Entanglement induced by two-mode thermal noise taking into account the dipole-dipole interaction and atomic coherence

Full Text

Введение. Проблема описания динамики кубитов, взаимодействующих с электромагнитными полями, является одной из наиболее актуальных проблем современной физики квантовых вычислений. Такие системы активно изучаются как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения в целом ряде экспериментальных установок: одноатомных мазерах и лазерах, ионах в резонаторах и магнитных ловушках, сверхпроводящих системах на джозефсоновских переходах, квантовых точках и других искусственных микрообъектах [1]. Такие исследования позволили создать прообразы квантовых компьютеров, работающих пока на отдельных кубитах. Дальнейший прогресс в данной области требует исследования новых физических устройств, которые можно использовать в качестве логических элементов квантовых компьютеров, для выбора оптимальных режимов работы таких систем, в том числе наиболее эффективных схем генерации и контроля перепутывания состояний кубитов, а также особенностей их релаксации. Для приложений в физике квантовых вычислений нужны максимально перепутанные чистые состояния с достаточно большим временем жизни, однако в реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное неперепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей квантовых вычислений. Поэтому с практической точки зрения основная задача при получении и использовании атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы минимизировать влияние шума. Недавно в целом ряде работ была высказана идея о том, что в некоторых случаях диссипация и шум могут, напротив, являться источником перепутывания. В частности, была показана возможность генерации перепутывания атомных систем в резонаторах, индуцированных тепловым шумом. В 177 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. Г. М а н г у л о в а работе [2] было показано, что одномодовый тепловой шум может индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Позднее аналогичное поведение было обнаружено и для атомов с многофотонными переходами [3, 4]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии атомов с тепловым полем степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия. Позднее в целом ряде работ исследовались особенности генерации атомного перепутывания в различных обобщениях двухатомной модели Тависа—Каммингса для резонаторного поля в тепловом состоянии (см. ссылки в работе [5]). Недавно на примере системы двух атомов, взаимодействующих как с одномодовым [9], так и с двухмодовым тепловым полем [10], было показано,что степень перепутывания атомов сильно зависит от их начального состояния. Показано, что при наличии атомной когерентности степень атомного перепутывания может заметно возрастать, а также, что степенью атомного перепутывания можно управлять, изменяя относительные фазы и амплитуды поляризованных атомов. При этом авторы не учли диполь-дипольного взаимодействия атомов. Вместе с тем в ряде работ показано, что диполь-дипольное взаимодействие может существенно увеличить степень атомного перепутывания [6–8]. В нашей работе [11] было рассмотрено влияние атомной когерентности на степень атомного перепутывания в невырожденной двухмодовой модели Тависа-Каммингса при наличии диполь-дипольного взаимодействия атомов в случае высоких степеней теплового шума (высокой температуры резонатора). При этом было показано, что при наличии диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности возможна генерации высокой степени перепутывания атомов, на порядок превосходящей степень перепутывания без учета указанных механизмов. В настоящей работе мы исследуем влияние диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на атомное перепутывание в случае низких температур резонатора. Рассмотрение такого случая представляет также интерес и в связи с тем, что в экспериментах с одноатомными мазерами и лазерами резонаторы охлаждаются до температур порядка 0,5 К. В этом случае среднее число число тепловых фотонов составляет менее 0,05. 1. Модель и её точное решение. Рассмотрим два идентичных двухуровневых атома, резонансно взаимодействующих с двухмодовым квантовым электромагнитным полем в идеальном резонаторе посредством невырожденных двухфотонных переходов при наличии прямого диполь-дипольного взаимодействия между атомами. В представлении взаимодействия гамильтониан такой модели можно представить в виде 2 − + + − + − (a+ a+ Ri + Ri a1 a2 ) + Ω(R1 R2 + R2 R1 ), 1 2 H= g i=1 (1) где a+ и aj — операторы рождения и уничтожения фотонов j-той резонаторj + − ной моды (j = 1, 2), Ri и Ri — повышающий и понижающий оператор в i-том атоме (i = 1, 2), g — константа невырожденного двухфотонного взаимодействия атомов с полем и Ω — константа прямого диполь-дипольного взаимодействия атомов. 178 Перепутывание атомов, индуцированное двухмодовым тепловым шумом . . . Обозначим через |+ и |− возбужденное и основное состояния двухуровневого атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида |α, β = |α |β , где α, β = +, −. Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции вида U (t) = exp(−ıHt/ ) . Если система, включающая атомы и поле, находится в начальный момент времени в чистом состоянии, то ее вектор состояния в любой момент времени в представлении взаимодействия может быть представлен в виде |Ψ(t) = U (t)|Ψ (0). В двухатомном базисе |+, + , |+, − , |−, + , |−, − оператор эволюции U (t) для модели с гамильтонианом (1) может быть записан как   U11 U12 U13 U14 U22 U23 U24  U . (2) U (t) =  21 U31 U32 U33 U34  U41 U42 U43 U44 Здесь A + + A A a1 a2 , U14 = 2a1 a2 a1 a2 , U41 = 2a+ a+ a+ 1 a+ 2 , 1 2 λ λ λ B B A = 1 + 2a+ a+ a1 a2 , U12 = U13 = a1 a2 , U21 = U31 = a+ a+ , 1 2 λ θ θ 1 2 B B U24 = U34 = a1 a2 , U42 = U43 = a+ a+ , 1 2 θ θ U11 = 1 + 2a1 a2 U44 U22 = U33 = g exp −ı 2 (α + θ)t × 4θ g × [1 − exp(ıgθt)]α + 2θ exp ı (3α + θ)t + θ[1 + exp(ıgθt)] , 2 U23 = U32 = g exp −ı 2 (α + θ)t × 4θ g × [1 − exp(ıgθt)]α − 2θ exp ı (3α + θ)t + θ[1 + exp(ıgθt)] , 2 где A = exp −ı gα t 2 cos α gθ t + ı sin 2 θ gθ t 2 − 1, g B = exp −ı (α + θ)t [1 − exp(ıgθt)] 2 и α = Ω/g, λ = 2(a1 a2 a+ a+ + a+ a+ a1 a2 ), θ = 8(a1 a2 a+ a+ + a+ a+ a1 a2 ) + α2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 Пусть в начальный момент времени резонаторное поле находится в двухмодовом тепловом состоянии p1 (n1 )p2 (n2 )|n1 , n2 n1 , n2 |, ρF (0) = n1 n2 179 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. Г. М а н г у л о в а где pi (ni ) = nni /(1 + ni )ni и ni — среднее число тепловых фотонов в i-той ¯i ¯ ¯ моде, а атомы в когерентных атомных состояниях вида |Ψ1 (0) = cos θ1 |+ + eıϕ1 sin θ1 |− , |Ψ2 (0) = cos θ2 |+ + eıϕ2 sin θ2 |− . Здесь θ1 и θ2 обозначают амплитуды поляризованных атомов и ϕ1 и ϕ2 — относительные фазы состояний двух атомов. Начальная атомная матрица плотности атомов можем быть тогда записана в виде   ρ11 (0) ρ12 (0) ρ13 (0) ρ14 (0) ρ∗ (0) ρ22 (0) ρ23 (0) ρ24 (0) 12 , ρA (0) =  ∗ ρ13 (0) ρ∗ (0) ρ33 (0) ρ34 (0) 23 ρ∗ (0) ρ∗ (0) ρ∗ (0) ρ44 (0) 34 24 14 где ρ11 (0) = cos2 θ1 cos2 θ2 , ρ13 (0) = cos θ1 sin θ1 cos2 θ2 e−ıϕ1 , ρ22 (0) = cos2 θ1 sin2 θ2 , ρ33 (0) = sin2 θ1 cos2 θ2 , ρ34 (0) = sin2 θ1 cos θ2 sin θ2 e−ıϕ2 , ρ12 (0) = cos2 θ1 cos θ2 sin θ2 e−ıϕ2 , ρ14 (0) = cos θ1 sin θ1 cos θ2 sin θ2 e−ı(ϕ1 +ϕ2 ) , ρ23 (0) = cos θ1 sin θ1 cos θ2 sin θ2 e−ı(ϕ1 −ϕ2 ) , ρ24 (0) = cos θ1 sin θ1 sin2 θ2 e−ıϕ1 , ρ44 (0) = 1 − ρ11 (0) − ρ22 (0) − ρ33 (0). Для вычисления критерия перепутанности атомов необходимо найти редуцированную атомную матрицу плотности ρA (t) = T rF U (t)ρF (0) ⊗ ρA (0)U + (t). В результате с использованием явного вида оператора эволюции (2) для атомной матрицы плотности получаем   ρ11 ρ12 ρ13 ρ14 ρ ρ  ρ∗ ρ (3) ρA (t) =  12 22 23 24  . ρ∗ ρ∗ ρ33 ρ34 23 13 ∗ ∗ ∗ ρ14 ρ24 ρ34 ρ44 Явный вид матричных элементов в (3) не приведен здесь из-за их слишком громоздкого вида. 2. Обсуждение результатов. Для определения степени атом-атомного перепутывания будем использовать параметр Переса Хородецких [1], который определяется как ε = −2 i µ− , где µ− — отрицательные собственные знаi i чения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) матрицы (3). Для неперепутанных состояний ε = 0. Для перепутанных состояний 0 < ε 1. Максимальной степени перепутывания соответствует значение ε = 1. Результаты численного моделирования временной зависимости параметра перепутывания для различных значений параметров модели представлено на рис. 1 и 2. На рис. 1, а, б показано временное поведение перепутывания для двухмодового теплового моля с малым средним числом фотонов в модах n1 = n2 = 0,01 без учета диполь-дипольного взаимодействия атомов в отсут¯ ¯ ствии (рис. 1, а) и при наличии атомной когерентности (рис. 1, б, в). На рис. 1, 180 Перепутывание атомов, индуцированное двухмодовым тепловым шумом . . . a б в г д е Рис. 1. Временная зависимость параметра перепутывания для параметров модели: a) α = = 0, θ1 = π/2, θ2 = 0; б) α = 0, θ1 = π/4, θ2 = π/4; в) α = 0, θ1 = π/4, θ2 = −π/4 , г) α = 0,1, θ1 = = π/2, θ2 = 0, д)α = 0,1, θ1 = π/4, θ2 = π/4, е) α = 0,1, θ1 = π/4, θ2 = −π/4; фазы поляризованных атомов ϕ1 = ϕ2 = 0 и среднее число тепловых фотонов в модах n1 = n2 = 0,01 ¯ ¯ 181 Е. К. Б а ш к и р о в, Е. Г. М а н г у л о в а а б в г Рис. 2. Временная зависимость параметра перепутывания для параметров модели: a) n1 = ¯ = n2 = 1, α = 0,1, θ1 = π/4, θ2 = π/4 и ∆ϕ = 0,5π (линия 1), ∆ϕ = 0,7π (линия 2), ∆ϕ = π ¯ (линия 3); б, a) n1 = n2 = 0,01, θ1 = π/2, θ2 = 0, ϕ1 = ϕ2 = 0 и α = 0 (линия 1), α = 0,01 (линия 2), ¯ ¯ α = 0,1 (линия 3); в) n1 = n2 = 0,01, θ1 = π/4, θ2 = π/4, ϕ1 = ϕ2 = 0 и α = 0,01 (линия 1), α = 0,1 ¯ ¯ (линия 2); г) n1 = n2 = 0,01, θ1 = π/4, θ2 = −π/4, ϕ1 = ϕ2 = 0 и α = 0,01 (линия 1), α = 0,1 ¯ ¯ (линия 2) 182 Перепутывание атомов, индуцированное двухмодовым тепловым шумом . . . г, е представлены аналогичные графики для перепутывания при наличии диполь-дипольного взаимодействия с константой диполь-дипольного взаимодействия α = Ω/g = 0,1. На рис. 2 показана зависимость степени перепутывания атомов от относительных фаз ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 поляризованных атомов для модели с n1 = n2 = 1 и α = 0,1. Из рисунков хорошо видно, что выбор опре¯ ¯ деленного начального состояния атомов (степени атомной когерентности или поляризации атомов) позволяет осуществлять эффективный контроль за степенью их перепутывания. На рис. 2, б, г показана зависимость степени перепутывания атомов от константы прямого диполь-дипольного взаимодействия для некогерентного (рис. 2, б) и различных когерентных начальных состояний атомов (рис. 2, в, г). Из рисунков хорошо видно, что для любых начальных состояний атомов наличие диполь-дипольного взаимодействия приводит к увеличению степени перепутывания атомов. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно включить, уменьшая относительное расстояние между атомами в резонаторе. Причем расстояние между атомами в резонаторе можно легко контролировать. В настоящее время в современных магнитных ловушках Пауля охлаждённые ионы могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В результате такие экспериментальные установки могут быть использованы для генерации значительной степени перепутывания атомов даже при наличии шума. Сравнение результатов, полученных нами для модели с невырожденными двухфотонными переходами, с соответствующими результатами для моделей с однофотонными переходами [8, 9] показывает, что для некоторых начальных состояний атомов в случае нелинейной модели может быть получена значительно более высокая степень атомного перепутывания. 3. Заключение. Таким образом, нами исследовано влияние атомной когерентности и диполь-дипольного взаимодействия на перепутывание двух атомов, взаимодействующих со слабым двухмодовым тепловым полем в идеальном резонаторе. При этом показано, что указанные механизмы могут использоваться для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов, необходимого при квантовой обработке информации.

About the authors

Eugene K Bashkirov

Samara State University

Email: mangulova-eg@mail.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Ekaterina G Mangulova

Samara State University

Email: mangulova-eg@mail.ru
Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files