Error estimation of method of integral characteristics measurement using spatial and time division of harmonic signals instant values

Full Text

Определение параметров периодических процессов находит широкое применение при контроле и испытаниях электромеханических систем, электротехнического оборудования, в системах автоматизированного управления. В большинстве случаев периодические процессы различной физической природы преобразуются в электрические сигналы, удобные для измерения и обработки. Особенно следует отметить гармонические сигналы, которые широко используются в измерительной технике для анализа и синтеза измерительных сигналов. В настоящее время успешно развивается направление, связанное с разработкой методов и средств измерения интегральных характеристик по отдельным мгновенным значениям входных гармонических сигналов и дополнительных сигналов, сдвинутых относительно входных по фазе [1]. В [2] предложен метод определения интегральных характеристик гармонических сигналов (ИХГС), использующий как пространственное, так и временное разделение мгновенных значений сигналов, и отличающийся от известных использованием характерных точек (переход сигнала через ноль). В соответствии с данным методом в момент перехода входного сигнала напряжения через ноль одновременно измеряют первое мгновенное значение дополнительного напряжения, сдвинутого по фазе относительно входного на угол ∆α, и первые мгновенные значения входного сигнала тока и сдвинутого относительно него по фазе на угол ∆α дополнительного сигнала тока; через интервал времени ∆t одновременно измеряют вторые мгновенные значения входного и дополнительного сигналов напряжения и определяют ИХГС по измеренным значениям. Временные диаграммы, поясняющие метод, представлены на рисунке. 199 М е л е н т ь е в В. С., И в а н о в Ю. М., С и н и ц ы н А.Е. Если сигналы напряжения и тока в исследуемой цепи имеют гармонические модели, то входные и дополнительные сигналы напряжения и тока имеют такой вид: u(t) = Um sin ωt; i(t) = Im sin(ωt + ϕ); u (t) = Um sin(ωt + ∆α); i (t) = Im sin(ωt + ϕ + ∆α), где Um , Im — амплитудные значения сигналов напряжения и тока; ω — угловая частота входного сигнала; ϕ — угол сдвига фаз между входными сигналами напряжения и тока. Согласно предлагаемому методу, мгновенные значения сигналов напряжения и тока следующие: Временные диаграммы, поясняющие метод U21 = Um sin ∆α; U12 = Um sin ω∆t; U22 = Um sin(∆α + ω∆t); I11 = Im sin ϕ; I21 = Im sin(ϕ + ∆α). (1) В соответствии с (1) ИХГС задаются следующими выражениями: – среднеквадратическими значениями (СКЗ) напряжения и тока: UСК3 = |U12 | 2 1 −   I21 − 1  2 IСК3 =  I11 + 2  1− ; 2 2 U 2 −U21 +U 2 I11 222U22 U12 12 2 2 2 U22 −U21 +U12 2U22 U12 2 – активной (АМ) и реактивной (РМ) мощностями: I21 − I11 P = 2 1− 2 2 2 U22 −U21 +U12 2U22 U12 2 2 2 U22 −U21 +U12 2U22 U12  Q = |U12 | I11 2 1− 2 1− −1/2 2 2 2 2 U21 − U12 + U22 2U22 U21 1/2    (2) ; (3) |U12 | ; 2 2 2 U21 −U12 +U22 2U22 U21 2 2 2 U21 − U12 + U22 2U22 U21 2 −1  (4) 2 . (5) Рассматриваемый метод предназначен для определения интегральных характеристик сигналов с гармоническими моделями. При наличии в сигналах высших гармоник неизбежно возникает погрешность. Проведём оценку методической погрешности, обусловленной отклонением реального сигнала от гармонической модели. Для этого используем предложенную в [1] методику оценки погрешности результата измерения интегральной характеристики как функции, аргументы которой заданы приближенно с погрешностью, соответствующей отклонению модели от реального сигнала. Как известно, погрешность вычисления значения какой-либо функции, аргументы которой заданы приближенно, может быть оценена с помощью дифференциала этой функции. Погрешность 200 Оценка погрешности метода измерения интегральных характеристик . . . функции есть не что иное, как возможное приращение функции, которое она получит, если её аргументам дать приращения, равные их погрешностям. Пусть предельные абсолютные погрешности аргументов соответствуют наибольшему отклонению моделей от реальных сигналов. В этом случае предельные значения абсолютных погрешностей определения интегральных характеристик сигналов в соответствии с (2)–(5) определяются так: ∆IСКЗ = (IСКЗ )I11 + (IСКЗ )I21 ∆Imax + + ∆= (6) (UСКЗ )U21 + (UСКЗ )U12 + (UСКЗ )U22 ∆Umax ; ∆UСКЗ = (IСКЗ )U21 + (IСКЗ )U12 + (IСКЗ )U22 ∆Umax ; (7) (P )I11 + (P )I21 ∆Imax + ∆Q = (Q)I11 ∆Imax + (P )U21 + (P )U12 + (P )U22 ∆Umax ; (8) (9) (Q)U21 + (Q)U12 + (Q)U22 ∆Umax , где ∆Umax , ∆Imax — предельные абсолютные погрешности аргументов, соответствующие наибольшим отклонениям моделей от реальных сигналов. ∞ ∞ В общем случае ∆Umax = U1m k=2 huk и ∆Imax = I1m k=2 hik , где huk и hik — коэффициенты k-тых гармоник напряжения и тока; U1m и I1m — амплитуды первых гармоник сигналов. Используя выражения (2)–(5) и предельные значения абсолютных погрешностей (6)–(9), можно определить относительные погрешности определения СКЗ напряжения и тока и приведенные погрешности определения АМ и РМ: δUСКЗ = δIСКЗ = ∞ k=2 huk |cos(∆α + ω∆t)| (|cos ω∆t| + |cos ∆α|) + |cos ω∆t cos ∆α| ∞ k=2 1+ ∞ k=2 h2 |sin ω∆t sin ∆α sin (∆α + ω∆t)| uk hik | cos ϕ| + | cos(ϕ + ∆α)| ∞ k=2 1+ + h2 | sin ∆α| ik (10) + ∞ k=2 huk | cos ϕ cos(ϕ + ∆α)| ∞ 2 k=2 huk |sin ω∆t sin ∆α sin(∆α 1+ ; + ω∆t)| × × 1 + | cos(∆α + ω∆t)| + |cos ω∆t| ; (11) ∞ 1 γP = 1+ + ∞ 2 k=2 huk ∞ k=2 huk 1+ ∞ k=2 | sin ω∆t sin(∆α + ω∆t)| h2 | sin ∆α| ik hik (| cos ∆α| + 1) + k=2 | cos ω∆t cos ϕ cos(∆α + ω∆t) + cos(∆α + ϕ)|+ + | cos ϕ cos ∆α + cos(∆α + ϕ)| | cos(∆α + ω∆t)| + | cos ω∆t| γQ = ∞ 1 1+ ∞ k=2 h2 uk 1+ ∞ k=2 h2 ik hik + k=2 ; (12) ∞ k=2 huk | sin ϕ| × | sin ∆α sin ω∆t sin(∆α + ω∆t)| × | cos(∆α + ω∆t) cos ∆α| + | cos ω∆t| | cos ∆α| + | cos(∆α + ω∆t)| . (13) 201 М е л е н т ь е в В. С., И в а н о в Ю. М., С и н и ц ы н А.Е. Анализ выражений (10)–(13) показывает, что относительные погрешности определения СКЗ напряжения и тока и приведенные погрешности определения АМ и РМ зависят от гармонического состава сигналов, угла сдвига фаз между входными и дополнительными сигналами ∆α и интервала времени ∆t. Кроме того, погрешности δIСКЗ , γP и γQ зависят от угла сдвига фаз между напряжением и током ϕ. Полученные результаты позволяют выбирать области использования метода в зависимости от спектра сигналов и требований по точности измерения, а также подбирать оптимальные параметры измерительного процесса для обеспечения наименьшей погрешности. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11-08-00039-а).

About the authors

Vladimir S Melentiev

Samara State Technical University

Email: vs_mel@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Head of Dept., Dept. of Information and Measuring Technics 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Yuriy M Ivanov

Samara State Technical University

Email: ims@samgtu.ru
(Ph. D. (Techn.)), Associate Researcher, Dept. of Information and Measuring Technics 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Anton E Sinitsyn

Samara State Technical University

Email: AntonSinitsyn@yandex.ru
Postgraduate Student, Dept. of Information and Measuring Technics 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files