Estimation of the velocity field in a continuous elastoplastic medium during a camouflet explosion

Full Text

В настоящее время наибольшим разрушающим воздействием на объекты обладает заглубленное взрывание зарядов (камуфлетный взрыв), которое исключает возникновение воздушной ударной волны и вредное воздействие продуктов взрыва на окружающую среду, однако приводит к возникновению сильных сейсмических колебаний. Воздействие сейсмических нагрузок на расположенные рядом объекты может привести к трещинообразованию в элементах конструкций, потере их несущей способности, к повреждению и разрушению. Поэтому наряду с выполнением общепринятых требований по защищенности объектов инфраструктуры, отраженных в технических стандартах и правилах, возникает необходимость оценки физической стойкости их критических элементов и повышения защищенности от воздействия взрывных нагрузок.

В работе рассматривается камуфлетный взрыв обычного взрывчатого вещества (ВВ), в результате которого до земной поверхности доходят только упругие волны деформации и не происходит образования воронки на земной поверхности [1–3]. Предполагается, что детонация заряда взрывчатого вещества происходит в условиях сферической симметрии и представляет собой процесс, протекающий без изменения объема.

Целью данной работы является решение задачи определения поля скоростей в сплошной упругопластической среде при камуфлетном взрыве.

Решение центрально-симметричной задачи о распространении взрывных возмущений в твердых средах основывается на предположении, что в безграничное полупространство помещен глубинный сферический заряд радиуса $r_0$, который мгновенно без изменения объема превращается в газ высокого давления $P_0$. В результате обмена энергией между газообразными продуктами взрыва и окружающей средой с момента времени $t=0$ начинается снижение давления в сферической полости и одновременное увеличение ее радиуса $a(t)$ от начального значения, равного радиусу заряда $a(0)=r_0$. Текущий радиус камуфлетной полости $a(t)$ является первой характеристикой геометрического положения точек возмущенной окружающей среды в сферических координатах. Второй характеристикой является радиус упругопластической границы $b(t)$, который при разработке волновой теории действия взрыва называют радиусом «фронта» пластической волны. Предполагается, что давление в полости уменьшается в соответствии с уравнением 
\[ \begin{equation}
P_0 =P_{00} ( {a}/r_0 )^{-3m},
\end{equation} \tag{1} \]
где $m$ — степенной показатель, $P_{00}$ — начальное давление в полости при ${a=r_0}$, а связь давления при $t >0$ с радиусом, скоростью и ускорением расширяющейся полости определяется камуфлетным уравнением [2]
\[ \begin{equation}
P_0 =A+Ba\ddot {a}+C\dot{a}^2,
\end{equation} \tag{2} \]
где $A$, $B$ и $C$ — константы, являющиеся характеристиками среды, выражения для вычисления которых представлены авторами в [4, 5]. Вызванное расширяющейся полостью возмущенное состояние среды характеризуется также плотностями $\rho _0$ и $\rho $, соответственно, в упругой и пластической областях ее деформирования, причем переход от упругого состояния к пластическому сопровождается мгновенным изменением плотности среды от $\rho _0$ до $\rho$, вводимым для приближенного учета действительной сжимаемости.

Представим (2) в виде
\[ \begin{equation*}
a \ddot{a} + \frac CB \dot{a}^2 = \frac{1}{B} (P_0-A)
\end{equation*} \]
и введем безразмерные переменные $y = \rho \dot{a}^2/P_{00}$ или $\dot{a}^2 = y P_{00}/\rho$, $x = a/r_0$.

Продифференцируем переменные по времени и радиальной координате:
\[ \begin{equation*}
\frac{dx}{dt}=\frac{\dot {a}}{r_0 },
\quad 
\frac{dy}{dt}=\frac{2\rho \dot {a}\ddot {a}}{P_{00} } \text{и} 
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}.
\end{equation*} \]
С учетом выражения для $x$ и указанных производных последнее уравнение сводится к следующему:
\[ \begin{equation*}
y'=\frac{2\rho \dot {a}\ddot {a}}{P_{00} } \frac{dt}{dx}=
\frac{2\rho \dot {a}\ddot {a}}{P_{00} } \frac{r_0 }{\dot {a}}=\frac{2\rho a\ddot {a}}{x P_{00} },
\end{equation*} \]
откуда
\[ \begin{equation*}
a\ddot {a}=\frac{y'xP_{00} }{2\rho }. 
\end{equation*} \]

Подставляя полученные для $\dot {a}^2$ и $a\ddot {a}$ выражения в исходное соотношение (2), получаем
\[ \begin{equation}
\frac{{y}'x P_{00} }{2\rho }+\frac{C}{B} \frac{y P_{00} }{\rho 
}=\frac{1}{B} ( P_0 - A).
\end{equation} \tag{3} \]

Запишем равенство (3) в виде
\[ \begin{equation}
{y}'+2N\frac yx=\frac{2\rho }{x B P_{00} } ( P_0 - A ),
\end{equation} \tag{4} \]
гдe
\[ \begin{equation}
N={C}/{B}.
\end{equation} \tag{5} \]

Дифференциальное уравнение (4) является основным в поставленной задаче. Решение его однородного уравнения 
\[ \begin{equation}
\frac{dy}{dx}+2N\frac yx=0
\end{equation} \tag{6} \]
имеет вид
\[ \begin{equation}
y=y_c x^{-2N},
\end{equation} \tag{7} \]
где $y_c$ — константа. Решение уравнения (4) будем искать в виде
\[ \begin{equation*}
y(x)=y_c (x) x^{-2N},
\end{equation*} \]
считая $y_c$ функцией аргумента $x$.

После дифференцирования (7) по $x$ и подстановки (7) и (6) в (5) получим
\[ \begin{equation}
{y}'_c(x) =\frac{2\rho }{B x^{-2N+1}}\Bigl( \frac{P_0 }{P_{00} }-\frac{a}{P_{00} } \Bigr). 
\end{equation} \tag{8} \]

Для определения функции $y_c(x)$ подставим в (8) выражение (1):
\[ \begin{equation*}
{y}'_c =\frac{2\rho }{B} x^{2N-3m-1}-\frac{2\rho A}{BP_{00} }x^{2N-1}.
\end{equation*} \]
Проинтегрируем полученное соотношение:
\[ \begin{equation}
y_c = 
\frac{2\rho }{B} \frac{x^{2N-3m}}{2N-3m}-
\frac{2\rho A}{BP_{00} } \frac{x^{2N}}{2N}+ \Phi,
\end{equation} \tag{9} \]
где $\Phi$ — постоянная. Подставив найденное выражение (9) в (7), для искомой функции $y(x)$ получим
\[ \begin{equation}
y ( x )=\frac{2\rho }{B} \frac{x^{-3m}}{2N-3m}-
\frac{\rho A}{BP_{00} } \frac{1}{N}+\frac{\Phi}{x^{2N}}.
\end{equation} \tag{10} \]

Таким образом, единственной неизвестной величиной в соотношении (10) остается постоянная интегрирования $\Phi$. Для ее нахождения будем считать, что известен максимальный безразмерный радиус полости $x_1$, образующейся при камуфлетном взрыве (радиус полости в момент ее остановки): 
\[ \begin{equation*}
x_1 =a_{\max }/r_0 =\sqrt[{3}]{V_{\max } /V_0 },
\end{equation*} \]
где $V_0 =\frac{4}{3}\pi r_0^3 $ — объем полости (сферического заряда) в начальный момент, $V_{\max } =\frac{4}{3}\pi a_{\max }^3 $ — объем полости при камуфлетном взрыве, наблюдаемый по окончании ее расширения. Тогда условием определения $\Phi$ будет условие остановки расширения полости $y(x_1) =0$: 
\[ \begin{equation*}
\frac{2\rho x_1^{-3m} }{B ( 2N-3m )}-
\frac{\rho A}{B P_{00} N}+\frac{\Phi}{x_1^{2N} }=0,
\end{equation*} \]
откуда
\[ \begin{equation*}
\Phi=\frac{\rho A x_1^{2N} }{BP_{00} N}-
\frac{2\rho x_1^{2N-3m} }{B ( 2N-3m )}.
\end{equation*} \]
Окончательное выражение (10) для определения $y(x)$ примет вид 
\[ \begin{equation}
y( x )=\frac{\rho A}{BP_{00} } \frac{1}{N}
\Bigl[ \Bigl( \frac{x_1 }{x} \Bigr)^{2N} - 1 \Bigr]-
\frac{2\rho }{B}
\frac{x^{-3m}}{2N-3m} 
\Bigl[ \Bigl( \frac{x_1 }{x} \Bigr)^{2N-3m} - 1 \Bigr].
\end{equation} \tag{11} \]

Для оценки радиуса полости $x_1$ воспользуемся законом сохранения энергии. Работа продуктов взрыва, расширяющихся по адиабатическому закону, описывается выражением
\[ \begin{equation*}
A_0 =\int _{V_0 }^{V_{\max } } P dV =
\frac{P_{00} V_0 }{m-1} 
\Bigl[ 
1-\Bigl( \frac{V_0 }{V_{\max } } \Bigr)^{m-1} \Bigr].
\end{equation*} \]

Для оценки энергии деформаций связь между касательным напряжением $\tau$ и деформацией сдвига $\gamma$ примем в виде, показанном на рисунке.

Диаграмма сдвига: I — упругая область (\( r > b \)), II — пластическая область (\( a < r < b \)); \(\tau_s\) — предел упругости; \(\gamma_e\) — предельное упругое значение деформации сдвига; \(G_0\) — модуль упругости при сдвиге; \(a\) — радиус полости; \(b\) — радиус упругопластической области; \(r\) — радиальная координата
[Stress-strain curve in shear: I — elastic region ($r > b$), II — plastic region ($a  < r < b$); $\tau_s$ — yield strength; $\gamma_e$ — ultimate elastic shear strain; $G_0$ — shear modulus; $a$ — radius of the cavity; $b$ — radius of the elastoplastic region; $r$ — radial coordinate]

В упругой области действие внешних сил уравновешивается напряжением $\tau =G_0 \gamma$, где $G_0$ — постоянная. 

Элементарная работа частицы среды в упругой области ($r>b$) представляется в виде
\[ \begin{equation*}
\tau d\gamma =G_0 \gamma d\gamma ,
\end{equation*} \]
а потенциальная энергия деформации частицы среды при изменении деформации 
сдвига от 0 до $\gamma $ определяется выражением
\[ \begin{equation*}
\int _0^\gamma G_0 \gamma d\gamma =\frac{1}{2} G_0 \gamma ^2.
\end{equation*} \]

Потенциальная энергия деформаций сдвига во всей упругой области $\Pi_e$ находится из равенства
\[ \begin{equation}
\Pi_e = 2\pi \int_b^\infty G_0 \gamma ^2 r^2dr.
\end{equation} \tag{12} \]
Рассмотрим связи между тремя радиусами: радиусом заряда $r_0$, радиусом расширяющейся камуфлетной полости $a(t)$ и радиусом упругопластической границы $b(t)$.

Пластическое деформирование среды наступает при достижении деформацией сдвига $\gamma =\gamma (r,t)$ предельного упругого значения $\gamma _e$. Свяжем величину перемещения $W(r,t)$ среды в точке $r$ c радиусом полости $a(t)$ в произвольный момент времени $t$. Объем вытесняемой среды камуфлетной полостью при ее расширении за время $t$ составит
\[ \begin{equation*}
V_1 =\frac{4 \pi }{3} (a^3- r_0^3) .
\end{equation*} \]
За это же время объем перемещаемой среды через поверхность сферы с радиусом $r$ будет определяться зависимостью
\[ \begin{equation*}
V_2 =\frac{4\pi}{3} \bigl((r+W)^3- r^3\bigr).
\end{equation*} \]
Из закона сохранения массы при условии несжимаемости среды следует, что
\[ \begin{equation*}
(r+W)^3=a^3+r^3-r_0^3 ,
\end{equation*} \]
а при обозначении $ x={a}/{r_0}$ последнее соотношение перепишется как
\[ \begin{equation*}
(r + W)^3=r^3+a^3(1-x^{-3})
\end{equation*} \]
или после преобразований
\[ \begin{equation}
\frac{W^3}{3r^2}+\frac{W^2}{r}+W= \frac{a^3}{3r^2} ( 1-x^{-3} ).
\end{equation} \tag{13} \]
При $r\gg a$, что имеет место в окрестности упругопластической границы, величины $W$ и ${W}/{r}$ имеют разные порядки ($W\gg {W}/{r}$). Поэтому, пренебрегая первыми двумя слагаемыми соотношения (13), получим
\[ \begin{equation}
W(r,t)\approx \frac{a^3}{3r^2}(1-x^{-3}),
\end{equation} \tag{14} \]
и, соответственно, 
\[ \begin{equation}
\frac{\partial W}{\partial r}=-\frac{2a^3 }{3r^3} ( 1-x^{-3}).
\end{equation} \tag{15} \]

Величина главного сдвига $\gamma$ при постоянстве плотности определяется соотношением
\[ \begin{equation}
\gamma \approx \frac{W}{r}-\frac{\partial W}{\partial r}+
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{W}{r}\Bigr)^2-
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial W}{\partial r} \Bigr)^2.
\end{equation} \tag{16} \]

Заменяя в (16) $W$ и $\frac{\partial W}{\partial r}$ их выражениями из (14) и (15), получаем
\[ \begin{equation}
\gamma = ( {a}/{r} )^3 ( 1-x^{-3}) 
\frac{1+0.5 ( {a}/{r})^3 ( 1-x^{-3})}{\bigl( 1+( {a}/{r})^3 ( 1-x^{-3}) \bigr)^{4/3}}
\approx ( 
{a}/{r} )^3 ( 1-x^{-3}),
\end{equation} \tag{17} \]
так как в упругой области $({a}/{r})^3( 1-x^{-3})\ll 1$.

Из последнего выражения следует, что на упругопластической границе ($r=b$ и $\gamma =\gamma_e )$ выполняется соотношение 
\[ \begin{equation}
\gamma _e = ( {a}/{b})^3 ( 1-x^{-3}).
\end{equation} \tag{18} \]

С учетом (17) и (18) выражение (12) преобразуется к виду 
\[ \begin{multline*}
\Pi_e = 2\pi \int _b^\infty 
 G_0 \Bigl( \frac{a}{r} \Bigr)^6 ( 1-x^{-3})^2 r^2dr=
2\pi G_0 a^6 ( 1-x^{-3} )^2 \int_b^\infty 
\frac{1}{r^4}dr =-\frac{2\pi}{3}G_0 a^6 (1-x^{-3} )^2 \frac{1}{r^3}\Bigr| _b^\infty = \\
= \frac{2\pi a^3 }{3}G_0 \Bigl( \frac{a}{b} \Bigr)^3 ( 1-x^{-3} )^2 = \frac{1}{2}G_0 \gamma _e ( 1-x^{-3}) V_{\max }=\frac{1}{2}\tau _s (1-x^{-3}) V_{\max }.
\end{multline*} \]

В упругопластической области $a<r<b$ потенциальная энергия деформации частицы среды запасена как упруго (так как каждая частица нагружена упруго до предела $\gamma =\gamma _e$), так и в виде пластических деформаций, т.е. выполняются следующие равенства:
\[ \begin{equation*}
\frac{1}{2}G_0 \gamma _e^2 +\tau _s ( \gamma -\gamma _e )=
\frac{1}{2}\tau _s \gamma _e +\tau _s \gamma -\tau _s \gamma _e =
\tau _s \gamma -\frac{1}{2}\tau _s \gamma _e .
\end{equation*} \]

Потенциальная энергия деформаций сдвига во всей упругопластической области $\Pi_{p}$ определяется из равенства
\[ \begin{multline*}
\Pi_{p}= 4\pi \int _a^b \Bigl[ \tau _s \Bigl( \frac{a}{r} \Bigr)^3 ( 1-x^{-3} )-\frac{1}{2}\tau _s \gamma _e \Bigr] r^2 dr =
4\pi \tau _s a^3 (1-x^{-3}) \int _a^b \frac{1}{r}dr - 2\pi \tau _s \gamma _e \int _a^b r^2dr = \\ 
=4\pi \tau _s a^3 (1-x^{-3})\ln r \Bigr|_a^b - \frac{2\pi}3 \tau _s \gamma _e r^3\Bigr|_a^b =
4 \pi a^3 \ln \frac{b}{a} \tau _s ( 1-x^{-3})- \frac{2\pi}{3} \tau _s \gamma _e ( b^3-a^3) = \\ 
= V_{\max} \ln \Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^3 \tau _s ( 1-x^{-3} )- \frac{2\pi}{3} a^3\tau _s \gamma _e 
\Bigl[ \Bigl( \frac{b}{a} \Bigr)^3-1 \Bigr] = \tau _s V_{\max } \ln \Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^3 (1-x^{-3}) -
\frac{1}{2}\tau _s V_{\max } \Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^3 
( 1-x^{-3} ) \Bigl[ \Bigl( \frac{b}{a} \Bigr)^3-1 \Bigr] = \\ 
=\tau _s V_{\max } ( 1-x^{-3} )\ln \Bigl( \frac{b}{a} \Bigr)^3-
\frac{1}{2}\tau _s V_{\max } ( 1-x^{-3}) \Bigl[ 1-\Bigl( \frac{a}{b} \Bigr)^3 \Bigr]=
\tau _s V_{\max } (1-x^{-3}) \Bigl\{ \ln \Bigl( \frac{b}{a} \Bigr)^3 - \frac{1}{2}\Bigl[ 1 - \Bigl( \frac{a}{b} \Bigr)^3 \Bigr]\Bigr\}. 
\end{multline*} \]
Так как $(a/{b} )^3 \ll 1$, последнее выражение можно представить в виде
\[ \begin{equation}
\Pi_{p} \approx \tau _s V_{\max } (1-x^{-3} ) 
\Bigl[ \ln \Bigl( \frac{b}{a} \Bigr)^3-\frac{1}{2} \Bigr].
\end{equation} \tag{19} \]

Для определения величины $\ln ( {b}/{a} )^3$ воспользуемся законом сохранения массы в возмущенной области от центра камуфлетной полости до упругопластической границы $b$:
\[ \begin{equation*}
\rho _0 ( b^3-r_0^3)=\rho ( b^3-a^3),
\end{equation*} \]
откуда
\[ \begin{equation}
\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^3 =
\frac{\rho }{\rho -\rho _0 }-
\frac{\rho _0 }{\rho -\rho _0 }\frac{r_0^3 }{a^3}.
\end{equation} \tag{20} \]
Учитывая, что $({r_0}/{a})^3\ll 1$, уже при $a \geqslant 2$, вычитаемом в соотношении (20), можно пренебречь и записать его в виде
\[ \begin{equation*}
\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^3 =\frac{\rho }{\rho -\rho _0 }=\frac{1}{\beta }.
\end{equation*} \]
Тогда соотношение (19) примет вид
\[ \begin{equation*}
\Pi_p \approx \tau _s V_{\max } (1-x^{-3}) \Bigl[\ln \frac{1}{\beta }-\frac{1}{2} \Bigr].
\end{equation*} \]

Приравнивая работу расширяющихся продуктов взрыва сумме $\Pi_{e}+\Pi_{p}$, получаем, что
\[ \begin{equation}
\tau _s (1-x_1^{-3} )\ln \frac{1}{\beta }=
\frac{P_{00} V_0 }{(m-1)V_{\max } } 
\Bigl[ 1-\Bigl( \frac{V_0 }{V_{\max } } \Bigr)^{m-1} \Bigr],
\end{equation} \tag{21} \]
где $x_1 = a_{\max } / r_0 = (V_{\max }/ V_0 )^{1/3}$ и, соответственно, $V_0 /V_{\max } =x_1^{-3} $.

Заменяя в (21) ${V_0 }/{V_{\max } }$ через $x_1^{-3} $, получим уравнение относительно только одной неизвестной величины $x_{1}$, разрешив которое, определим эту неизвестную.

Соотношение (11) и зависимость $\dot {a}^2= {y(x)P_{00} }/{\rho }$ позволяют вычислять значения размерной скорости камуфлетной поверхности $\dot a (x)$. После того как значение $\dot a (x)$ определено, по формуле $u ( r )= {a^2 \dot {a}}/{r^2}$ при заданном $r$ вычисляются значения скорости частиц на различных расстояниях от центра взрыва $u(r)$ на момент достижения радиусом камуфлетной полости значения $a$.

Полученное решение задачи определения поля скоростей в сплошной упругопластической среде при камуфлетном взрыве позволяет оценивать размеры зон расширения, пластического деформирования среды и воздействия взрывных возмущений на различные объекты. 

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи; все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.

About the authors

Vladimir A. Sednev

Fire Fighting Service of State Academy of Emercom of Russia

Author for correspondence.
Email: Sednev70@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4922-430X

Dr. Techn. Sci., Professor, Dept. of Civil Defense, Protection of the Population and Territories

Russian Federation, 129366, Moscow, B. Galushkina str., 4

Sergey L. Kopnyshev

Fire Fighting Service of State Academy of Emercom of Russia

Email: serkopn@mail.ru
ORCID iD: 0009-0005-8071-0444

Cand. Techn. Sci., Associate Professor, Dept. of Civil Defense, Protection of the Population and Territories

Russian Federation, 129366, Moscow, B. Galushkina str., 4

Anatoliy V. Sednev

Bauman Moscow State Technical University

Email: sednev70@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0009-5510-6316

Student

Russian Federation, 105005, Moscow, 2-ya Baumanskaya str., 5/1

References

Supplementary files