The influence functional method to the description of the dynamics of quantum systems interacting with the laser radiation

Full Text

Введение. В настоящее время активно изучаются процессы взаимодействия наносистем с электромагнитным полем [1], возбуждение и диссоциация различных молекул [2], ионизация атомов под действием лазерного излучения [3]. Представляется актуальным получение уравнений, описывающих динамику квантовых систем в сильных электромагнитных полях, в рамках непертурбативного подхода. Одним из таких подходов является метод функционала влияния в формализме функционального интегрирования, впервые предложенного Р. Фейнманом и активно разрабатываемого рядом физиков [4–6]. В методе функционала влияния принципиальное значение имеет вычисление его явного вида, который существенно зависит от той модели системы, которую мы исследуем. В данной работе дается вычисление в голоморфном представлении функционала влияния электромагнитного поля на квантовую систему, взаимодействующую с ним в дипольном приближении. 1. Функционал влияния электромагнитного поля. Рассмотрим многоуровневую квантовую систему, взаимодействующую с электромагнитным полем. ˆ Данная модель описывается гамильтонианом Hf ull , который имеет следующую структуру: ˆ ˆ ˆ ˆ Hf ull = Hsyst + Hf ield + Hint , ˆ где Hsyst — гамильтониан квантовой многоуровневой системы, и определяет стационарные состояния изолированной системы |n с энергиями En . ˆ Гамильтониан Hf ield многомодового электромагнитного поля определяется выражением ˆ Hf ield = Ωk (ˆ+ ak + 1/2); ak ˆ k здесь и далее Ωk — частота поля моды k; a+ , ak — операторы рождения и униˆk ˆ 185 А. А. Б и р ю к о в, М. А. Ш л е е н к о в чтожения фотонов энергии Ek = Ωk соответственно. Мы полагаем, что поле находится в неком резонаторе и индекс k принимает дискретные значения. Гамильтониан взаимодействия многоуровневой квантовой системы и электромагнитного поля представим в линейном виде (дипольное приближение) и будем определять выражением [7] ˆ Hint = q εk x(ˆk + a+ ), ˆa ˆk k ˆ где εk = Ωk /(2ε0 V ); x — оператор координаты частицы с зарядом q; V — объем резонатора; ε0 — электрическая постоянная. Будем определять состояние системы в момент времени t статистическим оператором ρ(t), эволюция которого определяется уравнением ˆ ˆ ρ ˆ ρ(t) = U (t)ˆ0 U + (t), ˆ ˆ где ρ0 = ρ(t = 0), а оператор эволюции U (t) на временном интервале (0, t) ˆ ˆ имеет вид i t ˆ ˆ ˆ U (t) = T exp − Hf ull (t )dt . 0 Эволюция статистической матрицы плотности полной системы в координатноголоморфном представлении будет описываться уравнением [8] ρ(xf , α∗ ; xf , αf ; t) = f Dµ(α (τ ))Dµ(α ∗ (τ ))Dp (τ )Dx (τ )dµ(αin )dxin × × Dµ(α(τ ))Dµ(α∗ (τ ))Dp(τ )Dx(τ )dµ(αin )dxin × × i Sf ull p(τ ), x(τ ), α∗ (τ ), α(τ ) + ∗ × ρ0 xin , αin ; xin , αin exp − i 2ı α∗ α(t) + α∗ (0)αin f × Sf ull p (τ ), x (τ ), α ∗ (τ ), α (τ ) − ∗ . (1) α ∗ (t)αf + αin α (0) 2ı В случае, когда нас интересует эволюция взаимодействующих систем в некоторое определенное состояние |m исследуемой квантовой системы и |χ электромагнитного поля из начального |n |ζ , описываемых произведением соответствующих волновых функций, статистическая матрица плотности, описывающая вероятности таких переходов, примет вид − ρ(m, χ; t|n, ζ; 0) = Dµ(α (τ ))Dµ(α ∗ (τ ))Dp (τ )Dx (τ )dµ(αin )dµ(αf )× × dxin dxf Dµ(α(τ ))Dµ(α∗ (τ ))Dp(τ )Dx(τ )dµ(αin )dµ(αf )dxin dxf φ∗ (xf )× m i × χ∗ (αf ) exp Sf ull p(τ ), x(τ ), α∗ (τ ), α(τ ) + × α∗ α(t) + α∗ (0)αin 2ı f i × φn (xin )ζ(αin )φ∗ (xin )ζ ∗ (αin ) exp − Sf ull p (τ ), x (τ ), α ∗ (τ ), α (τ ) − n − 186 2ı ∗ α ∗ (t)αf + αin α(0) φm (xf )χ(αf∗ ), (2) Описание динамики квантовых систем, взаимодействующих с лазерным излучением . . . где Sf ull [p(τ ), x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )] = t p(τ )x(τ ) − ˙ = 0 α∗ (τ )α(τ ) − α∗ (τ )α(τ ) − Hsyst (p(τ ), x(τ ))− ˙ ˙ 2ı − Hf ield (α∗ (τ ), α(τ )) − Hint (x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )) dτ, Hsyst , Hf ield , Hint — нормальные символы операторов Гамильтона. Для ряда задач требуется описание динамики лишь квантовой системы, то есть определение её статистической матрицы плотности ρsyst (xf , xf ; t) в некий момент времени t или вероятностей квантовых переходов Psyst (m, t|n; 0) за определенный интервал времени t, при этом электромагнитное поле в соответствующий момент времени t может быть либо в любом, либо некотором определенном состояниях. Для случая, когда поле в соответствующий момент времени t может иметь любое значение, статистическая матрица плотности ρsyst (xf , xf ; t) и вероятность квантовых переходов ρ(m, t|n; 0) могут быть получены соответственно из уравнений (1), (2) исключением переменных электромагнитного поля путем интегрирования: ρsyst (xf , xf ; t) = × exp Dp (τ )Dx (τ )Dp(τ )Dx(τ )dxin dxin × i Ssyst [p(τ ), x(τ )] F [x(τ ), x (τ )]ρsyst (xin , xin ; 0)× i × exp − Ssyst [p (τ ), x (τ )] , (3) P (m, t; n, 0) = Dp (τ )Dx (τ )Dp(τ )Dx(τ )dxin dxin dxf dxf × × φ∗ (xf )φm (xf ) exp m i Ssyst [p(τ ), x(τ )] φn (xin )F [x(τ ), x (τ )]φ∗ (xin )× n i × exp − Ssyst [p (τ ), x (τ )] , (4) где F [x(τ ), x (τ )] — функционал влияния квантового электромагнитного поля на исследуемую квантовую систему, который имеет вид Dα (τ )Dα ∗ (τ )Dα(τ )Dα∗ (τ )dµ(αin )dµ(αin )dµ(αf )× F [x(τ ), x (τ )] = × exp i (Sef f [x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )] + × exp − i 2ı α∗ α(t) + α∗ (0)αin ) ρf ield (α∗ , αin ; 0)× in f Sef f [x (τ ), α ∗ (τ ), α (τ )] − Здесь 2ı ∗ α ∗ (t)αf + αin α(0) . (5) t p(τ )x(τ ) − Hsyst (p(τ ), x(τ )) dτ, ˙ Ssyst [p(τ ), x(τ )] = 0 187 А. А. Б и р ю к о в, М. А. Ш л е е н к о в t Sef f [x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )] = − 0 2ı α∗ (τ )α(τ ) − α∗ (τ )α(τ ) − ˙ ˙ − Hf ield (α∗ (τ ), α(τ )) − Hint (x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )) dτ. Формулы (3), (4) можно представить в символичной записи ρsyst (xf , xf ; t) = xf , xf ; t|F [x, x ]ρsyst (xin , xin ; 0)|xin , xin ; 0 , ∗ Psyst (m, t; n, 0) = m, t|φm (xf )φ∗ (xf )F [x, x ]ψn (xin )ψn (xin )|n, 0 , m (6) где черта в правой части означает функциональное усреднение. Для вычисления статистической матрицы плотности вероятности переходов между состояниями квантовой системы необходимо знать явный вид функционала влияния для исследуемой физической модели. 2. Явный вид функционала влияния электромагнитного поля. Для определения явного вида функционалов влияния электромагнитного поля представим выражение (5) в виде F [x(τ ), x (τ )] = dµ(αin )dµ(αin )dµ(αf )Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t)× f ∗ ∗ × ρ0,f ield (α∗ , αin )Uef f (αin , αf ; [x (τ )]; t), (7) in где Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t) = f × exp Dα(τ )Dα∗ (τ )× 1 ∗ α α(t) + α∗ (0)αin 2 f exp i Sef f [x(τ ), α∗ (τ ), α(τ )] . (8) Величина Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t), определяемая формулой (8), представляет f собой амплитуду перехода электромагнитного поля из состояния |αin в состояние |αf под действием внешнего источника x(τ ) и записывается в виде функционального интеграла по переменным электромагнитного поля α(τ ), α∗ (τ ). Из формулы (7) следует, что для вычисления явного вида функционалов влияния электромагнитного поля на квантовую систему необходимо вычислить амплитуду перехода электромагнитного поля Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t), f определяемую формулой (8). Амплитуду Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t) можно вычислить, представляя функf циональный интеграл (8) конечнократным [9] и считая, что функция x(τ ) не зависит от комплексных переменных α(τ ), то есть не влияет на процедуру интегрирования, что возможно в случаях, когда обратным влиянием квантовой подсистемы на электромагнитное поле можно пренебречь: Uef f (α∗ , tf ; αin , 0) f 188 = lim n→∞ C exp ... C ı n Sk dµ(αn ) . . . dµ(α1 ). k=0 Описание динамики квантовых систем, взаимодействующих с лазерным излучением . . . Выражения для амплитуды перехода принимает вид Uef f (α∗ , tf ; αin , 0)= exp − f 1 |αf |2 +|αin |2 + Aα∗ αin + Bα∗ + Cαin +D , (9) f f 2 где t A = e−iΩt , B = −i t g(τ )e−iΩ(t−τ ) dτ, g(τ )e−iΩτ dτ, C = −i 0 0 t D = (−i)2 0 τ g(τ )g(τ )e−iΩ(τ −τ ) dτ dτ . 0 Комплексно сопряжённая амплитуда в выражении (7) может быть найдена аналогичным образом. Используя явный вид (9), найдём явный вид функционала влияния для модели, когда электромагнитное поле в начальный и конечный моменты времени t будут находиться в вакуумном состоянии. Для данной модели начальное и конечное состояния электромагнитного поля определяются волновыми функциями, которые соответственно имеют вид [7] ζv (αin ) = exp − |αin |2 , 2 χ∗ (αf ) = exp − v |αf |2 . 2 Функционал влияния одной моды вакуума электромагнитного поля с частотой Ωk на исследуемую квантовую подсистему имеет вид Fk (χv [x(τ ), x (τ )]ζv ) = dµ(αin )dµ(αin )dµ(αf )dµ(αf )χ∗ (αf )× v ∗ ∗ ∗ × Uef f (α∗ , αin ; [x(τ )]; t)ζv (α∗ )ζv (αin )Uef f (αin , αf ; [x (τ )]; t)χv (αf∗ ) = in f t τ ∗ βk (τ − τ )x(τ )x(τ ) + βk (τ − τ )x (τ )x (τ ) dτ dτ , (10) = exp − 0 0 где βk (τ − τ ) = q 2 εk 2 2 q2 e−iΩk (τ −τ ) = 2 Ωk −iΩk (τ −τ ) e . 2ε0 V (11) Рассмотрим случай, когда исследуемая квантовая система взаимодействует с квантовым электромагнитным полем, начальное состояние которого представлено вакуумом, определяемым вектором |0 , а измерение конечного состояния электромагнитного поля не проводится, то есть оно может быть любым. Последнее условие математически представляется интегрированием по всем конечным состояниям электромагнитного поля: Fk ([x(τ ), x (τ )]ζv ) = t τ = exp − 0 0 ∗ βk (τ − τ )x(τ )x(τ ) + βk (τ − τ )x (τ )x (τ ) dτ dτ + t t + 0 0 ∗ βk (τ − τ )x(τ )x (τ )dτ dτ , 189 А. А. Б и р ю к о в, М. А. Ш л е е н к о в где функции βk (τ − τ ) имеют вид (11). Рассмотрим случай, когда исследуемая квантовая система взаимодействует с одномодовым электромагнитным полем с частотой Ω, которое в начальный момент времени находилось в чистом когерентном состоянии |α , а конечное состояние электромагнитного поля может быть любым. Волновая функция начального чистого когерентного состояния ζα (α∗ ) имеет вид [7] in ζα (α∗ ) = αin |α = e− in 2 |αin |2 − |α| 2 2 ∗ eαin α . Явный вид функционала влияния одной моды когерентного излучения после проведения интегрирования представим в виде α→all [x(τ ), x (τ )] = Fk vac→all = Fk [x(τ ), x (τ )] exp ı Ωk n k q 2ε0 V t x (τ ) − x(τ ) cos(Ωk τ − φk )dτ . 0 Построение функционала влияния многомодового электромагнитного поля осуществляется по правилу [4]: Fk [x (τ ), x(τ )]) = (12) Fk [x (τ ), x(τ )]. k 3. Описание динамики спонтанных переходов двухуровневого атома. Сформулированный подход можно использовать для описания динамики спонтанных переходов двухуровневого атома. Пусть в начальный момент времени t = 0 атом находился в возбужденном состоянии |n с энергией En и волновой функцией φn (xin ), основное состояние атома обозначим |g с энергией Eg и волновой функцией φg (xin ). Дипольный момент и частота квантового перехода даются соответствующими выражениями: dgn = q φ∗ (x)xφn (x)dx, g ωgn = Eg − En . Вероятность того, что исследуемый атом, взаимодействующий с вакуумом электромагнитного поля, останется в возбужденном состоянии n, будем находить на основании формулы (6), где функционал влияния определяется выражением (10): t εk 2 t P (n, t) = exp − 0 0 2 |dgn |2 eiΩk (t −t ) + k εk 2 + 2 |dgn |2 e−iΩk (τ −τ ) dt dt . k Используя (12) и приближение Вайскопфа—Вигнера [7] при ωng = Ω, получим P (n, t; n, 0) = exp[−Γt]. 190 Описание динамики квантовых систем, взаимодействующих с лазерным излучением . . . Вероятность обнаружения атома в возбужденном состоянии экспоненциально затухает с константой затухания Γ= 1 4|dgn |2 . 4πε0 3 ε0 c3 Заключение. Уравнения, описывающие эволюцию статистической матрицы плотности, а также вероятности переходов исследуемой квантовой системы, взаимодействующей с электромагнитным полем, представлены в виде усреднения функционала влияния электромагнитного поля на квантовую систему. Найден явный вид функционала влияния электромагнитного поля, как одномодового, так и многомодового, на квантовую систему в случаях, когда начальное состояние электромагнитного поля представлялось вакуумным и чистым когерентным. Для иллюстрации метода описан процесс спонтанного перехода квантовой системы. Полученные формулы удобны для развития вычислительных методов Монте—Карло [10] при описании квантовых переходов системы под действием электромагнитного поля. Авторы выражают благодарность Организационному комитету третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения ’2012» за приглашение к участию.

About the authors

Alexander A Biryukov

Samara State University

Email: birykov@samsu.ru
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Mark A Shleenkov

Samara State University

Email: shleenkov@list.ru
Postgraduate Student, Dept. of General and Theoretical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files