Description of the spectrum of one fourth-order operator matrix

Full Text

Введение

Многие научно-прикладные проблемы сводятся к изучению спектральных свойств блочно-операторных матриц, элементами которых являются линейные операторы, действующие в банаховых или гильбертовых пространствах [1]. Существенные и дискретные спектры блочно-операторных матриц (в том числе и для одного специального класса — гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц на решетке) широко связаны с актуальными проблемами в физике твердого тела [2], квантовой теории поля [3], статистической физике [4], квантовой механике [5], магнитогидродинамике [6] и др. Поэтому развитие исследования блочно операторных матриц и гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц является одним из приоритетных направлений.

Достаточно полное изучение спектральных свойств многочастичных операторов Шредингера в евклидовом пространстве проведено в книгах [7, 8]. Центральным результатом, посвященным описанию существенного спектра для системы многих частиц, является теорема Хунцикера–ван Винтера–Жислина (теорема ХВЖ), названная так в честь заслуг Хунцикера [9], ван Винтера [10] и Жислина [11]. Она гласит, что существенный спектр $N$-частичного непрерывного оператора Шредингера состоит из полуинтервала и наименьший элемент достигается на спектре подгамильтонианов определенного класса. В работе [12] доказана теорема ХВЖ для гамильтониана системы четырех произвольных квантовых частиц с парными потенциалами на решетке.

Доказательство аналогичных результатов в случае дискретных операторов Шредингера, а также результатов, отличающихся от них для гамильтонианов систем с несохраняющимся ограниченным числом частиц на решетке является актуальной задачей. Проблемы описания существенного спектра, определения конечности или бесконечности дискретного спектра таких гамильтонианов изучены многими авторами, см. например [13–18]. В частности, в работах [16, 17] изучены операторные матрицы четвертого порядка и описаны местоположение и структура существенного спектра, а также доказан аналог теоремы ХВЖ.

В настоящей статье рассматривается операторная матрица четвертого порядка ${\cal A}$, которая соответствует гамильтониану системы с несохраняющимся числом и не более четырех частиц на решетке. Она связана с моделью «спин–бозон» с не более чем тремя фотонами в евклидовом пространстве ${\Bbb R}^{\rm d}$, т. е. в бозонном фоковском пространстве над $L_2({\Bbb R}^{\rm d}, {\Bbb C}^2)$, изученной в работе [22]. Там выполнен спектральный анализ гамильтониана с помощью теории рассеяния в паре пространств со специально выбранным вложением. В частности, доказаны существование волновых операторов и их асимптотическая полнота. При этом все построения опираются на детальный анализ резольвенты.

1. Постановка задачи

Через ${\Bbb C}$, ${\Bbb R}$, ${\Bbb Z}$ и ${\Bbb N}$ обозначим множество всех комплексных, вещественных, целых и натуральных чисел соответственно. Пусть ${\rm d} \in {\Bbb N}$ и ${\Bbb T}^{\rm d}:=(-\pi; \pi]^{\rm d}$ — ${\rm d}$-мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе ${\Bbb T}^{\rm d}$ рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в ${\Bbb R}^{\rm d}$ по модулю $(2\pi{\Bbb Z})^{\rm d}$. Например, если
\[ \begin{equation*}
a=( {\pi}/{2},\ldots, {\pi}/{2}),\;
b=( {2\pi}/{3},\ldots, {2\pi}/{3}) \in {\Bbb T}^{\rm d},
\end{equation*} \]
то
\[ \begin{equation*}
a+b=(- {5\pi}/{6},\ldots,- {5\pi}/{6}),\;
6a=(\pi,\ldots,\pi) \in {\Bbb T}^{\rm d}.
\end{equation*} \]

Пусть $L_2(({\Bbb T}^{\rm d})^m)$, $m=1,2,3$ — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на $({\Bbb T}^{\rm d})^m$ и
\[ \begin{eqnarray*}
&& {\mathcal F}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})):={\Bbb C} \oplus L_2({\Bbb T}^{\rm d}) \oplus L_2(({\Bbb
T}^{\rm d})^2) \oplus \cdots;\\
&& {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})):={\Bbb C} \oplus L_2({\Bbb T}^{\rm d}) \oplus L_2(({\Bbb
T}^{\rm d})^2) \oplus \cdots \oplus L_2(({\Bbb T}^{\rm d})^m), \quad m=1,2,3;\\
&& \mathcal{H}^{(m)}:={\Bbb C}^2 \otimes {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})), \quad m=1,2,3.
\end{eqnarray*} \]

Гильбертово пространство ${\mathcal F}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$ называется пространством Фока, а ${\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$ — $(m+1)$-частичное обрезанное подпространство пространства Фока.

Норма элемента $F=\bigl\{f_0^{({\rm s})},f_1^{({\rm s})},f_2^{({\rm s})},f_3^{({\rm s})}, {\rm s}=\pm \bigr\} \in {\mathcal H}^{(3)}$ задается формулой
\[ \begin{equation*}
\|F\|^2=\sum\limits_{{\rm s}=\pm} \biggl( |f_0^{({\rm s})}|^2+\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} |f_1^{({\rm s})}(k_1)|^2dk_1
+\int_{({\Bbb T}^{\rm d})^2} |f_2^{({\rm s})}(k_1,k_2)|^2dk_1dk_2 +\int_{({\Bbb T}^{\rm d})^3} |f_3^{({\rm s})}(k_1,k_2,k_3)|^2dk_1dk_2dk_3\biggr).
\end{equation*} \]

В гильбертовом пространстве ${\mathcal H}^{(3)}$ рассмотрим тридиагональную операторную матрицу
\[ \begin{equation*}
{\cal A}:=\left( \begin{array}{cccc}
{\cal A}_{00} & {\cal A}_{01} & 0 & 0\\
{\cal A}_{01}^* & {\cal A}_{11} & {\cal A}_{12} & 0\\
0 & {\cal A}_{12}^* & {\cal A}_{22} & {\cal A}_{23}\\
0 & 0 & {\cal A}_{23}^* & {\cal A}_{33}\\
\end{array}
\right)
\end{equation*} \]
с матричными элементами
\[ \begin{eqnarray*}
&& {\cal A}_{00}f_0^{({\rm s})}={\rm s}\varepsilon f_0^{({\rm s})}, \\
&& {\cal A}_{01}f_1^{({\rm s})}=\alpha \int_{{\Bbb T}^{\rm d}}
v(t)f_1^{(-{\rm s})}(t)dt,\\
&& ({\cal A}_{11}f_1^{({\rm s})})(k_1)=({\rm s}\varepsilon+w(k_1))f_1^{({\rm s})}(k_1),\\
&&
({\cal A}_{12}f_2^{({\rm s})})(k_1)= \alpha \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_2^{(-{\rm s})}(k_1,t)dt,\\
&& ({\cal A}_{22}f_2^{({\rm s})})(k_1,k_2)=\bigl({\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)\bigr)f_2^{({\rm s})}(k_1,k_2),\\
&&({\cal A}_{23}f_3^{({\rm s})})(k_1,k_2)= \alpha \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_3^{(-{\rm s})}(k_1,k_2,t)dt,\\
&& ({\cal A}_{33}f_3^{({\rm s})})(k_1,k_2,k_3)=\bigl({\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)+w(k_3)\bigr)f_3^{({\rm s})}(k_1,k_2,k_3).
\end{eqnarray*} \]
Здесь $\bigl\{f_0^{({\rm s})}, f_1^{({\rm s})},f_2^{({\rm s})}, f_2^{({\rm s})}, {\rm s}=\pm \bigr\} \in {\mathcal H}^{(3)}$; ${\cal A}_{ij}^*$ — сопряженный оператор к ${\cal A}_{ij}$, $i<j$; функции $v({}\cdot{})$, $w({}\cdot{})$ являются вещественнозначными и непрерывными на ${\Bbb T}^{\rm d}$, причем $\min\limits_{k \in {\Bbb T}^{\rm d}} w(k)=0$; $\alpha>0$ — «параметр взаимодействия». В этих предположениях операторная матрица ${\cal A}$ является ограниченной и самосопряженной в гильбертовом пространстве ${\mathcal H}^{(3)}$.

Поставим для операторной матрицы ${\cal A}$ следующие задачи:

• описать местоположение существенного спектра и доказать, что он состоит из объединения отрезков, которых не более шести;
• определить число и местонахождение собственных значений;
• оценить нижнюю грань существенного спектра.

В последующих разделах статьи мы подробно рассмотрим все эти задачи. Далее под обозначениями $\sigma({}\cdot{})$, $\sigma_{\rm ess}({}\cdot{})$, $\sigma_{\rm pp}({}\cdot{})$ и $\sigma_{\rm disc}({}\cdot{})$ понимаются спектр, существенный спектр, точечный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора соответственно.

2. Спектральное соотношение для операторной матрицы $\boldsymbol{\cal A}$

В этом разделе изучение спектра операторной матрицы ${\cal A}$ при помощи оператора перестановки сводится к изучению спектра более простых операторных матриц ${\cal A}^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$. Затем спектр операторной матрицы ${\cal A}$ описывается через спектр операторных матриц ${\cal A}^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$.

Исследуем спектральные свойства операторной матрицы ${\cal A}$. С этой целью определим два ограниченных самосопряженных оператора ${\cal A}_m$, $m=1, 2$, действующих в ${\mathcal H}^{(m)}$, в виде $(m+1) \times (m+1)$ операторных матриц:
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_1:=\left( \begin{array}{cc}
{\cal A}_{00} & {\cal A}_{01}\\
{\cal A}_{01}^* & {\cal A}_{11}
\end{array}
\right),\quad 
{\cal A}_2:=\left( \begin{array}{ccc}
{\cal A}_{00} & {\cal A}_{01} & 0\\
{\cal A}_{01}^* & {\cal A}_{11} & {\cal A}_{12}\\
0 & {\cal A}_{12}^* & {\cal A}_{22}
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]
Рассмотрим еще три ограниченных самосопряженных оператора ${\cal A}_m^{({\rm s})},$ $m =1, 2, 3,$ ${\rm s}=\pm$, действующих в ${\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$, в виде $(m+1) \times (m+1)$ операторных матриц:
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_1^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cc}
\widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{01}\\
\widehat{{\cal A}}_{01}^* & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right), \quad {\cal A}_2^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{ccc}
\widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{01} & 0\\
\widehat{{\cal A}}_{01}^* & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12}\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_3^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cccc}
\widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{01} & 0 & 0\\
\widehat{{\cal A}}_{01}^* & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12} & 0\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{23}\\
0 & 0 & \widehat{{\cal A}}_{23}^* & \widehat{{\cal A}}_{33}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right)
\end{equation*} \]
с матричными элементами
\[ \begin{eqnarray*}
&& \widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})}f_0={\rm s}\varepsilon f_0, \\
&& \widehat{{\cal A}}_{01}f_1=\alpha \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt, \\
&& (\widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})}f_1)(k_1)=(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1))f_1(k_1),\\
&& (\widehat{{\cal A}}_{12}f_2)(k_1)= \alpha \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_2(k_1,t)dt, \\
&& (\widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})}f_2)(k_1,k_2)=\bigl({\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)\bigr)f_2(k_1,k_2),\\
&& (\widehat{{\cal A}}_{23}f_3)(k_1,k_2)= \alpha \int_{({\Bbb T}^{\rm d})^2} v(t) f_3(k_1,k_2,t)dt, \\
&& (\widehat{{\cal A}}_{33}^{({\rm s})}f_3)(k_1,k_2,k_3)=\bigl(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)+w(k_3)\bigr)f_3(k_1,k_2,k_3);
\end{eqnarray*} \]
\[ \begin{equation*}
(f_0,f_1) \in {\mathcal F}^{(1)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})),\quad 
(f_0,f_1,f_2) \in {\mathcal F}^{(2)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
(f_0,f_1,f_2,f_3) \in {\mathcal F}^{(3)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})).
\end{equation*} \]

Можно легко проверить, что
\[ \begin{eqnarray*}
&&
(\widehat{{\cal A}}_{01}^*f_0)(k_1)=\alpha v(k_1)f_0, \qquad
(\widehat{{\cal A}}_{12}^*f_1)(k_1,k_2)=\alpha v(k_2)f_1(k_1),
\\
&&
(\widehat{{\cal A}}_{23}^*f_2)(k_1,k_2,k_3)=\alpha v(k_3)f_2(k_1,k_2);
\quad (f_0,f_1,f_2) \in {\mathcal F}^{(2)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})).
\end{eqnarray*} \]

Внедиагональные операторы $\widehat{{\cal A}}_{01}$, $\widehat{{\cal A}}_{12}$ и $\widehat{{\cal A}}_{23}$ называются операторами уничтожения, а $\widehat{{\cal A}}_{01}^*$, $\widehat{{\cal A}}_{12}^*$ и $\widehat{{\cal A}}_{23}^*$ называются операторами рождения [3].

Далее для сокращения записи всюду предполагается, что ${\cal A}_3:={\cal A}$.

Установим связь между спектрами операторных матриц ${\cal A}_m$ и ${\cal A}_m^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$.

Лемма 1. Пусть $m=1, 2, 3$. Между спектрами операторных матриц ${\cal A}_m$ и ${\cal A}_m^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$, справедливо равенство $\sigma({\cal A}_m)=\sigma({\cal A}_m^{(+)}) \cup \sigma({\cal A}_m^{(-)})$. Кроме того, 
\[ \begin{equation*} \sigma_{\rm ess}({\cal A}_m)=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_m^{(+)}) \cup \sigma_{\rm ess}({\cal A}_m^{(-)}), \quad \sigma_{\rm p}({\cal A}_m)=\sigma_{\rm p}({\cal A}_m^{(+)}) \cup \sigma_{\rm p}({\cal A}_m^{(-)}).
\end{equation*} \] 

Доказательство. Введем три оператора перестановки:
\begin{eqnarray*}
&&
\Phi_m: {\mathcal H}^{(m)} \to {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})) \oplus {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})),\quad m=1, 2, 3;\\
&&
\Phi_1: (f_0^{(+)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}, f_1^{(-)}) \to (f_0^{(+)}, f_1^{(-)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}),\\
&&
\Phi_2: (f_0^{(+)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}, f_1^{(-)}, f_2^{(+)}, f_2^{(-)}) \to
(f_0^{(+)}, f_1^{(-)}, f_2^{(+)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}, f_2^{(-)}),\\
&&
\Phi_3: (f_0^{(+)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}, f_1^{(-)}, f_2^{(+)}, f_2^{(-)}, f_3^{(+)}, f_3^{(-)}) \to (f_0^{(+)}, f_1^{(-)}, f_2^{(+)}, f_3^{(-)}, f_0^{(-)}, f_1^{(+)}, f_2^{(-)} f_3^{(+)}).
\end{eqnarray*}

Очевидно, что $\Phi_m $ — унитарная операторная матрица и
\[ \begin{eqnarray*}
&&
\Phi_m^{-1}: {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})) \oplus {\mathcal F}^{(m)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})) \to {\mathcal H}^{(m)}, \quad m=1, 2, 3; \\
&&
\Phi_1^{-1}: (\phi, \phi') \to (\phi_0, \phi_0', \phi_1', \phi_1),\quad
\phi=(\phi_0,\phi_1), \; \phi'=(\phi_0',\phi_1') \in {\mathcal F}^{(1)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}));
\\
&&
\Phi_2^{-1}: (\varphi, \varphi') \to (\varphi_0, \varphi_0', \varphi_1', \varphi_1, \varphi_2, \varphi_2'), \varphi=(\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2), \;
\varphi'=(\varphi_0',\varphi_1',\varphi_2') \in {\mathcal F}^{(2)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}));
\\
&&
\Phi_3^{-1}: (\psi, \psi') \to (\psi_0, \psi_0', \psi_1', \psi_1, \psi_2, \psi_2', \psi_3', \psi_3), \psi=(\psi_0,\psi_1,\psi_2,\psi_3), \;
\psi'=(\psi_0',\psi_1',\psi_2',\psi_3') \in {\mathcal F}^{(3)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d})).
\end{eqnarray*} \]
Тогда из определения операторных матриц ${\cal A}_m,$ ${\cal A}_m^{({\rm s})}$ и $\Phi_m$ следует, что
\[ \begin{equation*}
\Phi_m {\cal A}_m \Phi_m^{-1}=\operatorname{diag} \{{\cal A}_m^{(+)}, {\cal A}_m^{(-)}\}.
\end{equation*} \]

Полученное равенство означает унитарную эквивалентность операторной матрицы ${\cal A}_m$ и диагональной операторной матрицы $\operatorname{diag} \{{\cal A}_m^{(+)}, {\cal A}_m^{(-)}\}$. Отсюда следует связь между спектрами операторных матриц ${\cal A}_m$ и ${\cal A}_m^{({\rm s})}$, указанная в лемме. $\square$

Замечание 1. При $m=1, 2, 3$ часть дискретного спектра $\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{({\rm s})})$ операторной матрицы ${\cal A}_m^{({\rm s})}$ может лежать в существенном спектре $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_m^{(-{\rm s})})$ операторной матрицы ${\cal A}_m^{(-{\rm s})}$, поэтому имеют место соотношения
\[ \begin{equation}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m) \subseteq \sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{(+)}) \cup \sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{(-)}),
\end{equation} \tag{1} \]
\[ \begin{equation}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m) = \{\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{(+)}) \cup \sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{(-)})\}
\setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_m).
\end{equation} \tag{2} \]
Точнее,
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m) = \bigcup_{{\rm s}=\pm} \{\sigma_{\rm disc}({\cal A}_m^{({\rm s})}) \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_m^{(-{\rm s})})\}.
\end{equation*} \]

Очевидно, что при $m=1, 2, 3$ и ${\rm s}=\pm$ операторная матрица ${\cal A}_m^{({\rm s})}$ имеет более простую структуру, чем ${\cal A}_m$, поэтому лемма 1 и соотношения (1), (2) дают возможность получить более точную информацию относительно спектра ${\cal A}_m$.

3. Описание существенного и дискретного спектров операторной матрицы $\boldsymbol{{\cal A}_1}$

Рассмотрим операторную матрицу ${\cal A}_{1,0}^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$, которая действует в ${\mathcal F}^{(1)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$ как
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_{1,0}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]
Тогда оператор возмущения ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}-{\cal A}_{1,0}^{({\rm s})}$ операторной матрицы ${\cal A}_{1,0}^{({\rm s})}$ является самосопряженной операторной матрицей ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр операторной матрицы ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}$ совпадает с существенным спектром операторной матрицы ${\cal A}_{1,0}^{({\rm s})}$. Известно, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1,0}^{({\rm s})})=[-{\rm s}\varepsilon, -{\rm s}\varepsilon+M],
\quad M:=\max\limits_{k \in {\Bbb T}^{\rm d}} w(k).
\end{equation*} \]
Из последних фактов следует, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1}^{({\rm s})})=[-{\rm s}\varepsilon, -{\rm s}\varepsilon+M].
\end{equation*} \]
Тогда, используя лемму 1, получаем, что справедливо равенство
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1})=[-\varepsilon, -\varepsilon+M] \cup [\varepsilon, \varepsilon+M].
\end{equation*} \]

Подчеркнем, что в непрерывном случае [20–23] существенный спектр соответствующий модели состоит из полуоси $[-\varepsilon, \infty)$. В рассматриваемом случае видно, что существенный спектр операторной матрицы ${\cal A}_{1}$ есть объединение двух отрезков конечной длины, которые не пересекаются, если $\varepsilon>M/2$. Иначе говоря, если $\varepsilon>M/2$, то в существенном спектре операторной матрицы ${\cal A}_{1}$ имеется лакуна $(-\varepsilon+M, \varepsilon)$.

Определим функцию
\[ \begin{equation*}
\Omega_1^{({\rm s})}(z):={\rm s} \varepsilon-z-\alpha^2 \int_{{\Bbb T}^{\rm d}}
\frac{v^2(t)dt}{-{\rm s} \varepsilon+w(t)-z},
\end{equation*} \]
регулярную в ${\Bbb C} \setminus [-{\rm s} \varepsilon, -{\rm s} \varepsilon+M]$.

Функция $\Omega_1^{({\rm s})}({}\cdot{})$ называется детерминантом Фредгольма, ассоциированным с операторной матрицей ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}$.

Связь между собственными значениями операторной матрицы ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}$ и нулями функции $\Omega_1^{({\rm s})}({}\cdot{})$ устанавливается следующей леммой.

Лемма 2 [19]. Число $z^{({\rm s})} \in {\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1}^{({\rm s})})$ есть собственное значение операторной матрицы ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}$ тогда и только тогда, когда $\Omega_1^{({\rm s})}(z^{({\rm s})})=0$.

Из леммы 2 вытекает, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{1}^{({\rm s})})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1}^{({\rm s})}):\,
\Omega_1^{({\rm s})}(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]
Тогда с учетом замечания 1 получаем, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{1})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_{1}):\,
\Omega_1^{(+)}(z) \Omega_1^{(-)}(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]

Из определения функции $\Omega_1^{({\rm s})}({}\cdot{})$ и последнего равенства получим следующее утверждение. 

Лемма 3 [19]. При всех $\alpha>0$ операторная матрица ${\cal A}_1$ имеет не менее одного и не более четырех собственных значений.

Замечание 2. Собственное значение $E_0$ операторной матрицы ${\cal A}_1$, которое существует при всех $\alpha>0$, обычно называется основным состоянием. Компоненты соответствующей собственной вектор-функции выглядят так:
\[ \begin{equation*}
f_0^{(+)}=0, \;\;\; f_0^{(-)}={\rm const}\neq 0, \;\;\; 
f_1^{(+)}(k_1)=-\frac{\alpha v(k_1) f_0^{(-)}}{\varepsilon+w(k_1)-E_0}, \;\;\;
f_1^{(-)}(k_1)=0.
\end{equation*} \]

Из приведенных в этом разделе рассуждений можно заметить, что существование изолированных собственных значений операторной матрицы ${\cal A}_1$ тесно связано с операторными матрицами ${\cal A}_1^{({\rm s})}$, ${\rm s}=\pm$. Причем $\sigma_{\rm disc}({\cal A}_1)\neq\emptyset$.

4. Описание спектра операторной матрицы $\boldsymbol{{\cal A}_2}$

В этом разделе для операторной матрицы ${\cal A}_2$ установлено местоположение существенного спектра и приведена оценка его нижней грани, а также изучено местоположение дискретного спектра.

Хорошо известно, что для $\lambda \in {\Bbb R}$ и $A \subset {\Bbb R}$ справедливо соотношение
\[ \begin{equation*}
\lambda+A=\{\lambda+ a: a \in A\}.
\end{equation*} \]

Обозначим
\[ \begin{equation*}
\sigma_1^{({\rm s})}:=\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_{\rm disc}({\cal A}_1^{(-{\rm s})})\},\quad
\Sigma_1^{({\rm s})}:=\sigma_1^{({\rm s})} \cup [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M].
\end{equation*} \]
Отметив, что
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_{\rm ess}({\cal A}_1^{(-{\rm s})})\}=[{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M],
\end{equation*} \]
приходим к равенству
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma({\cal A}_1^{(-{\rm s})})\}=\Sigma_1^{({\rm s})}.
\end{equation*} \]

Местоположение существенного спектра оператора ${\cal A}_2$ описывается следующей теоремой.

Теорема 1. Существенный спектр оператора ${\cal A}_2$ совпадает с множеством $\Sigma_1^{(+)} \cup \Sigma_1^{(-)},$ т.е. $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)=\Sigma_1^{(+)} \cup \Sigma_1^{(-)}$. Более того, множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)$ представляет собой объединение не более чем шести отрезков.

Доказательство. В силу леммы 1 имеем
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{(+)}) \cup \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{(-)}).
\end{equation*} \]
Покажем, что $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})=\Sigma_1^{({\rm s})}$. По определению $\Sigma_1^{({\rm s})}=\sigma_1^{({\rm s})} \cup [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M]$.

Запишем операторную матрицу ${\cal A}_{2}^{({\rm s})}$ в виде суммы двух операторных матриц ${\cal A}_{2}^{({\rm s})}={\cal A}_{2,0}^{({\rm s})}+{\cal A}_{2,1}^{({\rm s})},$ где
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_{2,0}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12}\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right), \qquad 
{\cal A}_{2,1}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{ccc}
\widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{01} & 0\\
\widehat{{\cal A}}_{01}^* & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]

Видно, что операторная матрица ${\cal A}_{2,1}^{({\rm s})}$ есть двумерная самосопряженная операторная матрица. Поэтому $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{2,0}^{({\rm s})})$. Точнее, $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})}) =\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{2,3}^{({\rm s})})$, где
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_{2,3}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cc}
\widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12}\\
\widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]

Можно показать, что оператор ${\cal A}_{2,3}^{({\rm s})}$ коммутирует с любой операторной матрицей $U_\varphi,$ действующей в ${\cal H}_1\oplus
{\cal H}_2$, по правилу
\[ \begin{equation*}
U_\varphi\left( \begin{array}{cc}
f_1(k_2)\\
f_2(k_1,k_2)\\
\end{array}
\right)=\left( \begin{array}{cc}
\varphi(k_1) f_1(k_2)\\
\varphi(k_1) f_2(k_1,k_2)\\
\end{array}
\right), \;\;\; \varphi({}\cdot{})\in C({\Bbb T}^{\rm d}), \;\;\; f_i\in {\cal H}_i, \;\;\; i=1, 2,
\end{equation*} \]
где $C({\Bbb T}^{\rm d})$ — банахово пространство непрерывных функций, определенных на ${\Bbb T}^{\rm d}$.

Следовательно, из разложения в прямой интеграл пространства ${\cal H}_1\oplus {\cal H}_2$:
\[ \begin{equation*}
{\cal H}_1\oplus {\cal H}_2= \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \oplus ({\cal
H}_0\oplus {\cal H}_1)dk_1
\end{equation*} \]
следует, что оператор ${\cal A}_{2,3}^{({\rm s})}$ разлагается в прямой интеграл
\[ \begin{equation}
{\cal A}_{2,3}^{({\rm s})}= \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \oplus (w(k_1)I+{\cal A}_{1}^{(-{\rm s})})dk_1.
\end{equation} \tag{3} \]

Из разложения (3) оператора ${\cal A}_{2,3}^{({\rm s})}$ в силу теоремы о спектре разложимых операторов [25, теорема XIII.86] вытекает, что
\[ \begin{equation*}
\sigma({\cal A}_{2,3}^{({\rm s})})= \bigcup_{k_1\in {\Bbb T}^{\rm d}} \{w(k_1)+\sigma({\cal A}_{1}^{(-{\rm s})})\}.
\end{equation*} \]

Тогда, учитывая равенства
\[ \begin{equation*}
\sigma({\cal A}_{1}^{(-{\rm s})})= \sigma_{\rm disc}({\cal A}_{1}^{(-{\rm s})}) \cup [-{\rm s}\varepsilon, -{\rm s}\varepsilon+M]
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} [-{\rm s}\varepsilon+w(k_1), -{\rm s}\varepsilon+w(k_1)+M]=[-{\rm s}\varepsilon, -{\rm s}\varepsilon+2M],
\end{equation*} \]
мы приходим к равенству $\sigma({\cal A}_{2,3}^{({\rm s})})=\Sigma_1^{({\rm s})}$, т.е. $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})=\Sigma_1^{({\rm s})}.$

Теперь осталось доказать, что множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$ представляет собой объединение не более чем трех отрезков. Так как операторная матрица ${\cal A}_{1}^{({\rm s})}$ имеет не более двух простых собственных значений, лежащих вне отрезка $[{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M]$, и функция $w({}\cdot{})$ непрерывна на ${\Bbb T}^{\rm d}$, то множество $\sigma_1^{({\rm s})}$ состоит из объединения не более чем двух отрезков. Следовательно, множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$ представляет собой объединение не более чем трех отрезков. Доказательство теоремы 1 завершается применением леммы 1. $\square$

Введем подмножества
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm two}({\cal A}_2):=\sigma_1^{(+)} \cup \sigma_1^{(-)} \quad \mbox{и} \quad \sigma_{\rm three}({\cal A}_2):=[-\varepsilon, -\varepsilon+2M]
\cup [\varepsilon, \varepsilon+2M]
\end{equation*} \]
существенного спектра $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)$ оператора ${\cal A}_2$.

Определение 1. Множества $\sigma_{\rm two}({\cal A}_2)$ {и} $\sigma_{\rm three}({\cal A}_2)$ называются соответственно двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора ${\cal A}_2$.

В силу определения множества $\sigma_{\rm three}({\cal A}_2)$ имеет место равенство 
\[ \begin{equation*}
\min(\sigma_{\rm three}({\cal A}_2))=-\varepsilon.
\end{equation*} \]
Определим регулярную в ${\Bbb C} \setminus \Sigma^{({\rm s})}$ функцию
\[ \begin{equation*}
\Omega_2^{({\rm s})}(z):={\rm s}\varepsilon-z-\alpha^2 \int_{{\Bbb T}^{\rm d}}
\frac{v^2(t)dt}{\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(t))}.
\end{equation*} \]
Положим $\Omega_2(z):=\Omega_2^{(+)}(z)\Omega_2^{(-)}(z)$.

Связь между собственными значениями оператора ${\cal A}_2$ и нулями функции $\Omega_2({}\cdot{})$ устанавливается следующей теоремой, в которой также определяется число собственных значений оператора ${\cal A}_2$.

Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:

1. если число $z \in {\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)$ является собственным значением оператора ${\cal A}_2,$ то $\Omega_2(z)=0$, и наоборот;
2. число простых собственных значений оператора ${\cal A}_2$ не больше восьми.

Доказательство. (а) Предположим, что точка $z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_1^{({\rm s})}$ является собственным значением оператора ${\cal A}_2^{({\rm s})}$ с соответствующей собственной вектор-функцией $f=(f_0, f_1, f_2) \in {\mathcal F}^{(2)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$. В этом случае элементы $f_0$, $f_1$ и $f_2$ являются решением системы уравнений
\[ \begin{gather}
({\rm s}\varepsilon-z)f_0+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt=0;
\\
\alpha v(k_1)f_0+(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)-z)f_1(k_1)+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_2(k_1,t)dt=0;
\\
\alpha v(k_2)f_1(k_1)+({\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)-z)f_2(k_1,k_2)=0.
\end{gather} \tag{4} \]

Так как $z \not\in [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M]$, из третьего уравнения системы (4) для $f_2$ имеем
\[ \begin{equation}
f_2(k_1,k_2)=-\frac{\alpha v(k_2)f_1(k_1)}{{\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)-z}.
\end{equation} \tag{5} \]

Подставляя выражение (5) для $f_2$ во второе уравнение (4), получим систему уравнений
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
0=(z-{\rm s}\varepsilon)f_0-\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt,
\\
\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(k_1))f_1(k_1)=-\alpha v(k_1)f_0,
\end{array}
\end{equation} \tag{6} \]
которая имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений (4) имеет нетривиальное решение.

В силу определения множества $\sigma_1^{({\rm s})}$ для любых $z \not \in \sigma_1^{({\rm s})}$ и $k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}$ имеет место неравенство $\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(k_1)) \neq 0$. Значит, система уравнений (6) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle
f_0=(1+z-{\rm s}\varepsilon)f_0-\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt,
\\
\displaystyle
f_1(k_1)=-\frac{\alpha v(k_1)f_0}{\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(k_1))}
\end{array}
\end{equation*} \]
имеет решение, не равное тождественно нулю, или когда $\Omega_2^{({\rm s})}(z)=0$. Теперь замечание 1 завершает доказательство утверждения (а) теоремы 2.

(б) Так как операторная матрица ${\cal A}_2^{({\rm s})}$ является самосопряженной, ее дискретный спектр вещественен. Поэтому исследуем вещественные нули функции $\Omega_2^{({\rm s})}({}\cdot{})$. Из определения функции $\Omega_2^{({\rm s})}({}\cdot{})$ вытекает, что она регулярна на ${\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$. Простые преобразования показывают, что для любого $z \in {\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$ имеет место равенство
\[ \begin{equation*}
\frac{d}{dz} \Omega_2^{({\rm s})}(z)=-1-\int _{{\Bbb T}^{\rm d}}
\frac{v^2(s)}{(\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(s)))^2} 
\biggl( 1+\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \frac{v^2(t)dt}{({\rm s}\varepsilon+w(s)+w(t)-z)^2}\biggr)ds.
\end{equation*} \]
Очевидно, что $\dfrac{d}{dz} \Omega_2^{({\rm s})}(z)<0$ при всех $z \in {\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$. Это и означает, что функция $\Omega_2^{({\rm s})}({}\cdot{})$ монотонно убывает на ${\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$. В силу теоремы 1 множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$ состоит из объединения не более чем трех отрезков, поэтому из монотонности функции $\Omega_2^{({\rm s})}({}\cdot{})$ вытекает, что эта функция может иметь четыре простых нуля в ${\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_2^{({\rm s})})$. Теперь утверждение (а) теоремы 2 завершает доказательство утверждения (б) этой теоремы. $\square$

Из теоремы 2 следует, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{2}^{({\rm s})})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_1^{({\rm s})}:\, \Omega_2^{({\rm s})}(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]
Отсюда с учетом замечания 1 получаем, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{2})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_1^{({\rm s})}:\, \Omega_2(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]

5. Местоположение существенного и дискретного спектров оператора $\boldsymbol{{\cal A}_3}$

Обозначим
\[ \begin{equation*}
\sigma_2^{({\rm s})}:=\!\!\!\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_{\rm disc}({\cal A}_2^{(-{\rm s})})\}
\cup \bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_1^{({\rm s})}\},
\;\;\;
\Sigma_2^{({\rm s})}:=\sigma_2^{({\rm s})} \cup [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+3M].
\end{equation*} \]
Здесь следует отметить, что
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+[{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M]\}=[{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+3M].
\end{equation*} \]
Поэтому имеет место равенство
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma({\cal A}_2^{(-{\rm s})})\}=\Sigma_2^{({\rm s})}.
\end{equation*} \]

Местоположение существенного спектра оператора ${\cal A}_3$ описывается следующей теоремой.

Теорема 3. Существенный спектр оператора ${\cal A}_3$ совпадает с множеством $\Sigma_2^{(+)} \cup \Sigma_2^{(-)},$ т.е. $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_2)=\Sigma_2^{(+)} \cup \Sigma_2^{(-)}$. Более того, множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3)$ представляет собой объединение не более чем четырнадцати отрезков.

Доказательство. В силу леммы 1 имеем
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3)=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{(+)}) \cup \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{(-)}).
\end{equation*} \]
Покажем, что $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})=\Sigma_2^{({\rm s})}$. По определению $\Sigma_2^{({\rm s})}=\sigma_2^{({\rm s})} \cup [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+3M]$.

Запишем операторную матрицу ${\cal A}_{3}^{({\rm s})}$ в виде суммы двух операторных матриц: ${\cal A}_{3}^{({\rm s})}={\cal A}_{3,0}^{({\rm s})}+{\cal A}_{3,1}^{({\rm s})}$, где
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_{3,0}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12} & 0\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{23}\\
0 & 0 & \widehat{{\cal A}}_{23}^* & \widehat{{\cal A}}_{33}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right), 
\qquad
{\cal A}_{3,1}^{({\rm s})}:=\left( \begin{array}{cccc}
\widehat{{\cal A}}_{00}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{01} & 0 & 0\\
\widehat{{\cal A}}_{01}^* & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]

Видно, что ${\cal A}_{3,1}^{({\rm s})}$ есть двумерная самосопряженная операторная матрица. Поэтому $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{3,0}^{({\rm s})})$. Точнее, из одномерности пространства ${\Bbb C}$ и построения операторной матрицы ${\cal A}_{3,0}^{({\rm s})}$ следует, что $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})=\sigma_{\rm ess}({\cal A}_{3,3}^{({\rm s})})$, где
\[ \begin{equation*}
{\cal A}_{3,3}^{({\rm s})}:=\left(\begin{array}{ccc}
\widehat{{\cal A}}_{11}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{12} & 0\\
\widehat{{\cal A}}_{12}^* & \widehat{{\cal A}}_{22}^{({\rm s})} & \widehat{{\cal A}}_{23}\\
0 & \widehat{{\cal A}}_{23}^* & \widehat{{\cal A}}_{33}^{({\rm s})}\\
\end{array}
\right).
\end{equation*} \]

Можно показать, что оператор ${\cal A}_{3,3}^{({\rm s})}$ коммутирует с любой операторной матрицей $V_\varphi$, действующей в ${\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2 \oplus {\cal H}_2$ по правилу
\[ \begin{equation*}
V_\varphi\left( \begin{array}{ccc}
f_1(k_2)\\
f_2(k_1,k_2)\\
f_3(k_1,k_2,k_3)\\
\end{array}
\right)=
\left( \begin{array}{ccc}
\varphi(k_1) f_1(k_2)\\
\varphi(k_1) f_2(k_1,k_2)\\
\varphi(k_1) f_3(k_1,k_2,k_3)\\
\end{array}
\right),\;\; 
\varphi({}\cdot{})\in C({\Bbb T}^{\rm d}), \;\; 
f_i\in {\cal H}_i, \;\; i=1, 2, 3,
\end{equation*} \]
где $C({\Bbb T}^{\rm d})$ — банахово пространство непрерывных функций, определенных на ${\Bbb T}^{\rm d}$.

Следовательно, из разложения в прямой интеграл пространства ${\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2 \oplus {\cal H}_3$:
\[ \begin{equation*}
{\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2 \oplus {\cal H}_3= \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \oplus ({\cal
H}_0 \oplus {\cal H}_1 \oplus {\cal H}_2)dk_1
\end{equation*} \]
следует, что оператор ${\cal A}_{3,3}^{({\rm s})}$ разлагается в прямой интеграл:
\[ \begin{equation}
{\cal A}_{3,3}^{({\rm s})}= \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \oplus (w(k_1)I+{\cal A}_{2}^{(-{\rm s})})dk_1.
\end{equation} \tag{7} \]

Из разложения (7) оператора ${\cal A}_{3,3}^{({\rm s})}$ в силу теоремы о спектре разложимых операторов [25, теорема XIII.86] вытекает, что
\[ \begin{equation*}
\sigma({\cal A}_{3,3}^{({\rm s})})= \bigcup_{k_1\in {\Bbb T}^{\rm d}} \{w(k_1)+\sigma({\cal A}_{2}^{(-{\rm s})})\}.
\end{equation*} \]

Тогда, учитывая равенства
\[ \begin{equation*}
\sigma({\cal A}_{2}^{({\rm s})})= \sigma_{\rm disc}({\cal A}_{2}^{({\rm s})}) \cup \sigma_1^{({\rm s})} \cup [{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+2M]
\end{equation*} \]
и
\[ \begin{equation*}
\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} [{\rm s}\varepsilon+w(k_1), {\rm s}\varepsilon+w(k_1)+2M]=[{\rm s}\varepsilon, {\rm s}\varepsilon+3M],
\end{equation*} \]
мы приходим к равенству $\sigma({\cal A}_{3,3}^{({\rm s})})=\Sigma_2^{({\rm s})}$, т.е. $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})=\Sigma_2^{({\rm s})}$.

Осталось доказать, что множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$ представляет собой объединение не более чем семи отрезков. Так как операторная матрица ${\cal A}_{2}^{({\rm s})}$ имеет не более четырех простых собственных значений, лежащих вне своего существенного спектра, и функция $w({}\cdot{})$ является непрерывной на ${\Bbb T}^{\rm d}$, множество $\sigma_2^{({\rm s})}$ состоит из объединения не более чем шести отрезков. Следовательно, множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$ представляет собой объединение отрезков, число которых не больше семи. Теперь лемма 1 завершает доказательство теоремы 3. $\square$

Введем подмножества
\[ \begin{eqnarray*}
&&
\sigma_{\rm two}({\cal A}_3):=\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_{\rm disc}({\cal A}_2^{(-{\rm s})})\}
\cup \bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_{\rm disc}({\cal A}_2^{({\rm s})})\};
\\
&&
\sigma_{\rm three}({\cal A}_3):=\bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_1^{(-{\rm s})}\}\cup \bigcup_{k_1 \in {\Bbb T}^{\rm d}} \{ w(k_1)+\sigma_1^{({\rm s})}\};\\
&&
\sigma_{\rm four}({\cal A}_3):=[-\varepsilon, -\varepsilon+3M]\cup [\varepsilon, \varepsilon+3M]
\end{eqnarray*} \]
существенного спектра операторной матрицы ${\cal A}_3$.

Определение 2. Множества $\sigma_{\rm two}({\cal A}_3)$, $\sigma_{\rm three}({\cal A}_3)$ и $\sigma_{\rm four}({\cal A}_3)$ называются двухчастичной, трехчастичной и четырехчастичной ветвями существенного спектра оператора ${\cal A}_3$ соответственно.

Из определения множества $\sigma_{\rm four}({\cal A}_3)$ видно, что $\min(\sigma_{\rm four}({\cal A}_3))=-\varepsilon$.

Определим регулярную на ${\Bbb C} \setminus \Sigma_2^{({\rm s})}$ функцию
\[ \begin{equation*}
\Omega^{({\rm s})}(z):={\rm s}\varepsilon-z-\alpha^2 \int_{{\Bbb T}^{\rm d}} \frac{v^2(t)dt}{\Omega_2^{(-{\rm s})}(z-w(t))}.
\end{equation*} \]
Положим $\Omega(z):=\Omega^{(+)}(z)\Omega^{(-)}(z)$.

Связь между собственными значениями оператора ${\cal A}_3$ и нулями функции $\Omega({}\cdot{})$ устанавливается следующей теоремой, в которой также определяется число собственных значений оператора ${\cal A}_3$.

Теорема 4. Справедливы следующие утверждения:

1. если число $z \in {\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3)$ является собственным значением оператора ${\cal A}_3$, то $\Omega(z)=0,$ и наоборот;
2. число простых собственных значений оператора ${\cal A}_3$ не больше шестнадцати.

Доказательство. (а) Предположим, что точка $z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_2^{({\rm s})}$ является собственным значением оператора ${\cal A}_3^{({\rm s})}$ с соответствующей собственной вектор-функцией $f=(f_0,f_1,f_2,f_3) \in {\mathcal F}^{(3)}(L_2({\Bbb T}^{\rm d}))$. В этом случае элементы $f_0$, $f_1$, $f_2$ и $f_3$ являются решением системы уравнений
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
({\rm s}\varepsilon-z)f_0+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt=0;
\\
\displaystyle
\alpha v(k_1)f_0+(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)-z)f_1(k_1)+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_2(k_1,t)dt=0;
\\
\displaystyle
\alpha v(k_2)f_1(k_1)+({\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)-z)f_2(k_1,k_2)+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_3(k_1,k_2,t)dt=0;
\\
\displaystyle
\alpha v(k_3)f_2(k_1,k_2)+\bigl(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)+w(k_3)-z\bigr)f_3(k_1,k_2,k_3)=0.
\end{array}
\end{equation} \tag{8} \]

Так как $z \not\in [-{\rm s}\varepsilon, -{\rm s}\varepsilon+3M]$, из четвертого уравнения системы (8) для $f_3$ имеем
\[ \begin{equation}
f_3(k_1,k_2,k_3)=-\frac{\alpha v(k_3)f_2(k_1,k_2)}{-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)+w(k_2)+w(k_3)-z}.
\end{equation} \tag{9} \]

Подставляя выражение (9) для $f_3$ во второе уравнение (8), получим систему уравнений
\[ \begin{equation}
\begin{array}{l}
\displaystyle
({\rm s}\varepsilon-z)f_0+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt=0;
\\
\displaystyle
\alpha v(k_1)f_0+(-{\rm s}\varepsilon+w(k_1)-z)f_1(k_1)+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t) f_2(k_1,t)dt=0;
\\
\displaystyle
\alpha v(k_2)f_1(k_1)+\Omega_1^{(-{\rm s})}(z-w(k_2))f_2(k_1,k_2)=0,
\end{array}
\end{equation} \tag{10} \]
которая имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений (8) имеет нетривиальное решение.

В силу определения множества $\sigma_2^{({\rm s})}$ для любых $z \not \in \sigma_2^{({\rm s})}$ и $k_2 \in {\Bbb T}^{\rm d}$ имеет место неравенство $\Omega_2^{(-{\rm s})}(z-w(k_2)) \neq 0$. Значит, система уравнений (10) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда система уравнений
\[ \begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle
({\rm s}\varepsilon-z)f_0+\alpha\int_{{\Bbb T}^{\rm d}} v(t)f_1(t)dt=0;
\\
\displaystyle
f_1(k_1)=-\frac{\alpha v(k_1)f_0}{\Omega_2^{(-{\rm s})}(z-w(k_1))}
\end{array}
\end{equation*} \]
имеет решение, не равное тождественно нулю, или когда $\Omega^{({\rm s})}(z)=0$. Теперь замечание 1 завершает доказательство утверждения (а) теоремы 4.

(б) Так как операторная матрица ${\cal A}_3^{({\rm s})}$ является самосопряженной, ее дискретный спектр вещественен. Поэтому исследуем вещественные нули функции $\Omega^{({\rm s})}({}\cdot{})$. Из определения функции $\Omega^{({\rm s})}({}\cdot{})$ вытекает, что она регулярна на ${\Bbb C} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$. Простые вычисления показывают, что
\[ \begin{equation*}
\frac{d}{dz} \Omega^{({\rm s})}(z)=-1-\int_{{\Bbb T}^{\rm d}}
\frac{v^2(t)}{(\Omega_2^{(-{\rm s})}(z-w(s)))^2} 
\cdot
\biggl( 1+\int_{{\Bbb
T}^{\rm d}} \frac{v^2(t)dt}{({\rm s}\varepsilon+w(s)+w(t)-z)^2}\biggr)ds,
\quad z \in
{\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})}).
\end{equation*} \]
Очевидно, что $\dfrac{d}{dz} \Omega^{({\rm s})}(z)<0$ при всех $z \in {\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$. Это и означает, что функция $\Omega^{({\rm s})}({}\cdot{})$ монотонно убывает на ${\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$. В силу теоремы 1 множество $\sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$ состоит из объединения не более чем семи отрезков, поэтому из монотонности функции $\Omega^{({\rm s})}({}\cdot{})$ вытекает, что эта функция может иметь не более восьми простых нулей в ${\Bbb R} \setminus \sigma_{\rm ess}({\cal A}_3^{({\rm s})})$. Теперь утверждение (а) теоремы 4 завершает доказательство утверждения (б) этой теоремы. $\square$

Из теоремы 4 следует, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{3}^{({\rm s})})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_2^{({\rm s})}:\, \Omega^{({\rm s})}(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]
Отсюда с учетом замечания 1 получаем, что
\[ \begin{equation*}
\sigma_{\rm disc}({\cal A}_{3})=\bigl\{z \in {\Bbb C} \setminus \Sigma_2^{({\rm s})}:\, \Omega(z)=0\bigr\}.
\end{equation*} \]

Найденное выше равенство для дискретного спектра операторной матрицы ${\cal A}_{3}$ позволяет определить число и местоположение собственных значений этой матрицы.

Заключение

В настоящей статье исследуется операторная матрица ${\cal A}$ четвертого порядка, которая соответствует гамильтониану системы с несохраняющимся числом и не более четырех частиц на решетке. Эта операторная матрица действует в четырехчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства.

Для рассматриваемой операторной матрицы ${\cal A}$ получены следующие результаты:

• описано местоположение существенного спектра;
• доказано, что существенный спектр состоит из объединения не более шести отрезков;
• определено число и местоположение собственных значений;
• оценена нижняя грань существенного спектра.

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Благодарности. Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам за ценные и полезные замечания.

About the authors

Tulkin Kh. Rasulov

Bukhara State University

Author for correspondence.
Email: rth@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2868-4390

Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor, Vice-Rector for Research and Innovation

Uzbekistan, 705018, Bukhara, Muhammad Ikbol st., 11

Hakimboy M. Latipov

Bukhara State University

Email: h.m.latipov@buxdu.uz
ORCID iD: 0000-0002-4806-0155

Assistant Lecturer, Dept. of Mathematical Analysis

Uzbekistan, 705018, Bukhara, Muhammad Ikbol st., 11

References

Supplementary files