On convergence of the iterative process for the third order pseudo-parabolic equation with nonlocal boundary value conditions in a multidimensional domain

Abstract


In this paper the nonlocal boundary value problem for the pseudo-parabolic equation of the third-order in a multidimensional domain is considered. Using an iterative method, the solving process of the nonlocal boundary value problem is reduced to solving the series of some local problems. An a priori estimate for the convergence of the iterative method in the norm $W_2^1(G)$ is obtained.

Full Text

В замкнутом цилиндре QT = G × [0 t T ], основанием которого является p-мерный прямоугольный параллелепипед G = {x = (x1 , . . . , xp ) : 0 xα lα , α = 1,2, . . . , p} с границей Γ, G = G ∪ Γ, рассматривается нелокальная краевая задача ut = Lu + f (x, t), (x, t) ∈ QT , (1) Πα (x, t) = β−α (x, t)u(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )+ t ρ−α (t, τ )u(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )dτ − µ−α (x, t), при xα = 0, (2) + 0 − Πα (x, t) = β+α (x, t)u(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )+ t ρ+α (t, τ )u(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )dτ − µ+α (x, t), при xα = lα , (3) + 0 u(x,0) = u0 (x), p α=1 Lα u, где Lu = Lα u = kα (x, t)uxα − qα (x, t)u; 0 < c0 ηα (x, t); kα (x, t) xα x ∈ G, (4) + ηα (x, t)uxα t xα + rα (x, t)uxα − c1 ; |ηαt |, |rα |, |qα |, |β−α |, |β+α |, 113 М. Х. Б е ш т о к о в |ρ−α (t, τ )|, |ρ+α (t, τ )| c2 ; Πα (x, t) = kα (x, t)uxα +ηα (x, t)uxα t — полный поток; c0 , c1 , c2 — положительные постоянные; ρ−α (t, τ ), ρ+α (t, τ )— функции, непрерывные на [0, T ]; 0 τ t; α = 1, p; QT = G × [0 < t T ]. Относительно коэффициентов задачи (1)–(4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения u(x, t) в цилиндре QT . Для обеспечения нужной гладкости u(x, t) вблизи границы потребуем для (1)–(4) выполнения условий сопряжения нужного порядка. В качестве одного из способов решения задачи (1)–(4) рассмотрим итерационный метод [1–4], который сводит решение нелокальной краевой задачи к решению последовательности локальных задач. Итерационный процесс для задачи (1)–(4) будем строить следующим образом: s+1 s+1 ut = L u +f (x, t), (x, t) ∈ QT , (5) s+1 Π α (x, t) t s = β−α (x, t) u(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )+ s ρ−α (t, τ ) u(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )dτ − µ−α (x, t), при xα = 0, (6) + 0 s+1 s − Π α (x, t) = β+α (x, t) u(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )+ t s ρ+α (t, τ ) u(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )dτ − µ+α (x, t), при xα = lα , (7) + 0 s+1 u (x,0) = u0 (x), x ∈ G, (8) где s = 0, 1, 2, . . . — итерационный индекс. В качестве нулевого приближения 0 u можно взять, например, значение решения в начальный момент времени u0 (x). s+1 s+1 Пусть z = u −u — погрешность метода (5)–(8), где u — решение задаs+1 s+1 чи (1)–(4). Тогда, подставляя u = z +u в (5)–(8), получим задачу для s+1 погрешности z : s+1 zt s+1 Π α (x, t) s+1 =L z , (x, t) ∈ QT , (9) s = β−α (x, t) z(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )+ t s ρ−α (t, τ ) z(x1 , ..., xα−1 , lα , xα+1 , ..., xp , τ )dτ, + 0 s+1 при xα = 0, (10) s − Π α (x, t) = β+α (x, t) z(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )+ t 0 114 s ρ+α (t, τ ) z(x1 , ..., xα−1 ,0, xα+1 , ..., xp , τ )dτ, + при xα = lα , (11) О сходимости итерационного процесса для псевдопараболического уравнения. . . s+1 z (x,0) = 0, 0 x (12) l, где p s+1 s+1 L z = s+1 s+1 s+1 Lα z = kα z Lα z , xα xα α=1 s+1 + ηα z xα t xα s+1 + rα z −qα z . xα Введём скалярное произведение и норму: u, v = G p 2 zxα , 2 zx = z 2 dx, uvdx, (z, z) = z 2 , (z, z) = 0 z 2 L2 (0,lα ) lα = G z 2 (x, t)dxα . 0 α=1 s+1 Для оценки решения задачи (9)–(12) умножим уравнение (9) скалярно на z : p s+1 s+1 zt , z = p s+1 s+1 kα zxα xα α=1 p + s+1 s+1 + , z ηα zxα t xα α=1 p s+1 s+1 rα (x, t) zxα , z + , z s+1 s+1 qα (x, t) z , z − . (13) α=1 α=1 Преобразуем интегралы, входящие в тождество (13): s+1 s+1 zt , z s+1 s+1 zt z dx = = G p s+1 kα (x, t) zxα α=1 G α=1 p α=1 G s+1 = z α=1 G α=1 s+1 xα , z − 1 d 2 dt xα s+1 2 xα z dx = s+1 lα z ηα (x, t) zxα t α=1 G s+1 α=1 G p z dx = ηα (x, t) zxα dx, (15) s+1 s+1 p 2 α=1 G ηα (x, t) zxα t s+1 s+1 ηα (x, t) zxα t α=1 G s+1 kα (x, t) zxα dx − G α=1 p = p lα p = z dx = z dx = xα 0 p s+1 ηα (x, t) zxα t s+1 kα (x, t) zxα xα s+1 s+1 kα (x, t) zxα = (14) s+1 s+1 kα (x, t) zxα = , z p s+1 2 z 0, p s+1 xα 1 d 2 dt dx + 1 2 dx − 0 p s+1 ηαt (x, t) zxα 2 dx. (16) α=1 G 115 М. Х. Б е ш т о к о в Остальные слагаемые в правой части (13) оценим с помощью неравенства Коши: p p s+1 s+1 rα (x, t) zxα , z p s+1 s+1 rα zxα z dx = p c2 2 p − 2 s+1 zxα dx + α=1 G p s+1 s+1 qα (x, t) z , z rα zxα z dx α=1 G G α=1 α=1 s+1 s+1 = =− 2 s+1 qα (x, t) c2 2 z p s+1 2 s+1 2 z dx, (17) α=1 G dx = G α=1 α=1 p =− 2 s+1 qα (x, t) z p dx z c2 α=1 G dx, (18) α=1 G где G = {x = (x1 , x2 , . . . , xα−1 , xα+1 , . . . , xp ) : 0 < xk < lk , k = 1, 2, . . . , α − 1, α + 1, . . . , p}, dx = dx1 dx2 · · · dxα−1 dxα+1 · · · dxp . Подставляя (14)–(18) в тождество (13), получаем неравенство 1 d 2 dt s+1 2 z 0 1 d + 2 dt p s+1 z p 2 s+1 zxα ηα (x, t) p α=1 G p α=1 G s+1 lα s+1 kα zxα +ηα zxα t dx + α=1 G 0 + c2 2 p 1 2 α=1 2 s+1 zxα dx + G α=1 2 s+1 kα (x, t) zxα dx + dx s+1 2 s+1 2 ηαt (x, t) zxα dx+ G 3c2 2 p z dx. (19) α=1 G Учитывая краевые условия (10), (11), второе слагаемое в правой части (19) оценим так [5]: p s+1 s+1 s+1 lα kα zxα +ηα zxα t z α=1 G dx = 0 p s+1 s+1 Π α (x, t) z |xα =lα = s+1 s+1 − Π α (x, t) z |xα =0 dx = α=1 G p α=1 G p − α=1 M1 116 t s G s s+1 ρ+α (t, τ ) z(x, τ )dτ |xα =0 z |xα =lα dx − β+α (x, t) z(x, τ ) + =− 0 t s β−α (x, t) z(x, τ ) + s+1 2 s+1 z 0 + zx 2 0 +M2 0 s+1 s ρ−α (t, τ ) z(x, τ )dτ |xα =lα z |xα =0 dx s 2 0+ z s zx 2 0+ t s 2 0+ z 0 s zx 2 0 dτ . (20) О сходимости итерационного процесса для псевдопараболического уравнения. . . Тогда из (19) с учётом (20) находим 1 d 2 dt s+1 2 z 0 1 d + 2 dt p ηα (x, t) s 2 0+ +M2 p z 2 s+1 dx + kα (x, t) zxα α=1 G t s zx 2 + 0 0 α=1 G s+1 2 s+1 z 0 + zx 2 0 M3 2 s+1 zxα s 2 0+ z s 2 0 zx dx dτ . (21) Проинтегрируем (21) по τ от 0 до t: s+1 2 z 0 s+1 2 zx 0 + t s+1 2 zx 2,Qt + t s 2 0 + M5 z 0 s+1 2 z 0 M4 0 s t 2 0 + zx s+1 2 zx 0 + τ s 2 0 dτ + z 0 0 dτ + s + zx 2 0 dτ1 dτ . (22) Второе слагаемое в правой части (22) оценим следующим образом: t τ s 2 0 z 0 0 s 2 0 + zx t dτ1 dτ s 2 0 z T 0 s + zx 2 0 dτ. Учитывая последнее неравенство, из (22) получим s+1 2 z 0 + s+1 2 zx 0 t s+1 2 z 0 M4 0 t s+1 2 zx 0 + Обозначая t z 0 z 0 s 2 0 F (t) = M6 s 2 0 dτ + M6 s 2 0 + zx s + zx 2 0 dτ. (23) dτ и применяя к неравенству (23) лемму Гронуолла, получим оценку t 0 s+1 2 z 0 s+1 2 zx 0 + T eM4 t F (t) dτ и, следовательно, s+1 2 z 0 + s+1 2 zx 0 t s 2 0 T M (t) z 0 s + zx 2 0 dτ T T M (T ) s 2 0 z 0 s + zx 2 0 dτ. (24) Из (24) имеем max 0 t T s+1 2 z W 1 (G) 2 T T M (T ) s 2 0 z 0 s + zx 2 0 dτ T 2 M (T ) max 0 t T s 2 1 W2 (G) . z (25) 117 М. Х. Б е ш т о к о в Продолжая неравенство (25) вправо, получим max 0 t T s+1 2 z W 1 (G) 2 T 2 M (T ) 2 s 2 1 W2 (G) T 2 M (T ) max z 0 t T max 0 t T s−1 2 z W 1 (G) 2 T 2 M (T ) ··· s+1 max 0 t T 0 2 1 W2 (G) . z В итоге получаем оценку погрешности итерационного метода (9)–(12): max 0 t T s+1 u −u 2 1 W2 (G) T 2 M (T ) s+1 max 0 t T 0 u −u 2 1 W2 (G) . (26) Из оценки (26) следует, что при T 2 M (T ) < 1 итерационный метод (9)–(12) 1 сходится в норме W2 (G). Сходимость итерационного процесса может быть обеспечена за счёт малости времени T , то есть сходимость будет только в малом. Следует отметить, что полученные в данной работе результаты справедливы и в случае, когда в уравнении (1) Lα u имеет другой вид: Lα u = kα (x, t)uxα xα + ηα (x, t)uxα xα t + rα (x, t)uxα − qα (x, t)u.

About the authors

Murat H Beshtokov

Kabardino-Balkarian State University

Email: beshtokov_murat@rambler.ru

173, Chernyshevskogo st., Nalchik, 360004, Russia

References

  1. Бештоков М. H. О сходимости итерационного процесса для одной нелокальной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка / В сб.: Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы X Школы молодых учёных. Нальчик: КБНЦ РАН, 2012. С. 24–26.
  2. Гордезиани Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач: Препринт, Тбилисский Ордена Трудового Красного знамени Государственный университет, Институт прикладной математики им. И. Векуа. Тбилиси, 1981. 32 с.
  3. Gordeziani D. G. Finite-difference schemes for solving nonlocal boundary value problems (in Russian) // Tr. Inst. Prikl. Mat. Im. I. N. Vekua, 1987. Vol. 19. Pp. 20–25.
  4. Gordeziani N., Natalini P., Ricci P. E. Finite-difference methods for solution of nonlocal boundary value problems // Comp. Math. Appl., 2005. Vol. 50, no. 8–9. Pp. 1333–1344.
  5. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.

Statistics

Views

Abstract - 29

PDF (Russian) - 9

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies