Режим скатывания в модели Хиггса с трением

Аннотация

Рассматривается модель Хиггса с трением. Для построения приближенного решения применяется гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. Полученное приближенное аналитическое решение сравнивается с численным решением.

Полный текст

Для уравнения Хиггса в теории поля [1], уравнения Фридмана в космологии [2, 3] и ряда других задач нелинейной динамики интерес представляет не только режим малых колебаний, но и режим скатывания [4, 5]. В работах [6, 7] предложен метод решения уравнения Хиггса, являющийся гиперболическим аналогом метода усреднения Крылова—Боголюбова. Метод был применен к исследованию режима скатывания в модели ангармонического осциллятора с мнимой частотой (уравнения Хиггса): q (t) − µ2 q(t) = −εq 3 (t) ∈ R, ¨ µ > 0, (1) ε > 0. С использованием известного разложения точного решения уравнения (1) в терминах гиперболических функций [8], была доказана теорема об оценке погрешности приближения точного решения решением, полученным с помощью гиперболического аналога метода усреднения Крылова—Боголюбова (см. [7]). В настоящей статье рассмотрено применение гиперболического аналога метода усреднения Боголюбова—Крылова к решению уравнения Хиггса с трением [4]: q (t) + 2εhq(t) − µ2 q(t) = −εq 3 (t) ∈ R, ¨ ˙ h > 0, µ > 0, ε>0 (2) с начальными данными q(0) = 0, q(0) = const. ˙ 1. Гиперболический аналог метода усреднения Крылова—Боголюбова. В рамках рассматриваемого метода решение уравнения Хиггса с трением (2) представляется в виде (3) q = a sinh(ψ) + εu(a, ψ), где амплитуда a удовлетворяет уравнению a = εA1 + ε2 A2 + . . . , а мгновенная ˙ ˙ ˙ частота ψ даётся уравнением ψ = µ + εB1 . Коэффициенты A1 , B1 и функция u задают первое приближение к решению уравнения согласно методу: q = εA1 sinh(ψ) + a(µ + εB1 ) cosh(ψ) + εµ ˙ ∂u , ∂ψ (4) 127 Е. В. П и с к о в с к и й q = 2εA1 µ cosh(ψ) + a(µ2 + 2µεB1 ) sinh(ψ) + εµ2 ¨ ∂2u . ∂ψ 2 (5) Из уравнений (2), (4), (5) получены выражения для амплитуды и первой поправки к мгновенной частоте: a = a0 e−εht , a0 = const, B1 = 3 2 −2εht a e . 8µ 0 Константа a0 определяется из начальных условий. Далее, принимая во внимание начальное условие q(0) = 0, запишем ψ = µt − 3a2 −2εht 0 (e − 1). 16µh Первая поправка u имеет следующий вид: u=− a3 sinh(3ψ). 32µ2 Решение уравнения (2) с точностью до ε даётся выражением q(t) = a0 e−εht sinh µt − 3a2 −2εht 0 (e − 1) − 16µh 3a2 −2εht a3 e−3εht 0 (e − 1) − ε 0 2 sinh 3 µt − 32µ 16µh . (6) Замечание. Рассмотрим уравнение x + 2εhx + ω 2 x + εx3 = 0, ¨ ˙ x(t) ∈ R, ω > 0, ε>0 с начальными условиями x(0) = 0, x(0) = 0. Решение такого уравнения даётся ˙ выражением [9, 10]: x(t) = ae−εh t sin ωt + a2 (e−2εh t − 1) . 16ωh (7) В [6, 7] отмечено, что представленное решение (6) формально может быть получено из разложения метода усреднения (7) заменами ω → iµ и a → −ia0 . 2. Численное решение. Сравнение с полученным приближением. Оценка погрешности приближения точного решения уравнения (2) первым приближением (6) в данной работе не представлена. Чтобы получить представление о погрешности приближения решения уравнения (2), в настоящем разделе сравниваются численное решение уравнения (2), приближенное решение, полученное в виде (3), и решение уравнения, полученное линеаризацией уравнения (2): q + 2εhq − µ2 q = 0, q(0) = 0, q(0) = 0. ¨ ˙ ˙ (8) 128 Режим скатывания в модели Хиггса с трением Решение последнего уравнения даётся выражением q(t) = C1 sinh( µ2 + ε2 h2 t)e−εht . Чтобы получить численное решение, были взяты следующие значения коэффициентов уравнения (2): ε = 0,25, h = 0,1, µ = 3,0 и заданы начальные условия q(0) = 0, q(0) = 5,6, T = 2π/µ ≈ 2,0944. ˙ На рис. 1 представлены графики численного решения уравнения (2), первого приближения, полученного выше. Заметим, что решение линеаризованного уравнения (8) существенно отличается от численного решения уравнения (2) уже при t = 0,3T ≈ 0,6283, а первое приближение (6) с хорошей точностью совпадает с численным до t = 0,6T ≈ 1,2566. На рис. 2 представлены фрагменты фазовых кривых, полученных на основе численного решения (линия 1), приближённого решения уравнения (2) (линия 2), решения линеаризованного уравнения (8) (линия 3). Параметр t изменяется в тех же пределах, что и на рис. 1. Видно, что существенное отклонение решения линеаризованного уравнения (8) от приближенного и численного решений уравнения (2) не позволяет использовать решение линеаризованного уравнения (8) в качестве приближения решения уравнения Хиггса с трением, а первое приближение обеспечивает хорошее приближение как обобщённой координаты, так и обобщённой скорости частицы, t 0,6T . Рис. 1. Решения уравнения (2), полученные численно (линия 1), аналитически (линия 2), и точное решение уравнения (8) (линия 3) Рис. 2. Фрагмент фазовой кривой, заданной параметрическими уравнениями x = q(t), y = q(t): линия 1 — численное ˙ решение системы, соответствующей (2); линия 2 иллюстрирует аналитическое решение; линия 3 иллюстрирует поведение системы, соответствующей (8) Автор благодарен И. Я. Арефьевой и И. В. Воловичу за постановку задачи и руководство в написании настоящей работы. Работа частично поддержана РФФИ (грант 11–01–00828-а) и Программой поддержки ведущих научных школ (грант НШ-2928.2012.1).