Field-theoretic approach for characterization the deformation of multicomponent polycrystalline materials

Abstract


Most of inorganic structural materials (metallic alloys, ceramics, minerals etc.) are polycrystalline aggregates, consisted of macroscopically large quantity of single-crystal grains (crystallites). The mechanical behavior of the specimen of polycrystalline material is governed by the physical and mechanical processes in the grains and interaction of the grains. Thus the deformation of polycrystalline material is a cooperative phenomenon typical for condensed matter physics and mechanics of heterogeneous materials. The passing of these processes depends on many parameters, including stress states of individual grains and its evolution during macrodeformation. In this paper we note a mathematical analogy between the equations of the mechanics of heterogeneous polycrystalline materials and the equations of quantum theory of particles scattering. This analogy allows to apply the methods of quantum field theory to solution of the equations of solid mechanics for heterogeneous media. We consider the application of Corringa-Kohn-Rostoker method, used in quantum theory for calculating wave function of electrons in metallic alloys, to elasticity of polycrystals. This approach allows, for instance, to calculate probability distribution density function for stresses in grains under arbitrary macrodeformation of polycrystal. Application of the method to classical problem of homogenization gives new formulae for the effective moduli of disordered polycrystalline medium.

Full Text

Введение. Поликристаллические материалы представляют собой систему многих взаимодействующих кристаллитов. Макроскопическое поведение такой системы в конечном счёте определяется свойствами составных элементовкристаллитов, протекающими в них процессами и взаимодействием индивидуальных кристаллитов. Это типичная задача многих тел механики и физики конденсированного состояния, не имеющая точных решений. При рассмотрении деформирования и разрушения поликристаллов на мезоуровне можно считать свойства отдельных кристаллитов известными, описываемыми различными феноменологическими соотношениями (закон Гука, закон Шмида для пластического скольжения, феноменологические критерии разрушения и т.д.) с известными материальными константами. Многокомпонентные поликристаллические материалы, будучи одними из самых распространённых конструкционных материалов, представляют значительные трудности для описания их поведения при деформировании на мезоуровне методами механики деформируемого твёрдого тела. Причина тому — сложная гетерогенная структура поликристаллов. Даже простейшие краевые задачи линейной теории упругости для таких тел требуют точного задания геометрии всех межфазных границ кристаллитов, отделяющих области с разными упругими модулями, что само по себе является непосильной задачей 86 Теоретико-полевой подход к описанию деформирования . . . при макроскопически большом числе кристаллитов. Стохастическая структура этих границ и случайность ориентации кристаллографических осей кристаллитов диктуют применение статистических методов. В современной механике гетерогенных сред для описания стохастических полей деформаций и напряжений традиционным является метод статистических моментов. Согласно этому методу производится осреднение полей по представительному объёму среды. Для поликристаллов использование концепции представительного объёма обычно всегда применимо в силу малых размеров отдельных кристаллитов. Практические возможности метода ограничены вычислением первых статистических моментов случайных полей — обычно средних значений и дисперсий, в редких случаях — моментов более высокого порядка. Но и при вычислении первых моментов требуется принятие различных упрощающих модельных представлений. Механика деформирования поликристаллических материалов имеет давнюю историю. Первыми работами, в которых была принята во внимание гетерогенная структура поликристаллов и которые не утратили значения для современной науки, можно считать работы Фойгта по упругости поликристаллов [1] и работы Тейлора по пластичности поликристаллов [2]. В них принималось, что деформации во всех зернах поликристалла одинаковы и равны макродеформации представительного объёма, а различие напряжений в разных зернах связано только с различием модулей упругости. Это делало операции осреднения полей напряжений тривиальными. Качественно новым шагом в моделировании поликристаллов явилась работа И. М. Лифшица 1946 года [3]. В ней впервые было учтено различие деформаций в кристаллитах и вычислены эффективные модули упругости поликристалла по известным упругим модулям соответствующих анизотропных монокристаллов во втором порядке по степени анизотропии кристаллитов. Впоследствии это приближение получило название корреляционного приближения. В дальнейшем были разработаны методы осреднения полей напряжений и деформаций с учетом поправок высшего порядка по степени анизотропии — сингулярное приближение, самосогласованное приближение и некоторые другие, обзор которых дан, например, в [4]. Однако все эти работы были посвящены практически одной цели — вычислению эффективных характеристик материала в целом. Во временных рамках параллельно упомянутым работам в области механики деформируемого твердого тела развивались методы решения задач статистической физики систем многих взаимодействующих частиц — твердых тел, жидкостей, неидеальных газов [5]. В частности, во многих случаях оказалась плодотворной гипотеза представления макроскопической системы сильно взаимодействующих частиц как совокупности слабо взаимодействующих квазичастиц (или элементарных возбуждений), но имеющих перенормированную (эффективную) массу, отличную от массы реальных частиц. Были развиты методы вычисления как макроскопических средних различных физических величин (энергии, теплоемкости и т. д.), так и параметров описания поведения отдельных квазичастиц (энергетического спектра, эффективной массы и др.) и их взаимодействия — относительно слабого в сравнении со взаимодействием реальных атомов и молекул. Значительный прогресс в ста87 А. А. Т а ш к и н о в, В. Е. Ш а в ш у к о в тистической физике был достигнут после установления глубокой аналогии между квантовой теорией поля и статистической физикой. Применение методов, разработанных в теории поля, позволило решить многие задачи физики конденсированного состояния, ранее не разрешимые традиционными методами [6]. Математический аппарат квантовой теории поля имеет несколько различных формулировок. Как будет видно из дальнейшего рассмотрения, к механике гетерогенных материалов математически наиболее близка квантовая теория рассеяния частиц, в частности задача о рассеянии электронов проводимости в бинарном металлическом сплаве на атомах примесей. Состояние электронов проводимости в квантовой механике описывается волновой функцией ψ(r). Уравнения задачи формулируются для волновой функции ψ(r) электрона в форме интегрального уравнения Шрёдингера. За нулевое приближение принимается волновая функция ψ0 (r) электронов в совершенном кристалле одного из компонентов сплава в отсутствие атомов примесей других компонентов. Наличие атомов других компонентов сплава рассматривается как возмущение с известным потенциалом. Уравнение для волновой функции этой задачи имеет вид (оно называется также уравнением Корринги—Кона—Ростокера) [7, 8]: N dr1 G(r − r1 ) ψ(r) = ψ0 (r) + V wi (r1 ) ψ(r1 ), (1) i=1 где wi (r) — потенциал взаимодействия электрона с i-тым атомом примеси, быстро убывающая с расстоянием функция, суммирование производится по всем атомам примесей, а G(r) — функция Грина уравнения Шрёдингера в отсутствие примесей. В математическом отношении структуры основных уравнений статистической физики и механики гетерогенных сред во многом аналогичны. В обоих случаях осуществляется переход от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям и решение последних методами теории возмущений (разложения по малому параметру, последовательных приближений). В настоящей работе предпринята попытка применить методы теории поля для описания состояния каждого отдельного кристаллита, а макродеформирование многокомпонентной поликристаллической среды рассмотреть как суммарный эффект коллективного поведения системы взаимодействующих кристаллитов. 1. Теоретико-полевой формализм в теории упругости поликристаллической среды. С точки зрения механики деформируемого твердого тела поликристаллический агрегат представляет собой многосвязную область объёмом Ω с внешней поверхностью Γ, состоящую из подобластей (кристаллитов) с объёмами ωξ и границами Γξ , Ω = N ωξ , индекс ξ нумерует кристаллиξ=1 ты, N — полное число кристаллитов в теле, по границам Γξ обеспечивается прочное сцепление кристаллитов. В пределах каждого кристаллита материал однороден, упругие свойства кристаллита описываются постоянным тензором 0(ξ) Cijmn в кристаллографической системе координат (с осями, параллельными осям упругой симметрии кристаллита). Если номера ξ относятся к кристалли0(ξ) там одного физического типа, то соответствующие модули Cijmn совпадают, 88 Теоретико-полевой подход к описанию деформирования . . . иначе — различаются. В глобальной (лабораторной) системе координат тензор модулей упругости отдельного кристаллита запишется в виде (ξ) (ξ) (ξ) (ξ) (ξ) 0(ξ) Cijmn (r) = αip (r)αjq (r)αmr (r)(ξ) αns (r)Cpqrs , ns (ξ) где αip (r) — направляющие косинусы осей лабораторной системы координат относительно кристаллографической системы координат ξ-того кристаллита. Тензор модулей упругости поликристаллической среды имеет вид N (ξ) Cijmn (r) = λξ (r)Cijmn (r), (2) ξ=1 где λξ (r) — индикаторная функция ξ-того кристаллита: λξ (r) = 1, 0, если r ∈ ωξ (т.е. принадлежит ξ-му кристаллиту); в других случаях. Тензор Cijmn (r) постоянен в каждой области ωξ и скачкообразно изменяется при переходе через границу Γξ вследствие смены типа кристаллита и изменения ориентации в пространстве кристаллической решётки кристаллита. Краевая задача теории упругости гетерогенного тела состоит из уравнений равновесия, определяющих соотношений и граничных условий. С помощью введения функции Грина (тензора Кельвина—Сомильяны) эта дифференциальная форма краевой задачи приводится к эквивалентному интегральному уравнению для тензора деформаций: εij (r) = ε∗ + ij dr1 gijkl (r − r1 )Cklmn (r1 )εmn (r1 ), (3) V где gijkl = (Gik,jl + Gjk,il )/2 — симметризованный тензор Грина, а Gik,jl — вторая производная тензора Грина (Кельвина—Сомильяны) краевой задачи теории упругости однородной среды с осреднённым тензором модулей упругости, Cklmn (r) ≡ Cklmn (r) − Cklmn — флуктуации тензора модулей упругости относительно осреднённого тензора Cijkl = 1 V Cijkl (r)dr = 3 K Vijkl + 2 µ Dijkl V (Vijkl и Dijkl — шаровая и девиаторная части единичного симметричного тензора 4-го ранга), ε∗ — макроскопическая однородная деформация тела. Тенij зор gijkl имеет вид gijkl (r) = − Fijkl (θ, ϕ) 1 2 (1 − χ)Vijkl + 1 − χ Dijkl δ(r) + , 3µ 5 r3 (4) где δ(r) — дельта-функция Дирака, χ = (3 K + µ )/(3 K +4 µ ), Fijkl (θ, ϕ) — функция только полярного θ и азимутального ϕ углов радиус-вектора r, явное выражение для которой приведено в [4]. 89 А. А. Т а ш к и н о в, В. Е. Ш а в ш у к о в Подставив (2) в (3), получим уравнение для деформаций неоднородной среды в виде N εij (r) = ε∗ + ij (ξ) dr1 gijkl (r − r1 ) V λξ (r1 ) Cklmn (r1 ) − Cklmn εmn (r1 ). (5) ξ=1 Математически уравнение (5) в точности аналогично уравнению (1) для волновой функции электронов проводимости в сплаве. В электронной теории твёрдых тел (в частности сплавов) очень хорошие результаты (по точности описания квантовых процессов) дает приближение сильной связи. Согласно этому приближению, области ненулевых значений волновых функций электронов сосредоточены в малых окрестностях узлов кристаллической решётки. Тогда в левой части уравнения (1) можно оставить значение волновой функции в каком-либо узле, а правая часть получится в виде суммы членов с волновыми функциями во всех остальных узлах. Каждый член этой суммы описывает взаимодействие (рассеяние) с полем соответствующего атома в узле. При сильном убывании взаимодействия с расстоянием между атомами основной вклад даёт член с тем же атомом, что и в левой части уравнения. Если пренебречь остальными членами, то получается так называемое одноузельное приближение в физике твёрдого тела, одно из простейших приближений. Следующие по величине вклады дают члены с соседними атомами — приближение ближайших соседей, и т.д. Обратимся к поликристаллическому упругому телу. Аналогично представлению модулей упругости всего тела в виде суммы модулей кристаллитов (2) можно разложить тензоры деформаций и напряжений N N (ξ) λξ (r)εij (r), εij (r) = (ξ) σij (r) = ξ=1 λξ (r)σij (r). (6) ξ=1 Учитывая, что объём тела равен сумме объёмов всех кристаллитов Ω = = N ωξ , подставляя (6) в (5) и умножая обе части на λξ (r), получим ξ=1 (ξ) εij (r)λξ (r) = ε∗ λξ (r)+ ij (ξ) + λξ (r) ωξ (η) + λξ (r) η=ξ ε(ξ) (r1 )+ mn dr1 gijkl (r − r1 ) λξ (r1 ) Cklmn (r1 ) − Cklmn ωη dr1 gijkl (r − r1 ) λη (r1 ) Cklmn (r1 ) − Cklmn ε(η) (r1 ). (7) mn (ξ) Для каждого εij (r) радиус-вектор r изменяется только в пределах ξ-того кристаллита. Отметим это обстоятельство дополнительным индексом ξ у r: rξ . Тогда уравнение (7) перепишется (принимая во внимание, что λξ (rξ ) = 1) так: (ξ) εij (rξ ) = ε∗ + ij 90 (ξ) ωξ drξ gijkl (rξ − r ξ ) Cklmn r ξ − Cklmn ε(ξ) r ξ + mn Теоретико-полевой подход к описанию деформирования . . . dr η gijkl rξ − rη + η=ξ ωη (η) Cklmn r η − Cklmn ε(η) r η . (8) mn Уравнение (8) гласит, что деформация в точке r внутри ξ-того кристаллита определяется «взаимодействием» с деформациями в других точках данного кристаллита (второй член в правой части уравнения) и с деформациями в других кристаллитах (третий член в правой части). Это означает, что в отношении упругих свойств поликристаллический агрегат аналогичен системе многих взаимодействующих частиц, к которому можно приложить простые физические соображения о взаимодействии кристаллитов. Интегральное ядро в уравнении (8) согласно теоретико-полевой терминологии можно назвать пропагатором деформаций. С математической точки зрения (8) есть систе(ξ) ма 6N интегральных уравнений для 6N неизвестных функций εij (rξ ). Для решения подобных уравнений в статистической физике твёрдых тел разработано несколько хорошо зарекомендовавших себя методов. 2. Однокристаллитное приближение. Точное решение системы уравнений (8) является нереальной задачей. Для поликристаллов можно применить приём, аналогичный одноузельному приближению в теории рассеяния электронов на атомах примесей в кристаллической решётке металлического сплава, когда учитывается многократное рассеяние на одном узле и пренебрегается рассеянием на всех остальных. Для всех точек r внутри ξ-того кристаллита пренебрежём всеми членами под знаком суммы в (8), что соответствует пренебрежению взаимодействием с соседними и более далекими кристаллитами. Этому есть и формально математические предпосылки, т. к. функция gijkl (r) быстро убывает с расстоянием пропорционально 1/r3 . Система (8) расщепляется на N независимых подсистем из шести интегральных уравнений для компонентов тензора деформаций в каждом кристаллите (ξ) εij (rξ ) = ε∗ + ij (ξ) ωξ drξ gijkl (rξ − rξ ) Cklmn (rξ ) − Cklmn ε(ξ) (rξ ). mn (9) (ξ) В пределах каждого кристаллита тензор Cklmn (rξ ) постоянен. При переходе к другому кристаллиту тензор скачкообразно изменяется вследствие поворота кристаллографических осей кристаллита и смены физического типа кристаллита — в случае многофазных поликристаллов. Интегральные уравнения (9) трудно решать из-за наличия в функции Грина слагаемого Fijkl (θ, ϕ)/r3 . Примем дополнительное упрощающее предположение — пренебрежем неоднородностью деформаций внутри отдельного (ξ) кристаллита, т. е. примем, что тензор εij (rξ ) постоянен в области rξ ⊂ ωξ . (ξ) Тогда εij (rξ ) выносится из-под знака интеграла и система уравнений (9) принимает вид (ξ) εij = ε∗ + ij drξ − ωξ 2 1 (1 − χ)Vijkl + 1 − χ Dijkl δ rξ − r ξ + 3µ 5 + Fijkl (θ, ϕ) (ξ) Cklmn ε(ξ) . (10) mn |rξ − r ξ |3 91 А. А. Т а ш к и н о в, В. Е. Ш а в ш у к о в В интеграле, содержащем Fijkl (θ, ϕ)/|rξ − r ξ |3 , мысленно выделим малую шаровую область с центром в точке rξ и целиком находящуюся внутри ξ-того кристаллита. Легко показать, что если в этой области сначала произвести интегрирование по углам, то соответствующий интеграл обращается в нуль, устраняя сингулярность 1/r3 в точке rξ . Оставшийся интеграл по объёму кристаллита ωξ вне выделенной шаровой области можно приближённо положить равным нулю вследствие быстрого убывания функции Fijkl (θ, ϕ)/|rξ − r ξ |3 с расстоянием от точки rξ и знакопеременности Fijkl (θ, ϕ). Это созвучно известному сингулярному приближению в теории упругости неоднородных сред при вычислении эффективного модуля, заключающемуся в пренебрежении формальной составляющей функции Грина (4) после операции осреднения, но приводит, как показано ниже, к отличающимся результатам. Оставшийся интеграл в уравнении (10) тривиально вычисляется и для каждого кристаллита получается система шести линейных уравнений для (ξ) εij с постоянными коэффициентами: (ζ) εij = ε∗ + ij 2 2 1 (4χ − 1)Vijkl + 1 − χ Dijkl + 3 3 5 2 1 − 5 χ (ξ) (ζ) χ (ξ) + Vijmn Cmnkl − Cijkl εkl . (11) 5µ 3µ Отличие систем (11) для разных кристаллитов сводится к отличию в значениях направляющих косинусов осей кристаллографических систем координат кристаллитов и (для многофазных кристаллов) к смене тензора модулей 0(ξ) упругости Cpqrs . Выражение в квадратных скобках (11) есть некоторый тензор, который в данной модели определяет состояние ξ-того кристаллита, постоянен в области ξ-того кристаллита, а совокупность всех этих тензоров задаёт структуру поликристалла. Всего имеется N таких тензоров, для которых введём отдельное обозначение: (ζ) Aijkl = 2 1 − 5 χ (ξ) 1 2 2 χ (ξ) (4χ − 1)Vijkl + 1 − χ Dijkl + Vijmn Cmnkl − Cijkl . 3 3 5 5µ 3µ Тогда уравнение (11) перепишется так: (ξ) (ζ) Iijkl − Aijkl εkl = ε∗ . ij (12) Если тензор в квадратных скобках (12) обратим, то решение системы уравнений (12) можно написать в общем виде: (ζ) (ξ) εij = Iijkl − Aijkl −1 ∗ εkl . (13) Решение системы (13) нельзя получить в аналитическом виде даже для кристаллитов простейших (с высокой симметрией) сингоний. Однако линейная система всегда может быть решена численно. 92 Теоретико-полевой подход к описанию деформирования . . . От полученных таким способом массивов значений деформаций можно перейти к массивам значений напряжений в кристаллитах по формулам (ξ) (ξ) (ζ) σij = Cijkl (rξ ) εkl , ξ = 1, 2, . . . , N. (ζ) (14) (ξ) Совокупность решений для полей εij и σij полностью определяет состояние отдельных кристаллитов при заданном макроскопическом состоянии поликристалла, задаваемом макродеформацией ε∗ . Макронапряжения, соотkl ветствующие заданному полю ε∗ , вычисляются по очевидным формулам: kl σij 1 = Ω Ω (ξ) σij (r)dr 1 = Ω N (ξ) ωξ σij . (15) ξ=1 Совокупность уравнений (13)–(15) полностью описывает упругое деформирование поликристалла как агрегата взаимодействующих кристаллитов. При увеличении макродеформаций ε∗ в некоторых кристаллитах (в зависиkl мости от их типа) могут начаться процессы хрупкого повреждения, пластического или вязкоупругого течения и другие. Это может быть учтено сменой определяющих соотношений (14) для таких кристаллитов. При этом макронапряжённое состояние поликристалла по-прежнему определяется соотношением (15), но связь макронапряжений с макродеформацией становится нелинейной. В [9] продемонстрировано появление макроскопической псевдопластичности при учёте хрупкого разрушения зерен поликристалла вследствие флуктуаций напряжений с помощью более громоздкого метода. В [10] совокупность систем уравнений (11) была применена для вычисления функций распределения случайных деформаций и напряжений в упругом однофазном поликристалле. Подставив (13) в (14), получим выражение для напряжений в кристаллитах в форме (ξ) (ξ) (ξ) σij = Cijkl (rξ ) Iklmn − Aklmn −1 ∗ εmn , ξ = 1, 2, . . . , N, которая содержит характеристики только ξ-того кристаллита. Если сравнить его с напряжениями в приближении Фойгта (ξ) (ξ) σij = Cijmn (rξ )ε∗ , mn ξ = 1, 2, . . . , N, которое соответствует полному пренебрежению взаимодействием кристаллитов, то видно, что учёт взаимодействия кристаллитов сводится к перенормировке тензоров модулей упругости всех кристаллитов. Это является аналогом ситуации в физике конденсированного состояния, когда система многих взаимодействующих частиц с массами mξ может быть представлена в виде системы невзаимодействующих квазичастиц, но с перенормированными массами mξ , определяемыми по формулам вида ˜ mξ = mξ /(1 + αξ ), ˜ 93 А. А. Т а ш к и н о в, В. Е. Ш а в ш у к о в где αξ — перенормировочная поправка, аналогом которой здесь выступает (ξ) тензор Aklmn . В настоящей работе ограничимся приложением изложенного формализма к классической задаче вычисления эффективных модулей неоднородных материалов. 3. Приложение к теории эффективного модуля. Эффективный (макроско∗ пический) тензор модулей упругости Cijkl связывает осреднённые тензоры деформаций εkl и напряжений σij в поликристалле: ∗ σij = Cijkl εkl , εkl = ε∗ . kl (16) Вычисление эффективных модулей сводится к вычислению средних напряжений в теле по тем или иным моделям. Для макроскопически изотропного многофазного поликристалла, состоящего из n физически различных типов кристаллитов (ориентации осей симметрии всех кристаллитов равновероятны, а форма и размеры случайны), в случае выполнения эргодической гипотезы и возможности использования концепции представительного элемента объёма среды в рамках предлагаемого подхода средние напряжения по всему поликристаллу определяются выражением σij = 1 Ω (ξ) Ω σij (r)dr = 1 Ω N (ξ) ξ=1 ωξ σij (rξ )drξ = N1 1 = Ω N2 (1) (1) (1) ωη Cijkl (rη )εkl (rη ) (2) η=1 (2) (2) ωη Cijkl (rη )εkl (rη ) + · · · + + η=1 Nn (n) (n) (n) ωη Cijkl (rη )εkl (rη ) , (17) + η=1 где N — полное число кристаллитов в поликристаллическом теле, верхний индекс у тензоров Cijkl и εkl в последнем равенстве обозначает физический тип кристаллита; N1 , N2 , . . ., Nn — числа кристаллитов типов 1, 2, . . . n; N = = N1 + N2 + . . . + Nn . Если число кристаллитов каждого типа достаточно велико, то все суммы в правой части (17) можно представить в виде 1 Ω N1 (1) (1) (1) ωη Cijkl (rη )εkl (rη ) = η=1 = (1) (1) Ω(1) Ω Ω(1) Ω N1 (1) ωη (1) (1) C (rη )εkl (rη ) = Ω(1) ijkl η=1 N1 (1) (1) (1) (1) (1) πη Cijkl (rη )εkl (rη ) = v1 Cijkl (rη )εkl (rη ) 1 , η=1 где πη ≡ ωη /Ω(1) означает вероятность того, что кристаллит типа 1 имеет некоторую заданную ориентацию кристаллографических осей; v1 = Ω1 /Ω — 94 Теоретико-полевой подход к описанию деформирования . . . объёмная доля кристаллитов типа 1; · · · 1 означает условное среднее только по областям объёмов кристаллитов первого типа, и аналогично для остальных типов кристаллитов. При введении условных средних выражение для средних напряжений по всему объёму поликристалла (безусловных средних) перепишется так: n (η) (η) vη Cijkl (rη ) Iklmn − Aklmn σij = −1 ε∗ . η mn η=1 Из (16) следует формула для эффективного тензора модулей упругости многофазного поликристалла в рассмотренном приближении n (η) ∗ Cijmn = −1 (η) vη Cijkl (rη ) Iklmn − Aklmn η . (18) η=1 Для кристаллитов произвольной сингонии соотношения (18) можно использовать только для численной реализации. Для сравнения предлагаемого подхода с традиционными рассмотрим модельную систему — статистическую смесь n изотропных компонентов с объёмными долями v1 , v2 , . . ., vn и модулями упругости (1) Cijkl = 3K1 · Vijkl + 2µ1 · Dijkl , ..., (n) Cijkl = 3Kn · Vijkl + 2µn · Dijkl . Осреднённый тензор модулей упругости составляет величину Cijkl = 3 K · Vijkl + 2 µ · Dijkl , где K = v1 K1 +v2 K2 +. . .+vn Kn , µ = v1 µ1 +v2 µ2 +. . .+vn µn . В этом случае перенормировочный тензор упрощается, в (18) легко производится обращение тензоров, а для тензора эффективных модулей (изотропного в данном случае) получается выражение n ∗ Cijkl ∗ ∗ = 3K Vijkl + 2µ Dijkl , ∗ n ˜ vη Kη , K = η=1 ∗ µ = vη µη , ˜ (19) η=1 где ˜ Kη = 1+ Kη , (1−χ)(Kη − K ) µ µη = ˜ 1+ µη 2(1−2/5·χ)(µη − µ ) 3 µ (20) — перенормированные модули компонентов смеси. Выражения (19), (20) отражают упомянутую выше перенормировку модулей в системе взаимодействующих кристаллитов в терминах эффективных модулей. Полному пренебрежению взаимодействием кристаллитов соответствует приближение Фойгта, в котором эффективные модули равны средним модулям: ∗ KФойгт = K = v1 K1 + v2 K2 + . . . + vn Kn . (21) Учёт взаимодействия кристаллитов формально сводится к замене в (21) упругих модулей изолированных компонентов Kη и µη на перенормированные ˜ Kη и µη . ˜ 95 А. А. Т а ш к и н о в, В. Е. Ш а в ш у к о в Формулы (19), (20) отличаются от известных формул корреляционного и сингулярного приближений в теории упругости неоднородных сред [4]. Заключение. В работе отмечена глубокая математическая аналогия уравнений механики неоднородных сред и квантовой теории конденсированного состояния в теоретико-полевой формулировке. Это позволяет применить идеи и приближённые методы решения уравнений квантовой теории к решению уравнений механики. В настоящей работе для вычисления деформаций и напряжений в поликристаллических зёрнах материала использован приближённый метод, основанный на простейшем приближении квантовой теории рассеяния, применяемом в физике твёрдого тела для описания состояний электронов проводимости в металлических сплавах, — одноузельном приближении. В применении к механике поликристаллов это соответствует учёту взаимодействия деформаций в пределах одного кристаллита и пренебрежению всеми остальными. В этом приближении деформированное состояние поликристаллического тела представляется в виде суперпозиции состояний невзаимодействующих кристаллитов, но с перенормированными модулями. В данной работе возможности предлагаемого подхода проиллюстрированы на примере классической задачи вычисления эффективных модулей упругости неоднородной среды. Однако основная цель метода — прослеживание эволюции состояний индивидуальных кристаллитов и их влияния на макродеформирование поликристаллического материала. Но это не является целью данной работы и представляет собой отдельное научное исследование.

About the authors

Anatoliy A Tashkinov

Perm National Research Polytechnic University

Email: tash@pstu.ru
29, Komsomolskiy Prospekt, Perm, 614990, Russia
(Dr. Phys. & Math. Sci.), Rector; Head od Dept., Dept. of Mechanics for Composite Materials and Structures.

Vyacheslav E Shavshukov

Perm National Research Polytechnic University

Email: shavshukov@pstu.ru
29, Komsomolskiy Prospekt, Perm, 614990, Russia
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of Mechanics for Composite Materials and Structures

References

  1. W. Voight, Lehrbuch der kristallphysik (mit ausschluss der kristalloptik). Leipzig – Berlin: B. G. Teubner, 1928. 978 pp.
  2. G. I. Taylor, “Plastic Strain in Metals” // J. Inst. Met., 1938. Vol. 62. Pp. 307–324 (Reprinted in the Scientific Papers of G. I. Taylor. 1. Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1958).
  3. И. М. Лифшиц, Л. Н. Розенцвейг, “К теории упругих свойств поликристаллов” // Ж. эксп. теор. физ., 1946. Т. 16, № 11. С. 967–980.
  4. Т. Д. Шермергор, Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.
  5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. 9: Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. М.: Наука, 1978. 448 с.
  6. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматлит, 1962. 443 с.
  7. Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Solid State Physics. Fort Worth: Saunders College, 1976. 826 pp.
  8. Н. Ашкрофт, Н. Мермин, Физика твердого тела (в 2-х томах). Т. 1. М.: Мир, 1979. 399 с.; Т. 2. М.: Мир, 1979. 422 с.
  9. Л. И. Ястребов, А. А. Кацнельсон, Основы одноэлектронной теории твердых тел. М.: Наука, 1981. 320 с.
  10. L. I. Yastrebov, A. A. Katsnelson, Foundations of One Electron Theory of Solids / AIP Translation Series. Berlin: Springer, 1987. 335 pp.
  11. V. Shavshukov, A. Tashkinov, Y. Strzhemechny, D. Hui, “Modelling of pseudoplastic deformation of carbon/carbon composites with a pyrocarbon matrix” // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 2008. Vol. 16, no. 5, 055001. 18 pp.
  12. В. Е. Шавшуков, “Распределение полей напряжений в поликристаллических материалах” // Физ. мезомех., 2012. Т. 15, № 6. С. 85–91.

Statistics

Views

Abstract - 23

PDF (Russian) - 14

Cited-By


Article Metrics

Metrics Loading ...

PlumX

Dimensions

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies