Rheological model of viscoelastic body with memory and differential equations of fractional oscillator

Abstract


One-dimensional generalized rheologic model of viscoelastic body with Riemann- Liouville derivatives is considered. Instead of derivatives of order α > 1 there are employed in defining relations derivatives of order 0 < α < 1 from integer derivatives. It's shown, that the differential equation for the deformation with given dependence of the tension from the time with classical initial conditions of Cauchy are reduced to the Volterra integral equations. Some variants of the generalized fractional Voigt's model are considered. Explicit solutions for corresponding differential equation for the deformation are found out. It's indicated, that these solutions coincide with the classical ones when the fractional parameter vanishes.

About the authors

Eugeniy N Ogorodnikov

Samara State Technical University

Email: eugen.ogo@gmail.com
(к.ф.-м.н., доцент), доцент, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

Vladimir P Radchenko

Samara State Technical University

Email: radch@samgtu.ru
(д.ф.-м.н., профессор), зав. кафедрой, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

Nikolay S Yashagin

Samara State Technical University

Email: nik-yashagin@yandex.ru
аспирант, каф. прикладной математики и информатики; Самарский государственный технический университет; Samara State Technical University

References

  1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
  2. Bagley R. L., Torvik P. J. Fractional calculus - A different approach to the analysis of viscoelastically damped structures // AIAA J. Vol. 21, no. 5. Pp. 741-748
  3. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с с.
  4. Scott Blair G. W. A survey of general and applied rheology. London: Sir Isaac Pitman & Sons, 1949. 314 pp.
  5. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внутреннего трения // ПММ, 1948. Т. 12, № 3. С. 251-260.
  6. Работнов Ю. Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ, 1948. Т. 12, № 1. С. 53-62.
  7. Caputo M., Mainardi F. Linear models of dissipation in anelastic solids // La Rivista del Nuovo Cimento, 1971. Vol. 1, no. 2. Pp. 161-198.
  8. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism // Pure Appl. Geophys., 1971. Vol. 91, no. 1. Pp. 134-147.
  9. Bagley R. L., Torvik P. J. A theorical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity // J. Rheol., 1983. Vol. 27, no. 3. Pp. 201-210.
  10. Нахушев А. М. Математические модели вязкоупругого тела // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки, 2000. № 3. С. 107-109.
  11. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  12. Огородников Е. Н., Радченко В. П., Яшагин Н. С. Математические модели вязкоупругого тела и вынужденные колебания дробных осцилляторов / В сб.: Матерiали конф., Тринадцята Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука (13-15 травня, 2010), Т. 1. Київ: НТУУ, 2010. С. 344-345.
  13. Огородников Е. Н. Математические модели дробных осцилляторов, постановка и структура решения задачи Коши / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 177-181.
  14. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
  15. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Вынужденные колебания дробных осцилляторов / В сб.: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием (29-31 мая 2008 г.). Часть 1: Математические модели механики, прочности и надёжности элементов конструкций / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2008. С. 215-221.
  16. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. О некоторых свойствах операторов с функциями типа Миттаг Леффлера в ядрах / В сб.: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С. 181-188.
  17. Огородников Е. Н. Корректность задачи Коши Гурса для системы вырождающихся нагруженных гиперболических уравнений в некоторых специальных случаях и её равносильность задачам с нелокальными краевыми условиями // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2004. № 26. С. 26-38.
  18. Огородников Е. Н. О некоторых краевых задачах для системы уравнений Бицадзе Лыкова с инволютивной матрицей / В сб.: Тр. десятой межвуз. науч. конф. Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи / Мат. моделирование и краевые задачи. Самара: СамГТУ, 2000. С. 119-126.
  19. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Некоторые специальные функции в решении задачи Коши для одного дробного осцилляционного уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун- та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009. № 1(18). С. 276-279.
  20. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Об одном обобщении функции типа Миттаг Леффлера, интегральном операторе с указанной функцией в ядре, их свойствах и приложениях / В сб.: Актуальные проблемы современной науки: Труды 5-го Международного форума. Естественные науки. Ч. 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: СамГТУ, 2010. С. 261-267.
  21. Огородников Е. Н., Яшагин Н. С. Постановка и решение задач типа Коши для дифференциальных уравнений второго порядка с дробными производными Римана Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2010. № 1(20). С. 24-36.

Statistics

Views

Abstract - 15

PDF (Russian) - 22

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2011 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies