On the character of nonlinearity discontinuities in eigenvalue problems for elliptic equations

Abstract


The eigenvalue problems for equations of elliptic type with discontinuous by the phase variable nonlinearities are considered. The character of nonlinearity discontinuities is investigated. In this paper the restrictions on discontinuity points of nonlinearity are weaker than in works of other authors.

Full Text

В течение ряда лет автор изучает основные краевые задачи для уравнений эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной по фазовой переменной нелинейностью (см., например, работы [1–7]). В работах других отечественных математиков в последние годы нелинейные задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями не рассматривались. В работах зарубежных математиков последних лет (см., например, работы [8–14]) на разрывы нелинейности g(x, u) по фазовой переменной u накладывается следующее достаточно жёсткое ограничение — существует множество Ω0 ⊂ Ω меры нуль, для которого объединение {u ∈ R : g(x, ·) разрывна в точке u} x∈Ω\Ω0 имеет меру нуль (Ω — область, в которой рассматривается краевая задача). По сравнению с работами [8–14] в работах автора ослаблены ограничения на точки разрыва нелинейности g(x, u) по u, а именно на разрывы функции g(x, ·) накладывается условие g(x, u−) < g(x, u+), где g(x, u±) = lims→u±0 g(x, s). Таким образом, в работах автора не предполагается, что проекция множества точек разрыва g(x, u) по u на ось фазовой переменной u имеет меру нуль в R, что достаточно существенно. Это важно и для ряда прикладных задач. Например, в задаче об отрывных течениях несжимаемой жидкости М. А. Гольдштика [15] отрывные течения формируются на множестве ненулевой меры, когда разрывы прыгающие [16, 17] (т. е. если u — точка разрыва функции g(x, ·), то g(x, u−) < g(x, u+)). Ограничение на множество точек разрыва нелинейности можно заменить на более общее — А-условие. Определение. Для дифференциального уравнения с дифференциальным оператором L выполнено А-условие, если найдётся не более чем счётное семейство по2 верхностей {Si , i ∈ I}, Si = {(x, u) ∈ Rn+1 : u = ϕi (x), x ∈ Ω}, ϕi ∈ W1,loc (Ω), для которых при почти всех x ∈ Ω неравенство g(x, u−) > g(x, u+) влечёт существование i ∈ I такого, что u = ϕi (x) и (Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)−))(Lϕi (x) − g(x, ϕi (x)+)) > 0. Такое условие предполагалось, например, в работе [18]. Отметим, что А-условие запрещает при почти всех x выход решения u(x) краевой задачи на поверхности раз 188 О характере разрывов нелинейности в задачах . . . рывов нелинейности g(x, u) в точках так называемых падающих разрывов по фазовой переменной, т. е. точках, для которых g(x, u−) > g(x, u+). Таким образом, если для почти всех x ∈ Ω верно неравенство g(x, u−) < g(x, u+) ∀u ∈ R, т. е. все разрывы по фазовой переменной u — прыгающие, то А-условие для уравнения выполняется. Несложно привести достаточные и легко проверяемые признаки выполнимости Аусловия, выраженные в терминах коэффициентов дифференциального оператора и нелинейности, а также дать физическую трактовку этому условию.

About the authors

Dmitriy K Potapov

St. Petersburg State University

Email: potapov@apmath.spbu.ru
35, Universitetskiy prosp., St. Petersburg, 198504, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept. of Higher Mathematics

References

  1. Павленко В. Н., Потапов Д. К. О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами // Сиб. матем. журн., 2001. Т. 42, № 4. С. 911–919.
  2. Павленко В. Н., Потапов Д. К. Аппроксимация краевых задач эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Изв. вузов. Матем., 2005. № 4. С. 49–55.
  3. Потапов Д. К. Об одной оценке сверху величины бифуркационного параметра в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения, 2008. Т. 44, № 5. С. 715–716.
  4. Потапов Д. К. О структуре множества собственных значений для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями // Дифференц. уравнения, 2010. Т. 46, № 1. С. 150–152.
  5. Потапов Д. К. Оценки дифференциального оператора в задачах со спектральным параметром для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. № 5(21). С. 268–271.
  6. Потапов Д. К. Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Матем. заметки, 2011. Т. 90, № 2. С. 280–284.
  7. Потапов Д. К. О количестве решений в задачах на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2012. № 1(26). С. 251–255.
  8. Marano S. A. Elliptic eigenvalue problems with highly discontinuous nonlinearities // Proc. Amer. Math. Soc., 1997. Vol. 125, no. 10. Pp. 2953–2961.
  9. Marano S. A., Motreanu D. On a three critical points theorem for non-differentiable functions and applications to nonlinear boundary value problems // Nonlinear Anal., 2002. Vol. 48, no. 1. Pp. 37–52.
  10. Bonanno G. Some remarks on a three critical points theorem // Nonlinear Anal., 2003. Vol. 54, no. 4. Pp. 651–665.
  11. Bonanno G., Giovannelli N. An eigenvalue Dirichlet problem involving the p-Laplacian with discontinuous nonlinearities // J. Math. Anal. Appl., 2005. Vol. 308, no. 2. Pp. 596–604.
  12. Zhang G., Liu S. Three symmetric solutions for a class of elliptic involving the p-Laplacian with discontinuous nonlinearities in Rn // Nonlinear Anal., 2007. Vol. 67, no. 7. Pp. 2232–2239.
  13. Bonanno G., Candito P. Non-differentiable functionals and applications to elliptic problems with discontinuous nonlinearities // J. Differential Eq., 2008. Vol. 244, no. 12. Pp. 3031–3059.
  14. Bonanno G., Chinni A. Discontinuous elliptic problems involving the p(x)-Laplacian // Math. Nachr., 2011. Vol. 284, no. 5–6. Pp. 639–652.
  15. Гольдштик М. А. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР, 1962. Т. 147, № 6. С. 1310–1313.
  16. Потапов Д. К. Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости // Изв. РАЕН. Сер. МММИУ, 2004. Т. 8, № 3–4. С. 163–170.
  17. Потапов Д. К. Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика // Матем. Заметки, 2010. Т. 87, № 2. С. 262–266.
  18. Потапов Д. К. Аппроксимация задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью // Дифференц. уравнения, 2007. Т. 43, № 7. С. 1002–1003.

Statistics

Views

Abstract - 26

PDF (Russian) - 10

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies