On the solvability of a class of nonlinear two-dimensional integral equations Hammerstein–Nemytskii type on the plane

Full Text

1. Введение

Рассмотрим следующий класс двумерных интегральных уравнений на плоскости $\mathbb{R}^2$ с некомпактным и монотонным оператором типа Гаммерштейна – Немыцкого:
\[ \begin{equation}
f(x,y)=\mu(x,y,f(x,y))+{}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G(f(x',y'))dx' dy',\; (x,y)\in\mathbb{R}^2
\end{equation} \tag{1} \]
относительно искомой непрерывной ограниченной и неотрицательной на множестве $\mathbb{R}^2:=\mathbb{R}\times\mathbb{R},$ $\mathbb{R}:=(-\infty,+\infty)$ функции $f(x,y)$.

В уравнении (1) нелинейности $\mu$ и $G$ — определенные и непрерывные функции соответственно на множествах $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+$ и $\mathbb{R}^+:=[0,+\infty),$ принимают вещественные значения, удовлетворяют условию «критичности»:
\[ \begin{equation*}
\mu(x,y,0)\equiv0,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad G(0)=0
\end{equation*} \]
и некоторым другим условиям (см. ниже). Из условия «критичности» сразу следует существование тривиального (нулевого) решения уравнения (1). Ядро $K$ определено на множестве $\mathbb{R}^2$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. $K\in C_M(\mathbb{R}^2),$ где $C_M(\mathbb{R}^2)$ — пространство непрерывных и ограниченных функций на множестве $\mathbb{R}^2$;
2. $K(x,y)=K(y,x)>0$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2,$ $K(-t,y)=K(t,y),$ $t\in\mathbb{R}^+,$ $y\in\mathbb{R},$ $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x,y)dx dy=1$.

Исследование вопросов существования и единственности для уравнения (1) помимо чисто математического интереса представляет определенный интерес также в приложениях. В частности, при различных представлениях функций $\mu$, $G$ и $K$ такие уравнения возникают в теории $p$-адических открытых и открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов, в математической теории распространения эпидемических заболеваний в рамках модифицированной модели Дикмана – Капера, в кинетической теории газов (см. [1–6]). Следует отметить, что такие интегральные уравнения встречаются также в космологии (см. [7]).

В частном случае, когда $K(x,y)=K_1(x)K_2(y)$¹,а $\mu\equiv0$, вопросы построения нечетных по каждому аргументу ограниченных и монотонных (по $x$ и по $y$) решений обсуждались в работе [8]. В случае, когда $\mu\equiv0$, при более сильных (по сравнению с условиями I, II) условиях на $K$ уравнение (1) исследовалось в работе [9] для нелинейностей $G$, удовлетворяющих следующим условиям:

1. $G\in C(\mathbb{R}^+),$ $y=G(u)$ выпукла вверх на $\mathbb{R}^+$;
2. $y=G(u) \uparrow$ на $\mathbb{R}^+$;
3. существует число $\eta>0$ такое, что $G(\eta)=\eta$;
4. $G(-u)=-G(u)$, $u\in\mathbb{R}^+$.

В этой работе построено знакопеременное непрерывное и ограниченное на $\mathbb{R}^2$ решение. Исследовано асимптотическое поведение решения на бесконечности по каждому аргументу. Небезынтересно отметить, что в одномерном случае уравнение (1) при различных ограничениях на $\mu, G$ и $K$ изучалось в работах [10–13].

Относительно функции $\mu(x,y,u)$ предположим выполнение следующих условий:

1. $\mu\in C(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+)$ и при каждом фиксированном $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ функция $\mu(x,y,u) \uparrow$ по $u$ на $\mathbb{R}^+$;
2. существует $\sup\limits_{u\in\mathbb{R}^+}\mu(x,y,u):=g(x,y),$ причем $g\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2)$;
3. при каждом фиксированном $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ функция $\mu(x,y,u)$ выпукла вверх по $u$ на $\mathbb{R}^+,$ причем $\mu(x,y,u)<u,$ когда $(x,y)\in\mathbb{R}^2,$ а $u\in(\eta,+\infty)$.

В настоящей работе при условиях I, II, 1–3 и a, b мы докажем теорему существования положительного непрерывного и ограниченного решения $f$, причем $f-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2)$. В условиях теоремы существования при дополнительном ограничении на функцию $\mu$ (а именно при условии c) докажем также единственность построенного решения в определенном подклассе ограниченных на $\mathbb{R}^2$ функций. Следует отметить, что в процессе доказательства теоремы единственности решения ключевую роль играет интегральная асимптотика построенного решения. В конце работы приведем конкретные прикладные примеры нелинейностей $\mu$ и $G,$ а также ядра $K$ для иллюстрации важности полученных результатов в области вышеуказанных приложений.

2. Существование ограниченного решения. Интегральная асимптотика построенного решения

Имеет место следующая

Теорема 1. При условиях I, II, 1–3 и a, b уравнение (1) имеет положительное непрерывное и ограниченное на $\mathbb{R}^2$ решение $f(x,y)$, причем $f-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2)$. Более того, если $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}g(x,y)=0$, то $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}f(x,y)=\eta$.

Доказательство. Сперва рассмотрим следующее характеристическое уравнение на множестве $\mathbb{R}^+$:
\[ \begin{equation}
G(u)+\gamma=u,\hspace{2.2cm}
\end{equation} \tag{2} \]
\[ \begin{equation*}
\gamma:=\sup\limits_{(x,y)\in\mathbb{R}^2}g(x,y)<+\infty.
\end{equation*} \]
Из свойств 1–3 немедленно следует, что уравнение (2) имеет положительное решение $\xi$. 

Во-первых убедимся, что
\[ \begin{equation}
\xi>\eta,
\end{equation} \tag{3} \]
где число $\eta$ определяется в условии 3. Действительно, в противном случае в силу свойств 1–3 и положительности числа $\gamma$ получим
\[ \begin{equation*}
1=\frac{G(\eta)}{\eta}\leqslant\frac{G(\xi)}{\xi}=1-\frac{\gamma}{\xi},
\end{equation*} \]
а последнее невозможно. 

Теперь докажем, что характеристическое уравнение (2) имеет единственное положительное решение.

Предположим обратное: существует также $\tilde{\xi}\neq\xi$ такое, что $G(\tilde{\xi})+\gamma=\tilde{\xi}$. Тогда будем иметь
\[ \begin{equation}
G(\tilde{\xi})-\tilde{\xi}=G(\xi)-\xi=-\gamma<0.
\end{equation} \tag{4} \]
Снова принимая во внимание условия 1–3, получаем, что при $\xi>\tilde{\xi}$ имеет место $ {G(\xi)}/{\xi}< {G(\tilde{\xi})}/{\tilde{\xi}}$, а при $\xi<\tilde{\xi}$ справедлива оценка $ {G(\xi)}/{\xi}> {G(\tilde{\xi})}/{\tilde{\xi}}$. В обоих случаях в силу (4) приходим к противоречию. Следовательно, $\tilde{\xi}=\xi$.

Рассмотрим теперь следующие последовательные приближения для уравнения (1):
\[ \begin{multline}
f_{n+1}(x,y)=\mu(x,y,f_n(x,y))+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G(f_n(x', y'))dx' dy',
\\
f_0(x,y)\equiv\eta,\quad (x,y)\in \mathbb{R}^2,\quad n=0, 1, 2, \dots.
\end{multline} \tag{5} \]
Используя оценку (3), тот факт, что число $\xi$ единственным образом определяется из характеристического уравнения (2), а также условия 1–3, a, b, I, II, индукцией по $n$ несложно проверить, что
\[ \begin{equation}
f_n(x,y)\uparrow\,\, \mbox{по}\,\, n,\quad (x,y)\in \mathbb{R}^2,\hspace{2.2cm}
\end{equation} \tag{6} \]
\[ \begin{equation}
f_n(x,y)\leqslant\xi,\quad n=0, 1, 2, \dots,\quad (x,y)\in \mathbb{R}^2,
\end{equation} \tag{7} \]
\[ \begin{equation}
f_n\in C(\mathbb{R}^2),\quad n=0, 1, 2, \dots . \hspace{2.4cm}
\end{equation} \tag{8} \]
Убедимся, что существует константа $C>0$ такая, что
\[ \begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_n(x,y)-\eta)dxdy\leqslant C,\quad n=0, 1, 2, \dots .
\end{equation} \tag{9} \]
С этой целью сперва покажем, что
\[ \begin{equation}
f_n-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2),\quad n=0, 1, 2, \dots.
\end{equation} \tag{10} \]

В случае $n=0$ включение (10) очевидно. Предположим, что $f_n-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2)$ при некотором $n\in\mathbb{N}$. Пусть $\{\delta_j\}_{j=1, 2}$, $\{r_j\}_{j=1,2}$ — произвольные вещественные числа, причем $\delta_1<\delta_2,$ $r_1<r_2$. Тогда из (5) в силу теоремы Фубини (см. [14]), условий I, II, 1–3, a, b и очевидного неравенства $G(u)\leqslant u$, $u\in[\eta,\xi]$ будем иметь
\[ \begin{multline*}
\int_{\delta_1}^{\delta_2}\int_{r_1}^{r_2}(f_{n+1}(x,y)-\eta)dxdy\leqslant \int_{\delta_1}^{\delta_2}\int_{r_1}^{r_2} g(x,y)dxdy+\int_{\delta_1}^{\delta_2}
\int_{r_1}^{r_2}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')(G(f_n(x',y'))-\eta)dx' dy' dx dy\leqslant
\\
\leqslant \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y)dxdy+\int_{\delta_1}^{\delta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')(f_n(x',y')-\eta)dx' dy' dx dy \leqslant \\
\leqslant \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_n(x',y')-\eta)\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')dx dy dx' dy' = \\ =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_n(x',y')-\eta)dx' dy' <+\infty.
\end{multline*} \]
В полученной оценке, устремляя $\delta_1\rightarrow-\infty$, $\delta_2\rightarrow+\infty,$ $r_1\rightarrow-\infty$ и $r_2\rightarrow+\infty$, заключаем, что $f_{n+1}-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2)$.

Вернемся к доказательству оценки (9). Из свойств (6), (7) в силу условий 1–3 для любого $\varepsilon\in(0, 1)$ имеем (см. рис. 1)
\[ \begin{equation}
0\leqslant G(f_n(x,y))-\eta\leqslant\frac{\eta-G(\varepsilon\eta)}{\eta(1-\varepsilon)}(f_n(x,y)-\eta),\; n=0, 1, 2, \ldots,\; (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{11} \]
Очевидно, что $\rho:=\displaystyle\frac{\eta-G(\varepsilon\eta)}{\eta(1-\varepsilon)}\in(0, 1)$, ибо $G(\varepsilon\eta)>\varepsilon\eta,$ $G(\eta)=\eta,$ $y=G(u) \uparrow$ на $\mathbb{R}^+$ и $y=G(u)$ выпукла вверх на $\mathbb{R}^+$.

Рис. 1. [Figure 1]

Принимая во внимание (11), а также условия II, a, b, 1–3, в силу монотонности последовательности $\{f_n(x,y)\}_{n=0}^\infty$ по $n$ и включения (10) из (5) будем иметь
\[ \begin{multline*}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_{n+1}(x,y)-\eta)dx dy\leqslant \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dx dy+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')(G(f_{n+1}(x',y'))-\eta)dx' dy'\leqslant \\
\leqslant \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dx dy+\rho \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_{n+1}(x',y')-\eta)dx' dy',
\end{multline*} \]
откуда следует, что
\[ \begin{equation*}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f_{n+1}(x,y)-\eta)dx dy\leqslant \frac{\eta(1-\varepsilon)}{G(\varepsilon \eta)-\varepsilon\eta} \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dx dy:=C<+\infty.
\end{equation*} \]

Таким образом, из (6)–(9) заключаем, что последовательность непрерывных на $\mathbb{R}^2$ функций $\{f_n(x,y)\}_{n=0}^\infty$ имеет поточечный предел, когда $n\to\infty$: $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x,y)=f(x,y)$, причем предельная функция $f(x,y)$ согласно теореме Б. Леви (см. [14]) обладает следующими свойствами:
\[ \begin{equation}
\eta\leqslant f(x,y)\leqslant\xi,\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2,
\end{equation} \tag{12} \]
\[ \begin{equation}
f-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2),
\end{equation} \tag{13} \]
\[ \begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (f(x,y)-\eta)dx dy\leqslant\frac{\eta(1-\varepsilon)}{G(\varepsilon \eta)-\varepsilon\eta} \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty g(x,y)dx dy.
\end{equation} \tag{14} \]
Учитывая (8), (12), а также непрерывность функций $\mu$, $K$ и $G$, заключаем, что $f\in C(\mathbb{R}^2)$. Для завершения доказательства осталось убедиться, что если $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}g(x,y)=0$, то существуют $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}f(x,y)=\eta$. Действительно, из (1), (12), a, b, 1–3, во-первых, следует, что
\[ \begin{equation}
0\leqslant f(x,y)-\eta\leqslant g(x,y) + {} \\ {}+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')(f(x', y')-\eta)dx' dy',\, (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{15} \]
С другой стороны, известно, что если $\varphi, \psi\in L_1(\mathbb{R})\cap M(\mathbb{R})$, то (см. [15])
\[ \begin{equation}
(\varphi*\psi)(x):=\int_{-\infty}^\infty \varphi(x-x')\psi(x')dx'\rightarrow0,
\end{equation} \tag{16} \]
при $x\rightarrow\pm\infty$.

Учитывая (13), II, I, (16), а также предельное соотношение $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}g(x,y)=0$, из (15) получаем, что $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\lim\limits_{y\rightarrow\pm\infty}f(x,y)=\eta$.

Таким образом, теорема полностью доказана. $\square$

Замечание 1. Заметим, что на самом деле построенное нами решение $f(x,y)$ удовлетворяет следующему строгому неравенству снизу:
\[ \begin{equation}
f(x,y)>\eta,\quad (x,y)\in \mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{17} \]
Действительно, из (1), (12), II, 3 в силу монотонности функций $\mu$ и $G$ по $u$ получаем
\[ \begin{equation*}
f(x,y)\geqslant \mu(x,y,\eta)+ G(\eta) \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')dx' dy'>G(\eta)=\eta,\, (x,y)\in \mathbb{R}^2.
\end{equation*} \]

Замечание 2. Рассмотрим теперь следующий класс нелинейных двумерных интегральных уравнений на $\mathbb{R}^2$:
\[ \begin{equation}
\Phi(x,y)= \mu_0(x,y)G_0(\Phi(x,y))+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G_1(\Phi(x',y'))dx' dy',\, (x,y)\in \mathbb{R}^2
\end{equation} \tag{18} \]
относительно искомой неотрицательной функции $\Phi(x,y)$. В уравнении (18) $\mu_0$ — положительная непрерывная суммируемая и ограниченная на $\mathbb{R}^2$ функция, ядро $K$ удовлетворяет условиям I, II, а функции $G_0$ и $G_1$ допускают следующие представления:
\[ \begin{equation}
G_0(u):=G(u+\eta),\hspace{.68cm}
\end{equation} \tag{19} \]
\[ \begin{equation}
G_1(u):=G(u+\eta)-\eta,
\end{equation} \tag{20} \]
где $G(u)$ обладает свойствами 1–3, причем
\[ \begin{equation*}
\varkappa:=\sup\limits_{u\in\mathbb{R}^+}G(u)<+\infty.
\end{equation*} \]

Несложно проверить, что функция $\mu(x,y,u)=\mu_0(x,y)G_0(u)$ удовлетворяет условиям a, b, а при условии $\varkappa\leqslant {1}/{2}$ выполняется также условие c. Следовательно, согласно теореме 1 уравнение (1) с нелинейностью вида $\mu(x,y,u)=\mu_0(x,y)G_0(u)$ имеет положительное непрерывное и ограниченное решение со свойствами (12)–(14). Заметим, что функция $\Phi^*(x,y)=f(x,y)-\eta\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2)$ является решением уравнения (18). Действительно, учитывая II, (20), (19), (1), из (18) будем иметь
\[ \begin{multline*}
\mu_0(x,y)G_0(\Phi^*(x,y))+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G_1(\Phi^*(x',y'))dx' dy'= \mu_0(x,y) G(f(x,y))+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')(G(f(x',y'))-\eta)dx' dy'=
\\
=\mu(x,y,f(x,y))+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G(f(x',y'))dx' dy'-\eta=f(x,y)-\eta=\Phi^*(x,y).
\end{multline*} \]

3. Единственность решения. Примеры

В настоящем разделе займемся вопросом единственности решения уравнения (1) в следующем классе ограниченных и неотрицательных на $\mathbb{R}^2$ функций:
\[ \begin{equation*}
\mathfrak{M}:=\{f\in C_M(\mathbb{R}^2): f(x,y)\geqslant0,\, (x,y)\in\mathbb{R}^2,\, \exists\, r>0,\, {\rm s.t.} \, \inf\limits_{(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash B_r}f(x,y)>0\},
\end{equation*} \]
где
\[ \begin{equation*}
B_r:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : |x|\leqslant r, |y|\leqslant r\}.
\end{equation*} \]

Справедлива следующая

Теорема 2. При условиях теоремы 1, если функция $\mu(x,y,u)$ дополнительно удовлетворяет условию с. то уравнение (1) в классе $\mathfrak{M}$ не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть $f^*(x,y)$ — произвольное решение уравнения (1) из класса $\mathfrak{M}$. Сперва докажем, что на самом деле
\[ \begin{equation*}
t:=\inf\limits_{(x,y)\in\mathbb{R}^2}f^*(x,y)>0.
\end{equation*} \]
Действительно, во-первых, если обозначим через $c_0:=\inf\limits_{(x,y)\in\mathbb{R}^2\backslash B_r}f^*(x,y)>0$ (так как $f^*\in \mathfrak{M}$), то в силу свойств 1–3, a, b и II из (1) для всех $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ будем иметь следующие оценки:
\[ \begin{multline*}
f^*(x,y)\geqslant \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')G(f^*(x',y'))dx' dy' \geqslant \int_{-\infty}^{-r}\int_{r}^\infty K(x-x', y-y')G(f^*(x',y'))dx' dy'+
\\
+\int_{r}^{\infty}\int_{r}^{\infty} K(x-x', y-y')G(f^*(x',y'))dx' dy'+
\int_{-\infty}^{-r}\int_{-\infty}^{-r} K(x-x', y-y')G(f^*(x',y'))dx' dy'+
\\
+\int_r^\infty\int_{-\infty}^{-r} K(x-x', y-y')G(f^*(x',y'))dx' dy' \geqslant G(c_0)\biggl(\int_{-\infty}^{-r} \int_{r}^\infty K(x-x', y-y')dx' dy'+
\\
+\int_{r}^{\infty}\int_{r}^{\infty} K(x-x', y-y')dx' dy'+\int_{-\infty}^{-r}\int_{-\infty}^{-r} K(x-x', y-y')dx' dy' + \int_r^\infty\int_{-\infty}^{-r} K(x-x', y-y')dx' dy'\biggr)=
\\
=G(c_0)\biggl(\int_{-\infty}^{-r-y}\int_{r-x}^\infty K(u,v)dudv+ \int_{r-y}^{\infty}\int_{r-x}^\infty K(u,v)dudv+
\int_{-\infty}^{-r-y}\int_{-\infty}^{-r-x} K(u,v)dudv+\int_{r-y}^{\infty}\int_{-\infty}^{-r-x}K(u,v)du dv\biggr) :=\sigma(x,y). 
\end{multline*} \]
Обозначим через $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ и $\Pi_4$ следующие части $\mathbb{R}^2$:
\[ \begin{equation*}
\Pi_1:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0, y<0\},\quad \Pi_2:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\geqslant0, y\geqslant0\},
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
\Pi_3:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x<0, y<0\},\quad \Pi_4:=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\leqslant0, y\geqslant0\}.
\end{equation*} \]
Теперь оценим снизу функцию $\sigma(x,y)$ на каждом из множеств $\Pi_j$, $j=1,2,3,4.$ В силу условия II имеем следующие оценки:

• если $(x,y)\in\Pi_1,$ то
  \[ \begin{equation*}
  \sigma(x,y)\geqslant G(c_0)\int_{-\infty}^{-r-y}\int_{r-x}^\infty K(u,v)dudv \geqslant G(c_0)\int_{-\infty}^{-r}\int_r^\infty K(u,v)dudv= G(c_0)\int_r^\infty\int_r^\infty K(u,v)dudv:=\alpha_0>0;
  \end{equation*} \]
• если $(x,y)\in\Pi_2,$ то
  \[ \begin{equation*}
  \sigma(x,y)\geqslant G(c_0)\int_{r-y}^{\infty}\int_{r-x}^\infty K(u,v)dudv \geqslant G(c_0)\int_r^\infty\int_r^\infty K(u,v)dudv=\alpha_0;
  \end{equation*} \]
• если $(x,y)\in\Pi_3,$ то
  \[ \begin{equation*}
  \sigma(x,y)\geqslant G(c_0)\int_{-\infty}^{-r-y}\int_{-\infty}^{-r-x} K(u,v)dudv \geqslant G(c_0)\int_{-\infty}^{-r} \int_{-\infty}^{-r}K(u,v)dudv= G(c_0)\int_r^\infty\int_r^\infty K(u,v)dudv=\alpha_0;
  \end{equation*} \]
• если $(x,y)\in\Pi_4,$ то
  \[ \begin{equation*}
  \sigma(x,y)\geqslant G(c_0)\int_{r-y}^\infty\int_{-\infty}^{-r-x} K(u,v)dudv \geqslant G(c_0)\int_r^\infty \int_{-\infty}^{-r}K(u,v)dudv= G(c_0)\int_r^\infty\int_r^\infty K(u,v)dudv=\alpha_0.
  \end{equation*} \]

Так как $\bigcup\limits_{j=1}^4 \Pi_j=\mathbb{R}^2$, для всех $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ имеем $\sigma(x,y)\geqslant\alpha_0>0$. Следовательно, $t\geqslant\alpha_0>0$. Убедимся теперь, что $t\geqslant\eta$. Действительно, из уравнения (1) в силу условий 1–3, a, b и I, II имеем
\[ \begin{equation*}
f^*(x,y)\geqslant G(t)\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y')dx' dy'=G(t),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2,
\end{equation*} \]
откуда, принимая во внимание определение числа $t$, получаем, что $t\geqslant G(t)$. Следовательно, учитывая 1–3, приходим к неравенству $t\geqslant\eta$. Аналогично, как в замечании 1, можно убедиться, что
\[ \begin{equation}
f^*(x,y)>\eta, \quad (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{21} \]
Несложно доказать также, что
\[ \begin{equation}
f^*(x,y)\leqslant\xi, \quad (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{22} \]
Очевидно, что для завершения доказательства сформулированной теоремы достаточно доказать, что $f^*(x,y)=f(x,y)$, где $f(x,y)$ — решение уравнения (1), построенное при помощи последовательных приближений (5). Предположим обратное: существует точка $(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2$ такая, что $f^*(x_0,y_0)\neq f(x_0,y_0)$. В силу непрерывности функций $f^*$ и $f$ существует окрестность $O(x_0,y_0)$ этой точки такая, что $f^*(x,y)\neq f(x,y),$ $(x,y)\in O(x_0,y_0)$. Обозначим через $\mathcal{D}$ следующее измеримое множество:
\[ \begin{equation*}
\mathcal{D}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : f^*(x,y)\neq f(x,y)\}.
\end{equation*} \]
Очевидно, что $O(x_0,y_0)\subset \mathcal{D}$ и $\operatorname{mes}\mathcal{D}>0$. Учитывая (1) оценим теперь следующую разность:
\[ \begin{equation}
|f(x,y)-f^*(x,y)|\leqslant |\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y') |G(f(x',y'))-G(f^*(x',y'))|dx' dy',\, (x,y)\in\mathbb{R}^2.
\end{equation} \tag{23} \]
Сперва убедимся, что
\[ \begin{equation}
\chi_1(x,y):=(G(f(x,y))-\eta)\cdot|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2),
\end{equation} \tag{24} \]
\[ \begin{equation}
\chi_2(x,y):=(G(f(x,y))-\eta) 
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y') \cdot |G(f(x',y'))-G(f^*(x',y'))|dx' dy'\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2).
\end{equation} \tag{25} \]
Действительно, учитывая (8), (12), (22) и условия a, b, II, 1–3, будем иметь
\[ \begin{equation*}
0\leqslant \chi_1(x,y)\leqslant 2g(x,y)(f(x,y)-\eta)\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2),
\end{equation*} \]
\[ \begin{equation*}
0\leqslant \chi_2(x,y)\leqslant 2G(\xi)(f(x,y)-\eta)\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap M(\mathbb{R}^2), \,
\end{equation*} \]
Следовательно, включения (24) и (25) доказаны. Умножим обе части неравенства (23) на функцию $G(f(x,y))-\eta$ и проинтегрируем полученное неравенство на $\mathbb{R}^2$. Принимая во внимание (24), (25), условия I, II, в силу теоремы Фубини получим
\[ \begin{multline*}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(G(f(x,y))-\eta) |f(x,y)-f^*(x,y)|dxdy \leqslant \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(G(f(x,y))-\eta)|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|dxdy+ 
{}
\\
{}
+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty(G(f(x,y))-\eta)\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty K(x-x', y-y') \cdot |G(f(x',y'))-G(f^*(x',y'))|dx' dy' dxdy= {}
\\
{}
=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (G(f(x,y))-\eta)|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|dxdy +{}
\\
{}
+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty |G(f(x',y'))-G(f^*(x',y'))|
\cdot \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty K(x'-x, y'-y)(G(f(x,y))-\eta) dxdy dx' dy' =
{}
\\
{}
=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty (G(f(x,y))-\eta)|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|dxdy+
{}
\\
{}
+\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty |G(f(x',y'))-G(f^*(x',y'))| (f(x',y')-\mu(x',y',f(x',y'))-\eta)dx' dy'.
\end{multline*} \]

Полученное неравенство в силу оценки (17) и определения множества $\mathcal{D}$ можно переписать в следующем виде:
\[ \begin{multline}
\iint_{\mathcal{D}}(f(x,y)-\eta) |f(x,y)-f^*(x,y)|\Bigl( \frac{G(f(x,y))-\eta}{f(x,y)-\eta} - \frac{G(f(x,y))-\eta}{f(x,y)-\eta} 
\cdot \frac{|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|}- {}
\\ 
{}- \frac{|G(f(x,y))-G(f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|}+\frac{|G(f(x,y))-G(f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|} \cdot \frac{\mu(x,y,f(x,y))}{f(x,y)-\eta}\Bigr) dxdy \leqslant 0.
\end{multline} \tag{26} \]
Учитывая условие c, можем утверждать, что для всех $(x,y)\in\mathcal{D}$ имеем
\[ \begin{equation}
\frac{\mu(x,y,f(x,y))}{f(x,y)-\eta}>\frac{\mu(x,y,f(x,y))}{f(x,y)}>\frac{|\mu(x,y,f(x,y))-\mu(x,y,f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|},
\end{equation} \tag{27} \]
\[ \begin{equation}
\mu(x,y,f(x,y))<f(x,y).
\end{equation} \tag{28} \]
Принимая во внимание (27), (28) и (26), приходим к следующему неравенству:
\[ \begin{multline}
\displaystyle \iint\limits_{\mathcal{D}}(f(x,y)-\eta) |f(x,y)-f^*(x,y)|\Bigl( 
\frac{G(f(x,y))-\eta}{f(x,y)-\eta}-\frac{G(f(x,y))-\eta}{f(x,y)-\eta}\cdot\frac{\mu(x,y,f(x,y))}{f(x,y)}- {} \\
\displaystyle {}\frac{|G(f(x,y))-G(f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|}+\frac{|G(f(x,y))-G(f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|}\cdot
\frac{\mu(x,y,f(x,y))}{f(x,y)}\Bigr)dxdy\leqslant0.
\end{multline} \tag{29} \]
Из свойств нелинейности 1–3 с учетом неравенств (17) и (21) имеем (см. рис. 2):
\[ \begin{equation}
\frac{G(f(x,y))-\eta}{f(x,y)-\eta}> \frac{|G(f(x,y))-G(f^*(x,y))|}{|f(x,y)-f^*(x,y)|},\quad (x,y)\in\mathcal{D}.
\end{equation} \tag{30} \]

Рис. 2. [Figure 2]

Из оценок (30) и (28) в (29) приходим к противоречию. Следовательно, $f(x,y)=f^*(x,y),$ Теорема доказана. $\square$

Замечание 3. Отметим, что полученные результаты можно распространить на $n$-мерные аналоги $(n>2)$ уравнения (1).

Приведем конкретные примеры нелинейностей $\mu, G$ и ядра $K,$ удовлетворяющих всем условиям доказанных теорем.

3.1. Примеры функции $\boldsymbol{\mu(x,y,u)}$

1. $\mu(x,y,u)=\mu_0(x,y)(1-e^{-u})$, $(x,y,u)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+$;
2. $\mu(x,y,u)=\mu_0(x,y)\dfrac{u}{u+1}$, $(x,y,u)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+$;
3. $\mu(x,y,u)=\dfrac{\mu_0(x,y)}2 \Bigl(\dfrac{u}{u+1}+1-e^{-u}\Bigr) $, $(x,y,u)\in\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+$, где $\mu_0\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap C_M(\mathbb{R}^2)$ — произвольная положительная функция.

3.2. Примеры функции $\boldsymbol{G(u)}$

1. $G(u)=\gamma(1-e^{-u})$, $\gamma>1$ — произвольный числовой параметр, а $u\in\mathbb{R}^+$;
2. $G(u)=u^\alpha$, $\alpha\in(0, 1)$ — числовой параметр, $u\in\mathbb{R}^+$;
3. $G(u)=\dfrac12 \Bigl(\dfrac{u}{u+1}+u^\alpha\Bigr) $, $\alpha\in(0, 1)$, $u\in\mathbb{R}^+$.

3.3. Примеры ядра $\boldsymbol{K(x,y)}$

1. $K(x,y)=\dfrac{1}{\pi}e^{-(x^2+y^2)}$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$;
2. $K(x,y)=\displaystyle \int_a^b e^{-(|x|+|y|)s}d\sigma(s)$, $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, где $\sigma(s)$ — определенная на $[a, b),$ $ 0<a<b\leqslant+\infty$ монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая равенству 
   \[ \begin{equation*}
   \int_a^b\frac{1}{s^2}d\sigma(s)=\frac{1}{4}.
   \end{equation*} \]

Подробно остановимся на примере 3. Проверка остальных примеров осуществляется аналогичным образом. Во-первых, очевидно, что $\mu\in C(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^+)$ и $\sup\limits_{u\in\mathbb{R}^+}\mu(x,y,u)=\mu_0(x,y)\in L_1(\mathbb{R}^2)\cap C_M(\mathbb{R}^2)$.

Так как 
\[ \begin{equation*}
\dfrac{\partial\mu}{\partial u}=\dfrac{\mu_0(x,y)} 2 \Bigl(\dfrac{1}{(u+1)^2}+e^{-u}\Bigr) >0,
\end{equation*} \] 
$\mu \uparrow$ по $u$ на $\mathbb{R}^+$. С другой стороны,
\[ \begin{equation*}
\frac{\partial^2\mu}{\partial u^2}= - \frac{\mu_0(x,y)}2 
\Bigl(\frac{2}{(u+1)^3}+e^{-u}\Bigr) <0.
\end{equation*} \]
Следовательно, $\mu(x,y,u)$ выпукла вверх по $u$ на $\mathbb{R}^+$. Осталось проверить неравенство
\[ \begin{equation}
\mu(x,y,u)<u\quad \mbox{при}\quad u>\eta.
\end{equation} \tag{31} \]
Обозначим через $d:=\sup\limits_{(x,y)\in\mathbb{R}^2}\mu_0(x,y)<+\infty$. Тогда будем иметь
\[ \begin{equation*}
\mu(x,y,u)\leqslant\frac{d}{2}\Bigl(\frac{u}{u+1}+1-e^{-u}\Bigr)\leqslant \frac{d}{2}\frac{2u+1}{u+1}\leqslant d,
\quad u\in \mathbb{R}^+.
\end{equation*} \]
Таким образом, если $d<\eta$, то оценка (31) будет выполнена.

Отметим, что приведенные примеры имеют также практическое значение в математической физике и в математической биологии (см. [1–6]).

Конкурирующие интересы. Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем.
Авторский вклад и ответственность. Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами.
Финансирование. Исследование выполнено при финансовой поддержке Комитета по науке РА в рамках научного проекта № 21T-1A047.

---

¹Ядра $\{K_j(u)\}_{j=1,2}$ являются четными ограниченными положительными суммируемыми и монотонно убывающими на $\mathbb{R}^+$ функциями, причем $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty K_j(u)du=1,$ $j=1, 2$.

About the authors

Khachatur A. Khachatryan

Yerevan State University

Author for correspondence.
Email: khachatur.khachatryan@ysu.am
ORCID iD: 0000-0002-4835-943X
http://www.mathnet.ru/person27540

D.Sc. (Phys. & Math. Sci.), Professor; Head of the Dept., Dept. of Theory of Functions and Differential Equations

Armenia, 0025, Yerevan, A. Manukyan str., 1

Haykanush S. Petrosyan

Armenian National Agrarian University

Email: haykuhi25@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-7172-4730

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor, Dept of Higher Mathematics and Physics

Armenia, 0009, Yerevan, Marshal Teryan str., 74

References

Supplementary files