On the nilpotent Leibniz–Poisson algebras

Abstract


In this article Leibniz and Leibniz–Poisson algebras in terms of correctness of different identities are investigated. We also examine varieties of these algebras. Let $K$ be a base field of characteristics zero. It is well known that in this case all information about varieties of linear algebras $V$ contains in its polylinear components $P_n (V )$, $n \in \mathbb N$, where $P_n (V )$ is a linear span of polylinear words of n different letters in a free algebra $K(X, V )$. In this article we give algebra constructions that generate class of nilpotent varieties of Leibniz algebras and also algebra constructions that generate class of nilpotent by Leibniz varieties of Leibniz–Poisson algebras with the identity $\{x_1 , x_2 \} \cdot \{x_3 , x_4 \} = 0$.

Full Text

Алгебра Лейбница над полем K — неассоциативная алгебра с умножением {, }, определяемая тождеством Лейбница {{x, y}, z} = {{x, z}, y} + {x, {y, z}}, которое превращает правое умножение в дифференцирование этой алгебры. При этом заметим, что если в алгебре Лейбница выполняется тождество {x, x} = 0, то она является алгеброй Ли. Таким образом, любая алгебра Ли является, в частности, алгеброй Лейбница. Пусть V — многообразие алгебр Лейбница (все необходимые сведения о многообразиях PI-алгебр можно найти, например, в монографии [1]). Обозначим через K(X, V) относительно свободную алгебру данного многообразия, где X = {x1 , x2 , . . .} — счетное множество свободных образующих. В случае основного поля нулевой характеристики вся информация о многообразии V содержится в его полилинейных компонентах Pn (V), n = 1,2, . . ., где Pn (V) — линейное подпространство в пространстве K(X, V), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных x1 , . . . , xn . Обозначим cn (V) = dim Pn (V). Договоримся опускать скобки {, } при их левонормированной расстановке, т.е. {. . . {{x1 , x2 }, x3 }, . . . , xn } = {x1 , x2 , . . . , xn }. 207 Р а ц е е в С. М., Ч е р е в а т е н к о О. И. Далее понадобится следующее утверждение, которое несложно проверить. Предложение 1. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения ∧ над произвольным полем K. На декартовом квадрате B = A × A определим операции сложения и умножения {, } элементов множества B: (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ), {(x1 , x2 ), (y1 , y2 )} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ), где [x1 , y1 ] = x1 ∧y1 − y1 ∧x1 , (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B. Тогда полученная алгебра B будет являться алгеброй Лейбница. Пусть SUN = SUN (K) — алгебра строго верхнетреугольных матриц порядка N над полем K. Хорошо известно, что в случае бесконечного поля K элемент свободной ассоциативной алгебры x1 ∧ . . . ∧ xN является базисом тождеств алгебры SUN [2]. Обозначим через UN = SUN × SUN алгебру Лейбница, построенную с помощью предложения 1. Тогда справедливо следующее утверждение. Предложение 2. В случае основного поля K нулевой характеристики элемент свободной алгебры Лейбница {x1 , x2 , . . . , xN } является базисом тождеств алгебры UN . Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что в алгебре UN выполнено тождество {x1 , x2 , . . . , xN } = 0, т.е. для произвольных элементов (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (aN , bN ) ∈ UN выполнено равенство {(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (aN , bN )} = = ([. . . [a1 , a2 ], . . . , aN ], b1 ∧ a2 ∧ a3 ∧ . . . ∧ aN ) = (0, 0). (1) Покажем, что cn (UN ) = n!, 1 n < N . Для этого рассмотрим линейное соотношение ασ {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) } = 0, ασ ∈ K. σ∈Sn Зафиксируем некоторое σ ∈ Sn и сделаем подстановку xσ(1) → (0, e12 ), xσ(2) → (e23 , 0), . . . , xσ(n) → (en n+1 , 0), где eij — матричная единица. Тогда, используя равенство (1), получаем равенство ασ (0, e1 n+1 ) = (0, 0). Отсюда следует, что ασ = 0. В силу произвольности выбора σ делаем вывод, что система {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(n) }, σ ∈ Sn , линейно независима. Предложение доказано. Алгебра A = A(+, ·, {, }, K) над полем K называется алгеброй Лейбница—Пуассона, если A(+, ·, K) — ассоциативная коммутативная алгебра с единицей, A(+, {, }, K) — алгебра Лейбница с операцией умножения {, } и для любых a, b, c ∈ A выполнены правила: {a · b, c} = a · {b, c} + {a, c} · b, {c, a · b} = a · {c, b} + {c, a} · b. Заметим, что если в алгебре Лейбница—Пуассона выполнено тождество {x, x} = = 0, то данная алгебра будет являться алгеброй Пуассона. Об алгебрах Пуассона можно найти подробную информацию в работе [3]. Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики (см., например [4]) и т.д. 208 О нильпотентных алгебрах Лейбница—Пуассона Нетрудно проверить следующее утверждение. Предложение 3. Пусть A — некоторая ассоциативная алгебра с операцией умножения ∧ над произвольным полем K. Рассмотрим декартово произведение C = A×A×K, в котором определим операцию сложения и две операции умножения · и {, } элементов множества C: (x1 , x2 , α) + (y1 , y2 , β) = (x1 + y1 , x2 + y2 , α + β), (x1 , x2 , α) · (y1 , y2 , β) = (βx1 + αy1 , βx2 + αy2 , αβ), {(x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β)} = ([x1 , y1 ], x2 ∧ y1 ,0), где [x1 , y1 ] = x1 ∧ y1 − y1 ∧ x1 , (x1 , x2 , α), (y1 , y2 , β) ∈ C. Тогда полученная алгебра C будет являться алгеброй Лейбница—Пуассона, в которой выполнено тождество {x1 , x2 } · {x3 , x4 } = 0. LP Пусть UN = SUN × SUN × K — алгебра Лейбница—Пуассона, построенная с помощью предложения 3. Теорема. В случае основного поля K нулевой характеристики для алгебры LP Лейбница—Пуассона UN справедливы следующие утверждения: (i) полилинейные тождества {x1 , x2 } · {x3 , x4 } = 0, {x1 , x2 , . . . , xN } = 0 (2) LP порождают идеал тождеств алгебры UN ; LP (ii) для любого натурального n базис полилинейной компоненты Pn (UN ) состоит из элементов вида x1 · . . . · xn , xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk }, (3) где k = 2, . . . , min{n, N − 1}, {i1 , . . . , in−k , j1 , . . . , jk } = {1, 2, . . . , n} как множества и i1 < i2 < . . . < in−k ; (iii) для любого натурального n выполнено равенство min{n,N −1} LP cn (UN ) = 1 + k Cn · k!, k=2 k где Cn — число сочетаний из n по k. LP Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что в алгебре UN выполняются тождества LP (2), т.е. для произвольных элементов (a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 ), . . ., (aN , bN , αN ) ∈ UN выполнены равенства {(a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 ), . . . , (aN , bN , αN )} = = ([. . . [a1 , a2 ], . . . , aN ], b1 ∧ a2 ∧ a3 ∧ . . . ∧ aN , 0) = (0, 0, 0), {(a1 , b1 , α1 ), (a2 , b2 , α2 )} · {(a3 , b3 , α3 ), (a4 , b4 , α4 )} = (0, 0, 0). (4) Обозначим через V многообразие алгебр Лейбница—Пуассона, порожденное тождествами (2). Полилинейная компонента Pn (V) есть линейная оболочка элементов вида (3). 209 Р а ц е е в С. М., Ч е р е в а т е н к о О. И. LP Покажем, что по модулю идеала тождеств алгебры UN элементы (3) являются линейно независимыми. Предположим, что это не так. Тогда для некоторого n в LP алгебре UN выполнено нетривиальное тождество αi1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk · xi1 · xi2 · . . . · xin−k · {xj1 , xj2 , . . . , xjk } = 0. i1 ,...,in−k ,j1 ,...,jk Пусть i1 , . . . , in−k0 , j1 , . . . , jk0 — такой набор индексов, при котором значение k0 минимально и αi1 ,...,in−k0 ,j1 ,...,jk0 = 0. Сделаем следующую подстановку: xi1 → (0, 0, 1), xi2 → (0, 0, 1), . . . , xin−k0 → (0, 0, 1). Тогда мы получим нетривиальное тождество ασ {xσ(1) , xσ(2) , . . . , xσ(k0 ) } = 0, ασ ∈ K. σ∈Sk0 Зафиксируем некоторое σ ∈ Sk0 и сделаем подстановку xσ(1) → (0, e12 , 0), xσ(2) → (e23 , 0, 0), . . . , xσ(k0 ) → (ek0 k0 +1 , 0, 0). Тогда, используя равенство (4), получаем равенство ασ (0, e1 k0 +1 , 0) = (0, 0, 0). Отсюда ασ = 0. Таким образом, условия (i) и (ii) доказаны. Условие (iii) следует из условия (ii). Теорема доказана. Работа частично поддержана РФФИ (проект № 10−01−004209−a).

About the authors

Sergey M Ratseev

Ul’yanovsk State University

Email: ratseevsm@rambler.ru
42, L. Tolstogo st., Ul’yanovsk, 432970, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Information Security & Control Theory

Olga I Cherevatenko

Ul’yanovsk State Pedagogical University

Email: chai@pisem.net
4, pl. im. 100-letiya so dnya rozhdeniya V. I. Lenina, Ul’yanovsk, 432700, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985. 448 с.
  2. Мальцев Ю. Н. Базис тождеств алгебры верхнетреугольных матриц // Алгебра и логика, 1971. Т. 10, № 4. С. 393–400.
  3. Рацеев С. М. Рост в алгебрах Пуассона // Алгебра и логика, 2011. Т. 50, № 1. С. 68–88.
  4. Борисов А. В, Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. М.-Ижевск: РХД, 1999. 464 с.

Statistics

Views

Abstract - 33

PDF (Russian) - 11

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies