Bifurcation sets of extended Higgs potential

Full Text

Введение. На современном этапе развития физики частиц предполагается, что Вселенная заполнена некоторым полем со спином 0, называемым хиггсовым полем, которое является дублетом в SU (2)-пространстве и переносит ненулевой U (1)-гиперзаряд, а также является синглетом в цветном пространстве. Калибровочные бозоны и фермионы, взаимодействуя с хиггсовским полем, оказываются частицами с ненулевыми массами. При этом важно, что состояния Вселенной с одним или несколькими хиггсовскими полями не ортогональны основному состоянию без них (т.е. вакууму), несмотря на то, что эти состояния имеют ненулевые SU (2)- и U (1)-квантовые числа [1, 2]. Таким образом, считается, что массу частицы приобретают за счёт взаимодействия с самодействующим скалярным полем, распространённым во всём пространстве. Кванты этого поля — бозоны Хиггса. Стандартная модель (СМ) физики элементарных частиц содержит всего один нейтральный скалярный бозон Хиггса. В её рамках получены массы W ± -, Z 0 -бозонов, блестяще согласующиеся с экспериментом, во многих лабораториях мира, в особенности её предсказания были проверены до долей процента в ЦЕРН на LEP со встречными электрон-позитронными пучками. И всё же СМ имеет внутренние трудности. Выделим из них следующие: 173 М. В. Д о л г о п о л о в, С. П. З а в о д о в, Е. Ю. П е т р о в а 1) СМ содержит порядка 20-ти свободных параметров (массы частиц, константы взаимодействий, параметры матрицы Кабиббо—Кобаяши— Маскава VCKM и др.); 2) в СМ последовательно объединены только электромагнитное и слабое взаимодействия (электрослабое взаимодействие); сильное взаимодействие рассматривается как независимое, а гравитационное вовсе не входит в схему СМ; 3) СМ не даёт ответа на вопросы о происхождении иерархии масс наблюдаемых элементарных частиц, о количестве поколений наблюдаемых фундаментальных фермионов, о размерности нашего пространствавремени, о механизме генерации барионной асимметрии наблюдаемой Вселенной, об отсутствии частиц-кандидатов на роль тёмной материи. На протяжении более сорока лет из частиц СМ экспериментально не был обнаружен лишь бозон Хиггса. И только в 2012 году каждый из основных детекторов Большого адронного коллайдера – ATLAS и CMS – наблюдал новую частицу с массой около 125 ÷ 126 ГэВ, по свойствам напоминающую бозон Хиггса (см., например, [3, 4]). Изучение свойств бозона Хиггса и описание бариогенезиса являютя одними из самых актуальных проблем физики частиц на сегодняшний день. В СМ существуют лишь косвенные ограничения на его массу, возникающие из условий устойчивости хиггсовского потенциала и из требования необращения константы связи в нуль и в бесконечность при энергиях ниже 1 ТэВ [5]. Для разрешения проблем СМ необходимо выйти за её рамки и рассмотреть новую физику при энергиях порядка 100 ГэВ и выше. В этом случае СМ можно рассматривать как низкоэнергетическое эффективное приближение более фундаментальной теории, характеризуемой более высоким массовоэнергетическим масштабом. Многие низкоэнергетические эффективные теории содержат элементарные скаляры, соответствующие неминимальному сектору Хиггса. Одна из наиболее привлекательных теорий — суперсимметрия. В простейших суперсимметричных теориях хиггсовский сектор двухдублетный, вследствие чего появляются три нейтральных и два заряженных бозона Хиггса. В работе исследуются условия минимума эффективного потенциала при массе лёгкого бозона Хиггса mh = 125 ГэВ. Построены контурплоты массы бозона Хиггса в пространстве параметров A, µ, mH ± . 1. Эффективный потенциал в минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ). Общая эрмитова форма перенормируемого SU (2)×U (1) инвариантного потенциала имеет вид Ueff (Φ1 , Φ2 ) = −µ2 (Φ+ Φ1 ) − µ2 (Φ+ Φ2 ) − µ2 (Φ+ Φ2 ) − µ2∗ (Φ+ Φ1 )+ 1 2 12 12 1 2 1 2 + λ1 (T )(Φ+ Φ1 )2 + λ2 (T )(Φ+ Φ2 )2 + λ3 (T )(Φ+ Φ1 )(Φ+ Φ2 )+ 1 2 1 2 1 ∗ 1 + + + + λ4 (T )(Φ1 Φ2 )(Φ2 Φ1 ) + λ5 (T )(Φ1 Φ2 )2 + λ5 (T )(Φ+ Φ1 )2 + 2 2 2 + λ6 (T )(Φ+ Φ1 )(Φ+ Φ2 ) + λ∗ (T )(Φ+ Φ1 )(Φ+ Φ1 )+ 6 1 1 1 2 + λ7 (T )(Φ+ Φ2 )(Φ+ Φ2 ) + λ∗ (T )(Φ+ Φ2 )(Φ+ Φ1 ), (1) 7 2 1 2 2 174 Бифуркационные наборы расширенного потенциала Хиггса где дублеты полей можно представить следующим образом: Φ1 = φ+ 1 φ0 1 = + −iω1 1 √ (v1 + η1 + iχ1 ) 2 , Φ2 = φ+ 2 φ0 2 = + −iω2 1 √ (v2 + η2 + iχ2 ) 2 . Вакуумные ожидания этих полей такие: 1 Φ1 = √ 2 0 v1 , 1 Φ2 = √ 2 0 v2 . 2 2 Здесь v1 + v2 = v 2 , а µ2 , λ5 , λ6 , λ7 могут быть комплексными величинами. 12 В потенциале Хиггса (1) температурная зависимость явно представлена в высокотемпературных поправках к параметрам λ1 , . . . , λ7 [6], которые определяются для эволюции эффективного потенциала граничными условиями на масштабе суперсимметрии MSU SY . Аналитические выражения для параметров µ2 , µ2 получены в работе [7]. 1 2 Согласно работе [8] в статье используется нелинейное преобразование λi = λi (α, β, mh , mH , mA , mH ± λ6 , λ7 ), i = 1, 2, . . . , 5 для масс скаляров и углов смешивания, приводящее в общем случае к базису массовых состояний (h, H, и A обозначают нейтральные скаляры, H + , H − — заряженные бозоны Хиггса, α — угол смешивания CP -чётных скаляров h и H, tg β = v2 /v1 ). Общий анализ эффективного потенциала весьма сложен. Условия возникновения физических состояний массивных частиц определяются в нетривиальном минимуме потенциала (1). Для упрощения анализа потенциала (1) перепишем его в системе вакуумных ожиданий: 1 1 1 1 2 2 4 4 Ueff (v1 , v2 ) = − µ2 v1 − µ2 v2 − Re µ2 v1 v2 + λ1 v1 + λ2 v2 + 1 2 12 2 2 4 4 1 1 1 2 2 3 3 + λ345 v1 v2 + Re λ6 v1 v2 + Re λ7 v1 v2 , (3) 4 2 2 где λ345 = λ3 + λ4 + Re λ5 . При понижении температуры T от нескольких сотен ГэВ до почти нулевой температуры в ходе космологической эволюции изначально симметричный потенциал (1) с минимумом в точке (v1 = 0, v2 = 0) в пространстве фоновых полей видоизменяется до тех пор, пока в системе не возникает «истинный» минимум, для которого вакуумное ожидание на сегодняшний день 2 2 v = v1 + v2 = 246 ГэВ. На масштабе масс суперпартнёров всегда выполняются граничные усло2 2 2 2 2 вия λ1 = λ2 = (g1 + g2 )/8, λ3 = (g2 − g1 )/4, λ4 = −g2 /2, λ5 = λ6 = λ7 = 0. Экстремум потенциала при нулевой температуре в отсутствие квантовополевых поправок 2 2 2 2 U0 (v1 , v2 ) = −(g1 + g2 )(v1 − v2 )2 /32 175 М. В. Д о л г о п о л о в, С. П. З а в о д о в, Е. Ю. П е т р о в а не ограничен снизу и имеет два «плоских направления» v1 = ±v2 (рис. 1, а). Для определения устойчивого или неустойчивого равновесия системы дальнейшие рассуждения проводятся в рамках теории катастроф [9, 10]. Пороговые поправки к граничным условиям при нулевой температуре получены в [5]. Как правило, они приводят к изменению убывающей функции на седловую конфигурацию, слабо возрастающую вдоль одного из плоских направлений и более существенно убывающего вдоль другого из них. При нулевой температуре имеет место плавный переход поверхности минимумов потенциала в седловую конфигурацию с увеличением значения трилинейной константы связи A = At = Ab (рис. 1). Согласно работе [5] дополнительное условие Re µ2 = sβ cβ m2 − A 12 v2 (2 Re λ5 + Re λ6 ctg β + Re λ7 tg β) , 2 где sβ = sin β, cβ = cos β, mA — масса псевдоскалярного бозона Хиггса A. Независимыми параметрами двухдублетного потенциала являются tg β = a б в г Рис. 1. Поверхности эффективного потенциала Umin в экстремальном состоянии (3) при T = 0: a) при отсутствии квантовых поправок за счёт взаимодействия «сектор Хиггса – скварки»; б–г) с учётом квантовых поправок. Для численного расчёта взяты параметры mW = 79,96 ГэВ, mt = 175 ГэВ, MSU SY = 500 ГэВ, mH ± = 150 ГэВ, g1 = 0,3573, g2 = 0,6517, ht = 1, hb = 0,1, gs = 0,1075, v = 246 ГэВ, tg β = 5; параметры суперполя µ = 500 ГэВ и A = 1000 ГэВ (б), A = 1500 ГэВ (в), A = 2000 ГэВ (г) 176 Бифуркационные наборы расширенного потенциала Хиггса = v2 /v1 и масса заряженного скаляра m2 ± = m2 + m2 − W A H v2 (Re ∆λ5 − ∆λ4 ), 2 где ∆λi — радиационные поправки к параметрам на масштабе mt , m2 = W 2 = v 2 g2 /4. 2. Связи между параметрами минимальной и неминимальной суперсимметричных (НМССМ) моделей при mh = 125 ГэВ. В МССМ два нейтральных CP -чётных h и H, два заряженных H ± и один псевдоскалярный A бозонов Хиггса, явный вид которых (в СР-сохраняющем пределе) получен в работe [5]: m2 = s2 m2 + c2 m2 − v 2 (−2cα+β (Re∆λ6 sα cβ − Re∆λ7 cα sβ )+ α−β A α+β Z h + ∆λ1 s2 c2 + ∆λ2 c2 s2 − 2(∆λ3 + ∆λ4 )cα cβ sα sβ + Re∆λ5 (s2 s2 + c2 c2 )), (4) α β α β α β α β m2 = c2 m2 + s2 m2 − v 2 (2sα+β (Re∆λ6 cα cβ + Re∆λ7 sα sβ )+ H α−β A α+β Z + ∆λ1 c2 c2 + ∆λ2 s2 s2 + 2(∆λ3 + ∆λ4 )cα cβ sα sβ + Re∆λ5 (c2 s2 + s2 c2 )), (5) α β α β α β α β v2 (Re∆λ5 − ∆λ4 ), (6) 2 где ∆λi , i = 1, 2, . . . , 7 — радиационные поправки к параметрам на масштабе массы топ-кварка mt ; α — угол смешивания, определяемый из выражения m2 ± = m2 + m2 − W A H tg(2α) = s2β (m2 +m2 )+v 2 (∆λ3 +∆λ4 )s2β +2c2 Re∆λ6 +2s2 Re∆λ7 A Z β β c2β (m2 −m2 )+v 2 ∆λ1 c2 −∆λ2 s2 −Re∆λ5 c2β +s2β (Re∆λ6 −Re∆λ7 ) A Z β β , β = arctg(v2 /v1 ); mW , mZ — массы W - и Z-бозонов. Согласно современным экспериментальным данным масса нейтрального CP -чётного бозона Хиггса с нулевым спином равна 125 ГэВ. В МССМ легчайшим бозоном Хиггса, удовлетворяющим этим условиям, является mh , масса которого определена выражением (4). Считая значение mh заданным, из соотношений (4), (5), (6) можно получить набор параметров модели, описывающих экспериментальную картину. В НМССМ после диагонализации массовой матрицы в минимуме определяется спектр бозонов Хиггса, состоящий из трёх CP -чётных, двух CP нечётных и двух заряженных бозонов Хиггса: a) CP -чётные бозоны Хиггса: m2 1 = 2 (−q) cos H Θ + 2π a2 Θ − 2π a2 − , m2 2 = 2 (−q) cos − , H 3 3 3 3 m2 3 = 2 (−q) cos H Θ a2 − , 3 3 где Θ = arccos r (−q 3 ) , r= 1 1 (9a1 a2 − 27a0 − 2a3 ), q = (3a1 − a2 ), 2 2 54 9 177 М. В. Д о л г о п о л о в, С. П. З а в о д о в, Е. Ю. П е т р о в а a0 = m2 m22 + m2 m2 m33 − m11 m22 m33 − 2m12 m13 m23 , 13 23 12 a1 = m11 m22 + m11 m33 + m22 m33 − m2 − m2 − m2 , 12 13 23 a2 = −m11 − m22 − m33 , m11 = λ1 v 2 cos2 β − (k3 v3 + k5 )v3 tg β, m22 = λ2 v 2 sin2 β − (k3 v3 + k5 )v3 ctg β, k5 v 2 cos β sin β + 6k6 v3 , v3 2 m12 = k3 v3 + k5 v3 + v 2 (λ3 + λ4 ) cos β sin β, m13 = v(2k1 v3 cos β + (2k3 v3 + k5 ) sin β), m23 = v(2k2 v3 sin β + (2k3 v3 + k5 ) cos β), m11 m12 m13 1 m21 m22 m23 ; M2 = 2 m31 m32 m33 2 m33 = 8k4 v3 − б) физические CP -нечётные бозоны Хиггса: mA1,2 = 1 n11 + n22 ± 2 (n11 − n22 )2 + 4n2 , 12 где n11 = −2v3 cosec 2β(k3 v3 + k5 ), n22 = −2k3 v 2 sin 2β − k5 v2 2v3 n12 = v(2k3 v3 − k5 ), sin 2β − 18k6 v3 . На рис. 2 изображены поверхности в пространстве параметров минимальной и неминимальной суперсимметричных моделей постоянной массы легчайшего CP -чётного бозона Хиггса, равной 125 ГэВ. 3. Состояния равновесия и бифуркации. В работе развит подход, обсуждавшийся в литературе [6, 11]. Предлагаемая статья рассматривает предельно обобщенный случай, когда все параметры µ1 , µ2 , µ12 , λ1 , . . . , λ7 системы — ненулевые. Если рассматриваемая физическая система находится в состоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то Ueff = 0. Этому выражению удовлетворят множество точек {u}, называемое поверхностью равновесия или многообразием катастрофы. При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Uij = ∂ 2 Ueff /∂vi ∂vj . 1. Если det Uij |{u} = 0, то в некоторой окрестности этой невырожденной критической точки u всегда можно подобрать локальную систему координат, в которой эта функция может быть представлена морсовским l-седлом (лемма Морса) ˜ Ueff = vn−l − vl2 , ˜2 ˜ где n, l = 1, 2, v1 , v2 — переменные в новой системе координат. В слу˜ ˜ чае l = 0 критическая точка u является точкой устойчивого минимума, l = n — точкой максимума, l = n — седловой точкой. При этом 178 Бифуркационные наборы расширенного потенциала Хиггса б a Рис. 2. Поверхность постоянной массы бозона Хиггса (125 ГэВ) в пространстве параметров A, µ, mH ± : а) случай МССМ; б) случай НМССМ (v1 = v2 = v/ 1 + tg2 β, k1 = k2 = k4 = 0,6, k3 = k5 = k6 = −0,6); M = 1000 ГэВ, tg β = 5 ˜ v Ueff (˜1 (v1 , v2 ), v2 (v1 , v2 )) = Ueff (v1 , v2 ), т. е. один и тот же физический ˜ процесс может быть описан двумя различными функциями в разных ˜ системах координат, а функции Ueff и Ueff являются качественно подобными. 2. Если det Uij |{u} = 0, то в некоторой окрестности вырожденной критической точки u гладкой функции всегда можно подобрать локальную систему координат, в которой эта функция может быть представлена в виде суммы морсовского l-седла и неморсовской части. В нашем случае потенциал, записанный в новой системе координат, уже не будет физичным в том смысле, что коэффициенты, стоящие перед членами второй степени по полю не являются массовыми членами, однако вид преобразованного потенциала позволит однозначно судить, является ли минимум устойчивым или неустойчивым (см. рис. 3). Существование критических точек потенциала (3) накладывает условия 1 3 1 3 2 2 3 −µ2 v1 − Re µ2 v2 + λ1 v1 + λ345 v1 v2 + Re λ6 v1 v2 + Re λ7 v2 = 0, (7) 1 12 2 2 2 1 1 3 3 2 3 2 −µ2 v2 − Re µ2 v1 + λ2 v2 + λ345 v1 v2 + Re λ6 v1 + Re λ7 v1 v2 = 0. (8) 2 12 2 2 2 При рассмотрении выделенных направлений фоновых полей возникают бифуркационные множества. Рассмотрим эти бифуркационные наборы: 1) v1 = 0, v2 = 0: система находится в устойчивом минимуме, существовавшем при высоких температурах до возникновения фазового перехода; 2) a) v1 → 0, v2 = 0: после корректного выбора условий возникновения критических точек (из условий (7), (8) ограничения налагаются на µ2 и Re µ2 ), гессиан системы имеет вид 2 12 H= 2 2 −µ2 + λ345 /2 v2 Re λ7 v2 1 2 2 Re λ7 v2 2λ2 v2 ; 179 М. В. Д о л г о п о л о в, С. П. З а в о д о в, Е. Ю. П е т р о в а a б Рис. 3. Поверхности потенциала Хиггса (3) в точке экстремума в общем случае (a, б) и в «истинном» минимуме при T = 0, mh = = 125 ГэВ (в): а) старая система координат; б) локальная система координат в окрестности невырожденной критической точки; в) расчёт при следующих параметрах МССМ: mQ = = 500 ГэВ, mU = 200 ГэВ, mD = 800 ГэВ, A = = 950 ГэВ, µ = 750 ГэВ, MSU SY = 1 ТэВ в б) v1 = 0, v2 → 0: из условий (7), (8) ограничения налагаются на параметры µ2 и Re µ2 , 1 12 H= 2 2 2λ1 v1 Re λ6 v1 2 2 2 Re λ6 v1 −µ2 + λ345 /2 v1 ; численный анализ показал, что при любых допустимых на сегодняшний день теоретических ограничениях на параметры A и µ потенциальная функция (3) находится в максимуме, фазовый переход при этом не происходит; 3) v1 = 0, v2 = 0: из условий (7), (8) ограничения налагаются на параметры µ2 и µ2 , 1 2 1 H11 H12 H= , 2 H21 H22 где 3 2 3 H11 = (2 Re µ2 v2 + 4λ1 v1 + 3 Re λ6 v1 v2 − Re λ7 v2 )/v1 , 12 2 2 H12 = H21 = −2 Re µ2 + 2λ345 v1 v2 + 3 Re λ6 v1 + 3 Re λ7 v2 , 12 3 3 2 H22 = (2 Re µ2 v1 + 4λ2 v2 − Re λ6 v1 + 3 Re λ7 v1 v2 )/v2 . 12 Таким образом, система (3) находится в устойчивом минимуме, если det H > 0 и Tr H > 0 (см. рис. 4). 180 Бифуркационные наборы расширенного потенциала Хиггса При увеличении значений параметров до A ∼ 2000 ГэВ, µ ∼ 2000 ГэВ устойчивого минимума не существует. Обычно, вычисляя стационарные точки потенциала, мы приходим к нелинейной, неоднородной системе уравнений, что усложняет задачу. Однако мы можем определить многие свойства минимума потенциала Хиггса, не решая при этом нелинейную систему. Можно упростить, ускорить и автоматизировать анализ общего потенциала Хиггса с помощью т. н. базиса Грёбнера, современного алгебраического подхода для определения глобального минимума [12]. Применяя метод Грёбнера, авторы вычислили все стационарные точки, при которых наименьшее значение потенциала может быть идентифицировано как глобальный минимум. a б в г Рис. 4. Поведение потенциальной функции при v1 = 0, v2 = 0 в пространстве параметров (A, µ) (а, б) и вакуумных ожиданий (v1 , v2 ) (в, г): а) tg β = 5, T = 120 ГэВ; б) tg β = 5, T = 150 ГэВ; в) A = 1200 ГэВ, µ = 950 ГэВ; г) A = 2000 ГэВ, µ = 1500 ГэВ. Светло-серая область соответствует условию det H > 0, серая — det H < 0, чёрная сплошная линия — det H = 0, Tr H > 0. Здесь взяты следующие значения параметров для суперпартнёров: mQ = 1100 ГэВ, mU = 2 = 1200 ГэВ, mD = 1300 ГэВ, mH ± = 150 ГэВ, mWT = 79,96 ГэВ, mW = m2 t + 5g2 T 2 /2, mZ = W 0 0 √ √ 2 2 2 = (g1 + g2 )m2 /g2 , ht = 2mt /(v sin β), hb = 2mb/(v cos β), v = T (критерий Шапошникова) W 181 М. В. Д о л г о п о л о в, С. П. З а в о д о в, Е. Ю. П е т р о в а Заключение. В работе рассмотрен подход к исследованию эффективного потенциала двухдублетной модели физики частиц, позволяющий однозначно устанавливать наборы параметров МССМ (A, µ, tg β), при которых потенциал Хиггса находится в состоянии устойчивого и неустойчивого равновесия, а также претерпевает бифуркационные изменения. Проведено исследование потенциала Хиггса при нулевой температуре. Показано, что в отсутствии квантовых поправок к параметрам λ1 , . . . , λ7 устойчивого минимума системы не возникает; при учёте поправок критической точкой является седло, наиболее выраженное при рассмотрении случая ненулевой температуры. Рассмотрены поверхности равновесия в отсутствие критических точек и в окрестности изолированной критической точки. При массе легчайшего CP -чётного бозона Хиггса mh , равной 125 ГэВ, наблюдается состояние устойчивого минимума системы. При наиболее вероятной температуре фазового перехода T ∼ 120 ГэВ построены бифуркационные контурплоты управляющих параметров модели, при которых состояние системы изменяется скачком. Немаловажным результатом является ограничение на параметры модели A, µ сверху. Для обеспечения условий существования устойчивого минимума последние не могут превышать величины, примерно равной 2 ТэВ. Отношение вакуумных ожиданий tg β при этом изменяется в диапазоне от 4 до 30; также возможны значения tg β ∼ 1, однако при незначительном увеличении параметров A, µ ограничение исчезает. Обычно, вычисляя стационарные точки потенциала, мы приходим к нелинейной неоднородной системе уравнений, что усложняет задачу. Однако можно определить многие свойства минимума потенциала Хиггса, не решая при этом нелинейную систему. Применение базиса Грёбнера позволяет существенно упростить, ускорить и автоматизировать анализ общего потенциала Хиггса. Авторы благодарят М. Н. Дубинина за идейную постановку задачи, обсуждения и замечания.

About the authors

Mikhail V Dolgopolov

Samara State University

Email: mikhaildolgopolov@rambler.ru
(Ph. D. Phys. & Math.), Associate Professor, Dept. of General & Theoretical Physics; Head of the Laboratory, Scientific Research Laboratory of Mathematical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Semen P Zavodov

Samara State University

Email: zavodov.sp@gmail.com
Laboratory Technician, Scientific Research Laboratory of Mathematical 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

Elena Yu Petrova

Samara State University

Email: kuleobul@rambler.ru
Junior Researcher, Scientific Research Laboratory of Mathematical Physics 1, Academician Pavlov st., Samara, 443011, Russia

References

Supplementary files