Inverse problem for nonlinear partial differential equation with high order pseudoparabolic operator

Abstract


We consider the questions of generalized solvability of inverse problem for nonlinear partial differential equations with high order pseudoparabolic operator by method of separation of variables. The mixed problem is reduced to the Volterra integral equation of the second kind, and the inverse problem — to the system of Volterra integral equations. The unique solvability of the inverse problem and the stability of its solution are proved.

Full Text

1. Постановка задачи. В области D рассматривается уравнение n ∂ 2m+1 ∂ 4m+1 ∂ 4m ∂ u(t, x) = + (−1)m + + 4m ∂t ∂t∂x2m ∂t∂x4m ∂x = f t, x, u(τ (t, ϑ(t)), x), ϑ(t − τ0 ) (1) с начальными u(t, x) t=t0 = ϕ1 (x), ∂ j−1 u(t, x) ∂tj−1 t=t0 = ϕj (x), (2) j = 2, 3, . . . , n, граничными u(t, x) x=0 = uxx (t, x) x=0 = ... = ∂ 2(2nm−1) u(t, x) ∂x2(2nm−1) = l l K(x, y)uyy (t, y)dy = K(x, y)u(t, y)dy = = x=0 0 l 0 K(x, y) = ... = 0 ∂ 2(2nm−1) u(t, y)dy = 0 (3) ∂y 2(2nm−1) и дополнительными условиями u(t, x) x=x0 = ψ(t), ϑ(t) = η(t), где f (t, x, u, ϑ) ∈ (D × R × U0 ); ϕj (x) ∈ = ϕj (x) (4nm−2) x=0 l = ...= 0 = . . . =ϕj (4nm−2) K(x, y)ϕj (4) 0 < x0 < l, (5) t ∈ Et0 , C 4m+1 (Dl ), j = 1, 2, . . . , n; ϕj (x) l l (x) x=0 K(x, y)ϕj (y)dy = = 0 (y)dy = 0; K(x, y) ∈ C 1 (Dl2 ); 0 0 x=0 = K(x, y)ϕj (y)dy = τ (t, ϑ) ∈ (DT ×U0 ); 17 Ю л д а ш е в Т. К. ψ(t) ∈ (DT ); η(t) ∈ (Et0 ); Et0 ≡ [0; t0 ]; U0 — отрезок на действительной числовой оси; D ≡ DT ×Dl , DT ≡ [t0 , T ], Dl ≡ [0, l], 0 < l < ∞; 0 < τ0 < t0 < T < ∞; n, m ∈ N. Функция K(x, y) такая, что дифференциальное выражение −∂ 2nm /∂x2nm при граничных условиях (3) порождает положительно определенный самосопряжённый оператор с чисто точечным спектром. Отметим, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ. В частности, смешанные задачи с интегральными условиями были рассмотрены в работах [1–3]. Вопросам разрешимости обратных задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы [4, 5], где приведена подробная библиография по данной тематике. В настоящей работе изучается обратная задача для нелинейного дифференциального уравнения, в которой восстанавливаемая функция ϑ(t) находится в нелинейной правой части уравнения. Кроме этого, искомая функция u(t, x) входит в нелинейную функцию f с отклонением по времени τ (t, ϑ(t)), и тем самым она зависит от восстанавливаемой функции ϑ(t). Задание условия (5), во-первых, отвечает запаздыванию аргумента восстанавливаемой функции ϑ(t − τ0 ); во-вторых, обеспечивает единственность функции ϑ(t) и, втретьих, делает некорректно поставленную задачу (1)–(4) корректно поставленной и определяет значение восстанавливаемой функции ϑ(t) в точке t = = t0 . Используется методика разделения переменных, основанная на поиске решения смешанной задачи (1)–(3) в виде N u(t, x) = lim N →∞ 1− i=1 i−1 N ai (t) · bi (x). (6) Следует подчеркнуть, что bi (x) — собственные функции дифференциального оператора −∂ 2nm /∂x2nm , удовлетворяющие граничным условиям (4nm−2) bi (0) = bi (0) = . . . = bi l K(x, y)bi (y)dy = (0) = 0 l l = 0 K(x, y)bi (y)dy = . . . = 0 (4nm−2) K(x, y)bi (y)dy = 0 (2nm) и обладающие свойством bi (x) = (−1)2(nm+1/2) λ2nm bi (x), где λ2nm — соотi i ветствующие собственные значения данного оператора такие, что 0 < λ1 < λ2 < . . . < λi < . . . → ∞ при i → ∞. Применение метода разделения переменных в виде (6) и использование интегрального тождества позволяет отказаться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме этого, такой подход позволяет свести смешанную задачу к счётной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Но при решении обратной задачи (1)–(5) относительно восстанавливаемой функции получается нелинейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода, которое с помощью нелинейного интегрального 18 Обратная задача для нелинейного уравнения. . . преобразования сводится к специальному виду нелинейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Обозначим через Wk,p (D) множество функций Φ(t, x) таких, что Φ(t, x), 2 /∂x2 )Φ(t, x), . . ., (∂ 2(2nm−1) /∂x2(2nm−1) )Φ(t, x) при фиксированном t ∈ D (∂ T принадлежат области определения оператора −∂ 2nm /∂x2nm , имеют производные порядка k по t, принадлежащие Lp (Dl ) и обращающиеся в нуль при t T − δ (δ > 0 зависит от Φ(t, x)), где   1/q q/p   l T dt <∞ . Lp,q (D) = u(t, x) : |u(t, x)|p dx   0 t0 Пусть для функций из Wk,p(D) при k = n справедливы соотношения l l Φ(t, y)dy = lim lim t→T t→T 0 0 ∂Φ(t, y) dy = . . . = lim t→T ∂t l 0 ∂ n−1 Φ(t, y) dy = 0. ∂tn−1 Ясно, что пространство Wk,p(D) всюду плотно в пространстве Lp (D). 2. Сведение решения смешанной задачи (1)–(3) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Определение. Обобщённым решением обратной задачи называется пара функций {u(t, x), ϑ(t)}, удовлетворяющая условиям (4), (5) и следующему интегральному тождеству: T l u(t, y) t0 0 ∂ n+4m ∂ n+4m−1 n(n − 1) ∂n Φ + n n−1 4m Φ + Φ+ ∂tn ∂t ∂y 2 ∂tn−2 ∂y 4m+2 ∂ 4nm−1 ∂ 4nm n(n − 1) ∂ 4nm−2 Φ+n Φ + 4nm Φ+ 2 ∂y 4nm−4 4nm−2 2 ∂t ∂t∂y ∂y n+2m n+6m n+6m−1 ∂ ∂ ∂ n(n − 1) + Φ + n n−1 6m Φ + Φ+ n ∂y 2m n−2 ∂y 6m+2 ∂t ∂t ∂y 2 ∂t n(n − 1) ∂ 4nm+2m−2 ∂ 4nm+2m−1 +... + Φ+n Φ + 2 ∂t2 ∂y 4nm+2m−4 ∂t∂y 4nm+2m−2 ∂ n+8m ∂ n+8m−1 n(n − 1) ∂ n+4m Φ + n n−1 8m Φ + Φ+ + ∂tn ∂y 4m ∂t ∂y 2 ∂tn−2 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−2 ∂ 4nm+4m−1 +... + Φ+n Φ − f Φ dydt = 2 ∂t2 ∂y 4nm+4m−4 ∂t∂y 4nm+4m−2 + ... + l = ∂ n+4m−2 n(n − 1) ∂ n+4m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 4m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 4m+2 0 n(n − 1) ∂ 4nm−3 ∂ 4nm−2 + ... + Φ + n 4nm−2 Φ+ 2 ∂t∂y 4nm−4 ∂y n+2m−1 n+6m−2 ∂ ∂ n(n − 1) ∂ n+6m−1 + Φ + n n−2 6m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂y 2m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−3 ∂ 4nm+2m−2 +... + Φ + n 4nm+2m−2 Φ + 2 ∂t∂y 4nm+2m−4 ∂y ϕ1 (y) 19 Ю л д а ш е в Т. К. ∂ n+4m−1 ∂ n+8m−2 n(n − 1) ∂ n+8m−1 Φ + n n−2 8m Φ + Φ+ n−1 ∂y 4m ∂t ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−3 ∂ 4nm+4m−2 +... + dy− Φ + n 4nm+4m−2 Φ 2 ∂t∂y 4nm+4m−4 ∂y t=t0 + l ϕn−1 (y) − ... + 0 + ∂ 4m ∂ Φ + n 4m Φ + ∂t ∂y ∂ 2m+1 ∂ 6m Φ + n 6m Φ + 2m ∂t∂y ∂y l ∂ 4m+1 ∂ 8m Φ + n 8m Φ ∂t∂y 4m ∂y ϕn (y) Φ + dy − 0 t=t0 ∂ 2m ∂ 4m Φ + 4m Φ ∂y 2m ∂y dy. t=t0 Коэффициенты разложения ai (t) обобщённого решения смешанной задачи (1)–(3) удовлетворяют следующей ССНИУ: ai (t) = wi (t)+ t N l + 1− f s, y, lim t0 N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT , (7) где n wi (t) = k=1 tk−1 ϕki (k−1)! Pi (t, s) = n j−k θ1i j=k tj−k exp −θ1i (t − t0 ) , (j−k)! (n − 1)!(t − s)n−1 exp −θ1i (t − s) , n θ0i n θ0i = 1 + λ2m + λ4m i i n , n n θ1i = λ4nm /θ0i . i Действительно, согласно определению обобщённого решения обратной задачи (1)–(5) имеем t N l lim t0 0 N →∞ 1− i=1 ∂n i−1 N ai (s) · bi (y)× ∂ n+4m ∂ n+4m−1 n(n − 1) Φ+ Φ+ ∂s ∂sn−1 ∂y 4m 2 ∂sn−2 ∂y 4m+2 ∂ 4nm−1 ∂ 4nm n(n − 1) ∂ 4nm−2 Φ+n Φ + 4nm Φ+ + ... + 2 ∂s2 ∂y 4nm−4 ∂s∂y 4nm−2 ∂y n+2m n+6m n+6m−1 ∂ ∂ ∂ n(n − 1) + Φ + n n−1 6m Φ + Φ+ ∂sn ∂y 2m ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−2 ∂ 4nm+2m−1 +... + Φ+n Φ + 2 ∂s2 ∂y 4nm+2m−4 ∂s∂y 4nm+2m−2 ∂ n+4m ∂ n+8m ∂ n+8m−1 n(n − 1) + Φ + n n−1 8m Φ + Φ+ ∂sn ∂y 4m ∂s ∂y 2 ∂sn−2 ∂y 8m+2 × 20 Φ+n n Обратная задача для нелинейного уравнения. . . +... + n(n − 1) ∂ 4nm+4m−2 ∂ 4nm+4m−1 Φ+n Φ 2 ∂y 4nm+4m−4 2 ∂s ∂s∂y 4nm+4m−2 − f Φ dyds = l = ∂ n+4m−2 n(n − 1) ∂ n+4m−1 ∂ n−1 Φ + n n−2 4m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 4m+2 0 n(n − 1) ∂ 4nm−3 ∂ 4nm−2 + ... + Φ + n 4nm−2 Φ+ 2 ∂t∂y 4nm−4 ∂y n+2m−1 n+6m−2 ∂ ∂ n(n − 1) ∂ n+6m−1 + Φ + n n−2 6m Φ + Φ+ ∂tn−1 ∂y 2m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 6m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+2m−3 ∂ 4nm+2m−2 +... + Φ + n 4nm+2m−2 Φ + 2 ∂t∂y 4nm+2m−4 ∂y n+8m−2 n+4m−1 ∂ n(n − 1) ∂ n+8m−1 ∂ Φ + n n−2 8m Φ + Φ+ + ∂tn−1 ∂y 4m ∂t ∂y 2 ∂tn−3 ∂y 8m+2 n(n − 1) ∂ 4nm+4m−3 ∂ 4nm+4m−2 +... + dy− Φ + n 4nm+4m−2 Φ 2 ∂t∂y 4nm+4m−4 ∂y t=t0 ϕ1 (y) l ∂ ∂ 4m Φ + n 4m Φ + ∂t ∂y ϕn−1 (y) − ... + 0 ∂ 4m+1 + ∂t∂y Φ+n 4m ∂ 8m Φ ∂y 8m ∂ 2m+1 ∂ 6m Φ + n 6m Φ + ∂t∂y 2m ∂y l ϕn (y) Φ+ dy− t=t0 0 ∂ 2m ∂ 4m Φ+ 4m Φ ∂y 2m ∂y dy. (8) t=t0 Пусть в (8) будет Φ = Φj (t, x) = h(t)bj (x) ∈ Wk,p (D), где 0 = h(t) ∈ C n (DT ). Тогда из (8) следует t N l lim t0 0 N →∞ 1− i=1 i−1 N ai (s) · bi (y)× × (−1)n h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ4m h(n−1) (s)bj (y)+ j + (−1)n−2 · + ... + n(n − 1) 4m+2 (n−2) h (s)bj (y)+ λj 2 n(n − 1) 4nm−4 4nm−2 λj h (s)bj (y) − nλj h (s)bj (y) + λ4nm h(s)bj (y)+ j 2 + (−1)n λ2m h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ6m h(n−1) (s)bj (y)+ j j + (−1)n−2 + n(n − 1) 6m+2 (n−2) λj h (s)bj (y) + . . . 2 n(n − 1) 4nm+2m−4 λj h (s)bj (y) − nλ4nm+2m−2 h (s)bj (y) + j 2 + (−1)n λ4m h(n) (s)bj (y) + (−1)n−1 nλ8m h(n−1) (s)bj (y)+ j j + (−1)n−2 + n(n − 1) 8m+2 (n−2) λj h (s)bj (y) + . . . 2 n(n − 1) 4nm+4m−4 h (s)bj (y) − nλ4nm+4m−2 h (s)bj (y) λj j 2 − 21 Ю л д а ш е в Т. К. N 1− − f s, y, lim N →∞ j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) h(s) dyds = 0. N Так как система функций {bi (x)}∞ полна и ортонормирована в Lp (Dl ), из i=1 последнего равенства имеем t t0 ai (s) · (−1)n h(n) (s) + (−1)n−1 nλ4m h(n−1) (s)+ j + (−1)n−2 · n(n − 1) 4nm−4 n(n − 1) 4m+2 (n−2) λj h (s) + . . . + λj h (s)− 2 2 − nλ4nm−2 h (s) + λ4nm h(s)+ j j + (−1)n λ2m h(n) (s)+(−1)n−1 nλ6m h(n−1) (s)+(−1)n−2 j j + n(n − 1) 6m+2 (n−2) h (s)+. . . λj 2 n(n − 1) 4nm+2m−4 λj h (s) − nλ4nm+2m−2 h (s) + j 2 + (−1)n λ4m h(n) (s) + (−1)n−1 nλ8m h(n−1) (s)+ j j +(−1)n−2 n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) n(n − 1) 8m+2 (n−2) λj h (s)+(−1)n−3 λj h (s)+. . . 2 3! n(n − 1) 4nm+4m−4 + λj h (s) − nλ4nm+4m−2 h (s) − j 2 N l 1− f s, y, lim − N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × h(s) · bi (y)dy ds = 0. Отсюда, интегрируя по частям, получаем T n(n − 1) 4m+2 (n−2) λi ai (t)+ 2 t0 n(n − 1) 4nm−4 n(n − 1)(n − 2) 4m+4 (n−3) λi ai (t) + . . . + λi ai (t) + nλ4nm−2 ai (t)+ + i 3! 2 n(n − 1) 6m+2 (n−2) (n) (n−1) ai (t)+ + λ4nm ai (t) + λ2m ai (t) + nλ6m ai (t) + λi i i i 2 n(n − 1)(n − 2) 6m+4 (n−3) n(n − 1)(n − 2) 4nm+2m−6 + λi ai (t) + . . . + λi ai (t)+ 3! 3! n(n − 1) 4nm+2m−4 + λi ai (t) + nλ4nm+2m−2 ai (t) + i 2 n(n − 1) 8m+2 (n−2) (n) (n−1) + λ4m ai (t) + nλ8m ai (t) + λi ai (t)+ i i 2 n(n − 1)(n − 2) 4nm+4m−6 n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) ai (t) + . . . + ai (t)+ + λi λi 3! 3! 22 (n) (n−1) h(t) ai (t) + nλ4m ai i (t) + Обратная задача для нелинейного уравнения. . . + n(n − 1) 4nm+4m−4 λi ai (t) + nλ4nm+4m−2 ai (t) − i 2 N l 1− f t, y, lim − N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (t, ϑ(t))) · bj (y), ϑ(t − τ0 ) × N × bi (y)dy dt = 0. (9) Так как h(t) — любая функция, удовлетворяющая указанным выше условиям, ai имеет обобщённые производные порядка k по t в смысле Соболева на отрезке DT . Поскольку h(t) = 0 для всех t ∈ DT , из (9) следует: n(n − 1) 4m+2 (n−2) λi ai (t)+ 2 n(n − 1)(n − 2) 4nm−6 n(n − 1)(n − 2) 4m+4 (n−3) ai (t) + . . . + ai (t)+ + λi λi 3! 3! n(n − 1) 4nm−4 4nm−2 + λi ai (t) + nλi ai (t) + λ4nm ai (t)+ i 2 n(n − 1) 6m+2 (n−2) (n) (n−1) + λ2m ai (t) + nλ6m ai (t) + λi ai (t)+ i i 2 n(n − 1)(n − 2) 6m+4 (n−3) n(n − 1)(n − 2) 4nm+2m−6 + λi ai (t) + . . . + λi ai (t)+ 3! 3! n(n − 1) 4nm+2m−4 (n) (n−1) (t)+ ai (t) + nλ4nm+2m−2 ai (t) + λ4m ai (t) + nλ8m ai + λi i i i 2 n(n − 1) 8m+2 (n−2) n(n − 1)(n − 2) 8m+4 (n−3) + λi ai (t) + λi ai (t) + . . . 2 3! n(n−1)(n−2) 4nm+4m−6 n(n−1) 4nm+4m−4 + λi ai (t)+ λi ai (t)+nλ4nm+4m−2 ai (t) = i 3! 2 (n) (n−1) ai (t) + nλ4m ai i (t) + N l 1− f t, y, lim = N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (t, ϑ(t)))bj (y), ϑ(t − τ0 ) bi (y)dy. (10) N Система (10) решается методом вариации произвольных постоянных: ai (t) = exp −θ1i (t − t0 ) C1i + C2i (t − t0 ) + C3i (t − t0 )2 + . . . + Cni (t − t0 )n−1 + t N l + 1− f s, y, lim t0 N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds, t ∈ DT . (11) Для определения коэффициентов Cji , j = 1, 2, . . . , n, используются условия (n−1) ai (t0 ) = ϕ1i , ai (t0 ) = ϕ2i , ai (t0 ) = ϕ3i , . . . , ai (t0 ) = ϕni , l ϕj (y) · bi (y)dy. Имеем где ϕji = 0 C1i = ϕ1i , C2i = θ1i ϕ1i + ϕ2i , C3i = 1 2 θ ϕ1i + 2θ1i ϕ2i + ϕ3i , · · · , 2! 1i 23 Ю л д а ш е в Т. К. Cni = (n − 1)(n − 2) n−3 1 n−2 n−1 θ1i ϕ3i + . . . θ1i ϕ1i + (n − 1)θ1i λ−4 ϕ2i + i (n − 1)! 2 (n − 1)(n − 2) 2 + θ1i ϕ(n−2)i + (n − 1)θ1i ϕ(n−1)i + ϕni . 2 Подстановка найденных значений Cji в (11) даёт ССНИУ (7). Подставляя решение CCНИУ (7) в ряд (6), получаем формальное решение смешанной задачи (1)–(3): N N →∞ t i−1 N 1− u(t, x) = lim i=1 N l 1− f s, y, lim + t0 wi (t)+ N →∞ 0 j=1 j−1 aj (τ (s, ϑ(s))) · bj (y), ϑ(s − τ0 ) × N × bi (y)Pi (t, s)dyds · bi (x). (12) Ряд (12) можно записать в виде t l Q(t, s, x, y)× u(t, x) = u0 (t, x) + t0 0 × f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds, (13) где N 1− N →∞ i−1 Pi (t, s)bi (y)bi (x). N i=1 N Q(t, s, x, y) = lim N →∞ i−1 wi (t) · bi (x), N 1− u0 (t, x) = lim i=1 Уравнение (13) является нелинейным интегральным уравнением Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции u(t, x) и нелинейным интегральным уравнением Вольтерра первого рода относительно восстанавливаемой функции ϑ(t). 3. Сведение решения обратной задачи (1)–(5) к системе интегральных уравнений Вольтерра. Воспользуемся условием (4). Тогда интегральное уравнение (13) примет вид t l Q(t, s, x0 , y)× ψ(t) = u0 (t, x0 ) + t0 0 × f s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 ) dyds, (14) где N 1− u0 (t, x0 ) = lim N →∞ 24 i=1 i−1 wi (t) · bi (x0 ), N Обратная задача для нелинейного уравнения. . . N 1− Q(t, s, x0 , y) = lim N →∞ i=1 i−1 Pi (t, s)bi (y)bi (x0 ). N Уравнение (14) запишем в виде нелинейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода относительно пары неизвестных функций u(t, x) и ϑ(t): t l Q(t, s, x0 , y)f s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 ) dyds = g(t), t0 (15) 0 где g(t) = ψ(t) − u0 (t, x0 ). Интегральные уравнения (13) и (15) составляют систему интегральных уравнений, для разрешимости которой методом последовательных приближений относительно неизвестной функции ϑ(t) преобразуем уравнение (15). Следует отметить, что классические методы интегрального преобразования не могут привести уравнение (15) к интегральному уравнению Вольтерра второго рода. Поэтому здесь используется другая методика. С учётом условия (5) уравнение (15) запишем в виде [6] t ϑ(t) + t F (s)ϑ(s)ds = ϑ(t) + t0 F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 t l − Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds, t0 0 t где F (t) > 0 — произвольная функция такая, что exp − F (s)ds 1. t0 Отсюда, используя резольвенту ядра [−F (s)], имеем t ϑ(t) = ϑ(t) + F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 l t Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds− − 0 t0 t s − F (s) · exp (−µ(t, s)) · ϑ(s) + t0 F (θ)ϑ(θ)dθ + g(s)− t0 s l Q(s, θ, x0 , y)f (θ, y, u(τ (θ, ϑ(θ)), y), ϑ(θ − τ0 )) dydθ ds, (16) − t0 0 t где µ(t, s) = F (θ)dθ, µ(t, t0 ) = µ(t). s Применяя к (16) формулу Дирихле, получаем уравнение t ϑ(t) = exp(−µ(t)) · ϑ(t) + F (s)ϑ(s)ds + g(t)− t0 t l Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds + − t0 0 25 Ю л д а ш е в Т. К. t + F (s) · exp (−µ(t, s)) · [ϑ(t) − ϑ(s) + g(t) − g(s)+ t0 t + s F (s)ϑ(s)ds − t0 t F (θ)ϑ(θ)dθ− t0 l Q(t, s, x0 , y)f (s, y, u(τ (s, ϑ(s)), y), ϑ(s − τ0 )) dyds+ − t0 s 0 l Q(s, θ, x0 , y)f (θ, y, u(τ (θ, ϑ(θ)), y), ϑ(θ − τ0 )) dydθ ds, (17) + t0 0 которое эквивалентно уравнению (15) при начальном условии (5). Условием согласования уравнения (17) с начальным условием (5) при t = t0 является следующее выражение: N η(t0 ) = lim 1− N →∞ i=1 i−1 N ϕ1i · bi (x0 ). Отсюда получается новая система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно пары неизвестных функций u(t, x) и ϑ(t): u(t, x) = Θ1 (t, x; u, ϑ), ϑ(t) = Θ2 (t; u, ϑ), (18) где Θ1 (t, x; u, ϑ) — оператор правой части (13), а Θ2 (t; u, ϑ) — оператор правой части (17). 4. Однозначная разрешимость обратной задачи (1)–(5). Для произвольной функции r(t, x) ∈ C(D) норма вводится следующим образом: r(t, x) C = max |r(t, x)| . (t,x)∈D Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия: 1. f (t, x, u, ϑ) удовлетворяет условию Гельдера по x; t l 2. max |Q(t, s, x, y)| · |f (s, y, u, ϑ)| dyds (t,x)∈D t0 0 t 3. f (t, x, u, ϑ) ∈ Lip L0 (t, x) 4. u(t, x) ∈ Lip L1 N N →∞ 1− i=1 t 7. max t∈DT ϑ L0 (s, y)dyds < ∞; t0 , где 0 < L2 (s)ds < ∞; wi (t) C |bi (x0 )| < ∞; F (s) · |g(t) − g(s)| · exp (−µ(t, s)) ds N →∞ 1− i=1 0 t0 t0 N 26 u,ϑ t i−1 N 8. η(t0 ) = lim l , где 0 < , где 0 < L1 = const; t 5. τ (t, ϑ) ∈ Lip L2 (t) 6. lim ∆ < ∞; i−1 ϕ1i · bi (x0 ); N β < ∞; Обратная задача для нелинейного уравнения. . . 9. ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, где t∈DT t∈DT t M0 (t) = exp (−µ(t)) + 2 F (s) · exp (−µ(t, s)) ds, t0 t l M1 (t) = |Q(t, s, x, y)| L0 (s, y) (1 + L1 L2 (s)) dyds, t0 0 t M2 (t) = 1+ F (s)ds + M1 (t) · M0 (t). t0 Тогда обратная задача (1)–(5) имеет единственное обобщённое решение u(t, x), ϑ(t) в области D. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используется метод последовательных приближений при сочетании его с методом сжимающих отображений: u0 (t, x) = u0 (t, x), uk+1 (t, x) = Θ1 (t, x; uk , ϑk ), ϑ0 (t) = g(t) · exp (−µ(t)) , ϑk+1 (t) = Θ2 (t; uk , ϑk ), k = 0,1,2,3, . . . . (19) В силу условий теоремы из (19) следуют оценки u1 (t, x) − u0 (t, x) ϑ1 (t) − ϑ0 (t) (20) ∆, C β + g(t) · exp (−µ(t)) + C t F (s) · g(s) · exp(−µ(s)ds + ∆) · M0 (t), (21) + t0 uk+1 (t, x) − uk (t, x) M1 (t) ϑk+1 (t) − ϑk (t) C uk (t, x) − uk−1 (t, x) C + ϑk (t) − ϑk−1 (t) C , (22) uk (t, x) − uk−1 (t, x) C + ϑk (t) − ϑk−1 (t) C , (23) C M2 (t) где функции M0 (t), M1 (t), M2 (t) определены в условии 9 теоремы 1. Так как по условию теоремы ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, в силу (20) и (21) t∈DT t∈DT из оценок (22) и (23) следует, что операторы Θ1 и Θ2 в правой части системы (18) являются сжимающими. Следовательно, обратная задача (1)–(5) имеет единственное решение u(t, x), ϑ(t) в области D. 5. Устойчивость решения обратной задачи (1)–(5). Рассмотрим вопрос об устойчивости решения обратной задачи по отношению к функции ψ(t), заданной в (4). 27 Ю л д а ш е в Т. К. Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда решение обратной задачи устойчиво относительно функции ψ(t), заданной в (4). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u1 (t, x), ϑ1 (t) и u2 (t, x), ϑ2 (t) — два различных решения обратной задачи (1)–(5), соответствующие двум различным значениям функции ψ1 (t) и ψ2 (t) соответственно. Если ψ1 (t) − ψ2 (t) (24) δ, 0 < δ = const, u1 (t, x) − u2 (t, x) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C , (25) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C , (26) то из системы (18) следуют оценки u1 (t, x) − u2 (t, x) C M1 (t) ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C M0 (t) ψ1 (t) − ψ2 (t) + M2 (t) C + u1 (t, x) − u2 (t, x) где функции M0 (t), M1 (t), M2 (t) определены в условии 9 теоремы 1. Так как по условию теоремы ρ = 2 max max M1 (t); max M2 (t) < 1, из t∈DT t∈DT оценок (25) и (26) получаем V0 < ψ1 (t) − ψ2 (t) C + ρV0 , (27) где V0 = u1 (t, x) − u2 (t, x) C + ϑ1 (t) − ϑ2 (t) C . В силу (24) из (27) следует V0 < δ/(1 − ρ). Отсюда получаем V0 < ε, если положим δ = ε(1 − ρ). Это и доказывает теорему.

About the authors

Tursun K Yuldashev

M. F. Reshetnev Siberian State Aerospace University

Email: tursunbay@rambler.ru
31, pr. “Krasnoyarskiy rabochiy”, Krasnoyarsk, 660014, Russia
(Ph. D. (Phys.& Math)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование, 2000. Т. 12, № 1. С. 94–103.
  2. Дмитриев В. Б. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения // Вестн. Самар. гос. унив. Естественнонаучн. сер., 2006. № 2(42). С. 15–27.
  3. Пулькина Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения // Матем. заметки, 2003. Т. 74, № 3. С. 435–445.
  4. Кожанов А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности // Сиб. матем. журн., 2005. Т. 46, № 5. С. 1053–1071.
  5. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2003. Т. 43, № 4. С. 562–570.
  6. Юлдашев Т. К. Неявное эволюционное интегральное уравнение Вольтерра первого рода с нелинейным интегральным отклонением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. Т. 2(19). С. 38–44.

Statistics

Views

Abstract - 11

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies