Stability of solution of one nonlinear initial-boundary problem of aeroelasticity

Abstract


The dynamic stability of an elastic element of the channel wall under the subsonic stream of an ideal compressible fluid (gas) is studied. Determination of the stability of an elastic body corresponds to the concept of stability of dynamical systems by Lyapunov. The sufficient conditions for stability are obtained. Conditions impose limitations on the speed of the uniform stream of gas, compressed (tensile) element of efforts, the elastic element stiffness and other parameters of the mechanical system.

Full Text

Ведение. При проектировании конструкций, обтекаемых потоком газа или жидкости, большое значение имеет исследование устойчивости деформируемых элементов, так как воздействие потока может приводить к увеличению амплитуды колебаний и тем самым к их разрушению. В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Примерами подобных устройств, относящихся к вибрационной технике и используемых для интенсификации технологических процессов, являются устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий, в частности, устройства для подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки (см., например, Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П. А. Вельмисов, Г. М. Горшков, Г. К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. технич. ун-т. — № 5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. № 18). Таким образом, при проектировании конструкций и устройств, находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой, необходимо решать задачи, связанные с исследованием устойчивости упругих элементов, требуемой для их функционирования и надёжности эксплуатации. 1. Постановка задачи. Рассматривается плоское течение в прямолинейном канале J = {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < x0 , 0 < y < y0 } (рис. 1). Часть стенки 120 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Рис. 1. Канал, стенка которого содержит деформируемый элемент y = y0 при x ∈ [b, c] является упругой пластиной (упругим элементом). Скорость невозмущенного однородного потока равна V и направлена вдоль оси Ox. Используется модель идеальной сжимаемой среды. Подобные задачи для несжимаемых сред рассматривались в монографии [1]. Введём обозначения: u(x, t) и w(x, t) — деформации элемента в направлении осей Ox (продольная составляющая) и Oy (поперечная составляющая) соответственно; ϕ(x, y, t) — потенциал скорости возмущённого потока (газа или жидкости). Математическая постановка задачи имеет следующий вид: ϕtt + 2V ϕxt + V 2 ϕxx = a2 (ϕxx + ϕyy ),            (x, y) ∈ J, t 0, ϕy (x, y0 , t) = w(x, t) + V w (x, t), x ∈ (b, c), t 0, ˙ ϕy (x, y0 , t) = 0, x ∈ (0, b] ∪ [c, x0 ), t 0, ϕy (x, 0, t) = 0, x ∈ (0, x0 ), t 0, ϕ(0, y, t) = 0, ϕ(x0 , y, t) = 0, y ∈ (0, y0 ), t 0, 1 −EF u (x, t) + w 2 (x, t) + M u(x, t) = 0, ¨ 2 1 + M w(x, t) + Dw (x, t)+ ¨ −EF w (x, t) u (x, t) + w 2 (x, t) 2 +N w (x, t) + β0 w(x, t) + β1 w(x, t) + β2 w (x, t) = ˙ ˙ = −ρ(ϕt (x, y0 , t) + V ϕx (x, y0 , t)), x ∈ (b, c), t 0. (1) (2) (3) (4) (5) (6) Индексы x, y, t снизу обозначают частные производные по x, y, t; штрих и точка — частные производные по x и t соответственно; ρ — плотность жидкости в однородном невозмущенном потоке; D, M — изгибная жесткость и погонная масса упругого элемента; N — сжимающая (растягивающая) упругий элемент сила; β1 , β2 — коэффициенты внешнего и внутреннего демпфирования; β0 — коэффициент жёсткости основания; a — скорость звука в невозмущённом потоке жидкости (a > V ); E — модуль упругости материала элемента; F — площадь поперечного сечения элемента. Граничные условия на концах пластины при x = b и x = c могут иметь следующий вид: 1) жёсткое защемление: w(x, t) = w (x, t) = u(x, t) = 0; (7) 2) шарнирное неподвижное закрепление: w(x, t) = w (x, t) = u(x, t) = 0; (8) 121 А. В. А н к и л о в, П. А. В е л ь м и с о в, Ю. А. К а з а к о в а 3) жёсткое неподвижное защемление: (9) w(x, t) = w (x, t) = u (x, t) = 0; 4) шарнирное подвижное закрепление: 1 2 w(x, t) = w (x, t) = u (x, t) + w (x, t) = 0. 2 (10) Уравнения и граничные условия (1)–(10) следует дополнить начальными условиями. Для трёх неизвестных функций — деформаций упругого элемента w(x, t), u(x, t) и потенциала скорости сжимаемой среды ϕ(x, y, t) имеет место связанная нелинейная начально-краевая задача. 2. Исследование устойчивости. Исследуем устойчивость нулевого решения ϕ(x, y, t) ≡ 0, w(x, t) ≡ 0, u(x, t) ≡ 0 системы (1)–(10) по Ляпунову. Введём функционал (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy− t x y Φ(t) = J a2 ρ c − 2a2 V ϕ(x, y0 , t)w (x, t)dx + b 1 + EF u + w 2 2 2 c M u2 + M w2 + ˙ ˙ b + Dw 2 2 − N w + β0 w2 dx. (11) Для функций ϕ(x, y, t), w(x, t) и u(x, t), удовлетворяющих уравнениям (1) и (6), производная от Φ по t примет вид ˙ Φ(t) = 2 ϕt (−2V ϕxt − V 2 ϕxx + a2 (ϕxx + ϕyy )) + (a2 − V 2 )ϕx ϕxt + J c + a ϕy ϕyt dxdy − 2a2 V 2 ϕt (x, y0 , t)w (x, t) + ϕ(x, y0 , t)w (x, t) dx+ ˙ b 2a2 ρ c 1 2 2EF u u + w ˙ + w −ρ ϕt (x, y0 , t) + V ϕx (x, y0 , t) + ˙ 2 b 1 2 + EF w u + w − Dw − β2 w − N w − β1 w − β0 w + ˙ ˙ 2 1 2 ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ + 2EF u + w (u + w w ) + Dw w − N w w + β0 ww dx. 2 + Произведя интегрирование с учётом условий (2)–(5), (7)–(10), получим 2a ˙ Φ(t) = − ρ 2 c (β2 w ˙ 2 + β1 w2 )dx. ˙ b Пусть выполняются условия β2 0, β1 0, β0 ⇒ Φ(t) 0, (12) Φ(0). (13) тогда имеют место неравенства ˙ Φ(t) 122 0 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Для оценки функционала для функции w(x, t) запишем неравенства Рэлея [2]: c w 2 (x, t)dx c λ1 c w 2 (x, t)dx, x0 0 µ1 ϕ2 (x, y, t)dx x w2 (x, t)dx, (14) b b b b c w 2 (x, t)dx x0 η1 ϕ2 (x, y, t)dx, (15) 0 где λ1 , µ1 — наименьшие собственные значения краевых задач ψ (x) = −λψ (x), ψ (x) = µψ(x), x ∈ (b, c) с граничными условиями (7)–(10); η1 = π 2 /x2 — наименьшее собственное зна0 чение краевой задачи −ψ = ηψ, x ∈ (0, x0 ) с краевыми условиями ψ(0) = 0, ψ(x0 ) = 0, которые соответствуют (5). Интегрируя неравенство (15) от 0 до y0 по переменной y, окончательно получим π2 ϕ2 (x, y, t)dxdy. (16) ϕ2 (x, y, t)dxdy x x2 J J 0 Воспользовавшись неравенством Коши—Буняковского, получим неравенства w2 (x, t) c (c − b) w 2 (x, t)dx, (17) b ϕ2 dxdy y J 2 2 y0 2 (18) ϕ(x, y0 , t) − ϕ(x, y, t) dxdy. J Оценим Φ(0) сверху, используя неравенства (14) и очевидное неравенство −2ab a2 + b2 : c (ϕ2 + (a2 V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy + a2 t0 x0 y0 Φ(0) J ϕ2 (x, y0 , 0)dx+ b a2 + ρ c b 1 2 2 M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 2 |N | + ρV 2 β0 + D+ + w λ1 µ1 2 0 dx, (19) где введены обозначения ϕt0 = ϕt (x, y, 0), ϕx0 = ϕx (x, y, 0), ϕy0 = ϕy (x, y, 0), ˙ ˙ u0 = u(x, 0), u0 = u (x, 0), w0 = w(x, 0), w0 = w (x, 0), w0 = w (x, 0). ˙ ˙ Оценим Φ(t) снизу, применяя (14), (16), (18) для (11): π 2 2 2a2 ϕ + 2 (ϕ(x, y0 , t) − ϕ(x, y, t))2 dxdy− x2 y0 0 c a2 c ϕ(x, y0 , t)w (x, t)dx + (λ1 D − N )w 2 dx. (20) − 2a2 V ρ b b ϕ2 + (a2 − V 2 ) t Φ(t) J 123 А. В. А н к и л о в, П. А. В е л ь м и с о в, Ю. А. К а з а к о в а Введём обозначение   0,  f (x, t) = w (x, t),   0, x ∈ (0, b], x ∈ (b, c), x ∈ [c, x0 ), тогда из (20) получим неравенство Φ(t) π 2 2a2 2 + 2 ϕ (x, y, t)− x2 y0 J 0 2a2 2a2 V 4a2 − 2 ϕ(x, y0 , t)ϕ(x, y, t) + 2 ϕ2 (x, y0 , t) − ϕ(x, y0 , t)f (x, t)+ y0 y0 y0 a2 (λ1 D − N ) 2 + f (x, t) dxdy. (21) ρy0 ϕ2 (x, y, t) + (a2 − V 2 ) t Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма относительно ϕ(x, y, t), ϕ(x, y0 , t), f (x, t) в (21) будет положительно определенной, если выполняются условия λ1 D − N > 0, (22) λ1 D − N 2(a2 − V 2 )π 2 (a2 − V 2 )π 2 2a2 · −V2 + 2 2 ρy0 x0 x2 y0 0 > 0. (23) Преобразуем неравенство (23): N < λ1 D − V 2 x2 ρy0 (a2 − V 2 )π 2 2a2 0 + 2 . 2(a2 − V 2 )π 2 x2 y0 0 (24) Оценивая квадратичную форму в (21) относительно w(x, t) с учётом (17), получим ∆3 y 0 w2 (x, t), (25) Φ(t) ∆2 (c − b) где ∆2 = d11 d22 − d2 > 0, ∆3 = d33 ∆2 − d2 d11 > 0, d11 = 12 23 d22 = d12 = (a2 − V 2 )π 2 2a2 + 2 , x2 y0 0 2a2 V a2 (λ1 D − N ) . , d23 = 2 , d33 = 2 ρy0 y0 y0 Учитывая (13), (19), (25), получим неравенство w2 (x, t) ∆2 (c − b) ∆3 y 0 c + a2 b 124 (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy+ t0 x0 y0 J ϕ2 (x, y0 ,0)dx + a2 ρ c b 1 2 2 M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 2 2 |N | + ρV β0 2 + D+ + w 0 dx . λ1 µ1 Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости Теорема 1. Пусть выполняются условия (12), (22), (24). Тогда решение w(x, t) задачи (1)–(10) устойчиво по отношению к возмущениям начальных ˙ данных ϕt0 , ϕx0 , ϕy0 , ϕ(x, y0 ,0), u0 , u0 , w0 , w0 , w0 . ˙ Аналогично, оценивая квадратичную форму в (21) относительно ϕ(x, y, t), получим ∆3 ϕ2 (x, y, t)dxdy. (26) Φ(t) d22 d33 − d2 J 23 Учитывая (13), (19), (26), получим неравенство d22 d33 − d2 23 (ϕ2 + (a2 − V 2 )ϕ2 + a2 ϕ2 )dxdy+ t0 x0 y0 ∆3 J c a2 c 1 2 2 ϕ2 (x, y0 ,0)dx + M u2 + M w0 + EF u 0 + w 0 + ˙0 ˙2 ρ b 2 b 2 |N | + ρV β0 2 + D+ + w 0 dx . λ1 µ1 ϕ2 (x, y, t)dxdy J + a2 Теорема 2. Пусть выполняются условия (12), (22), (24). Тогда решение ϕ(x, y, t) задачи (1)–(10) устойчиво в среднем (в интегральном смысле) по отношению к возмущениям начальных данных ϕt0 , ϕx0 , ϕy0 , ϕ(x, y0 ,0), u0 , ˙ u0 , w0 , w0 , w0 . ˙ 3. Пример механической системы. Рабочая среда — воздух (ρ = 1), пластина изготовлена из алюминия (E = 7 · 1010 , ρpl = 8480). Другие параметры механической системы: a = 331, x0 = 5, y0 = 0,1, b = 2, c = 3, h = 0,005, ν = 0,31, Eh3 D = 12(1−ν 2 ) = 806,7. Пусть концы упругой пластины закреплены шарнирно, тогда λ1 = π 2 /(c − b)2 = π 2 . Все значения приведены в системе СИ. Для неравенства (24) построены области устойчивости на плоскости «сжимающее (растягивающее) усилие N — скорость потока V » (рис. 2). На рис. 2 серая область — область устойчивости. Прямая V = a является асимптотой границы области (24). а

About the authors

Andrey V Ankilov

Ulyanovsk State Technical University

Email: ankil@ulstu.ru
32, Severny Venets st., Ulyanovsk, 432027, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Doctoral Candidate, Dept. of Higher Mathematics. Petr

A Aleksandrovich Vel’misov

Ulyanovsk State Technical University

Email: velmisov@ulstu.ru
32, Severny Venets st., Ulyanovsk, 432027, Russia
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Higher Mathematics

Yulia A Kazakova

Ulyanovsk Instrument Manufacturing Design Bureau

Email: kazakova_ua@mail.ru

10 A, Krymov st., Ulyanovsk, 432071, Russia

References

  1. Анкилов А. В., Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов. Ульяновск: Ульяновский гос. технич. ун-т, 2000. 115 с.
  2. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М.: Наука, 1968. 503 с.

Statistics

Views

Abstract - 24

PDF (Russian) - 1

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies