# Abstract

For a mixed elliptic-hyperbolic type equation with characteristic degeneration, the first boundary value problem in a rectangular region is investigated. The criterion for the uniqueness of the solution of the problem is established. Earlier, in proving the uniqueness of solutions of boundary value problems for equations of mixed type, the extremum principle or the method of integral identities was used. The uniqueness of the solution to this problem is established on the basis of the completeness of the system of eigenfunctions of the corresponding one-dimensional spectral problem. The solution of the problem is constructed as a sum of a series in the system of eigenfunctions. When we proved the convergence of the obtained series, the problem of small denominators of a more complicated structure than in other known works arose. These denominators contain a parameter depending on the lengths of the sides of the rectangle in the hyperbolic part of the domain and the exponent of the degree of degeneration. In this connection, estimates are established about separation from zero with the corresponding asymptotics, in cases where this parameter is a natural, rational and algebraic irrational number of degree two. If this parameter is not an algebraic irrational number of degree two, then the solution of the problem as a sum of a series does not exist. Using the obtained estimates, the uniform convergence of the constructed series in the class of regular solutions is justified under certain sufficient conditions with respect to the boundary functions. The stability of the solution of the problem with respect to the boundary functions in the norms of the space of summable functions and in the space of continuous functions is also proved.

# Full Text

\Section[n]{Введение} Для уравнения смешанного эллиптико=гиперболического типа $$\label{saby:1.1} Lu= u_{xx}+(\mathop{\rm{sgn}} y)\,|y|^{n}u_{yy}+a|y|^{n-1}u_{y}-bu=0$$ в прямоугольной области $D=\{(x,y) \mid 0<x<l,-\alpha <y<\beta\}$, где $l>0,$ $\alpha>0,$ $\beta>0,$ $0<a<1,$ $0<n<{a+1},$ $b$ --- заданные действительные числа, поставим следующую граничную задачу. \smallskip {\small{\sc Задача Дирихле.}}{\emph{ Найти функцию $u(x,y),$ удовлетворяющую условиям}} \begin{gather}\label{saby:1.2} u(x,y)\in C(\overline{D})\cap C^{1}_{x}(\overline{D})\cap C^{2}(D_{+}\cup D_{-}); \label{saby:1.3} \lim_{y\rightarrow{0+0}}y^{a}u_{y}(x,y)=\lim_{y\rightarrow{0-0}}(-y)^{a}u_{y}(x,y); \label{saby:1.4} Lu(x,y)\equiv 0,\quad (x,y)\in D_{+}\cup D_{-}; \label{saby:1.5} u(0,y)=u(l,y)=0,\quad -\alpha\leq y \leq \beta; \label{saby:1.6} u(x,\beta)=f(x),\quad u(x,-\alpha)=g(x),\quad 0\leq x \leq l, \end{gather} {\emph{где $D_{-}=D\cap \{y<0\},$ $D_{+}=D\cap \{y>0\},$ $f(x)$ и $g(x)$ --- заданные достаточно гладкие функции$,$ удовлетворяющие условиям $f(0)=f(l)=0,$ ${g(0)=g(l)=0.}$ }} \smallskip М.~В.~Келдыш [1] впервые исследовал более общее эллиптическое уравнение второго порядка от двух переменных, чем уравнение \eqref{saby:1.1}, при $y>0,$ с~характеристическим вырождением. Он показал, что корректность первой граничной задачи существенным образом зависит от показателя степени вырождения и~коэффициента при младшей производной $u_{y}$. Опираясь на эту работу, И.~Л.~Кароль [2] исследовал задачу Трикоми для уравнения смешанного типа \eqref{saby:1.1} при $n=1$ и $b=0,$ т.е. для уравнения $$\label{saby:1.190} u_{xx}+yu_{yy}+au_{y}=0$$ в области $G$, где $G$ --- область плоскости $XOY,$ ограниченная простой жордановой кривой $\Gamma,$ лежащей в полуплоскости $y>0$ с концами в точках $O(0,0)$ и $A(1,0),$ характеристиками $OC$ и~$AC$ уравнения, расположенными в~полуплоскости $y<0.$ Им было доказано, что постановка краевых задач для уравнений смешанного типа с~характеристическим вырождением \eqref{saby:1.190} в~области $G$ зависит от коэффициента $a$ и~класса решений уравнения~\eqref{saby:1.190}. Это является существенным отличием от постановки краевых задач для уравнений с~нехарактеристическим вырождением. В~качестве примера: задача Трикоми при значении коэффициента $a<0$ недоопределена, а уже при $a>0$ --- переопределена. И.~Л.~Кароль для уравнения \eqref{saby:1.190} в области $G$ при $0<a<1$ исследовал задачу Трикоми, где на линии перехода %вместо обычного требования непрерывности производной по нормали вводится условие сопряжения с весом: $$\lim_{y\rightarrow{0+0}}y^{a}u_{y}(x,y)=k\lim_{y\rightarrow{0-0}}y^{a}u_{y}(x,y),\quad 0<x<1,$$ где $k=-1$ при $0<a<1/2,$ $k=1$ при $1/2<a<1.$ Задача Трикоми при $a<0$ становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.~С.~Исамухамедов [3] впервые исследовал задачу Трикоми для уравнения \eqref{saby:1.190} при $a=-n+a_{0},$ $a_{0}\in(0, 1/2)\cup(1/2, 1),$ где эллиптический контур $\Gamma$ предполагается <<нормальным>> по терминологии Трикоми, т.е. имеет вид $(x-{1}/{2})^{2}+4y={1}/{4}.$ На линии вырождения кроме условия непрерывности решения также задавалось условие склеивания $$\label{saby:8.1} \nu_{1}(x)=(-1)^{n}\nu_{2}(x),$$ где $$\nu_{1}(x)=\lim_{y\rightarrow{0+}}y^{a}[u_{y}+B^{+}_{a}(u)], \quad \nu_{2}(x)=\lim_{y\rightarrow{0-}}(-y)^{a}[u-B^{-}_{a}(x, y, \tau)]_{y},$$ $B^{+}_{a}(u)$ --- некоторый дифференциальный оператор, $B^{-}_{a}(x, y, \tau)$ --- решение уравнения \eqref{saby:1.190}, удовлетворяющее условиям $$B^{-}_{a}(x, 0, \tau)=\tau(x),\quad \lim_{y\rightarrow{0-}}(-y)^{a}\frac{\partial}{\partial y}B^{-}_{a}(x, y, \tau)=0.$$ М.~Ю.~Крикунов [4] изучал задачу Трикоми для уравнения \eqref{saby:1.190} при $a\hm =-n+1/2.$ Р.~С.~Хайруллин [5] для уравнения \eqref{saby:1.190} в~случае когда $a\leq{-1/2}$ в~смешанной области $G$, где кривая $\Gamma$ является <<нормальным>> контуром, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. Р.~И.~Сохадзе [6] для уравнения \eqref{saby:1.190} при $0<a<1$ исследовал первую краевую задачу в~прямоугольной области $D$ (где $l=1$) при условии, что при всех $n\in\mathbb{N}$ $$J_{a-1}(2\pi k\sqrt{\alpha}) I_{1-a}(2\pi k\sqrt{\beta})+J_{1-a}(2\pi k\sqrt{\alpha}) I_{a-1}(2\pi k\sqrt{\beta})\neq{0},$$ где $J_{1-a}(z)$ и $I_{1-a}(z)$ --- функции Бесселя первого рода порядка $1-a$ с~действительными и~чисто мнимыми аргументами соответственно. А~в~другой работе этого же автора [7] для уравнения \eqref{saby:1.190} при $a>1$, где $a$ --- фиксированное целое число, изучена задача Дирихле со следующими весовыми условиями склеивания: \begin{gather*} \lim\limits_{y\rightarrow 0+0}y^{a-1}u(x,y)=\lim\limits_{y\rightarrow 0-0}(-y)^{a-1}u(x,y), \quad 0\leq x\leq 1; \lim\limits_{y\rightarrow 0+0}y^{a}u_{y}(x,y)=\lim\limits_{y\rightarrow 0-0}(-y)^{a}u_{y}(x,y),\quad 0\leq x\leq 1. \end{gather*} В этих работах методом разделения переменных построены частные решения уравнения \eqref{saby:1.190} при указанных значениях $a$. Решение задачи формально построено в виде суммы ряда, но отсутствуют четкие доказательства единственности поставленных задач и не приводятся обоснования сходимости рядов. Для уравнения смешанного типа второго рода $$\label{saby:1.142} u_{xx}+\mathop{\rm{sgn}} y \,|y|^{m}u_{yy}-b^{2}u=0, \quad 0<m<2, \quad b={\rm{const}}\geq 0,$$ в прямоугольной области $D$ в зависимости от значений параметра $m$ К.~Б.~Сабитовым и~А.~Х.~Трегубовой (Сулеймановой) [8] была решена первая граничная задача и~видоизмененные задачи. Решение задач построено в виде суммы ряда Фурье. Доказаны теоремы единственности решения задач и~найдены достаточные условия сходимости рядов в соответствующих классах решений уравнения \eqref{saby:1.142} при следующих значениях параметра $m$: $0<m<1,$ $1<m<2,$ $m=1.$ Р.~С.~Хайруллин Хайруллин [9], используя методы работ [8–10], установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения \eqref{saby:1.190} в прямоугольной области $D$ при отрицательных значениях параметра $a\leq -1/2$, при этом на линии изменения типа уравнения задаются неклассические условия сопряжения типа \eqref{saby:8.1}. Позже в~работе [11] он показал существование решения этой задачи. Отметим также работы А. И. Кожанова [12, 13], И. Е. Егорова [14, 15] и их учеников, где изучались краевые задачи для уравнений смешанного типа функциональными методами. Автором [16] исследована нелокальная задача, близкая к~задаче \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}, для уравнения смешанного типа с~нехарактеристическим вырождением вида $$\label{saby:8.2} K(y)u_{xx}+u_{yy}=0,$$ где $K(y)= \mathop{\rm sgn}\;y |y|^{m},$ $m>0.$ Уравнение \eqref{saby:8.2} сводится к~уравнению \eqref{saby:1.190} путем замены $x=x,$ $z=|y|^{m+2}/{(m+2)^{2}},$ где $a=({m+1})/({m+2})\in (1/2, 1).$ \smallskip Данная работа является продолжением исследований автора [16–18]. Здесь при всех $a\in(0,1)$ и $0<n<a+1$ установлен критерий единственности решения задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}. \smallskip \hypertarget{saby:th1}{} {\small\sc{Теорема 1 (Критерий единственности решения).}} \it Если существует решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}$,$ то для его единственности необходимо и достаточно$,$ чтобы при всех $n\in{\mathbb{N}}$ выполнялись условия $$\Delta_{k}(\alpha,\beta)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})K_{\nu}(p_{k}\beta^{q})+ I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})\neq 0,$$ где $$\displaystyle \overline{Y}_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})=\frac{\pi}{2{\sin{\pi}\nu}} (J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})+J_{-\nu}(p_{k}(-y)^{q})),$$ $J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})$ и $Y_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})$ --- функции Бесселя первого и второго рода соот\-ветст\-вен\-но$,$ $I_{\nu}(p_{k}y^{q})$ и $K_{\nu}(p_{k}y^{q})$ --- модифицированные функции Бесселя$,$ \linebreak ${\nu=(1-a)/{2q}},$ $p_{k}={\lambda_{k}}/{q},$ $q=(2-n)/{2},$ $\lambda_{k}=\sqrt{\mu^{2}_{k}+b},$ $\mu_{k}={\pi k}/{l}.$ \rm \smallskip В дальнейшем, не теряя общности, будем считать, что $b\geq{0},$ так как в~противном случае начиная с некоторого номера $k_{0}$ при всех $k\geq k_{0}$ выполняется неравенство $\mu^{2}_{k}+b\geq 0.$ Поэтому знак $b$ не влияет на полученные результаты. Отметим, что ранее при доказательстве единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа применяли принцип экстремума или метод интегральных тождеств ([19, с. 28–64], [20, с. 295–302], [21, с. 37–58]). В~прямоугольной области эти методы не работают. Поэтому здесь единственность решения задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} установлена на основании полноты системы собственных функций соответствующей спектральной задачи. Решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} построено в виде суммы ряда $$\label{saby:1.4166} u(x,y)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sum_{k=1}^{\infty}{u_{k}(y)\sin \mu_{k}x},$$ где функция $u_{k}(y)$ построена и приведена ниже формулой \eqref{saby:3.10}. Выражение $\Delta_{k}(\alpha,\beta)$ является знаменателем этих коэффициентов. Для обоснования сходимости ряда \eqref{saby:3.10} в~классе регулярных решений \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.4} доказаны следующие утверждения. \smallskip {\small\sc{Утверждение 1}}. \it Выражение $\Delta_{k}(\alpha,\beta)$ имеет счетное множество положительных нулей относительно параметра $\alpha_{ql}={\alpha^{q}}/({ql}).$ \rm \smallskip В силу этого утверждения возникает проблема малых знаменателей более сложной структуры, чем в известных работах В.~И.~Арнольда [22, 23]. Для исследования асимптотики нулей представим $\Delta_{k}(\alpha,\beta)$ в следующем виде: $$\Delta_{k}(\alpha,\beta)=I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})\delta_{k}(\alpha,\beta),$$ где \begin{multline} \delta_{k}(\alpha,\beta)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})\frac{K_{\nu} (p_{k}\beta^{q})}{I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})} +\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})= =J_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})\frac{K_{\nu} (\pi k\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}{I_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})} +\overline{Y}_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=\delta_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql}), \end{multline} $$\tilde{\lambda}_{k}=\sqrt{1+\Bigl(\frac{\sqrt{b}l}{\pi k}\Bigr)^{2}},\quad \alpha_{ql}=\frac{\alpha^{q}}{ql},\quad \beta_{ql}=\frac{\beta^{q}}{ql}.$$ Функция $K_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})$ при больших $k$ строго убывает по асимптотической формуле $k^{-1/2}e^{-\pi k\beta_{ql}},$ а функция $I_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})$ строго возрастает по формуле $k^{-1/2}e^{\pi k\beta_{ql}},$ поэтому величина $J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})\frac{K_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}{I_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}$ есть бесконечно малая более высокого порядка, чем $\overline{Y}_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ при больших $k.$ Поэтому достаточно рассмотреть выражение $$\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})=\frac{2\sin{\pi \nu}}{\pi}\overline{Y}_{\nu} (\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=J_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k} \alpha_{ql})+J_{-\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql}),$$ которое также имеет счетное множество положительных нулей относительно~$\alpha_{ql}.$ \smallskip \hypertarget{saby:utv2}{} {\small\sc{Утверждение 2.}} \it Если выполнено одно из следующих условий\/$:$ \begin{itemize} \item [\rm 1)] \hypertarget{saby:utv2:1}{} $\alpha_{ql}$ является произвольным натуральным числом; \item [\rm 2)] \hypertarget{saby:utv2:2}{} $\alpha_{ql}= {d}/{t}$ является произвольным рациональным числом$,$ $d,$ $t\in{\mathbb{N}},$ ${(d,t)=1,}$ $(t,4)=1,$ $d/t\not\in{\mathbb{N}},$ \end{itemize} то существуют положительные постоянные ${C}_{0}$ и $k_{0}$ $(k_{0}\in {\mathbb{N}}),$ зависящие от $\alpha,$ $l,$ $a,$ $q,$ такие$,$ что для всех $k>k_{0}$ справедлива оценка $$\label{saby:1.417} |{\tilde{\delta}}_{k}(\alpha_{ql})|\geq{\frac{{C}_{0}}{\sqrt{k}}>0}.$$ Если же \begin{itemize} \item [\rm 3)] \hypertarget{saby:utv2:3}{} $\alpha_{ql}$ является иррациональным алгебраическим числом степени $2,$ \end{itemize} то существуют положительные постоянные ${C}_{1}$ и $k_{0}$ $(k_{0}\in {\mathbb{N}}),$ зависящие от $\alpha,$ $l,$ $a,$ $q,$ $b$, $\varepsilon_{0}$ и удовлетворяющие неравенству $$\varepsilon_{0}-2\alpha_{ql}\Bigl(\frac{2l\sqrt{b}}{\pi}\Bigr)^2>0,$$ и для всех $k>k_{0}$ справедлива оценка $$\label{saby:1.418} |{\tilde{\delta}}_{k}(\alpha_{ql})|\geq \frac{{C}_{1}}{k^{3/2}}.$$ \rm \smallskip Если ${\tilde{\delta}}_k(\alpha_{ql})\neq 0$ при всех $k=\overline{1,k_0},$ то существует единственное решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}, которое определяется рядом \eqref{saby:1.4166}. На основании утверждения \hyperlink{saby:utv2}{2} при определенных условиях относительно граничных функций $f(x)$ и $g(x)$ доказана равномерная сходимость ряда \eqref{saby:1.4166} в~классе регулярных решений \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.4}, т.е. доказаны следующие утверждения. \smallskip \hypertarget{saby:th2}{} {\small\sc{Теорема 2.}} \it Пусть число $\alpha_{ql}$ удовлетворяет условиям {\rm \hyperlink{saby:utv2:1}{1}),} {\rm \hyperlink{saby:utv2:2}{2})} утверждения {\rm \hyperlink{saby:utv2}{2},} т$.$е$.$ выполнена оценка \eqref{saby:1.417} при всех $k>k_{0},$ функции $f(x),$ $g(x)\in C^{3}[0,l],$ $f(0)=g(0)=0,$ $f(l)=g(l)=0,$ $f''(0)=g''(0)=0,$ $f''(l)=g''(l)=0.$ Тогда$,$ если ${\tilde{\delta}}_k(\alpha_{ql})\neq 0$ при всех $k=\overline{1,k_0},$ то существует единственное решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} и это решение определяется рядом \eqref{saby:1.4166}$.$ Если же ${\tilde{\delta}}_k(\alpha_{ql})=0$ при некоторых $k=s_1,s_2, \dots ,s_m\leq k_0,$ то задача \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} разрешима только тогда$,$ когда выполнены условия \eqref{saby:1.421} и~решение определяется рядом \rm \eqref{saby:1.423}. \smallskip \hypertarget{saby:th3}{} {\small\sc{Теорема 3.}} \it Пусть число $\alpha_{ql}$ является иррациональным алгебраическим числом степени $2,$ т$.$е$.$ выполнена оценка \eqref{saby:1.418} при всех $k>k_{0},$ функции $f(x),$ $g(x)\in C^{4}[0,l],$ ${f}(0)={g}(0)=0,$ ${f}(l)={g}(l)=0,$ $f''(0)=g''(0)=0,$ $f''(l)=g''(l)=0.$ Тогда$,$ если ${\tilde{\delta}}_k(\alpha_{ql})\neq 0$ при всех $k=\overline{1,k_0},$ то существует единственное решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} и~это решение определяется рядом \eqref{saby:1.4166}$.$ Если же ${\tilde{\delta}}_k(\alpha_{ql})=0$ при некоторых $k=s_1,s_2, \dots ,s_m\leq k_0,$ то задача \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} разрешима только тогда$,$ когда выполнены условия \eqref{saby:1.421} и~решение определяется рядом \rm \eqref{saby:1.423}. \smallskip \hypertarget{saby:th4}{} {\small\sc{Теорема 4.}} \it Пусть выполнены условия теоремы \hyperlink{saby:th2}{$2$} и $\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})\neq0$ при $k\hm=\overline{1, k_{0}}.$ Тогда для решения задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} справедливы оценки $$\label{saby:6.4} \|u(x,y)\|_{L_{2}}\leq \left\{\begin{array}{l l} {M_{1}}(\|f\|_{L_{2}[0,l]}+\|g\|_{L_{2}[0,l]}) &\text{при}\;\;\; \nu\geq{1}/{2}, [2mm] {M_{2}}(\|f'\|_{C[0,l]}+\|g'\|_{C[0,l]}) &\text{при}\;\;\; \nu<{1}/{2}; \end{array}\right.$$ $$\label{saby:2.6} \|u(x,y)\|_{C(\overline{D})}\leq \left\{\begin{array}{ll} {M_{3}}(\|f'\|_{C[0,l]}+\|g''\|_{C[0,l]}) & \text{при}\;\;\; \nu\geq{1}/{2}, [2mm] {M_{4}}(\|f'\|_{C[0,l]}+\|g'\|_{C[0,l]}) &\text{при}\;\;\; \nu< {1}/{2}, \end{array}\right.$$ где $M_{1},$ $M_2,$ $M_3,$ $M_4$ --- положительные постоянные$,$ не зависящие от граничных функций $f(x)$ и $g(x).$ \rm \smallskip Ниже приводятся доказательства теорем \hyperlink{saby:th1}{1}--\hyperlink{saby:th4}{4}. \smallskip \Section{Критерий единственности решения задачи} Пусть $u(x,y)$ является решением задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}. Подставляя произведение $u(x,y)=X(x)Y(y)$ в уравнение \eqref{saby:1.1}, относительно функции $X(x)$ получим спектральную самосопряженную задачу: \begin{gather} \label{saby:2.1} X''(x)+\mu^{2} X(x)=0,\quad 0< x <l, \label{saby:2.2} X(0)=X(l)=0, \end{gather} где $\mu$ --- постоянная. Решение спектральной задачи \eqref{saby:2.1}, \eqref{saby:2.2} имеет вид $$\label{saby:2.3} X_{k}(x)=\sqrt{\frac{2}{l}}\sin \mu_{k}x, \quad \mu_{k}=\frac{\pi k}{l}, \quad k\in{\mathbb{N}}.$$ Тогда по системе \eqref{saby:2.3} введем функции $$\label{saby:3.1} u_{k}(y)=\sqrt{\frac{2}{l}}\int _{0}^{l}{u(x,y)\sin \mu_{k}x}dx, \quad k=1,2, \dots ,$$ На основании \eqref{saby:3.1} рассмотрим вспомогательные функции $$\label{saby:3.2} u_{\varepsilon,k} (y)=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}{u(x,y)\sin \mu_{k}x}dx, \quad k=1,2, \dots ,$$ где $\varepsilon>0$ --- достаточно малое число. Дифференцируя дважды равенство \eqref{saby:3.2} при $y\in{(-\alpha,0)\cup{(0,\beta)}}$ и учитывая уравнение \eqref{saby:1.1}, получим \begin{multline}\label{saby:3.3} u''_{\varepsilon,k}(y)=\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}{u_{yy}(x,y)\sin \mu_{k}x}dx= ({\rm{sgn}} \,y)\bigg[\frac{b^{2}}{|y|^{n}}u_{\varepsilon,k} (y)-\frac{a}{|y|}u'_{\varepsilon,k} (y)- -\frac{1}{|y|^{n}}\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{\varepsilon}^{l-\varepsilon}{u_{xx}(x,y)\sin \mu_{k}x}dx\bigg]. \end{multline} Интегрируя \eqref{saby:3.3} по частям два раза с~учетом условий \eqref{saby:1.5} и переходя к пределу при $\varepsilon{\rightarrow{0}},$ получим обыкновенное дифференциальное уравнение $$\label{saby:3.4} {u''_{k}}(y)+(\mathop{\rm{sgn}} y)\,\frac{a}{|y|}\,{u'_{k}}(y)-( \mathop{\rm{sgn}} \,y)\,\frac{b^{2}+\mu^{2}_{k}}{|y|^{n}}\,u_{k}(y)=0,\quad y\in{(-\alpha, 0)\cup (0, \beta)}.$$ Произведя в уравнении \eqref{saby:3.4} замену при $y>0$ $$\label{saby:2.4} u^{+}_{k}(y)=W(p_{k}y^{q})y^{\frac{1-a}{2}},\quad q=\frac{2-n}{2}, \quad p_{k}=\frac{\lambda_{k}}{q},\quad \lambda_{k}=\sqrt{\mu^{2}_{k}+b},$$ получим модифицированное уравнение Бесселя $$\label{saby:2.666} W''(z) +\frac{1}{z}W'(z)-\Bigl(1+\frac{\nu^{2}}{z^{2}}\Bigr)W(z)=0, \quad z=p_{k}y^{q},\quad \nu=\frac{1-a}{2q}.$$ В дальнейшем, не теряя общности, будем считать, что $b\geq{0},$ так как в противном случае начиная с некоторого номера $k_{0}$ при всех $k\geq k_{0}$ выполняется неравенство $\mu^{2}_{k}+b\geq 0.$ Общее решение уравнения \eqref{saby:2.666} определяется по формуле $$\label{saby:2.676} W(z)=C_{1}I_{\nu}(z)+C_{2}K_{\nu}(z), \quad z>0,$$ где $I_{\nu}(z)$ и $K_{\nu}(z)$ --- соответственно модифицированные функции Бесселя первого и третьего рода, $C_{1}$ и $C_{2}$ --- произвольные постоянные. Тогда на основании \eqref{saby:2.4} и~\eqref{saby:2.676} общее решение уравнения \eqref{saby:3.4} при $y>0$ определяется по формуле $$\label{saby:2.7} u^{+}_{k}(y)=y^{\frac{1-a}{2}}[a_{k}I_{\nu}(p_{k}y^{q})+b_{k}K_{\nu}(p_{k}y^{q})],$$ где $a_{k}$ и $b_{k}$ --- произвольные постоянные. В уравнении \eqref{saby:3.4} при $y<0$ произведем замену $$\label{saby:2.8} u^{-}_{k}(y)=Z(p_{k}(-y)^{q})(-y)^{\frac{1-a}{2}},$$ в результате получим уравнение Бесселя $$\label{saby:2.9} Z''(z) +\frac{1}{z}Z'(z)+\Bigl(1-\frac{\nu^{2}}{z^{2}}\Bigr)Z(z)=0,\quad z=p_{k}(-y)^{q}.$$ Общее решение уравнения \eqref{saby:2.9} определяется по формуле $$\label{saby:2.10} Z(z)=C_{3}J_{\nu}(z)+C_{4}Y_{\nu}(z), \quad z<0,$$ где $J_{\nu}(z)$ и $Y_{\nu}(z)$ --- соответственно функции Бесселя первого и второго рода, $C_{3}$ и $C_{4}$ --- произвольные постоянные. Тогда на основании \eqref{saby:2.8} и~\eqref{saby:2.10} общее решение уравнения \eqref{saby:3.4} при $y<0$ определяется по формуле $$\label{saby:2.11} u^{-}_{k}(y)=(-y)^{\frac{1-a}{2}}[c_{k}J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})+d_{k}Y_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})],$$ где $c_{k}$ и $d_{k}$ --- произвольные постоянные. Таким образом, функции \eqref{saby:3.1} определяются с учетом формул \eqref{saby:2.7} и \eqref{saby:2.11}: $$\label{saby:2.13} u_{k}(y)=\left\{ \begin{array}{ll} u^{+}_{k}(y),%=y^{\frac{1-a}{2}}[a_{k}I_{\nu}(p_{k}y^{q})+b_{k}K_{\nu}(p_{k} y^{q})],\;\;\;\;\,\quad\quad\;\;\;\;\;\;\; &y>0, u^{-}_{k}(y),%=(-y)^{\frac{1-a}{2}}[c_{k}J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})+ d_{k}Y_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})],\;\;\; & y<0. \end{array}\right.$$ С учетом класса решения \eqref{saby:1.2} и \eqref{saby:1.3} в \eqref{saby:2.13} подберем постоянные $a_{k},$ $b_{k},$ $c_{k}$ и $d_{k}$ так, чтобы выполнялись условия сопряжения $$\label{saby:2.14} u_{k}(0+0)=u_{k}(0-0), \quad \lim_{y\rightarrow{0+0}}y^{a}u'_{k}(y)= \lim_{y\rightarrow{0-0}}(-y)^{a}u'_{k}(y).$$ Первое из равенств \eqref{saby:2.14} выполнено, если $d_{k}=-\pi b_{k}/2$ при любых $a_{k}$ и $c_{k}$, а второе равенство будет иметь место при $n<a+1$ и $c_{k}={\pi}b_{k}\ctg({\pi}\nu)/2-a_{k},$ $d_{k}=-\pi b_{k}/2$. Подставив полученные выражения для постоянных $c_{k}$ и $d_{k}$ в \eqref{saby:2.13}, будем иметь $$\label{saby:2.15} u_{k}(y)=\left\{\begin{array}{ll} y^{\frac{1-a}{2}}[a_{k}I_{\nu}(p_{n}y^{q})+b_{k}K_{\nu}(p_{k} y^{q})],& y\geq0, [2mm] (-y)^{\frac{1-a}{2}}[-a_{k}J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})+ b_{k}\overline{Y}_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})], & y\leq0, \end{array}\right.$$ где $$\label{saby:2.16} \overline{Y}_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})=\frac{\pi}{2{\sin{\pi}\nu}} [J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})+J_{-\nu}(p_{k}(-y)^{q})].$$ На основании граничных условий \eqref{saby:1.6} и формулы \eqref{saby:3.1} справедливы равенства $$\label{saby:3.5} u_{k}(\beta)=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{0}^{l}{f(x)\sin \lambda_{k}x}dx=f_{k},\quad u_{k}(-\alpha)=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{0}^{l}{g(x)\sin \lambda_{k}x}dx=g_{k}.$$ Удовлетворяя функции \eqref{saby:2.15} граничным условиям \eqref{saby:3.5}, получим систему для нахождения постоянных $a_{k}$ и $b_{k}$: $$\label{saby:3.6} \left\{\begin{array}{ll} a_{k}I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})+b_{k}K_{\nu}(p_{k}\beta^{q})=f_{k}\beta^{\frac{a-1}{2}}, [2mm] -a_{k}J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})+b_{k}\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})=g_{k}\alpha^{\frac{a-1}{2}}\;,\;\;\;\; k=1,2, \ldots\, . \end{array}\right.$$ Если при всех $k\in{\mathbb{N}}$ определитель системы \eqref{saby:3.6} $$\label{saby:3.7} \Delta_{k}(\alpha,\beta)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})K_{\nu}(p_{k}\beta^{q})+ I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})\neq 0,$$ то данная система имеет единственное решение \begin{gather}\label{saby:3.8} a_{k}=\frac{1}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)} [f_{k} {\beta}^{\frac{a-1}{2}}\;\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})-g_{k}{\alpha}^{\frac{a-1}{2}}K_{\nu} (p_{k}\beta^{q})], \label{saby:3.9} b_{k}=\frac{1}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)}[f_{k} {\beta}^{\frac{a-1}{2}}\;{J}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})+g_{k}{\alpha}^{\frac{a-1}{2}}I_{\nu} (p_{k}\beta^{q})]. \end{gather} Подставляя \eqref{saby:3.8} и \eqref{saby:3.9} в \eqref{saby:3.6}, найдем функции $$\label{saby:3.10} u_{k}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)} \Bigl[f_{k}\Bigl(\frac{y}{\beta}\Bigr)^{\frac{1-a}{2}}\Delta_{k}(\alpha,y)+g_{k} \Bigl(\frac{y}{\alpha} \Bigr)^{\frac{1-a}{2}} A_{k}(y,\beta)\Bigr] , & y\geq0, [2mm] \displaystyle\frac{1}{{\Delta_{k}(\alpha,\beta)}} \Bigl[f_{k} \Bigl(\frac{-y}{\beta}\Bigr)^{\frac{1-a}{2}}B_{k}(\alpha,-y)+g_{k} \Bigl(\frac{-y}{\alpha}\Bigr)^{\frac{1-a}{2}} \Delta_{k}(-y,\beta)\Bigr] , & y\leq0, \end{array}\right.$$ где \begin{gather}\label{saby:3.11} \Delta_{k}(\alpha,y)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})K_{\nu}(p_{k}y^{q})+ \overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})I_{\nu}(p_{k}y^{q}), [3mm] \label{saby:3.12} A_{k}(y,\beta)=I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})K_{\nu}(p_{k}y^{q})- I_{\nu}(p_{k}y^{q})K_{\nu}(p_{k}\beta^{q}), \end{gather} \begin{multline} B_{k}(\alpha,-y)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})\overline{Y}_{\nu}(p_{k}(-y)^{q}) -\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})= \label{saby:3.13} =\frac{\pi}{2{\sin{\pi}\nu}}[J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})- J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})], \end{multline} $$\label{saby:3.14} \Delta_{k}(-y,\beta)=J_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})K_{\nu}(p_{k}\beta^{q})+ \overline{Y}_{\nu}(p_{k}(-y)^{q})I_{\nu}(p_{k}\beta^{q}).$$ \smallskip {\it Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\/ т\,е\,о\,р\,е\,м\,ы\/ \hyperlink{saby:th1}{\sl 1}.} Если существует решение задачи \linebreak \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}, то для его единственности необходимо и достаточно$,$ чтобы выполнялись условия \eqref{saby:3.7} при всех $k\in{\mathbb{N}}.$ \smallskip {\it Достаточность}. Пусть $f(x)\equiv{0},$ $g(x)\equiv{0}$ на $[0,l]$ и выполнены условия \eqref{saby:3.7} при всех $k\in{\mathbb{N}}.$ Тогда $f_{k}\equiv{0},$ $g_{k}\equiv{0}$ при всех $k\in{\mathbb{N}}.$ Следовательно, согласно формуле \eqref{saby:3.10} при $y\in{[-\alpha,\beta]}$ функции $u_{k}(y)\equiv{0}$ и в силу \eqref{saby:3.1} имеем $$\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{0}^{l}{u(x,y)\sin \mu_{k}xdx}=0, \quad k=1,2, \dots .$$ Отсюда в силу полноты системы \eqref{saby:2.3} в пространстве $L_{2}[0,l]$ следует, что функция $u(x,y)=0$ почти всюду на $[0,l]$ при любом $y\in[-\alpha, \beta].$ Поскольку в силу \eqref{saby:1.2} функция $u(x,y)$ непрерывна в $\overline{D},$ то $u(x,y)\equiv0$ в $\overline{D}.$ \smallskip {\it Необходимость}. Пусть существует единственное решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}. Надо показать, что при этом выполняются условия \eqref{saby:3.7} при всех $k\in{\mathbb{N}}.$ Предположим, что при некотором $k=d$ выражение $\Delta_{d}(\alpha, \beta)=0.$ Тогда однородная задача \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6}, где $f(x)=g(x)\equiv0,$ имеет ненулевое решение $$\label{saby:3.15} u_{d}(x, y)= \left\{ \begin{array}{rl}\displaystyle \frac{y^{\frac{1-a}{2}}A_{d}(y,\beta)}{I_{\nu}(p_{d}\beta^{q})}\sin\mu_{d}x, & y\geq0, [2mm] \displaystyle \frac{(-y)^{\frac{1-a}{2}}\Delta_{d}(-y,\beta)} {I_{\nu}(p_{d}\beta^{q})}\sin\mu_{d}x, & y\leq0, \end{array}\right.$$ что противоречит условию. Выясним, при каких $\alpha,$ $\beta,$ $l,$ $a$ и $k$ выражение $\Delta_{k}(\alpha, \beta)$ равно нулю. Для этого представим знаменатель $\Delta_{k}(\alpha,\beta)$ в следующем виде: $$\label{saby:3.16} \Delta_{k}(\alpha,\beta)=I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})\delta_{k}(\alpha,\beta),$$ где $$\label{saby:3.17} \delta_{k}(\alpha,\beta)=J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})\frac{K_{\nu} (p_{k}\beta^{q})}{I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})} +\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q}).$$ Представим аргументы функций Бесселя, входящих в формулу \eqref{saby:3.2}, в~виде $$p_{k}\alpha^{q}=\frac{\lambda_{k}}{q}\alpha^{q} =\frac{\sqrt{\mu^{2}_{k}+b}}{q} \alpha^{q}= \frac{\pi k\alpha^{q}}{lq}\sqrt{1+\Bigl(\frac{\sqrt{b}l}{\pi k}\Bigr)^{2}}= \pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql},$$ где $$\tilde{\lambda}_{k}= \sqrt{1+\Bigl(\frac{\sqrt{b}l}{\pi k}\Bigr)^{2}},\quad \alpha_{ql}=\frac{\alpha^{q}}{ql},\quad \beta_{ql}=\frac{\beta^{q}}{ql}.$$ Тогда выражение $\delta_{k}(\alpha,\beta)$ будет определяться по формуле $$\label{saby:3.18} \delta_{k}(\alpha,\beta)=J_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})\frac{K_{\nu} (\pi k\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}{I_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})} +\overline{Y}_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=\delta_{k}(\alpha_{ql}, \beta_{ql}).$$ Существование нулей $\delta_{k}(\alpha_{lq},\beta_{ql})$ относительно $\alpha_{ql}$ следует из того, что функции $J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ и $\overline{Y}_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ являются линейно независимыми решениями уравнения Бесселя $$\label{saby:3.19} y''(\alpha_{ql})+\frac{1}{\alpha_{ql}}\;y'(\alpha_{ql})+ \Bigl[(\pi k\tilde{\lambda}_{k})^2-\frac{\nu^{2}}{\alpha^{2}_{ql}}\Bigr]y(\alpha_{ql})=0.$$ Поскольку функции $J_{\nu}(\pi k\tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ и $\delta_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql})$ являются линейно независимыми решениями уравнения \eqref{saby:3.19}, из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что нули двух линейно независимых решений уравнения Бесселя строго чередуются, т.е. на интервале между любыми последовательными нулями любого из этих решений содержится ровно один нуль другого решения. Функция $J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ имеет счетное множество положительных нулей. Тогда функция $\delta_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql})$ также имеет счетное множество положительных нулей относительно $\alpha_{ql}$. Следовательно, для задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} установлен критерий единственности. \hfill $\square$ \smallskip \Section{Оценки малых знаменателей} Поскольку $\alpha_{ql}$ --- любое положительное число, то при достаточно больших $k$ выражение $\Delta_{k}(\alpha,\beta),$ которое входит в знаменатель формулы \eqref{saby:3.10}, может стать достаточно малым из-за существования счетного множества нулей $\delta_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql})$ относительно $\alpha_{ql}.$ Следовательно, возникает проблема малых знаменателей [10,22,23]. Функция $K_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})$ при больших $k$ строго убывает по асимптотической формуле $k^{-1/2}e^{-\pi k\beta_{ql}},$ а функция $I_{\nu}(\pi {k}\tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})$ строго возрастает по формуле $k^{-1/2}e^{\pi k\beta_{ql}},$ поэтому величина $$J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})\frac{K_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}{I_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\beta_{ql})}$$ есть бесконечно малая более высокого порядка, чем $\overline{Y}_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})$ при больших~$k.$ В связи с этим достаточно рассмотреть выражение $$\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})=\frac{2\sin{\pi \nu}}{\pi}\overline{Y}_{\nu} (\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})+J_{-\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql}),$$ которое также имеет счетное множество положительных нулей относительно~$\alpha_{ql}.$ Функция $J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=0$ только в~том случае, когда аргумент $\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql}$ совпадает с нулями функции Бесселя первого рода $J_{\nu}(x),$ $\nu=({1-a})/({2q})$, при $x>0.$ Известно [25, c. 70], что функция $J_{\nu}(x)$ при $\nu>-1$ и $x>0$ имеет счетное множество изолированных нулей $x_{\nu,m},$ $m\in{\mathbb{N}}.$ Значит, ${J_{\nu}(\pi k \tilde{\lambda}_{k}\alpha_{ql})=0}$ только тогда, когда $$\alpha_{ql}=\frac{x_{\nu,m}}{{\pi}k\tilde{\lambda}_{k}},\quad k, \;m\in{\mathbb{N}}.$$ Поскольку $\alpha_{ql}$ --- любое положительное число, оно может принимать значения, близкие к нулям $\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql}).$ Поэтому при больших $k$ выражение \linebreak $\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql},\beta_{ql})$ может стать достаточно малым. Выражение $\widetilde{\lambda}_k,$ которое зависит от $\sqrt{b}l,$ при условии $$\label{saby:4.1} \frac{\sqrt{b}l}{\pi}<1 \hskip3mm \text{или} \hskip3mm k>\frac{\sqrt{b}l}{\pi}=k_1$$ можно представить в виде $$\label{saby:4.2} \widetilde{\lambda}_k= \Bigl(1+\Bigl(\frac{\sqrt{b} l}{\pi k}\Bigr)^{2}\Bigr)^{1/2}=1+\theta_k,$$ при этом для $\theta_k$ справедлива оценка $$\label{saby:4.3} \frac{3}{8}\Bigl(\frac{\sqrt{b}l}{\pi k}\Bigr)^{2}<\theta_k<\frac{1}{2} \Bigl(\frac{\sqrt{b} l}{\pi k}\Bigr)^{2}.$$ Используя асимптотическую формулу [25, c. 98] $$\label{saby:4.4} J_{\nu}(z)=\sqrt{\frac{2}{{\pi}z}}\cos\left(z-\frac{\pi}{2}\nu-\frac{\pi}{4}\right)+{O}(z^{-5/2}),\;\;\; z\rightarrow{\infty},$$ при $k>k_{0},$ где $k_{0}$ --- достаточно большое натуральное число, получаем \begin{multline} \sqrt{k}\tilde{\delta}_k(\alpha_{ql})= \frac{1}{{\pi}} \sqrt{\frac{2}{\widetilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}}\Bigl[\cos\Bigl({\pi}k\alpha_{ql}+ \tilde\theta_k\alpha_{ql}- \frac{\pi \nu}{2}-\frac{\pi}{4}\Bigr)+ +\cos\Bigl({\pi}k\alpha_{ql}+ \tilde\theta_k\alpha_{ql}+ \frac{\pi \nu}{2}-\frac{\pi}{4}\Bigr)\Bigr]= \label{saby:4.5} =\frac{2}{{\pi}} \sqrt{\frac{2}{\tilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}}\cos\frac{\pi \nu}{2}\sin\Bigl({\pi}k\alpha_{ql}+ \tilde\theta_k\alpha_{ql}+\frac{\pi}{4}\Bigr),\quad \tilde\theta_k=\pi k\theta_k. \end{multline} {\bf 1.} Пусть $\alpha_{ql}=p,$ $p\in \mathbb{N}.$ Тогда, поскольку $$\label{saby:4.6} \tilde{\lambda}_k\rightarrow{1}\;\;\; \text{и}\;\;\; \widetilde{\theta}_k\rightarrow {0},$$ при всех $k>k_{0}$ из \eqref{saby:4.6} получим оценку $$\label{saby:4.6} \left|\sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(p) \right| =\frac{2}{{\pi}} \sqrt{\frac{2}{p}}\Bigl|\sin\Bigl(\pi k p+\frac{\pi}{4}\Bigr)\cos \frac{\pi \nu}{2}\Bigr| \geq\frac{1}{\pi \sqrt{p}}\Bigl|\cos\frac{\pi \nu}{2}\Bigr|={\widetilde{C}_{1}}>0.$$ {\bf 2.} Пусть $\alpha_{ql}=d/t$ --- рациональное число, где $d,$ $t\in{\mathbb{N}},$ $(d,t)=1,$ $(t,4)=1,$ $d/t\not\in{\mathbb{N}}.$ Разделим $kd$ на $t$ с остатком: $kd=st+r,$ $s,$ $t\in {\mathbb{N}_{0}}={\mathbb{N}}\cup \{0\},$ $0\leq{r}<t.$ Тогда соотношение \eqref{saby:4.5} принимает вид $$\label{saby:4.7} \sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})=(-1)^{s}\frac{2}{{\pi}}\sqrt{\frac{2}{\tilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}} \sin\Bigl[\frac{\pi r}{t}+\widetilde{\theta}_k\alpha_{ql}+{\frac{\pi}{4}}\Bigr]\cos\frac{\pi \nu}{2}.$$ Если $r=0,$ то из представления \eqref{saby:4.7} получим $$\label{saby:d4.1} \sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})=(-1)^{s}\frac{2}{{\pi}}\sqrt{\frac{2}{\tilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}} \sin \Bigl[\widetilde{\theta}_k\alpha_{ql}+{\frac{\pi}{4}}\Bigr]\cos\frac{\pi \nu}{2}.$$ Поскольку последовательность $\widetilde{\theta}_k$ в силу оценки \eqref{saby:4.3} является бесконечно малой при $k\rightarrow +\infty,$ существует число $k_{2}\in\mathbb{N}$ такое, что при всех $k>k_{2}$ $$\label{saby:d4.2} 0<\widetilde{\theta}_k\alpha_{ql}+{\frac{\pi}{4}}<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда в силу неравенства $$\sin x >\frac{2}{\pi}x,\quad 0<x<\frac{\pi}{2}, \label{add:sau}$$ на основании \eqref{saby:4.3}, \eqref{saby:d4.1} получим оценку \begin{multline}\label{saby:d4.3} \sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})>\frac{4}{{\pi}^{2}}\sqrt{\frac{2}{\tilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}} \, \Bigl|\cos{\frac{\pi \nu}{2}}\Bigr| \, \Bigl(\widetilde{\theta}_k\alpha_{ql}+{\frac{\pi}{4}}\Bigr)\geq \geq \frac{1}{{\pi}}\sqrt{\frac{2}{\tilde{\lambda}_k\alpha_{ql}}} \, \Bigl|\cos{\frac{\pi \nu}{2}}\Bigr| \, \left(\frac{3}{2}\Bigl(\frac{bl}{\pi}\Bigr)^{2}+1\right)\geq \widetilde{C}_{2}>0 \end{multline} при $k\geq\max \{k_{1}, k_{2}\}.$ Пусть $r>0,$ тогда $1<{r}<{t-1},$ $t\geq{2}.$ Поскольку выражение $\sin \big[\frac{\pi r}{t}\hm+\widetilde{\theta}_k\alpha_{ql}+{\frac{\pi}{4}}\big]$ имеет конечный предел при $k\rightarrow \infty,$ существует $k_{3}\in{\mathbb{N}}$ такое, что при всех $k>k_{3}$ из \eqref{saby:4.7} будем иметь $$\label{saby:4.8} \left|\sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})\right|\geq \frac{1}{{\pi}} \sqrt{\frac{2}{\alpha_{ql}}} \, \Bigl|\cos\frac{\pi \nu}{2}\Bigr|\cdot \Bigl|\sin\pi \Bigl(\frac{r}{t}+\frac{1}{4}\Bigr)\Bigr| ={\widetilde{C}_{3}}.$$ В силу последней оценки следует исключить случай, когда $\frac{r}{t}+\frac{1}{4}=1,$ то есть число $\frac{r}{t}$ надо взять так, чтобы выполнялось неравенство $\frac{r}{t}\neq{\frac{3}{4}}.$ Если числа $t$ и $4$ взаимно простые, то постоянная ${\widetilde{C}_{3}}$ из \eqref{saby:4.8} всегда больше нуля. Из полученных выше неравенств \eqref{saby:4.6} и \eqref{saby:4.8} следует справедливость оценки $$|\tilde{{\delta}}_{k}(\alpha_{ql})|\geq{\frac{{C}_{0}}{\sqrt{k}}>0}$$ при всех $\displaystyle k>k_{0}=\max \{k_{1}, k_{2}, k_{3}\},$ где $\displaystyle {C}_{0}=\min\{\widetilde{C}_{1}, \widetilde{C}_{2}, \widetilde{C}_{3}\}.$ \smallskip {\small\sc{Замечание}}. {\it{Если $(t,4)>1,$ т$.$е$.$ пусть $t=4t_{1},$ $t_{1}\in{\mathbb{R}},$ тогда из оценки \eqref{saby:4.8} следует$,$ что}} $$\sin\pi \Bigl(\frac{r}{t}+\frac{1}{4}\Bigr)=\sin\pi \Bigl(\frac{r}{t}+\frac{1}{4}\Bigr)= \sin\pi\Bigl(\frac{r}{4t_{1}}+\frac{1}{4}\Bigr)=\sin\frac{\pi}{4}\Bigl(\frac{r}{t_{1}}+1\Bigr).$$ \smallskip Отсюда, например, при $r=3t_{1}$ последнее равенство будет равно нулю. \smallskip {\bf 3.} Рассмотрим случай, когда $\alpha_{ql}$ является алгебраическим иррациональным числом степени $2.$ Тогда соотношение \eqref{saby:4.5} представим в виде $$\label{saby:4.9} \sqrt{k}\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})=(-1)^{m}\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{2}{ \tilde\lambda_{k}\alpha_{ql}}}\cos \frac{\pi \nu}{2} \sin\left(\frac{\pi k}{4} \Bigl(4\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{k}\Bigr)+\tilde\theta_{k}\alpha_{ql}\right),$$ где $m$ --- произвольное натуральное число. Для любого $k\in\mathbb{N}$ существует нечетное число $m'=4m-1=2m''-1,$ $m''=2m$ [26] такое, что имеет место неравенство $$\label{saby:4.10} \Bigl|4\alpha_{ql}-\frac{m'}{k}\Bigr|<\frac{1}{k}.$$ Действительно, для этого достаточно положить $$\label{saby:4.11} m'=\left\{ \begin{array}{ll} [4k\alpha_{ql}], & \text{если [4k\alpha_{ql}] ---нечетное}, {} [4k\alpha_{ql}]+1, & \text{если [4k\alpha_{ql}] --- четное}, \end{array} \right.$$ где $[4k\alpha_{ql}]$ --- целая часть иррационального числа $4k\alpha_{ql}.$ Число $m\in\mathbb{N}$ возьмем таким, чтобы в силу неравенства \eqref{saby:4.10} выполнялось неравенство $$\label{saby:4.12} \pi k\Bigl|\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr|<\frac{\pi}{4}.$$ Если $\alpha_{ql}$ является алгебраическим числом степени два, то в силу теоремы Лиувилля [27, с. 60] существует положительное число $\varepsilon_{0}$, зависящее от $\alpha_{ql}$, такое, что при любых целых $4k$ и $4m-1$, $k>0$, выполняется неравенство $$\label{saby:4.13} \Bigl|\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr|\geq\frac{\varepsilon_{0}}{16k^2}.$$ В силу оценок \eqref{saby:4.3} имеем $$\label{saby:4.14} 0<\alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k<\frac{\alpha_{ql}(bl)^2}{2\pi k}=\frac{\widetilde{C}_4}{k}.$$ Тогда с некоторого номера $k_{0}$ при всех $k>k_{0}$ выполняется условие $$\label{saby:4.15} \frac{\alpha_{ql}(bl)^2}{2\pi}<\frac{\pi}{2}.$$ Тогда из \eqref{saby:4.12} и \eqref{saby:4.14} возможны два случая: $$\begin{array}{ll} 1) & \phantom{-} \dfrac{\pi}{2}\leq \pi k\Bigl(\alpha_{ql}-\dfrac{4m-1}{4k}\Bigr)+ \alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k<\dfrac{\pi}{4}+\widetilde{C}_4<\pi, [3mm] 2) & -\dfrac{\pi}{2}\leq \pi k\Bigl(\alpha_{ql}-\dfrac{4m-1}{4k}\Bigr)+ \alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k<\dfrac{\pi}{2}. \end{array}$$ В первом случае $$\label{saby:4.16} \left|\sin\Bigl[\pi k\Bigl(\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr)+ \alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k\Bigr]\right|\geq \sin\Bigl(\frac{\pi}{4}+\widetilde{C}_4\Bigr)>\sin \frac{3\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}\geq\frac{\widetilde{C}_5}{k}.$$ Во втором случае с учетом неравенств \eqref{saby:4.13} и $$\label{saby:4.17} |\sin x|>\frac{2}{\pi}|x|,\quad 0<|x|<\frac{\pi}{2},$$ имеем \begin{multline} \left|\sin\Bigl[\pi k\Bigl(\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr)+ \alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k\Bigr]\right|> \frac{2}{\pi}\left|\pi k\Bigl(\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr)+ \alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k\right|\geq \label{saby:4.18} \geq 2k\Bigl|\alpha_{ql}-\frac{4m-1}{4k}\Bigr|-\alpha_{ql}\widetilde{\theta}_k\frac{2}{\pi}\geq \frac{\varepsilon_{0}}{8k}-\frac{2C_4}{\pi k}=\frac{1}{k}\Bigl(\varepsilon_{0}-\frac{2{C}_4}{\pi}\Bigr). \end{multline} Потребуем, чтобы постоянные $\alpha_{ql},$ $l,$ $\sqrt{b}$ и $\varepsilon_{0}$ удовлетворяли неравенству $$\label{saby:4.19} \varepsilon_{0}-2\alpha_{ql}\Bigl(\frac{2l\sqrt{b}}{\pi}\Bigr)^2>0,$$ которое, например, при малых $l$, или $\sqrt{b}$, или $\alpha$ всегда имеет место. Тогда из \eqref{saby:4.9} и \eqref{saby:4.18} при $k>k_{0}$ следует $$|{\tilde{\delta}}_{k}(\alpha_{ql})|\geq \frac{{C}_{1}}{k^{3/2}}.$$ Тем самым нами {\it д\,о\,к\,а\,з\,а\,н\,о~ у\,т\,в\,е\,р\,ж\,д\,е\,н\,и\,е~\hyperlink{saby:utv2}{\sl 2}}. \smallskip \Section{Обоснование существования решения задачи} Если $\tilde{\delta}_{k}(\alpha_{ql})\neq 0$ при $k=\overline{1,k_0}$ и выполнена оценка \eqref{saby:1.417}, то на основании частных решений \eqref{saby:2.3} и \eqref{saby:3.10} решение задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} представим в виде суммы ряда $$\label{saby:5.1} u(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}{u_{k}(y)X_{k}(x)}.$$ Покажем, что при определенных условиях на числа $\alpha_{ql}=\alpha^{q}/(ql)$ и функции $f(x),$ $g(x)$ ряд \eqref{saby:5.1} сходится равномерно в замкнутой области $\overline{D}$ и~можно применить дважды почленное дифференцирование по переменным $x$ и $y$ соответственно в замкнутых областях $\overline{D}_{+\varepsilon}$ и $\overline{D}_{-\varepsilon},$ где $\overline{D}_{+\varepsilon}=\overline{D}_{+}\cap \{y> \varepsilon \}$ и~$\overline{D}_{-\varepsilon}=\overline{D}_{-}\cap \{y<-\varepsilon\},$ где $\varepsilon$ --- достаточно малое положительное число. Рассмотрим следующие отношения: $$\label{saby:5.2} \begin{array}{lll} R_{k}(y)=\dfrac{y^{\frac{1-a}{2}}\Delta_{k}(\alpha,y)}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)},& T_{k}(y)=\dfrac{y^{\frac{1-a}{2}}A_{k}(y,\beta)}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)}, & y\in [0,\beta] , [3mm] M_{k}(y)=\dfrac{(-y)^{\frac{1-a}{2}}B_{k}(\alpha,-y)}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)}, & L_{k}(y)=\dfrac{(-y)^{\frac{1-a}{2}}\Delta_{k}(-y,\beta)}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)},& y\in [-\alpha,0]. \end{array} \hspace{-3mm}$$ \smallskip \hypertarget{saby:lemma1}{} {\small\sc{Лемма 1.}} \textit{Пусть выполнено условие \eqref{saby:1.417} при всех $k>k_{0}.$ Тогда для таких $k$ справедливы следующие оценки\/$:$ $$|R_{k}(y)|\leq C_{2},\;y\in[0, \beta];\quad |R'_{k}(y)|\leq C_{3}k,\; \;|R''_{k}(y)|\leq C_{4}k^{\frac{5}{2}-\nu},\;y\in[\varepsilon, \beta];$$ $$|T_{k}(y)|\leq C_{5}k^{\frac{1}{2}-\nu},\;y\in[0, \beta];\quad |T'_{k}(y)|\leq C_{6}k,\;\; |T''_{k}(y)|\leq C_{7}k^{\frac{5}{2}-\nu},\;y\in [\varepsilon,\beta];$$ $$|M_{k}(y)|\leq C_{8},\;y\in[-\alpha, 0];\quad |M'_{k}(y)|\leq C_{9}k,\;|M''_{k}(y)|\leq C_{10}k^{\frac{5}{2}-\nu},\;y\in[-\alpha, -\varepsilon];$$ $$|L_{k}(y)|\leq C_{11}k^{\frac{1}{2}-\nu},\;y\in[-\alpha, 0];\;|L'_{k}(y)|\leq C_{12}k,\;|L''_{k}(y)|\leq C_{13}k^{\frac{5}{2}-\nu},\;y\in [-\alpha,-\varepsilon].$$ Здесь и далее $C_{i}$ --- положительные постоянные.} \smallskip \begin{proof} Рассмотрим функции $R_{k}(y).$ На основании асимптотических формул поведения функций Бесселя в окрестности бесконечно удаленной точки [29, c. 227] и в окрестности нуля [25, c. 98–99] из \eqref{saby:5.2} при $0\leq{y}\leq{\beta}$ и больших $k$ имеем \begin{multline} |R_{k}(y)|\leq \frac{\sqrt{k}}{I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})C_{0}} \Bigl[ |J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q}) |y^{\frac{1-a}{2}}K_{\nu}(p_{k}y^{q})+ y^{\frac{1-a}{2}}I_{\nu}(p_{k}y^{q})|\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})|\Bigr]\leq \label{saby:5.4} \leq{\widetilde{C}}_{6}+\frac{\sqrt{k}y^{\frac{1-a}{2}}I_{\nu}(p_{k}y^{q})} {C_{0}I_{\nu}(p_{k}\beta^{\frac{1}{2}})}|\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{\frac{1}{2}})|\leq C_{2}, \end{multline} Используя формулы [25, c. 90], вычислим производную $$R'_{k}(y)=\frac{p_{k}qy^{q-\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}}{\Delta_{k}(\alpha,\beta)} \Bigl[I_{\nu-1}(p_{k}y^{q})\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})-J_{\nu} (p_{k}\alpha^{q})K_{\nu-1}(p_{k}y^{q})\Bigr].$$ Отсюда на основании оценки \eqref{saby:1.417} и асимптотических формул функций Бесселя в окрестности бесконечно удаленной точки при $y\in[\varepsilon, \beta]$ получим \begin{multline} |R'_{k}(y)|\leq \frac{p_{k}\sqrt{k}}{I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})C_{0}} \Bigl[ |J_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})|y^{q-\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}K_{\nu-1}(p_{k}y^{q})+ \hspace{4cm} + y^{q-\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}I_{\nu-1}(p_{k}y^{q})|\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})|\Bigr]\leq \label{saby:5.5} \leq{\widetilde{C}}_{7}k+\frac{\sqrt{k}p_{k}y^{q-\frac{a}{2}-\frac{1}{2}}I_{\nu-1}(p_{k}y^{q})} {C_{0}I_{\nu}(p_{k}\beta^{q})}|\overline{Y}_{\nu}(p_{k}\alpha^{q})|\leq C_{3}k. \end{multline} Для производной второго порядка функции $R_{k}(y)$ имеет место представление $$R''_{k}(y)=p^{2}_{k}q^{2}y^{2q-2}R_{k}(y)-\frac{a}{y}R'_{k}(y),\quad 0< y\leq\beta.$$ Из данного равенства в силу оценки \eqref{saby:5.5} следует, что $$|R''_{k}(y)|\leq{C_{4}k^{2}},\quad \varepsilon\leq y\leq\beta.$$ \vspace{-5mm} \hfill\end{proof} \smallskip Аналогично получаем оценки для функций $T_{k}(y),$ $K_{k}(y)$ и $L_{k}(y)$ и их производных первого и второго порядков. \smallskip \hypertarget{saby:lemma2}{} {\small\sc{Лемма 2.}} \textit{Пусть выполнено условие \eqref{saby:1.417} при всех $k>k_{0}.$ Тогда для таких $k$ справедливы следующие оценки}\/: $$|u_{k}(y)|\leq C_{14}(|f_{k}|+k^{\frac{1}{2}-\nu}|g_{k}|),\quad y\in[-\alpha, \beta];$$ $$|u'_{k}(y)|\leq C_{15}k(|f_{k}|+|g_{k}|),\;\; |u''_{k}(y)|\leq{C_{16}k^{2}(|f_{k}|+|g_{k}|)},\quad y\in[-\alpha,-\varepsilon]\cup[\varepsilon, \beta].$$ \begin{proof} На основании формулы \eqref{saby:3.10} с учетом функций \eqref{saby:3.5}, \eqref{saby:3.6} получим представление для функции $$u_{k}(y)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle f_{k}\beta^{\frac{a-1}{2}}R_{k}(y)+ g_{k}\alpha^{\frac{a-1}{2}}T_{k}(y), & y\geq 0, [2mm] \displaystyle f_{k}\beta^{\frac{a-1}{2}}M_{k}(y)+ g_{k}\alpha^{\frac{a-1}{2}}L_{k}(y), & y\leq 0. \end{array}\right.$$ Отсюда, используя лемму~\hyperlink{saby:lemma1}{1}, нетрудно получить указанные оценки для функции $u_{k}(y)$ и ее производных первого и второго порядка. \end{proof} \smallskip \hypertarget{saby:lemma3}{} {\small\sc{Лемма 3.}} \textit{Пусть $f(x),$ $g(x)\in C^{3}[0,l],$ $f(0)=g(0)=0,$ $f(l)=g(l)=0,$ $f''(0)=g''(0)=0,$ $f''(l)=g''(l)=0.$ Тогда справедливы представления} $$\label{saby:5.6} f_{k}=\frac{f^{(3)}_{k}}{\mu^{3}_{k}}, \quad g_{k}=\frac{g^{(3)}_{k}}{\mu^{3}_{k}},$$ {\it где} $$f^{(3)}_{k}=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{0}^{l}{f'''(x)\cos \mu_{k}x}dx,\;\;\; g^{(3)}_{k}=\sqrt{\frac{2}{l}}\int_{0}^{l}{g'''(x)\cos \mu_{k}x}dx,$$ $$\label{saby:5.7} \sum\limits_{k=1}^{+\infty}|f_{k}^{(3)}|^{2}\leq \|f'''(x)\|_{L_{2}[0,l]}^{2}, \quad \sum\limits_{k=1}^{+\infty}|g_{k}^{(3)}|^{2}\leq \|g'''(x)\|_{L_{2}[0,l]}^{2}.$$ \smallskip \begin{proof} Интегрируя по частям три раза интегралы в \eqref{saby:3.5} с~учетом условий леммы, получим представления \eqref{saby:5.6}. Оценки \eqref{saby:5.7} являются неравенствами Бесселя для системы косинусов $\big\{\frac{1}{\sqrt{l}}, \frac{2}{\sqrt{l}}\cos \mu_{k}x\big\}.$ \end{proof} \smallskip Таким образом, в силу лемм \hyperlink{saby:lemma2}{2}, \hyperlink{saby:lemma3}{3}, ряд \eqref{saby:5.1} при любом $(x,y)$ из $\overline{D}$ мажорируется сходящимся рядом $$C_{17}\sum_{k=k_{0}+1}^{+\infty}\frac{1}{k^{3}} \left(|f^{(3)}_{k}|+ |g^{(3)}_{k}|\right),$$ поэтому ряд \eqref{saby:5.1} сходится равномерно в замкнутой области $\overline{D}.$ Ряды из производных первого и второго порядка мажорируются соответственно на замкнутых областях $\overline{D}_{+\varepsilon}$ и $\overline{D}_{-\varepsilon}$ сходящимся числовым рядом $$C_{18}\sum_{k=k_{0}+1}^{+\infty}\frac{1}{k}\left(|f^{(3)}_{k}|+ |g^{(3)}_{k}|\right),$$ поэтому сумма $u(x,y)$ ряда \eqref{saby:5.1} принадлежит классу \eqref{saby:1.2} и удовлетворяет уравнению \eqref{saby:1.1} на множестве $D_{+}\cup D_{-}.$ Если для указанных в~утверждении \hyperlink{saby:utv2}{2} значений $\alpha_{ql}$ из случаев \hyperlink{saby:utv2:1}{1}), \hyperlink{saby:utv2:2}{2}) выполняется равенство $\Delta_{s}(\alpha,\beta)=0,$ где $s=s_{1},$ $s_{2},$ $\ldots,$ $s_{m}$ и $m$ --- заданные натуральные числа ($1\leq s_{1}<s_{2}<\ldots<s_{m}\leq k_0$), то для разрешимости задачи \eqref{saby:1.2}--\eqref{saby:1.6} необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия $$\label{saby:1.421} f_{s}{\alpha}^{\frac{1-a}{2}}J_{\nu}(p_{s}\alpha^{q})+ g_{s}{\beta}^{\frac{1-a}{2}}I_{\nu}(p_{s}\beta^{q})=0,$$ где $f_{s},$ $g_{s}$ определены ниже формулами \eqref{saby:3.5}. Тогда решение этой задачи определяется в виде суммы ряда $$\label{saby:1.423} u(x,y)=\biggl( \sum_{k=1}^{s_{1}-1}+\sum_{s_{1}+1}^{s_{2}-1}+\cdots+\sum_{s_{m}+1}^{+\infty}\biggr) \;u_{k}(y)\sin \mu_{k}x+\sum_{q}u_{q}(x,y),$$ где в последней сумме $q$ принимает значения $s_{1}, s_{2},\ldots,s_{m}$ и функции ${u}_{s}(x,y)$ определяются по формуле $${u}_{s}(x,y)=\left\{\begin{array}{rl} \bigg(\displaystyle\frac{f_{s}y^{\frac{1-a}{2}}I_{\nu} (p_{s}y^{q})}{{\beta}^{\frac{1-a}{2}}I_{\nu}(p_{s}\beta^{q})}+ C_{s}\frac{{y}^{\frac{1-a}{2}}A_{s}(y,\beta)}{I_{\nu}(p_{s}\beta^{q})}\bigg)\sin\mu_{s}x, & y\geq0, [4mm] \bigg(\displaystyle\frac{g_{s}(-y)^{\frac{1-a}{2}}J_{\nu}(p_{s}(-y)^{q})} {{\alpha}^{q}J_{\nu}(p_{s}\alpha^{q})}+ \displaystyle \frac{(-y)^{\frac{1-a}{2}}\Delta_{s}(-y,\beta) }{I_{\nu}(p_{s}\beta^{q})}\bigg)\sin\mu_{s}x, & y\leq0. \end{array}\right.$$ Здесь $C_{s}$ --- произвольная постоянная; конечные суммы в \eqref{saby:1.423} следует считать нулями при условии, когда верхний предел меньше нижнего. \smallskip Таким образом, доказана теорема~\hyperlink{saby:th2}{2}. \smallskip Если $\alpha_{ql}$ является алгебраическим числом степени $2$, тогда будут справедливы следующие леммы. \smallskip \hypertarget{saby:lemma4}{} {\small\sc {Лемма 4.}} \textit{Пусть выполнено условие \eqref{saby:1.418} при всех $k>k_{0}.$ Тогда для таких $k$ справедливы следующие оценки}\/: $$|u_{k}(y)|\leq C_{19}(k|f_{k}|+k^{\frac{3}{2}-\nu}|g_{k}|),\quad y\in[-\alpha, \beta];$$ $$|u'_{k}(y)|\leq C_{20}k^{2}(|f_{k}|+|g_{k}|),\;\; |u''_{k}(y)|\leq{C_{21}k^{3}(|f_{k}|+|g_{k}|)},\quad y\in[-\alpha,-\varepsilon]\cup[\varepsilon, \beta].$$ \smallskip {\it Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\, л\,е\,м\,м\,ы \hyperlink{saby:lemma4}{\sl 4}}\/ проводится аналогично доказательству леммы~\hyperlink{saby:lemma1}{1}. \smallskip \hypertarget{saby:lemma5}{} {\small\sc{Лемма 5.}} \textit{Пусть $f(x),$ $g(x)\in C^{4}[0,l],$ ${f}(0)={g}(0)=0,$ $f(l)={g}(l)=0,$ $f''(0)=g''(0)=0,$ $f''(l)=g''(l)=0.$ Тогда справедливы оценки} $$\label{saby:5.10} f_{k}=\frac{f^{(4)}_{k}}{\mu^{4}_{k}}, \quad g_{k}=\frac{g^{(4)}_{k}}{\mu^{4}_{k}},$$ {\it где} $$f^{(4)}_{k}=\sqrt\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{f^{(4)}(x)\sin \mu_{k}x}dx, \quad g^{(4)}_{k}=\sqrt\frac{2}{l}\int_{0}^{l}{g^{(4)}(x)\sin \mu_{k}x}dx,$$ \begin{equation*}\label{saby:3.114} \sum\limits_{k=1}^{+\infty}|f_{k}^{(4)}|^{2}\leq \|f^{(4)}(x)\|_{L_{2}[0,l]}^{2}, \quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}|g_{k}^{(4)}|^{2}\leq \|g^{(4)}(x)\|_{L_{2}[0,l]}^{2}. \end{equation*} \smallskip {\it Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\, л\,е\,м\,м\,ы \hyperlink{saby:lemma5}{\sl 5}}\/ проводится аналогично доказательству леммы~\hyperlink{saby:lemma3}{3}. \smallskip На основании лемм \hyperlink{saby:lemma4}{4}, \hyperlink{saby:lemma5}{5} по аналогии с доказательством теоремы \hyperlink{saby:th2}{2} доказывается теорема \hyperlink{saby:th3}{3}. \smallskip {\bf{5. Устойчивость решения задачи}}. Рассмотрим следующие нормы: $$\|u(x,y)\|_{L_{2}[0,l]}=\|u(x,y)\|_{L_{2}}=\bigg(\int_{0}^{l}|u(x,y)|^{2}dx\bigg)^{1/2}, \;\;-\alpha\leq{y}\leq{\beta},$$ $$\|u(x,y)\|_{C(\overline{D})}=\max_{\overline{D}}|u(x,y)|.$$ {\it Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о\/ т\,е\,о\,р\,е\,м\,ы\/ \hyperlink{saby:th4}{\sl 4}.} Поскольку система собственных функций \eqref{saby:2.3} является ортонормированной, из формулы \eqref{saby:5.1} и~леммы~\hyperlink{saby:lemma2}{2} имеем $$\label{saby:6.7} \|u(x,y)\|^{2}_{L_{2}}=\sum_{k=1}^{\infty}u^{2}_{k}(y) \leq{2\tilde{C}^{2}_{14}} \sum_{k=1}^{\infty}(|f_{k}|^{2}+|k^{\frac{1}{2}-\nu}g_{k}|^{2}).$$ Если $\nu<{1}/{2},$ то из неравенства \eqref{saby:6.7} имеет место оценка $$\label{saby:6.88} \|u(x,y)\|^{2}_{L_{2}}\leq 2\tilde{C}^{2}_{14}\bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|f_{k}|^{2}+ \sum_{k=1}^{\infty} |k^{\frac{1}{2}}g_{k}|^{2}\bigg).$$ Учитывая, что при $g(0)=g(l)=0$ коэффициент $g_{k}$ можно представить в виде %$$\label{saby:6.9} %f_{k}=-\bigg(\frac{l}{2\pi}\bigg)\frac{f^{(1)}_{k}}{k},\;\;\;\text{где}\;\;\; % f^{(1)}_{k}=\sqrt{\frac{4}{l}}\int^{l}_{0}f'(x)\sin{p_{k}}xdx,$$ $$\label{saby:6.11} g_{k}=\frac{l}{\pi}\frac{g^{(1)}_{k}}{k},\;\;\;\text{где}\;\;\; g^{(1)}_{k}=\sqrt{\frac{2}{l}}\int^{l}_{0}g'(x)\cos{\mu_{k}}xdx,$$ из неравенства \eqref{saby:6.88} получим $$\label{saby:6.13} \|u(x,y)\|^{2}_{L_{2}}\leq \tilde{C}^{2}_{8}\bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|f_{k}|^{2}+ \sum_{k=1}^{\infty} |g^{(1)}_{k}|^{2}\bigg) \leq{M}_{1}(\|f\|^{2}_{L_{2}}+\|g'\|^{2}_{L_{2}}).$$ Если $\nu\geq {1}/{2},$ то из оценки \eqref{saby:6.7} имеем $$\label{saby:6.8} \|u(x,y)\|^{2}_{L_{2}}\leq 2\tilde{C}^{2}_{14}\sum_{k=1}^{\infty}(|f_{k}|^{2}+ |g_{k}|^{2})=M_{2}(\|f\|^{2}_{L_{2}}+\|g\|^{2}_{L_{2}}).$$ Тогда из неравенств \eqref{saby:6.13} и \eqref{saby:6.8} следует справедливость оценки \eqref{saby:6.4}. Пусть $(x,t)$ --- любая точка из $\overline{D}.$ Тогда из ряда \eqref{saby:5.1} в силу леммы~\hyperlink{saby:lemma2}{2} имеем $$\label{saby:6.14} |u(x,y)|\leq \tilde{C}_{9}\bigg(\sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}| + \sum_{k=1}^{\infty} k^{\frac{1}{2}-\nu}|g_{k}|\bigg).$$ При $f(0)=f(l)=0,$ $g(0)=g(l)=0$ коэффициенты $f_{k}$ и $g_{k}$ можно представить в виде $$\label{saby:6.9} f_{k}=\frac{l}{\pi}\frac{f^{(1)}_{k}}{k},\quad f^{(1)}_{k}=\sqrt{\frac{2}{l}}\int^{l}_{0}f'(x)\cos{\mu_{k}}xdx,$$ $$\label{saby:6.11} g_{k}=-\bigg(\frac{l}{\pi}\bigg)^{2}\frac{g^{(2)}_{k}}{k^{2}},\quad g^{(1)}_{k}=\sqrt{\frac{2}{l}}\int^{l}_{0}g''(x)\sin{\mu_{k}}xdx.$$ Тогда из оценки \eqref{saby:6.14} при $\nu<{1}/{2}$ с учетом \eqref{saby:6.9} и \eqref{saby:6.11} на основании неравенства Коши--~Буняковского будем иметь \begin{multline} |u(x,y)|\leq \tilde{C}_{10}\bigg[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}|f^{(1)}_{k}|+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}|g^{(2)}_{k}|\bigg]\leq \leq \tilde{C}_{11}\frac{l}{\pi}\bigg[\bigg(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\bigg)^{1/2} \bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|f^{(1)}_{k}|)^{2}\bigg)^{1/2} +\bigg(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\bigg)^{1/2} \bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|g^{(2)}_{k}|\bigg)^{1/2}\bigg]. \end{multline} Отсюда с учетом равенства $$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$$ получим \begin{multline} |u(x,y)|\leq \tilde{C}_{12}\bigg[ \bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|f^{(1)}_{k}|^{2}\bigg)^{1/2}+ \bigg(\sum_{k=1}^{\infty}(|g^{(2)}_{k}|^{2}\bigg)^{1/2}\bigg]\leq \leq \tilde{C}_{12}\big(\|f'\|_{L_{2}[0,l]}+\|g''\|_{L_{2}[0,l]} \big)\leq M_{3}\big(\|f'\|_{C[0,l]}+\|g''\|_{C[0,l]} \big). \end{multline} Если $\displaystyle \nu \geq{{1}/{2}},$ то из неравенства \eqref{saby:6.14} с учетом \eqref{saby:6.11} и \eqref{saby:6.9} получим \begin{multline} |u(x,y)|\leq \tilde{C}_{13} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}(|f^{(1)}_{k}|+ |g^{(1)}_{k}|)\leq \leq \tilde{C}_{14}\big(\|f'\|_{L_{2}[0,l]}+\|g'\|_{L_{2}[0,l]} \big)\leq M_{4}\big(\|f'\|_{C[0,l]}+\|g''\|_{C[0,l]} \big). \end{multline} Из полученных неравенств следует справедливость оценки~\eqref{saby:2.6}. \hfill $\square$

# About the authors

### Yuliya Kamilevna Sabitova

Sterlitamak Branch of Bashkir State University

Email: ori05@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

# References

1. Келдыш М. В., "О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области", Докл. АН СССР, 77:2 (1951), 181-183
2. Кароль И. Л., "Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго рода", Докл. АН СССР, 88:2 (1953), 197-200
3. Исамухамедов С. С., "Краевая задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода", Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1970, № 4, 9-12
4. Крикунов Ю. М., Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа, Казан. гос. ун-т, Казань, 1986, 150 с.
5. Хайруллин Р. С., "Задача Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода в случае нормальной области", Диффер. уравн., 26:8 (1990), 1396-1407
6. Сохадзе Р. С., "О первой краевой задаче для уравнения смешанного типа в прямоугольнике", Диффер. уравн., 19:1 (1983), 127-134
7. Сохадзе Р. С., "Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения", Диффер. уравн., 17:1 (1981), 150-156
8. Сабитов К. Б., Сулейманова А. Х., "Задача Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода в прямоугольной области", Изв. вузов. Матем., 2007, № 4, 45-53
9. Хайруллин Р. С., "К задаче Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода с сильным вырождением", Диффер. уравн., 49:4 (2013), 528-534
10. Сабитов К. Б., "Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 413:1 (2007), 23-26
11. Хайруллин Р. С., "О существовании решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа второго рода", Диффер. уравн., 53:5 (2017), 684-692
12. Кожанов А. И., "Краевые задачи для ультрапараболических и квазиультрапараболических уравнений с меняющимся направлением эволюции", Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» Кабардино-Балкария, Нальчик, 17–21 мая 2017 г., Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 149, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 56-63
13. Кожанов А. И., Потапова С. В., "Краевые задачи для двумерных по временным переменным дифференциальных уравнений нечетного порядка с меняющимся направлением эволюции", Сиб. матем. журн., 59:5 (2018), 1098-1115
14. Егоров И. Е., "Применение модифицированного метода Галeркина к первой краевой задаче для уравнения смешанного типа", Матем. заметки СВФУ, 22:3 (2015), 3-10
15. Егоров И. Е., Ефимова Е. С., Тихонова И. М., "Фредгольмова разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром", Матем. заметки СВФУ, 25:1 (2018), 15-24
16. Сабитова Ю. К., "Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии", Матем. заметки, 98:3 (2015), 393-406
17. Сабитова Ю. К., "Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения", Изв. вузов. Матем., 2009, № 12, 49-58
18. Сабитова Ю. К., "Критерий единственности решения нелокальной задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа в прямоугольной области", Диффер. уравн., 46:8 (2010), 1205-1208
19. Смирнов М. М., Уравнения смешанного типа, Наука, М., 1970, 296 с.
20. Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, Наука, М., 1981, 448 с.
21. Сабитов К. Б., К теории уравнений смешанного типа, Физматлит, М., 2014, 304 с.
22. Арнольд В. И., "Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя", Изв. АН СССР. Сер. матем., 25:1 (1961), 21-86
23. В. И. Арнольд, "Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике", УМН, 18:6(114) (1963), 91-192
24. Келдыш М.В., "О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений", Докл. АН СССР, 77:5 (1951), 11-14
25. Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, т. 2, Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены, Наука, М., 1966, 296 с.
26. Сабитов К. Б., Сафин Э. М., "Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области", Изв. вузов. Матем., 2010, № 4, 55-62
27. Хинчин А. Я., Цепные дроби, Наука, М., 1978, 112 с.
28. Бухштаб А. А., Теория чисел, Лань, Спб., 2008, 384 с.
29. Сабитов К. Б., Уравнения математической физики, Физматлит, М., 2013, 312 с.

# Statistics

#### Views

Abstract - 41

PDF (Russian) - 26

#### Article Metrics

Metrics Loading ...

### Refbacks

• There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

## This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies