One characteristic problem for the general hyperbolic differential equation of the third order with nonmultiple characteristics

Abstract


In the paper we consider the well-posed characteristic problem for the general hyperbolic differential equation of the third order with nonmultiple characteristics. The solution of this problem is constructed in an explicit form. The illustrative example of the Hadamard ill-posedness of the Goursat problem for the hyperbolic differential equation of the third order with nonmultiple characteristics is given.

Full Text

Для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными второго и выше порядков в случае кратных характеристик изучены граничные задачи относительно корректной постановки их по Ж. Адамару [1–3]. Но характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками изучены недостаточно. В настоящей работе сформулирована и исследована характеристическая задача для гиперболического уравнения общего вида с некратными характеристиками. Установлены достаточные условия ее корректности. Предварительные сведения. Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка общего вида с двумя независимыми переменными на плоскости: a0 uxxx + a1 uxxy + a2 uxyy + a3 uyyy = 0, где a0 , a1 , a2 , a3 — некоторые действительные постоянные, a0 = 0. Уравнение −a0 λ3 + a1 λ2 − a2 λ + a3 = 0 λ = dy/dx (1) (2) является характеристическим для уравнения (1), а его интегралы — характеристиками. 180 Одна характеристическая задача для дифференциального гиперболического уравнения . . . Пусть характеристическое уравнение (2) имеет три различных корня: λ1 , λ2 , λ3 ∈ R. Тогда семейства линий y − λ1 x + C1 , y − λ2 x + C2 , y − λ3 x + C3 являются решениями уравнения (2). Как известно [4], общее решение уравнения (1) из класса C 3 (R2 ) представляется в виде суммы: u(x, y) = f1 (y − λ1 x + C1 ) + f2 (y − λ2 x + C2 ) + f3 (y − λ3 x + C3 ). Без ограничений общности можно считать, что общее решение уравнения (1) имеет вид u(x, y) = f1 (y − λ1 x) + f2 (y − λ2 x) + f3 (y − λ3 x). (3) Пусть x ∈ Ic , Ic = [a, b], c = (a + b)/2. Отрезок Ic имеет центральную симметрию: ∀x ∈ Ic , 2c − x ∈ Ic , тогда для любой функции f (x) справедливо c c f (x) = fн + fч , c fн = f (x) − f (2c − x) /2, c fч = f (x) + f (2c − x) /2. c c Функции fн , fч при c = 0 будем обозначать fн , fч . Характеристическая задача. В работе [5] был приведен пример, показывающий некорректность классической постановки задачи Гурса для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка при a0 = a3 = 0, a1 = −a2 = 1. Рассмотрим пример, иллюстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса на плоскости независимых переменных x, y для уравнений гиперболического типа третьего порядка общего вида. Пример. Однородное уравнение (4) uxxx + puxxy + quxyy + ruyyy = 0, где p = λ1 +λ2 +λ3 , q = λ1 λ2 +λ1 λ3 +λ2 λ3 , r = λ1 λ2 λ3 , удовлетворяющее однородным условиям на характеристиках: u (x, λ1 x) = 0, u (x, λ2 x) = 0, u (x, λ3 x) = 0, x ∈ R, (5) имеет нетривиальное решение (6) u(x, y) = (y − λ1 x)(y − λ2 x)(y − λ3 x), где u(x, y) ∈ C 3 (R2 ) — нечётная функция. Таким образом, нетривиальное решение (6) уравнения (4) удовлетворяет однородным граничным условиям (5) на трёх характеристиках из различных семейств. В приведённой постановке характеристическая задача является некорректной по Адамару. Для уравнения (1) рассмотрим общую характеристическую задачу G. Задача G. Найти решение u (x, y) ∈ C 3 (R2 ) уравнения (1), удовлетворяющее условиям u (x, λ1 x) = α(x), u (x, λ2 x) = β(x), u (x, λ3 x) = γ(x), x ∈ R, (7) где α(x), β(x), γ(x) ∈ C 3 (R). Теорема. Если γн (x) = αн (σx) + βн ((1 − σ)x), где σ = (λ3 − λ2 )(λ1 − λ2 )−1 , а αн , βн , γн — нечётные части функций α(x), β(x), γ(x) соответственно, то задача G корректна по Адамару. 181 Я к о в л е в а Ю. О. Определяя функции f , g и h таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (7), и учитывая при этом условие согласования α(0) = f1 (0) + f2 (0) + f3 (0), получим λ2 − λ3 x − f3 x − f2 (0), x ∈ R, f1 (x) = β λ2 − λ1 λ2 − λ1 (8) λ1 − λ3 x − f3 x − f1 (0), x ∈ R. f2 (x) = α λ1 − λ2 λ1 − λ2 Тогда f3 − (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) x + f3 x = λ1 − λ2 λ1 − λ2 λ1 − λ3 λ3 − λ2 x +β x − γ(x) − α(0) + 2f3 (0), =α λ1 − λ2 λ1 − λ2 x ∈ R. (9) Из (8) и (9) следует γн (x) = αн f3 (x) = 1 2 λ3 − λ2 λ3 − λ2 1− x , x + βн λ1 − λ2 λ1 − λ2 x x αч + βч − λ3 − λ1 λ3 − λ2 λ1 − λ2 x − α(0) + 2f3 (0) . − γч (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) (10) Подставляя (8), (9) и (10) в (3), получим u(x, y) = α 1 2 1 + 2 + y − λ2 x 1 y − λ1 x +β − α(0)+ λ1 − λ2 λ2 − λ1 2 y − λ3 x y − λ2 x (y − λ1 x)(λ2 − λ3 ) αч + − αч − αч λ1 − λ3 λ1 − λ2 (λ1 − λ3 )(λ1 − λ2 ) y − λ3 x y − λ1 x (y − λ2 x)(λ1 − λ3 ) βч − − βч − βч λ2 − λ3 λ1 − λ2 (λ1 − λ2 )(λ2 − λ3 ) (y − λ3 x)(λ1 − λ2 ) y − λ1 x y − λ2 x 1 γч − γч − γч . (11) − 2 (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 ) λ1 − λ3 λ2 − λ3 Формула (11) есть искомая функция, записанная в явном виде и являющаяся решением характеристической задачи G.

About the authors

Julia O Yakovleva

Samara State Technical University

Email: julia.yakovleva@mail.ru
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia
Postgraduate Student, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science

References

  1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.
  2. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Матем. Заметки, 2003. Т. 74, № 4. С. 517–528.
  3. Харибегашвили С. С. О разрешимости одной характеристической задачи для вырождающихся систем второго порядка // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 1. С. 154–162.
  4. Корзюк В. И., Чеб Е. С., Ле Тхи Тху Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик // Тр. Ин-та матем., 2010. Т. 18, № 2. С. 36–54.
  5. Андреев А. А., Яковлева Ю. О. Характеристическая задача на плоскости для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка / В сб.: Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. зимней школы (27 января — 3 февраля 2012 года). Саратов: Научная книга, 2012. С. 7–8.

Statistics

Views

Abstract - 25

PDF (Russian) - 14

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies