On the hartman effect and velocity of propagating the electromagnetic wave in the tunneling process

Full Text

Введение. Как известно [1], в квантовой механике при анализе времени туннелирования в рамках концепции групповой скорости волнового пакета был обнаружен эффект Хартмана, суть которого состоит в том, что вигнеровское (групповое) время туннелирования как функция ширины потенциального барьера, через который туннелирует частица, выходит на насыщение при неограниченном росте этого параметра. Позднее этот эффект был обнаружен и в электродинамике для плоской монохроматической световой волны, рассеивающейся на воздушном зазоре между стеклянными призмами в режиме НПВО (см. [2]). Таким образом, в существующих стандартных моделях туннелирования концепция групповой скорости приводит к скоростям туннелирования, превышающим c — скорость света в вакууме. Несмотря на необычность этого результата с точки зрения специальной теории относительности (СТО), в классической электродинамике эффект Хартмана получил в настоящее время статус экспериментально наблюдаемого эффекта (см., например, [3–7]), который нужно лишь «примирить» с принципами СТО. Впрочем, и в этом вопросе, за исключением отдельных авторов (см., например, [3]), имеется практически полное единодушие — принято считать, что возникновение сверхсветовых групповых скоростей в задаче туннелирования не противоречит СТО. В пользу этого обычно приводят два аргумента (см., например, [7]). Один из них состоит в том, что запрет на сверхсветовые скорости в СТО касается только скорости переноса информации. Что ни (бесконечная) монохроматическая световая волна, характеризуемая энергетической скоростью, ни 215 Н. Л. Ч у п р и к о в (локализованный) волновой пакет с гладкой огибающей, характеризуемый групповой скоростью, не переносят информацию. Что о переносе информации можно говорить лишь в том случае, если огибающая волнового пакета имеет разрывы и скорость перемещения переднего разрыва (фронта) волнового пакета как раз и есть скорость переноса информации — сигнальная (или фронтальная [7]) скорость. То есть СТО налагает ограничение сверху только на сигнальную скорость света в среде. Другой аргумент состоит в том, что если диэлектрические проницаемости всех сред в слоистой структуре, в которой распространяется световой импульс, удовлетворяют дисперсионным соотношениям, то выполнение принципа причинности при описании (под)процесса туннелирования гарантируется автоматически. Однако ни один из этих аргументов не выдерживает критики. Во-первых, СТО — это физическая теория, и поэтому все ее положения распространяются на физические объекты, то есть, на те, чьё движение связано с переносом вещества и энергии и подчиняется физическим законам. Это или частицы, или поля. Нет физических законов, сформулированных для «информации» как таковой. Само понятие информации не имеет четкого определения в физике. В частности, это выражается в том, что сигнальная скорость, призванная характеризовать скорость движения светового импульса, описывает, строго говоря, лишь бесконечно малую часть этого импульса, примыкающую непосредственно к его переднему фронту (разрыву), и, следовательно, эта величина не содержит в себе никакой информации о динамике основной части импульса. Слабость этой концепции по сравнению с групповой и энергетической скоростями видна уже из того, что групповая скорость, хотя и относится тоже только к одной точке волнового пакета — к его «центру масс» (ЦМ), все же является интегральной характеристикой пакета. Что касается энергетической скорости, ее достоинство состоит в том, что она определяется для каждой точки пакета, а не для одной, как сигнальная скорость. Во-вторых, прежде чем утверждать, что сверхсветовые групповые скорости туннелирования заведомо не нарушают принципа причинности, необходимо знать динамику этого (под)процесса на всех этапах рассеяния. Однако в существующих подходах это требование не выполнено. Если на конечной стадии рассеяния в этих моделях фигурируют два волновых пакета — прошедший и отраженный, то на его первой стадии — только один, падающий волновой пакет. При этом между падающим и прошедшим волновыми пакетами нет причинно-следственной связи [8] — ни передний фронт, ни ЦМ падающего волнового пакета не преобразуются, соответственно, в передний фронт и ЦМ прошедшего пакета. При определении времени туннелирования в стандартном подходе этот факт просто игнорируется. Это проявляется в том, что групповое время задержки для туннелирования вводится как разность времени прибытия ЦМ прошедшего волнового пакета в точку, достаточно удаленную от слоя (или потенциального барьера) и времени прибытия ЦМ «опорного» волнового пакета, который совпадает в начальный момент времени с падающим волновым пакетом и движется свободно во все моменты времени. То есть стандартный подход базируется на неявном предположении, что прошедший волновой пакет связан каузально с падающим волновым пакетом. Но это не соответствует действительности [8]. Так что групповое время задержки и связанное с ним вигнеровское время туннелирования определены изначально с нарушением принципа причинности. И то, что аномально короткое и даже отрицательное 216 Об эффекте Хартмана и скорости распространения электромагнитной волны . . . вигнеровское время туннелирования наблюдается экспериментально, говорит лишь о том, что и эксперимент, и тестируемая концепция времени туннелирования базируются на одной и той же, изначально нарушающей принцип причинности, процедуре хронометрирования. Итак, корректное определение скорости и времени туннелирования предполагает раздельное описание динамики прошедшего и отраженного волновых пакетов на всех этапах рассеяния. Для квантового процесса туннелирования такая модель была предложена в [9] (см. также [10, 11]). В данной работе мы распространяем этот подход на аналогичную задачу рассеяния (см., например, [12]) в классической электродинамике. 1. Постановка задачи. Рассмотрим две однородные немагнитные (µ = 1) среды с диэлектрическими проницаемостями 0 и : среда с коэффициентом √ преломления n (n = ) заполняет интервал √ d] на оси OZ, а «фоновая» [0, среда с коэффициентом преломления n0 (n0 = 0 ) заполняет пространственные области, лежащие по обе стороны от этого интервала; n, n0 1; n = n0 . Предполагаются, что в обеих средах нет ни затухания, ни дисперсии. Пусть плоская световая TE волна падает слева на границу z = 0 при условии, что ее волновой вектор лежит в плоскости Y Z, а угол между этим вектором и осью OZ равен θ. В этом случае только одна компонента, Ex , электрического поля и две компоненты, Hy и Hz , магнитного поля отличны от нуля. Чтобы воспользоваться аналогией между квантовой и оптической задачами туннелирования, будем искать эти величины в комплексной форме. Поскольку исследуемая структура неоднородна только в z-направлении, Ex = U (z)eiχ , Hy = V (z)eiχ , Hz = W (z)eiχ ; χ = kn0,y y − ωt, n0,y = n0 sin θ, k = ω/c. Тогда искомые вещественные проекции — Re(U eiχ ), Re(V eiχ ) и Re(W eiχ ). Для плотности энергии w и вектора Умова—Пойнтинга S внутри слоя имеем (0) Sy w = w(0) + w(t) , S = S(0) + S(t) ; 1 |U |2 + |V |2 + |W |2 ; w(0) = 16π c c (0) = − Re (U ∗ W ) ; Sz = Re (U ∗ V ) , 8π 8π (1) (0) Sx = 0. Функции V и W связаны с U соотношениями (см. также [12]) V (z) = −iU (z)/k, W (z) = −U (z)n0,y , (2) поэтому решение задачи сводится к нахождению функции U (z); здесь далее штрих обозначает производную по z. В частности, вне и внутри интервала [0, d] исходное (трехмерное) волновое уравнение для Ex сводится, соответственно, к одномерным уравнениям для U (z), U + k2 n2 U = 0, 0,z U + k2 (n2 − n2 )U = 0, 0,y (3) где n0,z = n0 cos θ. На границах раздела z = 0 и z = d функция U (z) и её первая производная U (z) должны быть непрерывными. Это следует из 217 Н. Л. Ч у п р и к о в граничных условий для тангенциальных проекций Ex , Hy и ортогональной проекции Hz , а также из соотношений (2). (0) (0) Учитывая соотношения (1) для w(0) , Sy и Sz , получаем w(0) (z) = (0) Sy = 1 16π |U (z)|2 , k2 cn0,z c = Im(U ∗ U ) = T. 8πk 8π n2 + n2 |U (z)|2 + 0,y cn0,y |U |2 , 8π (0) Sz Отсюда, в частности, следует, что в случае плоской монохроматической световой волны помимо обычного закона сохранения энергии для электромагнитного поля действует еще один закон сохранения — (0) Sz = cn0,z T = const; 8π (0) Sz — аналог плотности потока вероятности в одномерной квантовой стационарной задаче рассеяния. 0 имеются падающая и Запишем решения уравнений (3). В области z отраженная волны (4) U (z) = exp(ikn0,z z) + bout (k) exp(−ikn0,z z); в области z > d есть только прошедшая волна (5) U (z) = aout (k) exp[ikn0,z (z − d)]; внутри слоя, для 0 z d, U (z) = Af G1 (x − zc ; k) + Bf G2 (z − zc ; k); aout = 1 2 Q P − ∗ ∗ Q P , bout = − 1 2 Q P + ∗ ∗ Q P P∗ Q∗ d aout , Bf = aout ; zc = ; κ κ 2 Q = G1 (z) + ikG1 (z) z=zc ; P = G2 (z) + ikG2 (z) ; (6) Af = − если n0,y z=zc ; n, то G1 = sin(κz), G2 = cos(κz), κ=k n2 − n2 ; 0,y в случае НПВО, то есть, когда n0,y > n G1 = sinh(˜ z), κ G2 = cosh(˜ z), κ κ=k ˜ n2 − n2 . 0,y Здесь |aout |2 = T — коэффициент прохождения, |bout |2 = R — коэффициент отражения; T + R = 1. 2. Рассеивающаяся TE волна как суперпозиция проходящей и отражающейся компонент. Как и в квантовом случае [9–11], для любого k существует 218 Об эффекте Хартмана и скорости распространения электромагнитной волны . . . единственная пара функций Utr (z) и Uref (z), которые удовлетворяют уравнению Utr (z) + Uref (z) = U (z), а также обладают следующими свойствами: (a) каждая из этих функций, в отличие от U (z), имеет одну уходящую волну и одну падающую волну; (б) уходящая волна в Utr (z) совпадает с прошедшей волной (см. (5)), а уходящая волна в Uref (z) совпадает с отраженной волной (см. (4)); (c) падающая волна в каждой из этих двух функций каузально связана на плоскости z = zc с соответствующей уходящей волной — комплекснозначные функции Utr (z) и Uref (z), а также соответствующие плотности потока энергии непрерывны на этой плоскости (но первая производная каждой из этих функций разрывна). Запишем решения для всех трёх областей: Utr (z) = Ain eikn0,z z , tr Uref (z) = Ain eikn0,z z + bout (k)e−ikn0,z z ; ref (7) Utr (z) = Dtr G1 (z − zc ; k) + Bf G2 (z − zc ; k), Uref (z) = Dref G1 (z − zc ; k); (8) Utr (z) ≡ U (z), Uref ≡ 0; (9) 1 P Q∗ (10) Dtr = − ∗ Af , Dref = P Ain + P ∗ bout ; ref P Q κ Ain = aout (a∗ − b∗ ), Ain = b∗ (aout + bout ). out tr out out ref Выражения (7) соответствуют области z 0, выражения (8) — области 0 z zc , а выражения (9) — области z > zc . Заметим, что, во-первых, Ain + Ain = 1 и |Ain |2 + |Ain |2 = 1; во-вторых, tr tr ref ref отражающаяся TE компонента не пересекает плоскость z = zc ; в-третьих, несмотря на тот факт, что производная Utr (z) разрывна на плоскости z = zc , ее абсолютное значение |Utr (z)| непрерывно, поскольку |Utr (zc − z)| = |Utr (z − zc )|, |Utr (zc − z)| = |Utr (z − zc )|. (11) ∗ ∗ Эти соотношения следуют из равенства Re(Dtr Bf ) = Re(Af Bf ), которое следует, в свою очередь, из выражений (6) и (10). Все это означает, что для проходящей TE компоненты (вещественные) tr tr проекции Ex и Hy , а также плотность энергии wtr и вектор Умова—Пойнтинга Str непрерывны на плоскости z = zc : cn0,y tr (0) tr tr tr |Utr |2 , Sz = Sz ; (12) Str = (0, Sy , Sz ); Sy = 8π 1 |U (z)|2 wtr (z) = n2 + n2 |Utr (z)|2 + tr 2 . 0,y 16π k tr Но (вещественная) проекция Hz терпит разрыв на этой плоскости. Итак, рассеивающаяся световая ТЕ волна единственным образом разлагается в сумму двух каузально распространяющихся ТЕ компонент — проходящей через слой и отражающейся от него. И теперь, когда каждая компонента определена во всех пространственных областях, мы можем приступить к изучению временных аспектов (подпроцесса) туннелирования. 3. О скорости переноса энергии световой волны через слой. Поскольку рассматривается стационарная задача рассеяния, скорость vtr (z) (vtr = tr tr = (0, vy , vz )) в точке z для проходящей через слой ТЕ компоненты вводится 219 Н. Л. Ч у п р и к о в здесь как отношение вектора Умова—Пойтнига к плотности энергии (см. выражения (12)): vtr (z) = Str (z)/wtr (z); vtr (z) — энергетическая скорость. Таким образом, время прохождения световой волны через слой может быть определено следующим образом: d tr τD = 0 1 dz = tr tr vz (z) Sz d wtr (z)dz. 0 Эту величину будем называть временем пребывания для прохождения (transmission dwell time). В стандартном подходе скорость света внутри слоя определяется либо (0) (0) как vD (z) = Sinc /w(0) (z), где Sinc — плотность потока энергии падающей ТЕ волны, либо как vgS = S(0) /w(0) (z). Первому определению скорости соответствует так называемое буттикеровское время пребывания τD : τD = d 1 Iinc w(0) (z)dz, Iinc = 0 cn0,z , 8π а второму — время туннелирования tgS (см., например, [13] и ссылки в ней): tgS = d 1 (0) Sz w(0) (z)dz. (13) 0 Заметим, что τD , как и вигнеровское время туннелирования, выходит на насыщение в режиме НПВО с ростом ширины слоя. В то же время tgS , отличающееся от τD нормировкой, при этом растет экспоненциально, то есть согласуется со специальной теорией относительности. Однако это мало что меняет, поскольку время tgS , как и τD , определено через w(0) (z) и, следовательно, обе величины не имеют никакого отношения к туннелированию. Детальный анализ скорости переноса энергии для световой компоненты, которая проходит через слой, выполнялся на примере стекла и вакуума. Заметим, что v tr (z) = c/n0 вне интервала [0, d]; здесь v tr = |vtr |. Внутри этого интервала функция v tr (z) изменяется, однако ее значения нигде не превышают предельной скорости c. Для n > n0 скорость v tr (z) имеет максимумы в тех точках z, где sin(κz) = 0. Это множество точек всегда непустое, поскольку оно обязательно содержит граничные точки z = 0 и z = d. В любой точке этого множества c 2n0 n c (1) < . v tr = vmax = · 2 2 n n0 + n n n0,y скорость v tr имеет максимумы в тех точках z, где Для n0 > n cos(κz) = 0: v tr = (2) vmax 2k2 n0,z n κ4 + k4 n2 n2 0,y 0,z c = · n k4 n2 n2 + κ4 + k4 n2 n2 0,z 0,y 0,z c . n Если n = n0,y , то функция v tr (z) принимает максимальное значение c/n в точке z = zc . Это единственный случай, когда скорость света в среде, заполняющей слой [0, d], достигает скорости света в данной среде, заполняющей все бесконечное пространство. 220 Об эффекте Хартмана и скорости распространения электромагнитной волны . . . В режиме НПВО максимальное значение скорости v tr (zc ) убывает, когда угол θ растет; если θ превышает некоторое критическое значение, функция (1) v tr (z) принимает максимальное значение vmax в граничных точках z = 0 и z = d. Что касается точки zc , в пределе θ → 90◦ , v tr (zc ) = c/n0 . Заметим, что поведение функций vtr (z) и vgS (z) для рассматриваемой слоистой структуры различается качественно. Благодаря соотношениям (11) справедливо равенство vtr (zc − z) = vtr (z − zc ). В то же время «скорость туннелирования» vgS (z), на основе которой определено «групповое время туннелирования» (13), не удовлетворяет этому требованию. Однако это требование должно выполняться для исследуемой структуры, поскольку и фоновая среда, и среда внутри слоя с плоско-параллельными границами однородны. Все зеркально симметричные точки в такой структуре физически эквивалентны. Поэтому скорость туннелирования должна быть четной функцией переменной z − zc . Отражающаяся компонента, которая существует только в левой половине интервала [0, d], не должна влиять на значение скорости туннелирования в этой области. Заключение. Предложена новая модель рассеяния плоской TE-поляризованной световой волны на однородном диэлектрическом слое, которая дает раздельное описание подпроцессов прохождения и отражения на всех этапах рассеяния. Показано, что рассеивающаяся ТЕ волна может быть единственным образом представлена в виде суперпозиции двух ТЕ волн, одна из которых описывает прохождение, а другая отражение. Согласно этой модели проходящая через однородный слой компонента световой волны должна проходить через левую и правую половины этого слоя за одинаковое время. При этом время прохождения через весь слой должно расти экспоненциально в режиме НПВО с ростом ширины слоя, что указывает на отсутствие эффекта Хартмана. В рамках новой модели скорость туннелирования в зеркальносимметричных точках исследуемой структуры одинакова, а отражающаяся ТЕ компонента не пересекает плоскость симметрии структуры. Предполагается, что динамику каждого из подпроцессов можно исследовать экспериментально на основе эффекта Фарадея, если (инфинитезимальное) магнитное поле включать в том или ином интервале на оси OZ. Для этого планируется разработать соответствую математическую модель.

About the authors

Nikolay L Chuprikov

Tomsk State Pedagogical University

Email: chnl@tspu.edu.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Theoretical Physics 60, Kievskaya st., Tomsk, 634061, Russia

References

Supplementary files