A problem with the operator M. Saigo in the boundary condition for a loaded heat conduction equation

Full Text

Постановка задачи. Рассмотрим нагруженное дифференциальное уравнение теплопроводности ut = uxx + u(0, t) (1) в односвязной области Ω = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T }, где l, T — заданные положительные действительные числа. Задача. Найти в области Ω регулярное решение u(x, t) уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω ∪ (0, T )), удовлетворяющее следующим условиям: u(x, 0) = ϕ(x), ux (0, t) − α,β,γ I0+ u(0, t) 0 x = −µ(t), u(l, t) = ϕ1 (t), 0 t l; (2) 0 < t < T; (3) T, (4) где ϕ(x) ∈ C 1 [0, l], ϕ1 (t) ∈ C 1 [0, T ], µ(t) ∈ C 1 [0, T ], ϕ (0) = −µ(0), ϕ1 (0) = = ϕ(l), причём, не нарушая общности, считаем ϕ(0) = 0, ϕ(l) = 0; α,β,γ (I0+ f )(x) = x−α−β Γ(α) x 0 (x − t)α−1 F α + β, −γ, α; x−t f (t)dt x — обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре [1]; α > 0, x > 0, β, γ ∈ R. Необходимые 41 Т а р а с е н к о А. В. для разрешимости исследуемой задачи условия на параметры α, β и γ будут наложены ниже. Единственность и существование решения краевой задачи. Воспользуемся функцией Грина смешанной краевой задачи [2]: (t − η)−1/2 √ G(x, t, ξ, η) = 2l π + exp − +∞ exp − n=−∞ (x − ξ + 2n)2 + 4(t − η) (x − ξ − 2l + 2n)2 (x + ξ + 2n)2 − exp − − 4(t − η) 4(t − η) (x + ξ − 2l + 2n)2 − exp − 4(t − η) . Следуя работе [2], запишем интегральное представление решения задачи для уравнения (1) в виде l t G u(x, t) = 0 u (0, η)dη ξ=0 ξ G + 0 η=0 u(ξ, 0)dξ− t − l t Gξ 0 u(l, η)dη + ξ=l Gdξ. (5) u(0, η)dη 0 0 Выражение (5) в силу граничного условия (3) при x → 0+ принимает вид t l G u(0, t) = 0 G ξ=0 uξ (0, η)dη + x=0 0 η=0 u(ξ,0)dξ− x=0 t − t Gξ 0 ξ=l u(l, η)dη x=0 + l u(0, η)dη 0 G 0 x=0 dξ. (6) Учитывая G = ξ=0 x=0 (t − η)−1/2 √ = l π (t − η)−1/2 √ l π +∞ n=−∞ 1 − exp − exp − (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η l2 + t−η exp − = (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η , означает суммирование по всем n = 0, из равенства (6) при условии где (3) получаем t u(0, t) − 0 k(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη − (t − η)1/2 0+ − t 0 m(k, η) α,β,γ I u(0, η)dη− (t − η)1/2 0+ l t 42 0 0 где 1 k(t, η) = √ l π G u(0, η)dη 1 − exp − l2 t−η , x=0 dξ = Φ(t), (7) Об одной задаче для уравнения теплопроводности . . . 1 m(k, η) = √ l π exp − G 0 η=0 u(ξ,0)dξ x=0 G − 0 , t t l Φ(t) = (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η ξ=0 µ(η)dη x=0 − Gξ 0 ξ=l u(l, η)dη. x=0 В монографии [3, с. 116] отмечено, что функция Грина G(x, t, ξ, η) бесконечно дифференцируема по своим аргументам. А поэтому, учитывая гладкость известных функций, можно утверждать, что Φ(t) ∈ C[0, T ]. Рассмотрим интеграл t T1 = 0 k(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη (t − η)1/2 0+ из (7). Покажем, что t (8) u(0, s)K1 (t, s)ds, T1 = 0 где K1 (t, s) = 1 Γ(α) s t η−s k(t, η) −α−β η (η − s)α−1 F α + β, −γ, α; dη, η (t − η)1/2 и справедливо следующее утверждение. Лемма 1. Если 0 < α < 1/2, то справедливы оценки |K1 (t, s)| |K1 (t, s)| const − s)1/2−α const tα sβ (t − s)1/2−α tα+β (t при β < 0, α + β > 0; (9) (10) при β > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M1 = sup k(t, η) 0 t T и M2 = sup F α + β, −γ, α; η−s , η тогда для функции K1 (t, s) получаем оценку |K1 (t, s)| M1 M2 Γ(α) t s η −α−β (t − η)−1/2 (η − s)α−1 dη. Выполним в интеграле замену η = t − (t − s)z, изменим порядок интегрирования и воспользуемся формулой интегрального представления гипергеометрической функции [4]. Тогда получим, что T1 действительно представимо в виде (8), а для функции K1 (t, s) справедливо неравенство √ t−s M1 M2 π −α−β . (11) t (t − s)α−1/2 F α + β, 1/2, α + 1/2; |K1 (t, s)| Γ(α + 1/2) t Предположим, что β < 0, 0 < α < 1/2, α+β > 0. Тогда из (11) для K1 (t, s) получим оценку (9). 43 Т а р а с е н к о А. В. Пусть теперь β > 0, 0 < α < 1/2. На основании формулы автотрансформации для гипергеометрической функции Гаусса: F (a, b; c; z) = (1 − z)c−a−b F (c − a, c − b; c; z), | arg(1 − z)| < π для функции K1 (t, s) имеем неравенство √ t−s M1 M2 π −β −α , t (t − s)α−1/2 F α + β, 1/2, α + 1/2; |K1 (t, s)| 1 s t Γ(α + 2 ) из которого получаем оценку (10). Рассмотрим теперь интеграл t T2 = 0 m(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη. (t − η)1/2 0+ Аналогично покажем, что t u(0, s)K2 (t, s)ds, T2 = (12) 0 где K2 (t, s) = 1 Γ(α) s t η−s m(t, η) −α−β η (η − s)α−1 F α + β, −γ, α; dη, 1/2 η (t − η) и имеет место следующая лемма. Лемма 2. Если 0 < α < 1/2, то справедливы оценки |K2 (t, s)| |K2 (t, s)| const − s)1/2−α const α sβ (t − s)1/2−α t tα+β (t при β < 0, α + β > 0; (13) при β > 0. (14) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M3 = sup k(t, η), тогда для функции K2 (t, s) 0 t T получаем оценку |K2 (t, s)| M2 M3 Γ(α) t s η −α−β (t − η)−1/2 (η − s)α−1 dη. Далее, поступая как в лемме 1, нетрудно убедиться в справедливости оценок (13), (14) для K2 (t, s). Используя формулы (8) и (12) в уравнении (7) и учитывая оценки (9), (10) и (13), (14) для функций K1 (t, s) и K2 (t, s) соответственно, заключаем, что при 0 < α < 1/2 это уравнение является интегральным уравнением Вольт’ерра второго рода со слабой особенностью, которое однозначно и безусловно разрешимо [5]. 44 Об одной задаче для уравнения теплопроводности . . . Основной результат работы сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема. Пусть выполняются условия 0 < α < 1/2, β < 0, α + β > 0, 0 < α < 1/2, либо β > 0. Тогда задача (1)–(4), где ϕ(x) ∈ C 1 [0, l], ϕ1 (t) ∈ C 1 [0, T ], µ(t) ∈ C 1 [0, T ], разрешима в указанном классе функций и притом единственным образом. Замечания. Обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования α,β,γ в смысле М. Сайго (I0+ f )(x) при β = 0 сводится к оператору Кобера— Эрдейи [6]: α,β (E0+ ϕ)(x) = x−α−β Γ(α) x 0 (x − t)α−1 tβ ϕ(t) dt, α > 0. В данном случае выражение (7) принимает вид t u(0, t) = 0 k(t, η) E α,β u(0, η)dη + 1/2 0+ (t − η) t 0 m(k, η) α,β E u(0, η)dη+ (t − η)1/2 0+ l t G u(0, η)dη + 0 0 x=0 dξ + Φ(t). При рассмотрении интегралов t T3 = 0 k(t, η) E α,β u(0, η)dη, 1/2 0+ (t − η) t T4 = 0 m(t, η) α,β E u(0, η)dη, (t − η)1/2 0+ поступая, как в лемме 1, убеждаемся в справедливости следующего утверждения. Лемма 3. Если 0 < α < 1/2, то для функций t K3 (t, s) = s t K4 (t, s) = s k(t, η)sβ (t − η)−1/2 η −α−β (η − s)α−1 dη, m(t, η)sβ (t − η)−1/2 η −α−β (η − s)α−1 dη справедливы следующие оценки (i = 3, 4): |Ki (t, s)| const при β < 0, α + β > 0; − s)1/2−α const |Ki (t, s)| при β > 0. α (t − s)1/2−α t tα+β s−β (t Обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле α,β,γ М. Сайго (I0+ f )(x) при −1/2 < α < 0 и β = −α сводится к оператору дробного дифференцирования Римана—Лиувилля. Данный случай рассмотрен в работе А. А. Керефова, Р. М. Кумышева [2]. 45 Т а р а с е н к о А. В.

About the authors

Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics 194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia

References

Supplementary files