Cauchy problem for the hyperbolic system with mixed derivatives

Abstract

Cauchy problem for the hyperbolic system with mixed derivative is considered. The given system is transformed to the triangular or diagonal form for the further equations separation. The Cauchy problem for each equation (homogeneous or inhomogeneous) is obtained.

Full Text

Рассматривается система уравнений (1) utt + 2Buxt + Cuxx = 0, где B, C — постоянные коммутативные матрицы второго порядка; u(x, t) — двумерная вектор-функция. Для обеспечения гиперболичности [1] системы (1) для собственных значений матриц B и C полагается, что b2 − ci > 0, i = 1, 2. i Для системы (1) ставится задача Коши с начальными условиями: u(x,0) = ϕ0 (x), ut (x,0) = ψ 0 (x), 0 x l. Здесь ϕ0 (x), ψ 0 (x) — двумерные вектор-функции. Известно [2], что структуры двух коммутирующих матриц связаны. Поэтому для каждой матрицы можно найти все коммутирующие с ней матрицы (задача Фробениуса). Далее этот факт используется для преобразования системы (1). Рассмотрим случай, когда матрица B имеет различные собственные значения b1 = b2 . В этом случае матрица C является простой и приводится к диагональному виду тем же преобразованием подобия, что и B: S −1 BS = JB = diag{b1 , b2 }, S −1 CS = JC = diag{c1 , c2 }, где det S = 0. Замена u = Sw в (1) приводит к системе уравнений wtt + 2JB wxt + JC wxx = 0 и условиям при 0 x l: w(x,0) = S −1 ϕ0 (x) = ϕ0 (x), ˜ ˜ wt (x,0) = S −1 ψ 0 (x) = ψ 0 (x). (2) В этом случае система распадается на два уравнения и для k-той компоненты вектор-функции w(x, t) получаем задачу Коши вида (wk )tt + 2bk (wk )xx + ck (wk )xx = 0, k = 1, 2, ˜0 wk (x,0) = ϕ0 (x), (wk )t (x,0) = ψk (x), 0 x l. ˜k Прямые x − pk t = C1 , x − qk t = C2 — характеристики приведённого уравнения (pk = = bk − ((bk )2 − ck )1/2 , qk = bk + ((bk )2 − ck )1/2 ∈ R). 218 Задача Коши для системы гиперболических уравнений, содержащей смешанную производную Решение полученной начальной задачи в треугольнике ∆k = {qk t x pk t + l, 0 t lγk }, где γk = (qk − pk )−1 , строится аналогично решению задачи Коши для волнового уравнения [3]: x−pk t ˜k ˜k wk (x, t) = γk qk ϕ0 (x − pk t) − pk ϕ0 (x − qk t) + x−qk t ˜0 ψk (z)dz . Возвращаясь к исходной функции u(x, t) с помощью обратной замены u = Sw, можно получить искомое решение начальной задачи для системы (1) в области ∆1 ∆2 . Рассмотрим теперь случай, когда матрица B имеет одно собственное значение b алгебраической кратности 2, его геометрическая кратность — 2 или 1 [2]. Если нормальная жорданова форма матрицы B имеет вид JB = bE, то любая матрица, подобная B, будет диагональной. Выберем матрицу перехода S (det S = 0) так, чтобы она приводила C к нормальной жордановой форме JC . Если матрица C — простая, то JC является диагональной и решение задачи Коши полностью аналогично предыдущему случаю. Если же JC = cE +H — жорданова клетка порядка 2, 0 0 где H = , то получаем систему 1 0 (w1 )tt + 2b(w1 )xt + c(w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2b(w2 )xt + c(w2 )xx = −(w1 )xx (3) с начальными условиями (2), p1 = p2 = p, q1 = q2 = q, γ1 = γ2 = γ. Для первого уравнения системы (3) решение задачи Коши имеет тот же вид, что и в предыдущем случае. Правая часть второго уравнения системы (3) известна и зависит от w1 . Уравнения системы (3) имеют одинаковые области построения решений (∆1 = ∆2 ). Поэтому необходимо найти в этой области w2 в виде суммы решения однородного уравнения, удовлетворяющего неоднородным условиям, и частного решения соответствующего неоднородного уравнения с однородными условиями. Формула решения задачи Коши для неоднородного уравнения wtt + 2bwxt + cwxx = f (x, t) имеет такой вид: x−pt w(x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜ ˜ ˜ ψ 0 (z)dz+ x−qt x−p(t−τ ) t + f (s, τ )ds . dτ x−q(t−τ ) 0 Вычислим w1 (x, t) и подставим её в правую часть второго уравнения системы: w2 (x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜2 ˜2 x−pt x−qt ˜0 ψ2 (z)dz + + γ 3 (p + q) ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) + 2γ 3 ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz− ˜0 ˜0 − γ 2 t q ϕ0 (x − pt) + pϕ0 (x − qt) + ψ1 (x − pt) + ψ1 (x − qt) ˜1 ˜1 и вернёмся к функции u(x, t). Теперь предположим, что нормальная жорданова форма матрицы B имеет вид JB = bE + H. Матрица перехода S (det S = 0) должна приводить B к нормальной 219 К о з л о в а Е. А. жордановой форме JB = S −1 BS. Обозначим JC = S −1 CS. Так как B, C — коммутативные матрицы, то и JB , JC — коммутативные, причём [2] JC = cE + αH. Здесь α в зависимости от структуры C может быть равным нулю или отличным от нуля. Тогда исследуемая система перейдет в систему (w1 )tt + 2b(w1 )xt + c(w1 )xx = 0, (w2 )tt + 2b(w2 )xt + c(w2 )xx = −2(w1 )xt − α(w1 )xx . Воспользовавшись формулой для решения задачи Коши для неоднородного уравнения и подставив в правую часть w1 (x, t), получим выражение для w2 (x, t): w2 (x, t) = γ q ϕ0 (x − pt) − pϕ0 (x − qt) + ˜2 ˜2 x−pt x−qt ˜0 ψ2 (z)dz + + αγ 3 (p + q) ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) + 2αγ 3 ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz− ˜0 ˜0 − αγ 2 t q ϕ0 (x − pt) + pϕ0 (x − qt) + ψ1 (x − pt) + ψ1 (x − qt) − ˜1 ˜1 − 4γ 3 pq ϕ0 (x − pt) − ϕ0 (x − qt) − 2γ 3 (p + q) ˜1 ˜1 x−pt x−qt ˜0 ψ1 (z)dz+ ˜0 ˜0 + 2γ 2 t pq ϕ0 (x − pt) + pq ϕ0 (x − qt) + pψ1 (x − p1 t) + q ψ1 (x − qt) . ˜1 ˜1 Возврат к u(x, t) осуществляется с помощью замены u = Sw. Отметим, что коммутирующие матрицы B и C третьего и выше порядков не всегда возможно привести к жордановой форме одним преобразованием подобия. В этом случае следует приводить матрицы к треугольному виду (см., например, [4]). Рассмотренное здесь уравнение, содержащее смешанную производную, возникает при описании малых колебаний движущегося гибкого стержня [5, 6].