The solution of uncoupled thermoelastic problem with first kind boundary conditions

Abstract


In this paper the method of calculation of the stress strain state of a homogeneous isotropic body of arbitrary shape with a piecewise smooth surface is offered. The behavior of the body is described by an uncoupled quasistatic thermoelastic problem, boundary conditions of the first kind are considered. The offered method allows to find the analytical solution of a considered problem of thermoelasticity and to define components of a displacement vector and temperature as functions of body point’s coordinates and time. In order to obtain the solution the considered problem decomposed to an initial boundary value problem of heat conductivity and a boundary value problem of the linear theory of elasticity. The solution of a heat conductivity problem is built by support functions method. The non-uniform problem of the linear theory of elasticity is reduced to the homogeneous problem by means of Kelvin–Somigliana’s tensor; its solution is obtained by means of the theory of potential and Fourier’s transformation.

Full Text

Теория термоупругости связана с решением множества прикладных задач, возникающих при исследовании элементов конструкций, работающих в условиях неравномерного нестационарного нагрева, при котором изменяются физико-механические свойства материалов и возникают градиенты температуры, сопровождающиеся неодинаковым тепловым расширением частей элементов конструкций. Неравномерное тепловое расширение в общем случае вызывает температурные напряжения. Знание величины и характера действия температурных напряжений, в свою очередь, необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции, так как температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних нагрузок могут вызвать разрушение конструкции. Целью данной работы является разработка метода решения несвязных краевых задач термоупругости в случае, когда материал тела является однородным, изотропным, обладающим линейными свойствами, а само тело — имеющим произвольную форму, конечные размеры и ограниченным кусочно-гладкой поверхностью. Поведение такого тела описывается несвязной квазистатической задачей термоупругости (в качестве краевых условий выберем условия первого рода): σij,j (¯, t) + Fi (¯, t) = 0, r r 1 r r εij (¯, t) = ui,j (¯, t) + uj ,i (¯, t) , r 2 σij (¯, t) = Eijpq εpq (¯, t) − cij Θ(¯, t), r r r (1) (2) (3) 191 М а к а р о в а И. С. 1 1 ∂ Θ(¯, t) = − Q(¯, t), r r χ ∂t χ = uS (¯, t), Θ(¯, 0) = Θ0 (¯), Θ(¯, t) r r r i r (4) ∆− ui (¯, t) r r∈S ¯ r ∈S ¯ = ΘS (¯, t). r Здесь σij (¯, t), εij (¯, t) — компоненты тензоров напряжения и деформации; Fi (¯, t) — r r r составляющие массовой силы; ui (¯, t) — компоненты вектора перемещения; uS (¯, t) — r i r его значения на поверхности тела S; Eijpq — компоненты тензора упругих постоян3 ных; cij — компоненты тензора термоупругих констант; ∆ = k=1 ∂ 2 /∂x2 — операk тор Лапласа; r = r (x1 , x2 , x3 ); Θ = T − T0 — малое приращение температуры (T0 ¯ ¯ и T — начальная и текущая температура тела); χ = K/δ — коэффициент температуропроводности, K — коэффициент теплопроводности, δ — удельная теплоемкость единицы объёма тела; Q(¯, t) = q(¯, t)/δ, q(¯, t) — количество тепла, производимое в r r r единице объёма за единицу времени; V — объём рассматриваемого тела; S — поверхность тела. Соотношение (1) является уравнением равновесия тела под действием массовых сил, соотношение (2) представляет собой формулы Коши, соотношение (3) — закон Дюамеля—Неймана, (4) — уравнение теплопроводности [1]. Рассматриваемая краевая задача несвязной термоупругости распадается на краевую задачу теплопроводности 1 1 ∂ r Θ(¯, t) = − Q(¯, t), r χ ∂t χ Θ(¯, 0) = Θ0 (¯), Θ(¯, t) r∈S = ΘS (¯, t), r r r r ¯ ∆− решение которой рассмотрено в работе [2], и краевую задачу линейной теории упругости σij, j (¯, t) + Fi (¯, t) = 0, r r 1 εij (¯, t) = ui,j (¯, t) + uj ,i (¯, t) , r r r 2 (5) σij (¯, t) = Eijpq εpq (¯, t) − cij Θ(¯, t), r r r ui (¯, t) r r∈S ¯ = uS (¯, t). i r Запишем краевую задачу (5)) в перемещениях: Lip up (¯, t) = −Φi (¯, t), r r ui (¯, t) r r ∈S ¯ = uS (¯, t). i r (6) Здесь Lip = 1 ∂2 (Eijpq + Eijqp ) 2 ∂xj ∂xq — компоненты оператора Ламе, Φi (¯, t) = cij Θ,j (¯, t) + Fi (¯, t) r r r (7) — компоненты вектора обобщенных массовых сил. Сведём решение неоднородной краевой задачи (6) к решению задачи однородной. Для этого решение задачи (6) представим в виде суммы двух составляющих: ui (¯, t) = ui (¯, t) + ui (¯, t). r r r Первую составляющую запишем в виде объёмного потенциала ui (¯, t) = − r 192 ¯ ¯ Kip (¯, ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ¯ R3 (8) Решение несвязной задачи термоупругости . . . ¯ Здесь вектор обобщённых массовых сил Φp (ξ, t) предполагается равным нулю вне ¯ — компоненты тензора Кельвина—Сомильяны. объёма тела V , Kip (¯, ξ) r Действуя на обе части соотношения (8) оператором Ламе, получим (9) Lqi ui (¯, t) = −Φq (¯, t). r r Учитывая (9), из соотношений (6) находим Lip up (¯, t) = 0, r ui (¯, t) r r ∈S ¯ = uS (¯, t) − ui (¯, t) r i r r∈S ¯ (10) . Будем искать решение краевой задачи (10) в виде ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ¯ ui (¯, t) = − r (11) V ¯ Здесь Φp (ξ, t) — компоненты вектора массовых сил, распределенных по объёму V = = R3 − V . ¯ Подберём функцию Φp (ξ, t) таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия краевой задачи (10). Пусть в уравнении (11) r ∈ S: ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯S − ξ)Φp (ξ, t)dξ. r ui (¯S , t) = − r (12) V Последнее соотношение можно записать в матрично-векторной форме: ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ. r u (¯S , t) = − r V С учётом граничных условий краевой задачи (10) последнее соотношение запишем в виде ¯ ¯ ¯ uS (¯S , t) − u (¯S , t) = − r r K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ. r (13) V ¯ r Умножим обе части равенства (13) скалярно на величину nl (¯)e−ik·¯ и проинr тегрируем по поверхности тела S (здесь nl (¯) является l-той компонентой вектора r нормали к поверхности тела): ¯ r uS (¯S , t) − u (¯S , t) nl (¯)e−ik·¯dS(¯) = r r r r S ¯ r ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ nl (¯)e−ik·¯dS(¯). (14) r r r =− S V Введём обозначение для левой части соотношения (14): ¯ ¯ u∗ (k, t) = l r uS (¯S , t) − u (¯S , t) nl (¯)e−ik·¯dS(¯). r r r r S Тогда (14) можно записать в виде ¯r ¯ ¯ ¯ K(¯S − ξ) · Φ (ξ, t)dξ nl (¯)e−ik·¯dS(¯). r r r ¯ u∗ (k, t) = − l S (15) V Перейдём в правой части равенства (15) от интеграла по поверхности к интегралу по объёму, используя теорему Гаусса—Остроградского: ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l ¯ ¯ r K(¯ − ξ) · Φ (ξ, t)dξ d¯, r ¯ r divl e−ik·¯ · V V 193 М а к а р о в а И. С. и запишем полученное соотношение в компонентной форме: ¯ u∗ (k, t) = − l V ∂ ¯r e−ik·¯ · ∂xl ¯ ¯ r Klj (¯ − ξ)Φj (ξ, t)dξ d¯. r ¯ (16) V Выполнив в правой части (16) дифференцирование, получим соотношение ¯r ¯ ¯r Klj, l (¯ − ξ) − ikl Klj (¯ − ξ) e−ik·¯Φj (ξ, t)dξd¯. r ¯ r ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l V V ¯ Произведя в правой части замену переменных w = r − ξ, r = w + ξ и применив ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ теорему о свёртке по конечной области, получим ¯ ¯ u∗ (k, t) = − l ¯ r ¯ ¯ Φj (ξ, t)e−ik·¯dξ. r [Klj,l (w) − ikl Klj (w)] e−ik·¯dw · ¯ ¯ ¯ W (17) V Введём обозначения: ¯ ∗ ¯ Klj (k) = ¯ Klj (w) · e−ik·w dw, ¯ ¯ W ¯ Φj∗ (k, t) = ∂Klj (w) −ik·w ¯ ¯ ¯ ·e dw, ¯ ∂wl W ¯ ¯ ¯ ¯ Φj (ξ, t) · e−ik·ξ dξ. ∗ ¯ Klj,l (k) = W Здесь объём W определяется объёмами V , V и равенством w = r − ξ. ¯ ¯ ¯ Уравнение (17) с учётом введённых обозначений можно представить в виде ∗ ¯ ∗ ¯ ¯ ¯ u∗ (k, t) = − Klj,l (k) − ikl Klj (k) · Φj∗ (k, t). l (18) Соотношения (18) представляют собой систему трёх линейных уравнений, из которых определяются неизвестные компоненты Фурье-образа обобщённых массовых ¯ сил Φj∗ (k, t). Решение системы запишем в виде ¯ ¯ ¯ Φj∗ (k, t) = Rjl (k)u∗ (k, t). l (19) ∗ ¯ ∗ ¯ ¯ Здесь Rjl (k) — матрица, обратная матрице ikl Klj (k) − Klj, l (k) , то есть удовлетворяющая уравнению ∗ ¯ ∗ ¯ Rjl · ikl Klm (k) − Klm,l (k) = δjm . Применяя к соотношению (19) обратное преобразование Фурье, получим выражение для компонент вектора массовых сил: 1 ¯r ¯ ¯ ¯ Rjl (k)u∗ (k, t)eik·¯dk. l (2π)3 R3 Подставляя полученное выражение в уравнение (12), находим Φj (¯, t) = r 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Rpl (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ. r ¯ l 3 (2π) V R3 Окончательно соотношение для нахождения решения краевой задачи (6) при заданных начальных и граничных условиях записывается так: ui (¯, t) = − r ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Φp (ξ, t)dξ − r ¯ ui (¯, t) = − r R3 1 (2π)3 ¯ ¯ V R3 ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯ − ξ)Rpl (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ, r ¯ l или, учитывая выражение для обобщённых массовых сил (7), так: 194 Решение несвязной задачи термоупругости . . . ¯ ¯ ¯ Kip (¯, ξ) cpj Θ,j (ξ, t) + Fp (ξ, t) dξ− r ¯ ui (¯, t) = − r R3 − 1 (2π)3 ¯ ¯ V R3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Kip (¯S − ξ)Rpq (k)u∗ (k, t)eik·ξ dkdξ. r q Таким образом, получено решение несвязной задачи термоупругости с граничными условиями первого рода.

About the authors

Irina S Makarova

Samara State Transport University

Email: makarova_is@mail.ru
18, First Bezimyanniy per., Samara, 443066, Russia
(Ph. D. (Phys. & Math.))positionAssociate Professor , Dept. of Computer Science

References

  1. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости / ред. В. Д. Купрадзе. М.: Наука, 1976. 662 с.
  2. Глущенков В. С., Ермоленко Г. Ю., Макарова И. С. Построение решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом опорных функций // Вестник транспорта Поволжья, 2012. № 1(31). С. 95–99.

Statistics

Views

Abstract - 19

PDF (Russian) - 3

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2012 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies