x=0 = K(x, y)ϕj (y)dy = τ (t, ϑ) ∈ (DT ×U0 ); 17 Ю л д а ш е в Т. К. ψ(t) ∈ (DT ); η(t) ∈ (Et0 ); Et0 ≡ [0; t0 ]; U0 — отрезок на действительной числовой оси; D ≡ DT ×Dl , DT ≡ [t0 , T ], Dl ≡ [0, l], 0 < l < ∞; 0 < τ0 < t0 < T < ∞; n, m ∈ N. Функция K(x, y) такая, что дифференциальное выражение −∂ 2nm /∂x2nm при граничных условиях (3) порождает положительно определенный самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром. Отметим, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ. В частности, смешанные задачи с интегральными условиями были рассмотрены в работах [1–3]. Вопросам разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы [4, 5], где приведена подробная библиография по данной тематике. В настоящей работе изучается обратная задача для нелинейного дифференциального уравнения, в которой восстанавливаемая функция ϑ(t) находится в нелинейной правой части уравнения. Кроме этого, искомая функция u(t, x) входит в нелинейную функцию f с отклонением по времени τ (t, ϑ(t)), и тем самым она зависит от восстанавливаемой функции ϑ(t). Задание условия (5), во-первых, отвечает запаздыванию аргумента восстанавливаемой функции ϑ(t − τ0 ); во-вторых, обеспечивает единственность функции ϑ(t) и, втретьих, делает некорректно поставленную задачу (1)–(4) корректно поставленной и определяет значение восстанавливаемой функции ϑ(t) в точке t = = t0 . Используется методика разделения переменных, основанная на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде N u(t, x) = lim N →∞ 1− i=1 i−1 N ai (t) · bi (x). (6) Следует подчеркнуть, что bi (x) — собственные функции дифференциального оператора −∂ 2nm /∂x2nm , удовлетворяющие граничным условиям (4nm−2) bi (0) = bi (0) = . . . = bi l K(x, y)bi (y)dy = (0) = 0 l l = 0 K(x, y)bi (y)dy = . . . = 0 (4nm−2) K(x, y)bi (y)dy = 0 (2nm) и обладающие свойством bi (x) = (−1)2(nm+1/2) λ2nm bi (x), где λ2nm — соотi i ветствующие собственные значения данного оператора такие, что 0 < λ1 < λ2 < . . . < λi < . . . → ∞ при i → ∞. Применение метода разделения переменных в виде (6) и использование интегрального тождества позволяет отказаться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме этого, такой подход позволяет свести смешанную задачу к счётной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Но при решении обратной задачи (1)–(5) относительно восстанавливаемой функции получается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью нелинейного интегрального 18 Обратная задача для нелинейного уравнения. . . преобразования сводится к специальному виду нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Обозначим через Wk,p (D) множество функций Φ(t, x) таких, что Φ(t, x), 2 /∂x2 )Φ(t, x), . . ., (∂ 2(2nm−1) /∂x2(2nm−1) )Φ(t, x) при фиксированном t ∈ D (∂ T принадлежат области определения оператора −∂ 2nm /∂x2nm , имеют производные порядка k по t, принадлежащие Lp (Dl ) и обращающиеся в нуль при t T − δ (δ > 0 зависит от Φ(t, x)), где   1/q q/p   l T dt <∞ . Lp,q (D) = u(t, x) : |u(t, x)|p dx   0 t0 Пусть для функций из Wk,p(D) при k = n справедливы соотношения l l Φ(t, y)dy = lim lim t→T t→T 0 0 ∂Φ(t, y) dy = . . . = lim t→T ∂t l 0 ∂ n−1 Φ(t, y) dy = 0. ∂tn−1 Ясно, что пространство Wk,p(D) всюду плотно в пространстве Lp (D). 2. Сведение решения смешанной задачи (1)–(3) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Определение. Обобщённым решением обратной задачи называется пара функций {u(t, x), ϑ(t)}, удовлетворяющая условиям (4), (5) и следующему интегральному тождеству: T l u(t, y) t0 0 ∂ n+4m ∂ n+4m−1 n(n − 1) ∂n Φ + n n−1 4m Φ + Φ+ ∂tn ∂t ∂y 2 ∂tn−2 ∂y 4m+2 ∂ 4nm−1 ∂ 4nm n(n − 1) ∂ 4nm−2 Φ+n Φ + 4nm Φ+ 2 ∂y 4nm−4 4nm−2 2 ∂t ∂t∂y ∂y n+2m n+6m n+6m−1 ∂ ∂ ∂ n(n − 1) + Φ + n n−1 6m Φ + Φ+ n ∂y 2m n−2 ∂y 6m+2 ∂t ∂t ∂y 2 ∂t n(n − 1) ∂ 4nm+2m−2 ∂ 4nm+2m−1 +... + Φ+n Φ + 2 ∂t2 ∂y 4nm+2m−4 ∂t∂y 4nm+2m−2 ∂ n+8m ∂ n+8m−1 n(n − 1) ∂ n+4m Φ + n n−1 8m Φ + Φ+ + ∂tn ∂y 4m ∂t ∂y 2 ∂tn−2 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−2 ∂ 4nm+4m−1 +... + Φ+n Φ − f Φ dydt = 2 ∂t2 ∂y 4nm+4m−4 ∂t∂y 4nm+4m−2 + ... + l = ∂ n+4m−2 n(n − 1) ∂ n+4m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 4m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 4m+2 0 n(n − 1) ∂ 4nm−3 ∂ 4nm−2 + ... + Φ + n 4nm−2 Φ+ 2 ∂t∂y 4nm−4 ∂y n+2m−1 n+6m−2 ∂ ∂ n(n − 1) ∂ n+6m−1 + Φ + n n−2 6m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂y 2m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−3 ∂ 4nm+2m−2 +... + Φ + n 4nm+2m−2 Φ + 2 ∂t∂y 4nm+2m−4 ∂y ϕ1 (y) 19 Ю л д а ш е в Т. К. ∂ n+4m−1 ∂ n+8m−2 n(n − 1) ∂ n+8m−1 Φ + n n−2 8m Φ + Φ+ n−1 ∂y 4m ∂t ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−3 ∂ 4nm+4m−2 +... + dy− Φ + n 4nm+4m−2 Φ 2 ∂t∂y 4nm+4m−4 ∂y t=t0 + l ϕn−1 (y) − ... + 0 + ∂ 4m ∂ Φ + n 4m Φ + ∂t ∂y ∂ 2m+1 ∂ 6m Φ + n 6m Φ + 2m ∂t∂y ∂y l ∂ 4m+1 ∂ 8m Φ + n 8m Φ ∂t∂y 4m ∂y ϕn (y) Φ + dy − 0 t=t0 ∂ 2m ∂ 4m Φ + 4m Φ ∂y 2m ∂y dy. t=t0 Коэффициенты разложения ai (t) обобщённого решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей ССНИУ: ai (t) = wi (t)+ t N l + 1− f s, y, lim t0 N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT , (7) где n wi (t) = k=1 tk−1 ϕki (k−1)! Pi (t, s) = n j−k θ1i j=k tj−k exp −θ1i (t − t0 ) , (j−k)! (n − 1)!(t − s)n−1 exp −θ1i (t − s) , n θ0i n θ0i = 1 + λ2m + λ4m i i n , n n θ1i = λ4nm /θ0i . i Действительно, согласно определению обобщённого решения обратной задачи (1)–(5) имеем t N l lim t0 0 N →∞ 1− i=1 ∂n i−1 N ai (s) · bi (y)× ∂ n+4m ∂ n+4m−1 n(n − 1) Φ+ Φ+ ∂s ∂sn−1 ∂y 4m 2 ∂sn−2 ∂y 4m+2 ∂ 4nm−1 ∂ 4nm n(n − 1) ∂ 4nm−2 Φ+n Φ + 4nm Φ+ + ... + 2 ∂s2 ∂y 4nm−4 ∂s∂y 4nm−2 ∂y n+2m n+6m n+6m−1 ∂ ∂ ∂ n(n − 1) + Φ + n n−1 6m Φ + Φ+ ∂sn ∂y 2m ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−2 ∂ 4nm+2m−1 +... + Φ+n Φ + 2 ∂s2 ∂y 4nm+2m−4 ∂s∂y 4nm+2m−2 ∂ n+4m ∂ n+8m ∂ n+8m−1 n(n − 1) + Φ + n n−1 8m Φ + Φ+ ∂sn ∂y 4m ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 8m+2 × 20 Φ+n n Обратная задача для нелинейного уравнения. . . +... + n(n − 1) ∂ 4nm+4m−2 ∂ 4nm+4m−1 Φ+n Φ 2 ∂y 4nm+4m−4 2 ∂s ∂s∂y 4nm+4m−2 − f Φ dyds = l = ∂ n+4m−2 n(n − 1) ∂ n+4m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 4m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 4m+2 0 n(n − 1) ∂ 4nm−3 ∂ 4nm−2 + ... + Φ + n 4nm−2 Φ+ 2 ∂t∂y 4nm−4 ∂y n+2m−1 n+6m−2 ∂ ∂ n(n − 1) ∂ n+6m−1 + Φ + n n−2 6m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂y 2m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−3 ∂ 4nm+2m−2 +... + Φ + n 4nm+2m−2 Φ + 2 ∂t∂y 4nm+2m−4 ∂y n+8m−2 n+4m−1 ∂ n(n − 1) ∂ n+8m−1 ∂ Φ + n n−2 8m Φ + Φ+ + ∂tn−1 ∂y 4m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−3 ∂ 4nm+4m−2 +... + dy− Φ + n 4nm+4m−2 Φ 2 ∂t∂y 4nm+4m−4 ∂y t=t0 ϕ1 (y) l ∂ ∂ 4m Φ + n 4m Φ + ∂t ∂y ϕn−1 (y) − ... + 0 ∂ 4m+1 + ∂t∂y Φ+n 4m ∂ 8m Φ ∂y 8m ∂ 2m+1 ∂ 6m Φ + n 6m Φ + ∂t∂y 2m ∂y l ϕn (y) Φ+ dy− t=t0 0 ∂ 2m ∂ 4m Φ+ 4m Φ ∂y 2m ∂y dy. (8) t=t0 Пусть в (8) будет Φ = Φj (t, x) = h(t)bj (x) ∈ Wk,p (D), где 0 = h(t) ∈ C n (DT ). Тогда из (8) следует t N l lim t0 0 N →∞ 1− i=1 i−1 N ai (s) · bi (y)× × (−1)n h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ4m h(n−1) (s)bj (y)+ j + (−1)n−2 · + ... + n(n − 1) 4m+2 (n−2) h (s)bj (y)+ λj 2 n(n − 1) 4nm−4 4nm−2 λj h (s)bj (y) − nλj h (s)bj (y) + λ4nm h(s)bj (y)+ j 2 + (−1)n λ2m h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ6m h(n−1) (s)bj (y)+ j j + (−1)n−2 + n(n − 1) 6m+2 (n−2) λj h (s)bj (y) + . . . 2 n(n − 1) 4nm+2m−4 λj h (s)bj (y) − nλ4nm+2m−2 h (s)bj (y) + j 2 + (−1)n λ4m h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ8m h(n−1) (s)bj (y)+ j j + (−1)n−2 + n(n − 1) 8m+2 (n−2) λj h (s)bj (y) + . . . 2 n(n − 1) 4nm+4m−4 h (s)bj (y) − nλ4nm+4m−2 h (s)bj (y) λj j 2 − 21 Ю л д а ш е в Т. К. N 1− − f s, y, lim N →∞ j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) h(s) dyds = 0. N Так как система функций {bi (x)}∞ полна и ортонормирована в Lp (Dl ), из i=1 последнего равенства имеем t t0 ai (s) · (−1)n h(n) (s) + (−1)n−1 nλ4m h(n−1) (s)+ j + (−1)n−2 · n(n − 1) 4nm−4 n(n − 1) 4m+2 (n−2) λj h (s) + . . . + λj h (s)− 2 2 − nλ4nm−2 h (s) + λ4nm h(s)+ j j + (−1)n λ2m h(n) (s)+(−1)n−1 nλ6m h(n−1) (s)+(−1)n−2 j j + n(n − 1) 6m+2 (n−2) h (s)+. . . λj 2 n(n − 1) 4nm+2m−4 λj h (s) − nλ4nm+2m−2 h (s) + j 2 + (−1)n λ4m h(n) (s) + (−1)n−1 nλ8m h(n−1) (s)+ j j +(−1)n−2 n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) n(n − 1) 8m+2 (n−2) λj h (s)+(−1)n−3 λj h (s)+. . . 2 3! n(n − 1) 4nm+4m−4 + λj h (s) − nλ4nm+4m−2 h (s) − j 2 N l 1− f s, y, lim − N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × h(s) · bi (y)dy ds = 0. Отсюда, интегрируя по частям, получаем T n(n − 1) 4m+2 (n−2) λi ai (t)+ 2 t0 n(n − 1) 4nm−4 n(n − 1)(n − 2) 4m+4 (n−3) λi ai (t) + . . . + λi ai (t) + nλ4nm−2 ai (t)+ + i 3! 2 n(n − 1) 6m+2 (n−2) (n) (n−1) ai (t)+ + λ4nm ai (t) + λ2m ai (t) + nλ6m ai (t) + λi i i i 2 n(n − 1)(n − 2) 6m+4 (n−3) n(n − 1)(n − 2) 4nm+2m−6 + λi ai (t) + . . . + λi ai (t)+ 3! 3! n(n − 1) 4nm+2m−4 + λi ai (t) + nλ4nm+2m−2 ai (t) + i 2 n(n − 1) 8m+2 (n−2) (n) (n−1) + λ4m ai (t) + nλ8m ai (t) + λi ai (t)+ i i 2 n(n − 1)(n − 2) 4nm+4m−6 n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) ai (t) + . . . + ai (t)+ + λi λi 3! 3! 22 (n) (n−1) h(t) ai (t) + nλ4m ai i (t) + Обратная задача для нелинейного уравнения. . . + n(n − 1) 4nm+4m−4 λi ai (t) + nλ4nm+4m−2 ai (t) − i 2 N l 1− f t, y, lim − N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (t, ϑ(t))) · bj (y), ϑ(t − τ0 ) × N × bi (y)dy dt = 0. (9) Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, ai имеет обобщённые производные порядка k по t в смысле Соболева на отрезке DT . Поскольку h(t) = 0 для всех t ∈ DT , из (9) следует: n(n − 1) 4m+2 (n−2) λi ai (t)+ 2 n(n − 1)(n − 2) 4nm−6 n(n − 1)(n − 2) 4m+4 (n−3) ai (t) + . . . + ai (t)+ + λi λi 3! 3! n(n − 1) 4nm−4 4nm−2 + λi ai (t) + nλi ai (t) + λ4nm ai (t)+ i 2 n(n − 1) 6m+2 (n−2) (n) (n−1) + λ2m ai (t) + nλ6m ai (t) + λi ai (t)+ i i 2 n(n − 1)(n − 2) 6m+4 (n−3) n(n − 1)(n − 2) 4nm+2m−6 + λi ai (t) + . . . + λi ai (t)+ 3! 3! n(n − 1) 4nm+2m−4 (n) (n−1) (t)+ ai (t) + nλ4nm+2m−2 ai (t) + λ4m ai (t) + nλ8m ai + λi i i i 2 n(n − 1) 8m+2 (n−2) n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) + λi ai (t) + λi ai (t) + . . . 2 3! n(n−1)(n−2) 4nm+4m−6 n(n−1) 4nm+4m−4 + λi ai (t)+ λi ai (t)+nλ4nm+4m−2 ai (t) = i 3! 2 (n) (n−1) ai (t) + nλ4m ai i (t) + N l 1− f t, y, lim = N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (t, ϑ(t)))bj (y), ϑ(t − τ0 ) bi (y)dy. (10) N Система (10) решается методом вариации произвольных постоянных: ai (t) = exp −θ1i (t − t0 ) C1i + C2i (t − t0 ) + C3i (t − t0 )2 + . . . + Cni (t − t0 )n−1 + t N l + 1− f s, y, lim t0 N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT . (11) Для определения коэффициентов Cji , j = 1, 2, . . . , n, используются условия (n−1) ai (t0 ) = ϕ1i , ai (t0 ) = ϕ2i , ai (t0 ) = ϕ3i , . . . , ai (t0 ) = ϕni , l ϕj (y) · bi (y)dy. Имеем где ϕji = 0 C1i = ϕ1i , C2i = θ1i ϕ1i + ϕ2i , C3i = 1 2 θ ϕ1i + 2θ1i ϕ2i + ϕ3i , · · · , 2! 1i 23 Ю л д а ш е в Т. К. Cni = (n − 1)(n − 2) n−3 1 n−2 n−1 θ1i ϕ3i + . . . θ1i ϕ1i + (n − 1)θ1i λ−4 ϕ2i + i (n − 1)! 2 (n − 1)(n − 2) 2 + θ1i ϕ(n−2)i + (n − 1)θ1i ϕ(n−1)i + ϕni . 2 Подстановка найденных значений Cji в (11) даёт ССНИУ (7). Подставляя решение CCНИУ (7) в ряд (6), получаем формальное решение смешанной задачи (1)–(3): N N →∞ t i−1 N 1− u(t, x) = lim i=1 N l 1− f s, y, lim + t0 wi (t)+ N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds · bi (x). (12) Ряд (12) можно записать в виде t l Q(t, s, x, y)× u(t, x) = u0 (t, x) + t0 0 × f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds, (13) где N 1− N →∞ i−1 Pi (t, s)bi (y)bi (x). N i=1 N Q(t, s, x, y) = lim N →∞ i−1 wi (t) · bi (x), N 1− u0 (t, x) = lim i=1 Уравнение (13) является нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции u(t, x) и нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода относительно восстанавливаемой функции ϑ(t). 3. Сведение решения обратной задачи (1)–(5) к системе интегральных уравнений Вольтерра. Воспользуемся условием (4). Тогда интегральное уравнение (13) примет вид t l Q(t, s, x0 , y)× ψ(t) = u0 (t, x0 ) + t0 0 × f s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 ) dyds, (14) где N 1− u0 (t, x0 ) = lim N →∞ 24 i=1 i−1 wi (t) · bi (x0 ), N Обратная задача для нелинейного уравнения. . . N 1− Q(t, s, x0 , y) = lim N →∞ i=1 i−1 Pi (t, s)bi (y)bi (x0 ). N Уравнение (14) запишем в виде нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода относительно пары неизвестных функций u(t, x) и ϑ(t): t l Q(t, s, x0 , y)f s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 ) dyds = g(t), t0 (15) 0 где g(t) = ψ(t) − u0 (t, x0 ). Интегральные уравнения (13) и (15) составляют систему интегральных уравнений, для разрешимости которой методом последовательных приближений относительно неизвестной функции ϑ(t) преобразуем уравнение (15). Следует отметить, что классические методы интегрального преобразования не могут привести уравнение (15) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Поэтому здесь используется другая методика. С учётом условия (5) уравнение (15) запишем в виде [6] t ϑ(t) + t F (s)ϑ(s)ds = ϑ(t) + t0 F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 t l − Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds, t0 0 t где F (t) > 0 — произвольная функция такая, что exp − F (s)ds 1. t0 Отсюда, используя резольвенту ядра [−F (s)], имеем t ϑ(t) = ϑ(t) + F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 l t Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds− − 0 t0 t s − F (s) · exp (−µ(t, s)) · ϑ(s) + t0 F (θ)ϑ(θ)dθ + g(s)− t0 s l Q(s, θ, x0 , y)f (θ, y, u(τ (θ, ϑ(θ)), y), ϑ(θ − τ0 )) dydθ ds, (16) − t0 0 t где µ(t, s) = F (θ)dθ, µ(t, t0 ) = µ(t). s Применяя к (16) формулу Дирихле, получаем уравнение t ϑ(t) = exp(−µ(t)) · ϑ(t) + F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 t l Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds + − t0 0 25 Ю л д а ш е в Т. К. t + F (s) · exp (−µ(t, s)) · [ϑ(t) − ϑ(s) + g(t) − g(s)+ t0 t + s F (s)ϑ(s)ds − t0 t F (θ)ϑ(θ)dθ− t0 l Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds+ − t0 s 0 l Q(s, θ, x0 , y)f (θ, y, u(τ (θ, ϑ(θ)), y), ϑ(θ − τ0 )) dydθ ds, (17) + t0 0 которое эквивалентно уравнению (15) при начальном условии (5). Условием согласования уравнения (17) с начальным условием (5) при t = t0 является следующее выражение: N η(t0 ) = lim 1− N →∞ i=1 i−1 N ϕ1i · bi (x0 ). Отсюда получается новая система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно пары неизвестных функций u(t, x) и ϑ(t): u(t, x) = Θ1 (t, x; u, ϑ), ϑ(t) = Θ2 (t; u, ϑ), (18) где Θ1 (t, x; u, ϑ) — оператор правой части (13), а Θ2 (t; u, ϑ) — оператор правой части (17). 4. Однозначная разрешимость обратной задачи (1)–(5). Для произвольной функции r(t, x) ∈ C(D) норма вводится следующим образом: r(t, x) C = max |r(t, x)| . (t,x)∈D Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: 1. f (t, x, u, ϑ) удовлетворяет условию Гельдера по x; t l 2. max |Q(t, s, x, y)| · |f (s, y, u, ϑ)| dyds (t,x)∈D t0 0 t 3. f (t, x, u, ϑ) ∈ Lip L0 (t, x) 4. u(t, x) ∈ Lip L1 N N →∞ 1− i=1 t 7. max t∈DT ϑ L0 (s, y)dyds < ∞; t0 , где 0 < L2 (s)ds < ∞; wi (t) C |bi (x0 )| < ∞; F (s) · |g(t) − g(s)| · exp (−µ(t, s)) ds N →∞ 1− i=1 0 t0 t0 N 26 u,ϑ t i−1 N 8. η(t0 ) = lim l , где 0 < , где 0 < L1 = const; t 5. τ (t, ϑ) ∈ Lip L2 (t) 6. lim ∆ < ∞; i−1 ϕ1i · bi (x0 ); N β < ∞; Обратная задача для нелинейного уравнения. . . 9. ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, где t∈DT t∈DT t M0 (t) = exp (−µ(t)) + 2 F (s) · exp (−µ(t, s)) ds, t0 t l M1 (t) = |Q(t, s, x, y)| L0 (s, y) (1 + L1 L2 (s)) dyds, t0 0 t M2 (t) = 1+ F (s)ds + M1 (t) · M0 (t). t0 Тогда обратная задача (1)–(5) имеет единственное обобщённое решение u(t, x), ϑ(t) в области D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используется метод последовательных приближений при сочетании его с методом сжимающих отображений: u0 (t, x) = u0 (t, x), uk+1 (t, x) = Θ1 (t, x; uk , ϑk ), ϑ0 (t) = g(t) · exp (−µ(t)) , ϑk+1 (t) = Θ2 (t; uk , ϑk ), k = 0,1,2,3, . . . . (19) В силу условий теоремы из (19) следуют оценки u1 (t, x) − u0 (t, x) ϑ1 (t) − ϑ0 (t) (20) ∆, C β + g(t) · exp (−µ(t)) + C t F (s) · g(s) · exp(−µ(s)ds + ∆) · M0 (t), (21) + t0 uk+1 (t, x) − uk (t, x) M1 (t) ϑk+1 (t) − ϑk (t) C uk (t, x) − uk−1 (t, x) C + ϑk (t) − ϑk−1 (t) C , (22) uk (t, x) − uk−1 (t, x) C + ϑk (t) − ϑk−1 (t) C , (23) C M2 (t) где функции M0 (t), M1 (t), M2 (t) определены в условии 9 теоремы 1. Так как по условию теоремы ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, в силу (20) и (21) t∈DT t∈DT из оценок (22) и (23) следует, что операторы Θ1 и Θ2 в правой части системы (18) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)–(5) имеет единственное решение u(t, x), ϑ(t) в области D. 5. Устойчивость решения обратной задачи (1)–(5). Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обратной задачи по отношению к функции ψ(t), заданной в (4). 27 Ю л д а ш е в Т. К. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда решение обратной задачи устойчиво относительно функции ψ(t), заданной в (4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u1 (t, x), ϑ1 (t) и u2 (t, x), ϑ2 (t) — два различных решения обратной задачи (1)–(5), соответствующие двум различным значениям функции ψ1 (t) и ψ2 (t) соответственно. Если ψ1 (t) − ψ2 (t) (24) δ, 0 < δ = const, u1 (t, x) − u2 (t, x) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C , (25) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C , (26) то из системы (18) следуют оценки u1 (t, x) − u2 (t, x) C M1 (t) ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C M0 (t) ψ1 (t) − ψ2 (t) + M2 (t) C + u1 (t, x) − u2 (t, x) где функции M0 (t), M1 (t), M2 (t) определены в условии 9 теоремы 1. Так как по условию теоремы ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, из t∈DT t∈DT оценок (25) и (26) получаем V0 < ψ1 (t) − ψ2 (t) C + ρV0 , (27) где V0 = u1 (t, x) − u2 (t, x) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C . В силу (24) из (27) следует V0 < δ/(1 − ρ). Отсюда получаем V0 < ε, если положим δ = ε(1 − ρ). Это и доказывает теорему.

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
(Ph. D. (Phys.& Math)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics 31, pr. “Krasnoyarskiy rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia

References

Supplementary files