# Abstract

The existence of a unique solution of the non-classical boundary value problem for the heat equation, the loaded value of the desired function $u(x, y)$ on the boundary $x = 0$ of the rectangular area $\Omega= \{ (x, t) : 0$ < $x$ < $l$, $0$ < $t$ < $T \}$ was proved. One of the boundary conditions of the problem has a generalized operator of fractional integrodifferentiation in the sense of Saigo. Using the properties of the Green function of the mixed boundary value problem and the speciﬁed boundary condition, the problem reduces to an integral equation of Volterra type with respect to the trace of the desired function $u(0, t)$. It is shown that the equation is Volterra integral equation of the second kind with weak singularity in the kernel, which is unambiguously and unconditionally solvable. The main result is given in the form of the theorem. The special case is considered, where the generalized operator of fractional integro-differentiation of M. Saigo in the boundary condition reduces to the operator of Kober–Erdeyi. In this case, the existence of an unique solution of the boundary value problem is justiﬁed.

# Full Text

Постановка задачи. Рассмотрим нагруженное дифференциальное уравнение теплопроводности ut = uxx + u(0, t) (1) в односвязной области Ω = {(x, t) : 0 < x < l, 0 < t < T }, где l, T — заданные положительные действительные числа. Задача. Найти в области Ω регулярное решение u(x, t) уравнения (1) из класса C(Ω) ∩ C 1 (Ω ∪ (0, T )), удовлетворяющее следующим условиям: u(x, 0) = ϕ(x), ux (0, t) − α,β,γ I0+ u(0, t) 0 x = −µ(t), u(l, t) = ϕ1 (t), 0 t l; (2) 0 < t < T; (3) T, (4) где ϕ(x) ∈ C 1 [0, l], ϕ1 (t) ∈ C 1 [0, T ], µ(t) ∈ C 1 [0, T ], ϕ (0) = −µ(0), ϕ1 (0) = = ϕ(l), причём, не нарушая общности, считаем ϕ(0) = 0, ϕ(l) = 0; α,β,γ (I0+ f )(x) = x−α−β Γ(α) x 0 (x − t)α−1 F α + β, −γ, α; x−t f (t)dt x — обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре [1]; α > 0, x > 0, β, γ ∈ R. Необходимые 41 Т а р а с е н к о А. В. для разрешимости исследуемой задачи условия на параметры α, β и γ будут наложены ниже. Единственность и существование решения краевой задачи. Воспользуемся функцией Грина смешанной краевой задачи [2]: (t − η)−1/2 √ G(x, t, ξ, η) = 2l π + exp − +∞ exp − n=−∞ (x − ξ + 2n)2 + 4(t − η) (x − ξ − 2l + 2n)2 (x + ξ + 2n)2 − exp − − 4(t − η) 4(t − η) (x + ξ − 2l + 2n)2 − exp − 4(t − η) . Следуя работе [2], запишем интегральное представление решения задачи для уравнения (1) в виде l t G u(x, t) = 0 u (0, η)dη ξ=0 ξ G + 0 η=0 u(ξ, 0)dξ− t − l t Gξ 0 u(l, η)dη + ξ=l Gdξ. (5) u(0, η)dη 0 0 Выражение (5) в силу граничного условия (3) при x → 0+ принимает вид t l G u(0, t) = 0 G ξ=0 uξ (0, η)dη + x=0 0 η=0 u(ξ,0)dξ− x=0 t − t Gξ 0 ξ=l u(l, η)dη x=0 + l u(0, η)dη 0 G 0 x=0 dξ. (6) Учитывая G = ξ=0 x=0 (t − η)−1/2 √ = l π (t − η)−1/2 √ l π +∞ n=−∞ 1 − exp − exp − (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η l2 + t−η exp − = (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η , означает суммирование по всем n = 0, из равенства (6) при условии где (3) получаем t u(0, t) − 0 k(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη − (t − η)1/2 0+ − t 0 m(k, η) α,β,γ I u(0, η)dη− (t − η)1/2 0+ l t 42 0 0 где 1 k(t, η) = √ l π G u(0, η)dη 1 − exp − l2 t−η , x=0 dξ = Φ(t), (7) Об одной задаче для уравнения теплопроводности . . . 1 m(k, η) = √ l π exp − G 0 η=0 u(ξ,0)dξ x=0 G − 0 , t t l Φ(t) = (n − l)2 n2 − exp − t−η t−η ξ=0 µ(η)dη x=0 − Gξ 0 ξ=l u(l, η)dη. x=0 В монографии [3, с. 116] отмечено, что функция Грина G(x, t, ξ, η) бесконечно дифференцируема по своим аргументам. А поэтому, учитывая гладкость известных функций, можно утверждать, что Φ(t) ∈ C[0, T ]. Рассмотрим интеграл t T1 = 0 k(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη (t − η)1/2 0+ из (7). Покажем, что t (8) u(0, s)K1 (t, s)ds, T1 = 0 где K1 (t, s) = 1 Γ(α) s t η−s k(t, η) −α−β η (η − s)α−1 F α + β, −γ, α; dη, η (t − η)1/2 и справедливо следующее утверждение. Лемма 1. Если 0 < α < 1/2, то справедливы оценки |K1 (t, s)| |K1 (t, s)| const − s)1/2−α const tα sβ (t − s)1/2−α tα+β (t при β < 0, α + β > 0; (9) (10) при β > 0. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M1 = sup k(t, η) 0 t T и M2 = sup F α + β, −γ, α; η−s , η тогда для функции K1 (t, s) получаем оценку |K1 (t, s)| M1 M2 Γ(α) t s η −α−β (t − η)−1/2 (η − s)α−1 dη. Выполним в интеграле замену η = t − (t − s)z, изменим порядок интегрирования и воспользуемся формулой интегрального представления гипергеометрической функции [4]. Тогда получим, что T1 действительно представимо в виде (8), а для функции K1 (t, s) справедливо неравенство √ t−s M1 M2 π −α−β . (11) t (t − s)α−1/2 F α + β, 1/2, α + 1/2; |K1 (t, s)| Γ(α + 1/2) t Предположим, что β < 0, 0 < α < 1/2, α+β > 0. Тогда из (11) для K1 (t, s) получим оценку (9). 43 Т а р а с е н к о А. В. Пусть теперь β > 0, 0 < α < 1/2. На основании формулы автотрансформации для гипергеометрической функции Гаусса: F (a, b; c; z) = (1 − z)c−a−b F (c − a, c − b; c; z), | arg(1 − z)| < π для функции K1 (t, s) имеем неравенство √ t−s M1 M2 π −β −α , t (t − s)α−1/2 F α + β, 1/2, α + 1/2; |K1 (t, s)| 1 s t Γ(α + 2 ) из которого получаем оценку (10). Рассмотрим теперь интеграл t T2 = 0 m(t, η) α,β,γ I u(0, η)dη. (t − η)1/2 0+ Аналогично покажем, что t u(0, s)K2 (t, s)ds, T2 = (12) 0 где K2 (t, s) = 1 Γ(α) s t η−s m(t, η) −α−β η (η − s)α−1 F α + β, −γ, α; dη, 1/2 η (t − η) и имеет место следующая лемма. Лемма 2. Если 0 < α < 1/2, то справедливы оценки |K2 (t, s)| |K2 (t, s)| const − s)1/2−α const α sβ (t − s)1/2−α t tα+β (t при β < 0, α + β > 0; (13) при β > 0. (14) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M3 = sup k(t, η), тогда для функции K2 (t, s) 0 t T получаем оценку |K2 (t, s)| M2 M3 Γ(α) t s η −α−β (t − η)−1/2 (η − s)α−1 dη. Далее, поступая как в лемме 1, нетрудно убедиться в справедливости оценок (13), (14) для K2 (t, s). Используя формулы (8) и (12) в уравнении (7) и учитывая оценки (9), (10) и (13), (14) для функций K1 (t, s) и K2 (t, s) соответственно, заключаем, что при 0 < α < 1/2 это уравнение является интегральным уравнением Вольт’ерра второго рода со слабой особенностью, которое однозначно и безусловно разрешимо [5]. 44 Об одной задаче для уравнения теплопроводности . . . Основной результат работы сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема. Пусть выполняются условия 0 < α < 1/2, β < 0, α + β > 0, 0 < α < 1/2, либо β > 0. Тогда задача (1)–(4), где ϕ(x) ∈ C 1 [0, l], ϕ1 (t) ∈ C 1 [0, T ], µ(t) ∈ C 1 [0, T ], разрешима в указанном классе функций и притом единственным образом. Замечания. Обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования α,β,γ в смысле М. Сайго (I0+ f )(x) при β = 0 сводится к оператору Кобера— Эрдейи [6]: α,β (E0+ ϕ)(x) = x−α−β Γ(α) x 0 (x − t)α−1 tβ ϕ(t) dt, α > 0. В данном случае выражение (7) принимает вид t u(0, t) = 0 k(t, η) E α,β u(0, η)dη + 1/2 0+ (t − η) t 0 m(k, η) α,β E u(0, η)dη+ (t − η)1/2 0+ l t G u(0, η)dη + 0 0 x=0 dξ + Φ(t). При рассмотрении интегралов t T3 = 0 k(t, η) E α,β u(0, η)dη, 1/2 0+ (t − η) t T4 = 0 m(t, η) α,β E u(0, η)dη, (t − η)1/2 0+ поступая, как в лемме 1, убеждаемся в справедливости следующего утверждения. Лемма 3. Если 0 < α < 1/2, то для функций t K3 (t, s) = s t K4 (t, s) = s k(t, η)sβ (t − η)−1/2 η −α−β (η − s)α−1 dη, m(t, η)sβ (t − η)−1/2 η −α−β (η − s)α−1 dη справедливы следующие оценки (i = 3, 4): |Ki (t, s)| const при β < 0, α + β > 0; − s)1/2−α const |Ki (t, s)| при β > 0. α (t − s)1/2−α t tα+β s−β (t Обобщённый оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле α,β,γ М. Сайго (I0+ f )(x) при −1/2 < α < 0 и β = −α сводится к оператору дробного дифференцирования Римана—Лиувилля. Данный случай рассмотрен в работе А. А. Керефова, Р. М. Кумышева [2]. 45 Т а р а с е н к о А. В.

### Anna V Tarasenko

Samara State University of Architecture and Civil Engineering

Email: tarasenko.a.v@mail.ru
194, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russia
Postgraduate Student, Dept. of Higher Mathematics

# References

1. Saigo M. A. A certain boundary value problem for the Euler–Darboux equation // Math. Jap., 1979. Vol. 24, no. 4. Pp. 377–385.
2. Керефов А. А., Кумышев Р. М. О краевых задачах для нагруженного уравнения теплопроводности // Докл. АМАН, 1996. Т. 2, № 1. С. 13–15.
3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 351 с.
4. Erdélyi A., Magnus W., Oberhettinger F., Tricomi F. G. Higher transcendental functions. Vol. I / ed. H. Bateman. New York – Toronto – London: McGraw-Hill Book Co, Inc., 1953. 302 pp.
5. Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. М.: Факториал Пресс, 2000. 384 с.
6. Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 40

PDF (Russian) - 11

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University