One characteristic problem for the general hyperbolic differential equation of the third order with nonmultiple characteristics

Full Text

Для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными второго и выше порядков в случае кратных характеристик изучены граничные задачи относительно корректной постановки их по Ж. Адамару [1–3]. Но характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками изучены недостаточно. В настоящей работе сформулирована и исследована характеристическая задача для гиперболического уравнения общего вида с некратными характеристиками. Установлены достаточные условия ее корректности. Предварительные сведения. Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка общего вида с двумя независимыми переменными на плоскости: a0 uxxx + a1 uxxy + a2 uxyy + a3 uyyy = 0, где a0 , a1 , a2 , a3 — некоторые действительные постоянные, a0 = 0. Уравнение −a0 λ3 + a1 λ2 − a2 λ + a3 = 0 λ = dy/dx (1) (2) является характеристическим для уравнения (1), а его интегралы — характеристиками. 180 Одна характеристическая задача для дифференциального гиперболического уравнения . . . Пусть характеристическое уравнение (2) имеет три различных корня: λ1 , λ2 , λ3 ∈ R. Тогда семейства линий y − λ1 x + C1 , y − λ2 x + C2 , y − λ3 x + C3 являются решениями уравнения (2). Как известно [4], общее решение уравнения (1) из класса C 3 (R2 ) представляется в виде суммы: u(x, y) = f1 (y − λ1 x + C1 ) + f2 (y − λ2 x + C2 ) + f3 (y − λ3 x + C3 ). Без ограничений общности можно считать, что общее решение уравнения (1) имеет вид u(x, y) = f1 (y − λ1 x) + f2 (y − λ2 x) + f3 (y − λ3 x). (3) Пусть x ∈ Ic , Ic = [a, b], c = (a + b)/2. Отрезок Ic имеет центральную симметрию: ∀x ∈ Ic , 2c − x ∈ Ic , тогда для любой функции f (x) справедливо c c f (x) = fн + fч , c fн = f (x) − f (2c − x) /2, c fч = f (x) + f (2c − x) /2. c c Функции fн , fч при c = 0 будем обозначать fн , fч . Характеристическая задача. В работе [5] был приведен пример, показывающий некорректность классической постановки задачи Гурса для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка при a0 = a3 = 0, a1 = −a2 = 1. Рассмотрим пример, иллюстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса на плоскости независимых переменных x, y для уравнений гиперболического типа третьего порядка общего вида. Пример. Однородное уравнение (4) uxxx + puxxy + quxyy + ruyyy = 0, где p = λ1 +λ2 +λ3 , q = λ1 λ2 +λ1 λ3 +λ2 λ3 , r = λ1 λ2 λ3 , удовлетворяющее однородным условиям на характеристиках: u (x, λ1 x) = 0, u (x, λ2 x) = 0, u (x, λ3 x) = 0, x ∈ R, (5) имеет нетривиальное решение (6) u(x, y) = (y − λ1 x)(y − λ2 x)(y − λ3 x), где u(x, y) ∈ C 3 (R2 ) — нечётная функция. Таким образом, нетривиальное решение (6) уравнения (4) удовлетворяет однородным граничным условиям (5) на трёх характеристиках из различных семейств. В приведённой постановке характеристическая задача является некорректной по Адамару. Для уравнения (1) рассмотрим общую характеристическую задачу G. Задача G. Найти решение u (x, y) ∈ C 3 (R2 ) уравнения (1), удовлетворяющее условиям u (x, λ1 x) = α(x), u (x, λ2 x) = β(x), u (x, λ3 x) = γ(x), x ∈ R, (7) где α(x), β(x), γ(x) ∈ C 3 (R). Теорема. Если γн (x) = αн (σx) + βн ((1 − σ)x), где σ = (λ3 − λ2 )(λ1 − λ2 )−1 , а αн , βн , γн — нечётные части функций α(x), β(x), γ(x) соответственно, то задача G корректна по Адамару. 181 Я к о в л е в а Ю. О. Определяя функции f , g и h таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (7), и учитывая при этом условие согласования α(0) = f1 (0) + f2 (0) + f3 (0), получим λ2 − λ3 x − f3 x − f2 (0), x ∈ R, f1 (x) = β λ2 − λ1 λ2 − λ1 (8) λ1 − λ3 x − f3 x − f1 (0), x ∈ R. f2 (x) = α λ1 − λ2 λ1 − λ2 Тогда f3 − (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) x + f3 x = λ1 − λ2 λ1 − λ2 λ1 − λ3 λ3 − λ2 x +β x − γ(x) − α(0) + 2f3 (0), =α λ1 − λ2 λ1 − λ2 x ∈ R. (9) Из (8) и (9) следует γн (x) = αн f3 (x) = 1 2 λ3 − λ2 λ3 − λ2 1− x , x + βн λ1 − λ2 λ1 − λ2 x x αч + βч − λ3 − λ1 λ3 − λ2 λ1 − λ2 x − α(0) + 2f3 (0) . − γч (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) (10) Подставляя (8), (9) и (10) в (3), получим u(x, y) = α 1 2 1 + 2 + y − λ2 x 1 y − λ1 x +β − α(0)+ λ1 − λ2 λ2 − λ1 2 y − λ3 x y − λ2 x (y − λ1 x)(λ2 − λ3 ) αч + − αч − αч λ1 − λ3 λ1 − λ2 (λ1 − λ3 )(λ1 − λ2 ) y − λ3 x y − λ1 x (y − λ2 x)(λ1 − λ3 ) βч − − βч − βч λ2 − λ3 λ1 − λ2 (λ1 − λ2 )(λ2 − λ3 ) (y − λ3 x)(λ1 − λ2 ) y − λ1 x y − λ2 x 1 γч − γч − γч . (11) − 2 (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) λ1 − λ3 λ2 − λ3 Формула (11) есть искомая функция, записанная в явном виде и являющаяся решением характеристической задачи G.

About the authors

Julia O Yakovleva

Samara State Technical University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files