Two special functions, generalizing the Mittag–Leffler type function, in solutions of integral and differential equations with Riemann–Liouville and kober operators

Abstract


Two special functions, concerning Mittag–Leffler type functions, are considered. The first is the modification of generalized Mittag–Leffler type function, introduced by A. A. Kilbas and M. Saigo; the second is the special case of the first one. The solutions of the integral equation with the Kober operator and the generalized power series as the free term are presented. The existence and uniqueness of these solutions are proved. The explicit solutions of the integral equations above are found out in terms of introduced special functions. The correctness of initial value problems for linear homogeneous differential equations with Riemann–Liouville and Kober fractional derivatives is investigated. The solutions of the Cauchy type problems are found out in the special classes of functions with summable fractional derivative via the reduction to the considered above integral equation and also are written in the explicit form in terms of the introduced special functions. The replacement of the Cauchy type initial values to the modified (weight) Cauchy conditions is substantiated. The particular cases of parameters in the differential equations when the Cauchy type problems are not well-posed in sense of the uniqueness of solutions are considered. In these cases the unique solutions of the Cauchy weight problems are existed. It is noted in this paper that the weight Cauchy problems allow to expand the acceptable region of the parameters values in the differential equations to the case when the fractional derivative has the nonsummable singularity in zero.

Full Text

Введение. В работе [1] рассмотрена специальная функция Eρ (z; ν, µ) = Γ µ ν ∞ n Γ n=0 k=0 kρ + ν n z , kρ + µ (1) где Γ(µ) — гамма-функция Эйлера, Γ µ = Γ(µ)/Γ(ν); z, µ, ν ∈ C, Re ρ > 0; ν kρ+ν ∈ Z− , k ∈ N; Z− = {0, −1, −2, . . . , −n, . . .}, n ∈ N. Она является модифи/ 0 0 кацией известной обобщённой функции типа Миттаг—Леффлера, введённой А. А. Килбасом и М. Сайго в [2], n−1 ∞ n cn z , Eα,m,l (z) ≡ n=0 c0 = 1, cn = Γ k=0 α(km + l) + 1 , α(km + l + 1) + 1 30 где α, l ∈ C; n ∈ N, Re α > 0, m > 0; α(km + l) ∈ Z− , k ∈ N0 ; Z− = / = Z− \{0}. Свойства этой специальной функции изучались в работах [3–5]. 0 Её определение и некоторые основные факты можно найти в монографии [6]. Другая специальная функция ∞ n Γ Eρ (z; µ) = Γ(µ) n=0 k=0 kρ + 1 z n kρ + µ n! (2) возникла в работе [7] при решении начально-краевой задачи для вырождающегося уравнения аномальной (дробной) диффузии, записанного в терминах производной Кобера—Эрдейи. В работе [8] показано, что Eρ (z; µ) = lim Eρ (ρz; ν, µ) = Eρ (ρz; 0, µ), ν→0 Eα,m,l (z) = Eαm z; α(l − m) + 1, α(l − m + 1) + 1 ; обоснована абсолютная сходимость рядов (1) и (2) на комплексной плоскости, приведены выражения ряда элементарных и некоторых специальных функций через функции (1) и (2). Там же рассмотрено интегральное уравнение α y(x) − λxβ I0x xη y(x) = f (x) (3) с правой частью f (x) = kxσ−1 (k = const) и левосторонним интегралом Риα α мана—Лиувилля I0x f ≡ (I0+ f )(x) порядка α > 0 [9] при β, η, σ ∈ R. Его решение при α + β = σ, η + σ > 0 найдено в виде y(x) = kxσ−1 Eρ (λxρ ; ν, µ), где ρ = α + β + η, µ = σ − β, ν = σ − α − β, а в случае α + β = σ оно записывается так: λxη+σ ;α . y(x) = kxσ−1 Eη+σ η+σ В работе [8] рассмотрены некоторые частные и специальные значения параметров α, β, η, ρ в интегральном уравнении (3). Приведены формулы дробного интегро-дифференцирования функции (1) в смысле Римана—Лиувилля и Кобера. В настоящей работе продолжены исследования, начатые в [8]. 1. Функции Eρ (z; ν, µ) и Eρ (z; µ) в решениях интегральных уравнений с операторами Кобера. Интегро-дифференциальный оператор Кобера на конечном отрезке [a, b] определяется как модификация левостороннего оператора типа Эрдейи—Кобера при σ = 1 [9] с помощью равенства  (x − a)−α−η x (t − a)η f (t) dt, Re α > 0;  Γ(α) (x − t)1−α α −α a Iax;η f ≡ Dax;η f =   d n n+α (x − a)−α−η (x − a)n+α+η Iax;η f, Re α 0, dx где n = [−Reα] + 1, [ · ] — целая часть числа. Свойства этого оператора легко следуют из свойств дробных интегралов и производных Римана—Лиувилля в силу равенств α α Iax;η f = (x − a)−α−η Iax (x − a)η f (x), (4) 31 О г о р о д н и к о в Е. Н. β β Dax;η f = (x − a)β−η Dax (x − a)η f (x), (5) β n−β где Dax f = (d/dx)n Iax f (n = [Reβ] + 1) — левосторонняя производная Римана—Лиувилля порядка β [9]. Отметим, что интегральный оператор в (4) определён на функциях (x−a)η f (x) ∈ L(a, b), а дифференциальный оператор n−β в (5) — на таких функциях, для которых Iax (x − a)η f (x) ∈ AC n [a, b]. Интегральное уравнение (3) можно записать в терминах оператора Кобера (4) следующим образом: α y(x) − kxρ I0x;η y = f (x). (6) Нетрудно найти явный вид решений уравнения (6) для аналитических правых частей или в более общем случае, когда функция f (x) представима обобщенным степенным рядом. Теорема 1. Пусть в интегральном уравнении (6) Reα > 0; f (x) = xσ−1 × × ∞ cm (xγ )m ; Reσ, Reγ > 0. Тогда в случае Reρ > 0 его решение может m=0 быть записано в виде n ∞ ∞ (λxρ )n cm (xγ )m y(x) = f (x) + xσ−1 m=0 n=1 Γ k=1 kρ + νm , kρ + µm (7) где νm = γm + σ + η − ρ, µm = γm + σ + η + α − ρ, а в случае ρ = 0 и |λ| < λ0 , где λ0 = minm∈N |Γ γm+σ+η+α |, в виде γm+σ+η ∞ y(x) = xσ−1 m=0 cm Γ(γm + σ + η + α)(xγ )m . Γ(γm + σ + η + α) − λΓ(γm + σ + η) (8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в интегральном уравнении (6) Reρ > 0. Запишем f (x) = ∞ cm xσm −1 , где σm = γm + σ, и используем тот же метод, m=0 что и в теореме 1 работы [8]. Тогда решение уравнения (6) находится сразу в терминах функции (1): ∞ cm xσm −1 Eρ (λxρ ; νm , µm ). α y(x) = (I − λxρ I0x;η )−1 f (x) = (9) m=0 Записывая функцию Eρ (λxρ ; νm , µm ) в (9), по определению (1) получим представление решения в виде (7). Обоснование существования решения сводится к его подстановке в левую часть уравнения (6), где следует воспользоваться тождеством (42) из работы [8] в следующей редакции: α I0x,η xσm−1 Eρ (λxρ ; σm + ν − ρ, σm + ν + α − ρ) = =Γ σm + ν xσm−1 Eρ (λxρ ; σm + ν, σm + ν + α) σm + ν + α и леммой 2 (см.формулу (19) в [8]) в такой редакции: Γ 32 ν1 λxρ Eρ (λxρ ; ν1 , µ1 ) = Eρ (λxρ ; ν1 − ρ, µ1 − ρ) − 1. µ1 Тогда ∞ y(x) − α λxρ I0x;η y cm xσm −1 Eρ (λxρ ; σm + ν − ρ, σm + η + α − ρ) − λxρ , = m=0 ∞ α I0x;η xσm −1 Eρ (λxρ ; σm + ν − ρ, σm + η + α − ρ) = m=0 ∞ cm xσm −1 Eρ (λxρ ; σm + ν − ρ, σm + η + α − ρ)− = m=0 ∞ − λxρ cm Γ m=0 ∞ σm + η xσm −1 Eρ (λxρ ; σm + ν, σm + η + α) = σm + η + α cm xσm −1 Eρ (λxρ ; σm + ν − ρ, σm + η + α − ρ)− = m=0 ∞ ∞ cm x − σm −1 cm xσm −1 = ρ Eρ (λx ; σm + ν − ρ, σm + η + α − ρ) − 1 = m=0 m=0 ∞ cm (xγ )m = f (x), = xσm −1 m=0 что доказывает справедливость найденного решения. Единственность этого решения обосновывается такими же рассуждениями, что и в теореме 1 работы [8]. В случае ρ = 0 решение интегрального уравнения (6) может быть получено из формулы (9) с использованием тождества (12) из работы [8] с аргументом z = λxρ при ρ = 0: E0 (λ; νm , µm ) = Γ(µm ) , Γ(µm ) − λΓ(νm ) если |λ| < Γ µm νm (m ∈ N0 ). Тогда ∞ ∞ cm x y(x) = σ−1 E0 (λ; νm , µm ) = m=0 cm Γ(σm + ν + α)xσm −1 , Γ(σm + ν + α) − λΓ(σm + ν) m=0 откуда следует (8) при σm = γm + σ и |λ| < min |Γ m∈N0 γm+σ+η+α γm+σ+η |. Последнее неравенство — необходимое условие сходимости рядов E0 (λ; νm , µm ) для любого m ∈ N0 . Решению (8) с учётом обозначения λ = λ1 Γ(α) можно придать вид ∞ y(x) = x σm −1 m=0 cm (xγ )m , 1 − λ1 B(α, γm + σ + η) где B(α, β) — бета-функция [17], причём произвол выбора значений параметра λ1 ограничен условием |λ1 B(α, γm + σ + η)| < 1 (m ∈ N0 ). 33 О г о р о д н и к о в Е. Н. Замечание. Решения интегрального уравнения (6) для f (x) = легко получить из (7) и (8), положив в этих равенствах σ = γ = 1. ∞ m m=0 cm x 2. Функции Eρ (z; ν, µ) и Eρ (z; µ) в решениях дифференциальных уравнений с дробными производными Римана—Лиувилля и Кобера. В монографии [6] приведён пример линейного однородного дифференциα ального уравнения с производной Римана—Лиувилля Dax порядка α > 0: α Dax y(x) − λ(x − a)η y(x) = 0, λ ∈ R (a < x b), (10) для которого найдено решение задачи типа Коши α−k α−k Da+ y(a+) = lim Dax y(x) = bk x→a+ (bk ∈ R; k = 1, . . . , n = [α] + 1) (11) при условии η > n − α в терминах функции (11). Отмечено (см. [6, Remark α 4.5, page 227]), что это решение единственно в пространствах Cn−α,γ [a, b] и α (a, b), когда η L 0, а вопрос единственности решения в случае −{α} < η < 0, где {α} = α − [α] — дробная часть числа α, остается открытым. В действительности существование единственного решения задачи типа Коши (10), (11) для η ∈ (−{α}, +∞) обеспечено возможностью применения обобщённого принципа сжимающих отображений и единственностью неподвижной точки этого отображения [11–13]. Без ограничения общности положим a = 0. Пусть λ ∈ R, α ∈ (0, 1). Тогда решение задачи типа Коши α D0x y − λxη y = 0 (η > −α), (12) lim I 1−α y x→0+ 0x (13) α−1 D0x y(0+) = = b (b ∈ R) имеет вид y(x) = λxα+η b α−1 b α−1 x Eα+η (λxα+η ; 0, α) = x Eα+η ;α . Γ(α) Γ(α) α+η (14) Теорема 2. Пусть α ∈ (0, 1), λ ∈ R и η > −α. Тогда задача типа Коши (12)–(13) имеет единственное решение y(x) ∈ C1−α [0, b] в виде (14). Д о к а з а т е л ь с т в о. Решением начальной задачи на отрезке [a, b] для изучаемого дифференциального уравнения считается любая суммируемая функция, удовлетворяющая заданным начальным условиям и обращающая уравнение в тождество почти всюду на указанном отрезке. Будем искать решение в классе функций Lα (a, b), имеющих суммируемую производную порядка α, который определяется как множество [14] Lα (a, b) = {f (x) : f (x) ∈ L(a, b), n−α Iax f ∈ AC n [a, b], n = [Reα] + 1}. Применяя к левой и правой частям равенства (12) аналог формулы Ньютона—Лейбница [6, 9] α α I0x D0x y = y(x) − 34 y1−α (0+) α−1 x , Γ(α) 1−α где y1−α (0+) = limx→0+ I0x y = b в силу условия (13), получим интегральное уравнение b α−1 α x , (15) y(x) − λI0x xη y(x) = Γ(α) решением которого (по теореме 1 [8]) является функция (14). Таким образом, если задача (12), (13) имеет решение в классе функций Lα (0, b), то это решение удовлетворяет интегральному уравнению (15), имеет вид (14) и по теореме 1 единственно. Непосредственной подстановкой решения (14) убеждаемся, что оно удовлетворяет дифференциальному уравнению (12) и начальному условию (13), что и доказывает теорему 2. Замечание 1. Нужно отметить, что наличие явного решения интегрального уравнения, соответствующего рассматриваемой начальной задаче, избавляет от необходимости обосновывать их эквивалентность. Как показано в работе [14] на простом примере, формальная редукция задачи типа Коши для линейного дифференциального уравнения с дробными производными Римана—Лиувилля в классе функций Lα (a, b) может привести к интегральному уравнению, суммируемое решение которого удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению, но, обладая несуммируемой производной, не подчиняется заданному начальному условию и, следовательно, редукция не являлась эквивалентной. Замечание 2. Явный вид решения (14) задачи (12), (13) y(x) = b α−1 x Eα+η Γ(α) λxα+η ;α α+η = b α−1 Γ(α + η) x λxα+η + . . . 1+ Γ(α) Γ(2α + η) подсказывает, что начальное условие (13) можно заменить весовым условием (видоизмененным условием Коши [13]) lim x1−α y(x) = c, x→0+ c = const. Рассмотрим теперь предельное значение параметра η, положив в дифференциальном уравнении (12) η = −α. Можно показать, что интегральное уравнение (15) в этом случае неразрешимо в пространстве Cγ [0, 1], γ ∈ (0, 1), если b = 0. Таким образом, требование однородности начального условия (13) становится необходимым условием разрешимости (15), а значит, и начальной задачи для дифференциального уравнения (12) [12]. Однако интегральное уравнение α y(x) − λI0x x−α y(x) = 0, получающееся из (15) при η = −α и b = 0, помимо тривиального решения будет иметь бесчисленное множество решений, зависящих от λ, и, следовательно, однородная задача типа Коши (12), (13) при η = −α поставлена некорректно. 35 О г о р о д н и к о в Е. Н. Здесь уместно отметить, что интегральные уравнения Вольтерра третьего рода с однородным ядром степени (−1) были объектом исследования многих авторов [12, 13, 15], поэтому приведём сразу окончательный результат. Рассмотрим дифференциальное уравнение α D0x y = λx−α y (λ ∈ R) (16) вместе с видоизмененным условием Коши lim x−β y = b. x→0+ (17) Теорема 3. Пусть α ∈ (0, 1), β > −1, где β — корень трансцендентного уравнения Γ(1 + β) =λ Γ(1 + β − α) (λ ∈ R). (18) Тогда существует единственное решение задачи (16), (17) y = bxβ . (19) Существование решения устанавливается непосредственной подстановкой (19) в (16) и (17). Единственность следует из результатов, полученных А. М. Нахушевым в работе [12]. Пример вырождающегося дифференциального уравнения дробного порядка, аналогичного (16), рассмотрен в монографии [13]. Замечание 1. Утверждение теоремы сохраняет свою силу при β = α − 1, если условие (18) доопределить по непрерывности равенством Γ(1 + β) = 0. β→α−1 Γ(1 + β − α) λ = lim α Очевидно, y = bxα−1 будет единственным решением уравнения D0x y = 0, 1−α y = b = 0. удовлетворяющим условию limx→0+ x Замечание 2. Отметим, что равенство β = α − 1 разбивает область допустимых значений параметров {0 < α < 1, −1 < β < +∞} на две подобласти: α {0 < α < 1, α − 1 β < +∞}, где D0x y, xα y ∈ L(0, b), и {0 < α < 1, α y, xα y ∈ L(0, b). / −1 < β < α − 1}, в которой D0x Замечание 3. Утверждение теоремы остаётся в силе при α = 1. Действительно, из уравнения (18) следует, что β = λ. Нетрудно убедится, что y = bxλ , λ ∈ R, является единственным решением обыкновенного дифференциального y уравнения y = λ x с начальным условием limx→0+ x−λ y = b = 0 при любом λ. Приведём пример постановки и решения начальной задачи типа Коши для дифференциального уравнения с производной Кобера. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение α D0x;η y − λxβ y = 0 (x > 0) 36 (20) вместе с начальным условием α−1 lim x1−α+η D0x;η y = b (b ∈ R) x→0+ (21) при α ∈ (0, 1). На параметры η, β ∈ R пока никаких ограничений не накладывается. Решение будем искать в классе функций n−α Lα (a, b) = {f (x) : (x − a)η f (x) ∈ L(a, b), Iax (x − a)η f (x) ∈ AC n [a, b]} η при a = 0, α ∈ (0, 1), n = 1, обеспечивающем суммируемость производной α D0x xη y(x) на отрезке [0, b]. Пусть существует функция y(x) ∈ Lα (0, b), обращающая равенство (20) в η тождество почти всюду на [0, b]. Применим к левой и правой частям тождеα ства (20) оператор I0x;η−α и воспользуемся свойством (см. формулу (39) из [8] при µ = η, α = µ − ν, ν = η − α и a = 0) операторов Кобера α α I0x;η−α D0x y = y(x) − xα−η−1 α−1 lim x1−α+η D0x;η y. Γ(α) x→0+ C учётом начального условия (21) получим интегральное уравнение α y(x) − λI0x;η−α xβ y = b α−η−1 x . Γ(α) (22) По определению интегрального оператора Кобера (15) относительно новой функции ϕ(x) = xη y(x) приходим к интегральному уравнению с оператором Римана—Лиувилля α ϕ(x) − λI0x xβ−α ϕ(x) = b α−1 x . Γ(α) Его решение ϕ(x) = b α−1 λxβ b α−1 x Eβ (λxβ ; 0, α) = x Eβ ;α . Γ(α) Γ(α) β Тогда решение интегрального уравнения (22), а значит, и решение задачи (20), (21), если оно существует, записывается так: y(x) = λxβ b α−η−1 x Eβ ;α . Γ(α) β (23) Теорема 4. Пусть α ∈ (0, 1), β > 0, λ ∈ R. Тогда задача типа Коши (20), (21) имеет единственное решение y(x) ∈ C1+η−α [0, b] в виде (23). Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2. Отметим только, что решение (23) может оказаться несуммируемым на [0, b], если α − η 0. Однако xη y(x) ∈ L(0, b) при α > 0, что хорошо видно из представления решения (23) в форме ряда и равенства xη y(x) = b α−1 λxβ Γ(β) b α−1 x Eβ ;α = x λxβ + . . . . 1+ Γ(α) β Γ(α) Γ(β + α) Из (23) также ясно, что y(x) ∈ C1+η−α [a, b]. 37 О г о р о д н и к о в Е. Н. Замечание 1. Отметим один частный случай значения параметров в дифференциальном уравнении (20). Если β = α, то относительно функции ϕ(x) = = xη y(x) начальная задача (20), (21) становится задачей типа Коши для однородного уравнения Барретта. Её решение хорошо известно [13, 16]. Это же решение немедленно получается из (23) по формуле (9) из работы [8]: y(x) = b α−η−1 λxα x Eα ; α = bxα−η−1 Eα (λxα ; α) = bx−η Exp(α, α; λ; x), Γ(α) α где Eα (z; µ) — функция типа Миттаг—Леффлера [17, 18], Exp(α, µ; λ; x) = = xµ−1 Eα (λxα ; µ) — обобщенная дробная экспоненциальная функция [19, 20]. Замечание 2. Нелокальное начальное условие типа Коши можно заменить локальным, видоизменённым условием Коши lim x1+η−α y(x) = c (c = const). x→0+ Решение начальной задачи с таким условием будет определяться формулой (23), где следует положить b = cΓ(α). Замечание 3. Случай β = 0 является особым. Дифференциальное уравнение (20) относительно функции ϕ(x) = xη y(x) приводится к уравнению (16), для которого справедлива теорема 3. Перефразируя её применительно к случаю β = 0, получим такой результат. Теорема 5. Пусть α ∈ (0, 1), γ − η > 0 (γ, η ∈ R); γ — корень трансценΓ(1+γ) дентного уравнения Γ(1+γ−α) = λ (λ ∈ R). Тогда существует единственное решение y(x) = bxγ−η дифференциального уравнения (20) при β = 0 с локальным начальным условием limx→0+ xη−γ y = b. Заключение. Все параметры дифференциальных уравнений в последнем пункте полагались действительными числами. Не представляет особых трудностей расширить множество их значений на поле комплексных чисел. С небольшими дополнениями и уточнениями все результаты переносятся и на случай Reα ∈ (n − 1, n), n ∈ N.

About the authors

Eugeniy N Ogorodnikov

Samara State Technical University

Email: eugen.ogo@gmail.com
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia (Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science.

References

  1. Огородников Е. Н. О двух специальных функциях, обобщающих функцию типа Миттаг—Леффлера, их свойства и применение / В сб.: Вторая международная конференция «Математическая физика и её приложения»: Материалы международной конф. (Самара, 29 августа – 4 сентября, 2010 г.). Самара: Книга, 2010. С. 248–249.
  2. Kilbas A. A., Saigo M. On solution of integral equation of Abel–Volterra type // Diff. Integr. Equat., 1995. Vol. 8, no. 5. Pp. 547–576.
  3. Kilbas A. A., Saigo M. On Mittag–Leffler type function, fractional calculus operators and solutions of integral equations // Integral Transform. Spec. Funct., 1996. Vol. 4, no. 4. Pp. 335–370.
  4. Gorenflo R., Kilbas A. A., Rogozin S. V. On the generalized Mittag–Leffler type function // Integral Transform. Spec. Funct., 1998. Vol. 7, no. 3–4. Pp. 215–224.
  5. Горенфло Р., Килбас А. А., Рогозин С. В. О свойствах обобщённой функции Миттаг—Леффлера // Докл. Нац. акад. наук Беларуси, 1998. Т. 42, № 5. С. 34–39.
  6. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies, 204; ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. Pp. 523.
  7. Огородников Е. Н. Нелокальные краевые задачи для одного модельного параболо-гиперболического уравнения с дробной производной / В сб.: Труды четвёртой Всероссийской научной конференции с международным участием (29–31 мая 2007 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2007. С. 147–152.
  8. Огородников Е. Н. О двух специальных функциях, обобщающих функцию типа Миттаг—Лиффлера, их свойства и применении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 1(26). С. 52–65.
  9. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  10. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / ed. H. Bateman. New York – Toronto – London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.
  11. Колмогоров А. Н., Фомин А. Н. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.
  12. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 1, № 10. С. 100–111.
  13. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  14. Огородников Е. Н. Некоторые аспекты теории начальных задач для дифференциальных уравнений с производными Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. № 1(21). С. 10–23.
  15. Михайлов Л. Г. Интегральное уравнение с ядром, однородным степени −1. Душанбе: Дониш, 1966. 50 с.
  16. Barrett I. N. Differential equations of non-integer oder // Canad. J. Math, 1954. Vol. 6, no. 4. Pp. 529–541.
  17. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. III / ed. H. Bateman. New York – Toronto – London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1955. 292 pp.
  18. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
  19. Огородников Е. Н. О задаче Коши для модельных дифференциальных уравнений дробных осцилляторов / В сб.: Современные проблемы вычисл. мат. и мат. физики. М.: ВМК МГУ; Макс Пресс, 2009. С. 229–231.
  20. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 276–279.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 0

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies