Orthotropic strip with central semi-infinite crack under arbitrary loads applied far apart from the crack tip

Full Text

\Section[n]{Введение} Проблемы распространения трещин в полосах привлекают внимание в основном из-за их важности для приложений: вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для стандартных тестов, таких как трех- и четырехточечный изгиб; изучение разрушения в тонких слоистых структурах; изучение отслоения покрытий. Задача о нагружении полосы с центральной трещиной особенно интересна из-за ее относительной простоты, позволяющей анализировать и выделять существенные особенности процессов распространения трещин в структурах подобного типа. В реальных ситуациях внешние нагрузки приложены на некоторых конечных расстояниях от вершины трещины. Однако если эти расстояния намного больше, чем толщина слоя, согласно принципу Сен--~Венана их можно рассматривать как приложенные на бесконечности. Точность такого упрощения тем лучше, чем больше расстояние между точкой приложения нагрузки и вершиной трещины по сравнению с толщиной слоя. Рассматриваемая задача исследовалась многими авторами как численно [1–7], так и аналитически [8]. Она является обобщением подобной задачи для изотропного слоя [9–12]. В частности, в работах [9, 10] показано, что произвольная нагрузка может быть разложена на четыре независимые моды, например: (i) моменты, симметрично приложенные к отделяющимся частям; (ii) продольные силы, приложенные в центральных точках отделяющихся частей, с компенсирующим моментом, приложенным к нижней части; (iii) поперечные силы с компенсирующими моментами, симметрично приложенные к отделяющимся частям; (iv) поперечные силы с компенсирующими моментами, приложенными к верхней отделяющейся части и к нерасслоившейся части. Такое разложение применимо как для изотропных, так и для анизотропных слоев, а также для составных слоев при различных упругих свойствах и толщинах слагающих слоев. Для рассматриваемой задачи существование симметрии позволяет выбирать четыре моды нагружения так, чтобы каждая из них вызывала бы либо раскрытие, либо сдвиг (для коэффициентов интенсивности напряжений K${}_{\rm I}$ и K${}_{\rm II}$ соответственно) [3]. В случае изотропии для каждой моды нагружения коэффициенты K${}_{\rm I}$, K${}_{\rm II}$ являются константами, причем две из них могут быть определены из элементарных решений, а две другие --- численно [9] либо аналитически [12]. В~случае кубической анизотропии коэффициенты K${}_{\rm I}$ и K${}_{\rm II}$ становятся функциями единственного параметра анизотропии --- конкретной безразмерной комбинации упругих констант \cite{Bao19921105}. В~случае ортотропии коэффициенты K${}_{\rm I}$ и K${}_{\rm II}$ становятся функциями двух параметров анизотропии: того же, что и для кубической анизотропии $\rho =\left(\beta _{66} +2\beta _{12} \right)/\left(2\sqrt{\beta _{11} \beta _{22} } \right)$, где $\beta _{ij} $ --- коэффициенты податливости; $\lambda =\beta _{11} /\beta _{22} $. В [3] показано, что влияние последнего коэффициента может быть получено масштабированием результатов для кубической анизотропии, что выражается в появлении в выражениях для K${}_{\rm I}$ и K${}_{\rm II}$ степенных функций от параметра $\lambda $. Требование термодинамической устойчивости приводит к ограничениям $-1<\rho <\infty $, $0<\lambda <\infty $; значение $\rho =1$ соответствует случаю изотропии и «вырожденной» анизотропии для ортотропных кристаллов; величина $\lambda =1$ --- для кубических кристаллов и изотропных сред. Точное аналитическое решение сформулированной задачи получено в [2] для случая нагружения сбалансированной парой сконцентрированных нормальных сил, приложенных на берегах трещины. С его помощью могут быть получены решения для двух рассматриваемых мод нагружения. Однако представленная форма решения делает затруднительным параметрический анализ. В работе [3] численное решение получено для $0<\rho <4$ --- диапазона, покрывающего большинство реальных кристаллов. Однако анализ параметров кристаллов выявил существование кристаллов с параметром $\rho $, выходящим далеко за пределы этого диапазона. На рис.~\ref{LabFig1} показана гистограмма распределения параметра $\rho $, вычисленного для плоского деформированного состояния реальных кристаллов кубической сингонии (данные получены на основе экспериментальных данных для коэффициентов податливости из [13]). В справочном издании Landolt--Bornstein [13] приводятся экспериментальные данные коэффициентов податливости для более чем 1100 кристаллов с кубической сингонией. В таблице представлены некоторые кристаллы кубической сингонии, для которых параметр $\rho $ сильно отличается от единицы. \begin{figure}[b!] \vspace{-5mm} \centering \includegraphics[scale=.3]{Fig1} \begin{minipage}[h]{0.7\textwidth} \centering \caption{Гистограммы распределения параметра $\rho $ для кристаллов кубической сингонии \label{LabFig1} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{LabFig1}. The histograms of parameter $\rho $ for cubic crystals] \end{minipage} \end{figure} \begin{table}[t!] \small \centering \caption*{Значения параметра $\rho $ (для плоского деформированного состояния) для реальных кристаллов кубической сингонии [The values of parameter $\rho $ (for plane strain) for some real cubic crystals] } \vspace{-3mm} \renewcommand{\tabcolsep}{0.45cm} \begin{tabular}{|c|c||c|c|} \hline \rule{0mm}{11pt}% \footnotesize Crystal & \footnotesize $\rho $ & \footnotesize Crystal & \footnotesize $\rho $ \hline \hline \rule{0mm}{11pt}% InTl (27 at \%Tl) & $-0.91$ & Li & $-0.63$ \rule{0mm}{11pt}% CuZn(45 at \%Zn) ($\beta$-brass) & $-0.70$ & AlNi (63.2 at \%Ni) & $-0.63$ \rule{0mm}{11pt}% CuAlNi(14 wt \%Al, 4.1 wt \%Ni) & $-0.69$ & K & $-0.57$ \hline \end{tabular} \end{table} В настоящей работе точное аналитическое решение задачи о раскрытии трещины получено для двух мод нагружения и произвольного значения параметра $\rho $ с помощью преобразований Лапласа для уравнений, связывающих усилия, действующие вдоль линии трещины, и производные относительных смещений берегов трещины. \Section{Постановка задачи} Рассмотрим упругую ортотропную полосу $-h\hm<y<h$ с центральной полубесконечной трещиной $y=0$, $x<0$ (рис.~\ref{LabFig2}). Соотношение между напряжениями и производными перемещения на границе полосы приведено в~Приложении~\hyperlink{pril:A}{A}. Предполагается, что удовлетворяются условия плоской деформации (или плоского напряженного состояния), механическое поведение определяется системой двумерных уравнений упругости \eqref{ZEqnNum741927}--\eqref{ZEqnNum484896}. Границы $y=\pm h$ и $y=0$, $x<0$ предполагаются свободными от напряжений: $\sigma _{yy} =\sigma _{xy} =0$ для $y=\pm h $ и для $y=0$, $x<0$. Предполагается, что нагрузка приложена на бесконечности в виде двух моментов~$M$ поперечных сил~$V$ (рис.~\ref{LabFig2}). Для компенсации моментов, создаваемых поперечными силами, прикладываются дополнительные моменты $Vl$ $(l\to \infty )$. Задача состоит в нахождении коэффициентов при сингулярностях поля напряжений вблизи вершины трещины, то есть коэффициентов интенсивности напряжений. \begin{figure}[b!] \noindent %\begin{minipage}[h]{0.5\textwidth} \centering \includegraphics[width=0.8\textwidth]{fig2-ai} %\end{minipage} %\begin{minipage}[h]{0.48\textwidth} \caption{Геометрия и система приложенных нагрузок \label{LabFig2} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{LabFig2}. The geometry and the applied loads] %\end{minipage} \hfill \end{figure} Из глобальных условий равновесия следует, что введенные параметры соответствуют интегральным силовым параметрам [12, 16] \begin{equation} \label{ZEqnNum329363} M=-\int _{0}^{\infty }x\sigma _{yy} (x, 0)dx, \quad V=\int _{0}^{\infty }\sigma _{yy} (x, 0)dx. \end{equation} В силу симметрии задачи касательные напряжения на продолжении трещины отсутствуют: \[\sigma _{xy} (x,0 )=0.\] В точке изменения типа граничных условий (около нуля) напряжения должны быть интегрируемыми: \begin{equation} \label{ZEqnNum534849} \sigma _{yy} =O (x^{-\nu } ),\quad \nu <1. \end{equation} Рассмотрим преобразования Лапласа \eqref{ZEqnNum896473} следующих величин: \begin{gather} \label{ZEqnNum977070} F_{+} (p)=\int _{0}^{\infty }\sigma _{yy} (x , 0) e^{-px} dx , \label{ZEqnNum464613} F_{-} (p)=\int _{-\infty }^{0}\frac{\partial }{\partial x} \bigl(v^{+} (x , 0)-v^{-} (x , 0)\bigr) e^{-px} dx . \end{gather} Здесь интервалы интегрирования были уменьшены за счет обращения в ноль напряжений для отрицательных аргументов и разрыва смещений для положительных аргументов. Равенство нулю подынтегральных выражений в \eqref{ZEqnNum977070}, \eqref{ZEqnNum464613} для отрицательных и~положительных аргументов следует из того факта, что $F_{+} (p)$, $F_{-} (p)$ являются аналитическими функциями в правой $(\mathop{\rm Re} p>0 )$ и левой $ (\mathop{\rm Re}p<0 )$ полуплоскостях комплексной переменной соответственно. Индексы <<плюс>> и <<минус>> в \eqref{ZEqnNum464613} соответствуют верхней и нижней граням трещины. Соотношения между производной смещений и напряжениями для верхней части задаются \eqref{ZEqnNum269534}, аналогичные соотношения для нижней части можно получить из \eqref{ZEqnNum269534} заменив $h$ на $-h$. Таким образом, получаем скалярное уравнение для нормальной и сдвиговой компонент соответственно (контур $L$ соответствует мнимой оси и может быть преобразован в соответствии с правилами интегрирования контурных интегралов в~комплексной плоскости): \begin{gather} \label{ZEqnNum347157} F_{-} (p)=K(p)F_{+} (p), \quad p\in L , \label{ZEqnNum813285} K(p)\!=\!\frac{ 4\beta_{11} \lambda^{-1} \sqrt{\rho^2\!\!-\!\!1} \bigl[ (k_1\!\!+\!\!k_2 ) \sin(hp(k_1\!\!-\!\!k_2 )) \!+\! (k_1\!\!-\!\!k_2 ) \sin(hp(k_1\!\!+\!\!k_2 )) \bigr] }{ -(k_1\!-\!k_2 )^2 \cos(hp(k_1\!+\!k_2 )) \!+\! (k_1\!+\!k_2 )^2 \cos(hp(k_1\!-\!k_2 )) \!-\! 4k_1 k_2 } , \end{gather} где параметры $k_1$ и $k_2$ описаны в формуле \eqref{ZEqnNum851350}. Кроме того, должны выполняться условия в ключевых точках (ноль и~бесконечность), вытекающие из \eqref{ZEqnNum329363}, \eqref{ZEqnNum534849}: \begin{gather} \label{ZEqnNum203825} F_{+} (p)=N+Mp+o(p), \quad \mathop{\rm Re} p\to 0+ , \label{ZEqnNum677355} F_{+} (p)=O (p^{1-\nu } ), \quad \nu <1, \quad \mathop{\rm Re} p\to +\infty . \end{gather} \smallskip \Section{Решение задачи о раскрытии трещины} Ключевой этап решения \eqref{ZEqnNum347157} состоит в факторизации функции $K(p)$, т.е. ее представлении в виде произведения (отношения) двух функций, голоморфных в левой и правой полуплоскостях комплексной плоскости: \begin{equation} \label{ZEqnNum264595} K(p)=\Lambda _{-}^{-1} (p)\Lambda _{+} (p) . \end{equation} После нахождения $\Lambda _{\pm } (p)$ решение получается с помощью теоремы Лиувилля [15] \begin{equation} \label{ZEqnNum951931} F_{\pm } (p)=\Lambda _{\pm }^{-1} (p)\Pi (p) . \end{equation} Здесь $\Pi (p)$ --- функция с~возможными полюсами и~нулями в~нуле и бесконечности, которая должна быть определена из условий \eqref{ZEqnNum203825}, \eqref{ZEqnNum677355} в этих точках. Используя \eqref{ZEqnNum851350}, \eqref{ZEqnNum813285}, уравнение \eqref{ZEqnNum264595} можно записать следующим образом: \begin{equation} \label{ZEqnNum396608} \Lambda _{-}^{-1} (p)\Lambda _{+} (p)=-\frac{4s_{11} }{\lambda ^{3/4} } \sqrt{\frac{\rho +1}{2} } \ctg ^{3} \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \bigr) G(p) , \end{equation} \vspace{-6mm} \begin{multline} \label{ZEqnNum765405} G(p)= \sqrt{\rho -1} \tg ^{3} \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \bigr) \times \times \frac{\sqrt{\rho +1} \sin \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \sqrt{2(\rho -1)} \bigr)+ \sqrt{\rho -1} \sin \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \sqrt{2(\rho +1)} \bigr)} {(\rho -1)\cos \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \sqrt{2(\rho +1)} \bigr)- (\rho +1)\cos \bigl(ph\lambda ^{-1/4} \sqrt{2(\rho -1)} \bigr)+2} . \end{multline} Здесь коэффициент при $G(p)$ в \eqref{ZEqnNum396608} выбирается таким образом, чтобы функция $G(p)$ была голоморфна вдоль мнимой оси и приближалась к единице при стремлении $p$ к бесконечности вдоль мнимой оси. Формально для $-1<\rho <1$ радикалы $\sqrt{\rho -1} $ в \eqref{ZEqnNum765405} и других формулах становятся чисто мнимыми, однако они всегда появляются в мультипликативных парах, так что конечные выражения остаются действительными. Поэтому нет необходимости отдельно с самого начала рассматривать случай $-1<\rho <1$, поскольку представление части тригонометрических функций как гиперболических и наоборот приводит к одному и тому же конечному результату. Используя представление $G(p)$ через интеграл Коши и~стандартное представление котангенса в виде комбинации гамма-функций Эйлера $\Gamma (p)$ [15], факторизацию можно провести в следующей форме: \begin{gather} \label{ZEqnNum826718} \Lambda _{+} (p)=\frac{\Gamma ^{3} \bigl(1+ph\lambda ^{-1/4} \pi ^{-1} \bigr)}{\Gamma ^{3} \bigl(1/2+ph\lambda ^{-1/4} \pi ^{-1} \bigr)} J_{+} (p) , \label{ZEqnNum252541} \Lambda _{-} (p)=-\frac{\lambda ^{3/4} }{4s_{11} } \sqrt{\frac{2}{\rho +1} } \frac{\Gamma ^{3} \bigl(1/2-ph\lambda ^{-1/4} \pi ^{-1} \bigr)}{\Gamma ^{3} \bigl(-ph\lambda ^{-1/4} \pi ^{-1} \bigr)} J_{-} (p), J_{\pm } (p)=\exp \biggl\{ \frac{1}{2\pi } \int _{-\infty }^{\infty }\ln \Bigl[ \sqrt{\rho -1} \th ^{3} \bigl(h s\lambda ^{-1/4} \bigr) \times \hspace{4cm} ~~~~ \times \frac{\sqrt{\rho \!+1\!} \sh \bigl(h s\lambda ^{-1/4} \sqrt{2 (\rho \!-\!1 )} \bigr) \!+\! \sqrt{\rho\! -\!1} \sh \bigl(h s\lambda ^{-1/4} \sqrt{2 (\rho \!+\!1 )} \bigr)}{ (\rho\! -\!1)\ch \bigl(h s\lambda ^{-1/4} \sqrt{2 (\rho \!+\!1 )} \bigr)- (\rho \!+\!1 )\ch \bigl(h s\lambda ^{-1/4} \sqrt{2 (\rho\! -\!1 )} \bigr)\!+\!2} \Bigr]\frac{ds}{is-p} \biggr\} ~~~ \label{ZEqnNum823540} \end{gather} с асимптотиками \begin{gather} \label{ZEqnNum256409} \Lambda _{+}^{-1} (p)=\frac{\pi ^{3/2} (\rho +1 )^{1/4} }{2^{3/4} 3^{1/2} } \Bigl[1-\frac{ph}{\lambda ^{1/4} } Y_{1} (\rho )\Bigr]+ O (p^{2} ) , \label{ZEqnNum839084} \Lambda _{+}^{-1} (p)=\Bigl(\frac{ph}{\lambda ^{1/4} \pi } \Bigr)^{-3/2} +O\bigl(p^{-1/2} \bigr), \quad \mathop{\rm Re} p\to +\infty . \end{gather} Здесь \begin{equation} \label{ZEqnNum329813} \begin{array}{l} \displaystyle Y (\rho )=\frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty }\frac{dL_{1} (s )}{ds} \frac{ds}{s} = \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty }\bigl[L (s )-L (0 )\bigr]\frac{ds}{s^{2}} , [4mm] \displaystyle L(s)=\ln \Bigl[ s^{3} \sqrt{\rho\! -\!1} \frac{\sqrt{\rho \!+\!1} \sh \bigl(s\sqrt{2 (\rho \!-\!1 )} \bigr)+ \sqrt{\rho \!-\!1} \sh \bigl(s\sqrt{2 (\rho\! +\!1 )} \bigr)} { (\rho\! -\!1 )\ch \bigl(s\sqrt{2 (\rho \!+\!1 )} \bigr)- (\rho \!+\!1 )\ch \bigl(s\sqrt{2 (\rho \!-\!1 )} \bigr)+2} \Bigr]. \end{array} \end{equation} Для $-1<\rho <1$ эта формула может быть переписана так: \begin{equation} \label{ZEqnNum204594} L(s)=\ln \Bigl[ s^{3} \sqrt{1\!-\!\rho } \frac{\sqrt{\rho \!+\!1} \sin \bigl(s\sqrt{2 (1\!-\!\rho )} \bigr)+ \sqrt{1\!-\!\rho } \sh \bigl(s\sqrt{2 (\rho\! +\!1 )} \bigr)} { (\rho\! -\!1 ) \ch \bigl(s\sqrt{2 (\rho\! +\!1 )} \bigr)- (\rho \!+\!1 )\cos \bigl(s\sqrt{2 (1\!-\!\rho )} \bigr)+2} \Bigr] . \end{equation} Анализ \eqref{ZEqnNum951931}, \eqref{ZEqnNum256409}, \eqref{ZEqnNum839084} совместно с \eqref{ZEqnNum203825}, \eqref{ZEqnNum677355} приводит к представлению \begin{equation} \label{ZEqnNum982370} \Pi (p)=\frac{2^{3/4} 3^{1/2} }{\pi ^{3/2} (\rho +1 )^{1/4} } \Bigl[N+\Bigl(M+\frac{h}{\lambda ^{1/4} } Y (\rho )N\Bigr)p\Bigr] . \end{equation} Появление в \eqref{ZEqnNum982370} членов с отрицательной степенью $p$ нарушило бы условие \eqref{ZEqnNum677355}, в то время как появление членов со степенью $p$, большей единицы, нарушило бы условие \eqref{ZEqnNum203825}. Таким образом, \eqref{ZEqnNum951931}, \eqref{ZEqnNum826718}, \eqref{ZEqnNum252541}, \eqref{ZEqnNum823540}, \eqref{ZEqnNum982370} дают решение задачи. Рассмотрим асимптотику для $p\to +\infty $. Подстановка \eqref{ZEqnNum839084}, \eqref{ZEqnNum982370} в \eqref{ZEqnNum951931} приводит к соотношению \[ F_{+} (p)=6^{1/2} \lambda ^{3/8} \Bigl(\frac{2}{\rho +1} \Bigr)^{1/4} \Bigl(M+\frac{h}{\lambda ^{1/4} } Y_{1} (\rho )N\Bigr)h^{-3/2} p^{-1/2} +o (p^{-1/2} ), \] $ \mathop{\rm Re} p\to +\infty .$ Использование теоремы Абеля [15] дает асимптотику напряжений для $x\to 0+$: \[ \sigma _{yy} =6^{1/2} \pi ^{-1/2} \lambda ^{3/8} \Bigl(\frac{2}{\rho +1} \Bigr)^{1/4} \Bigl(M+\frac{h}{\lambda ^{1/4} } Y (\rho )N \Bigr)h^{-3/2} x^{-1/2} +o (x^{-1/2} ). \] Коэффициент интенсивности напряжений тогда выражается так: \begin{equation} \label{ZEqnNum389921} K_{\rm I} h^{3/2} =12^{1/2} \lambda ^{3/8} \Bigl(\frac{2}{\rho +1} \Bigr)^{1/4} \bigl(M+\lambda ^{-1/4} Y (\rho ) Nh\bigr) . \end{equation} Форма \eqref{ZEqnNum389921} совпадает с формой из [1, 3], где результаты были получены с~использованием масштабирования [2], а~функции $Y (\rho )$ были рассчитаны методом конечных элементов. \bigskip \Section{Численные результаты и сравнение с предыдущими исследованиями} Коэффициент интенсивности напряжений \eqref{ZEqnNum389921} при $V=0$ совпадает с элементарным решением, полученным при рассмотрении энергий изгиба и растяжения ортотропных балок и нахождении коэффициентов интенсивности напряжений с использованием их соотношений с выделением энергии [17]. Решение для $M=0$, $V\ne 0$ хорошо согласуется с решением [3] \begin{equation} \label{ZEqnNum436466} Y (\rho )=0.677+0.146 (\rho -1 )-0.0178 (\rho -1 )^{2} +0.00242 (\rho -1 )^{3} , \end{equation} полученным путем интерполяции результатов МКЭ (рис.~\ref{LabFig3}). Отметим, что формулы \eqref{ZEqnNum436466} были получены для области «типичных значений» ${0\le \rho \le 4}$ [3] и~они не обязаны давать приемлемые результаты вне этой области. Значения $Y (\rho )$, а также численное решение \eqref{ZEqnNum436466} [3] представлены на рис.~\ref{LabFig3}. \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig3-ai} \caption{Зависимость $Y(\rho )$; сплошные линии соответствуют полученному решению, пунктирные линии соответствуют решению из \cite{Bao19921105} \label{LabFig3} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{LabFig3}. The $Y\left(\rho \right)$ compared. Solid line correspond to the obtained solution, dashed line is according to the solution from \cite{Bao19921105}] %\end{minipage} \hfill \end{figure} Функция $Y\left(\rho \right)$ близка к квадратно-корневым зависимостям, по крайней мере, для экстремальных значений $\rho $. Для промежуточных значений ${0\le \rho \le 4}$ зависимости из [3] с достаточной точностью совпадают с полученным решением. \bigskip \Section[n]{Выводы} Для задачи об ортотропной полосе с центральной полубесконечной трещиной, нагруженной самоуравновешенной системой нормальных усилий, получено точное аналитическое решение. Нагрузка приложена достаточно далеко от вершины трещины, чтобы рассматривать ее как приложенную на бесконечности. Общее решение выражается в виде суперпозиции решений для двух типов нагружения, соответствующих паре симметрично приложенных моментов и паре сил с компенсирующими моментами. Коэффициент интенсивности напряжений для первого случая совпадает с элементарным решением теории пластин. Коэффициент интенсивности напряжений для второго случая получен в виде двух функций одного параметра, выраженного в виде однократного интеграла. Сравнение с имеющимися численными результатами демонстрирует хорошее согласование решения в диапазоне параметра анизотропии, для которого были получены численные решения. Полученное решение охватывает все термодинамически допустимые значения параметров анизотропии. \newpage \setcounter{equation}{0} \renewcommand{\theequation}{A.\arabic{equation}} \hypertarget{pril:A}{} \Section[n]{Приложение. Соотношения между напряжениями и производными перемещения на границе полосы} Система двумерных уравнений упругости для ортотропных сред в декартовых координатах $xy$, совпадающих с главными осями напряжений, может быть написана следующим образом: \begin{enumerate} \item[1.] Уравнения равновесия \begin{equation} \label{ZEqnNum741927} \frac{\partial \sigma _{xx} }{\partial x} +\frac{\partial \sigma _{xy} }{\partial y} =0,\quad \frac{\partial \sigma _{xy} }{\partial x} +\frac{\partial \sigma _{yy} }{\partial y} =0 . \end{equation} Здесь $\sigma _{xx} $, $\sigma _{yy}$, $\sigma _{xy} $ --- компоненты тензора напряжений. \item[2.] Соотношения Коши между деформациями $\varepsilon _{xx}$, $\varepsilon _{yy}$, $\varepsilon _{xy} $ и перемещениями $u$, $v$: \begin{equation} \label{ZEqnNum997906} \varepsilon _{xx} =\frac{\partial u}{\partial x} , \quad \varepsilon _{yy} =\frac{\partial v}{\partial y} , \quad \varepsilon _{xy} =\frac{1}{2} \Bigl(\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial v}{\partial x} \Bigr). \end{equation} \item[3.] Уравнение совместности, связывающее компоненты тензора деформации, непосредственно следующее из \eqref{ZEqnNum997906}: \begin{equation} \label{ZEqnNum343063} \frac{\partial ^{2} }{\partial x^{2} } \varepsilon _{yy} +\frac{\partial ^{2} }{\partial y^{2} } \varepsilon _{xx} =2\frac{\partial ^{2} }{\partial x\partial y} \varepsilon _{xy} . \end{equation} \item [4.] Закон Гука для кристаллов с кубической анизотропией для плоского напряженного состояния: \begin{equation} \label{ZEqnNum484896} \begin{array}{l} \varepsilon _{xx} =s_{11} \sigma _{xx} +s_{12} \sigma _{yy}, \varepsilon _{yy} =s_{12} \sigma _{xx} +s_{22} \sigma _{yy} , 2\varepsilon _{xy} =s_{66} \sigma _{xy} . \end{array} \end{equation} Здесь $s_{jk} $ --- коэффициенты податливости. Для плоского деформированного состояния коэффициенты податливости $s_{jk} $ должны быть заменены модифицированными коэффициентами $\beta _{jk} $: \[\beta _{jk} =s_{jk} -\frac{s_{j3} s_{k3} }{s_{33} }. \] \end{enumerate} Введение функции напряжений Эйри $F$ в виде \begin{equation} \label{ZEqnNum155194} \sigma _{xx} =\frac{\partial ^{2} F}{\partial y^{2} } , \quad \sigma _{yy} =\frac{\partial ^{2} F}{\partial x^{2} } , \quad \sigma _{xy} =-\frac{\partial ^{2} F}{\partial x\partial y} \end{equation} позволяет автоматически удовлетворить уравнениям равновесия \eqref{ZEqnNum741927}. Замена \eqref{ZEqnNum155194} в \eqref{ZEqnNum484896} и затем в \eqref{ZEqnNum343063} сокращает систему уравнений упругости для плоской деформации до одного уравнения относительно одного неизвестного (функция напряжения) [14]: \begin{equation} \label{ZEqnNum239887} \beta _{22} \frac{\partial ^{4} F}{\partial x^{4} } +\left(\beta _{66} +2\beta _{12} \right)\frac{\partial ^{4} F}{\partial x^{2} \partial y^{2} } +\beta _{11} \frac{\partial ^{4} F}{\partial y^{4} } =0 \end{equation} Из \eqref{ZEqnNum155194}, \eqref{ZEqnNum239887} следует, и на этот факт указывают много исследований, например [14], что для предписанной геометрии и граничных условий (заданных в терминах напряжений) поле напряжений определяется двумя безразмерными комбинациями упругих констант. В качестве этих комбинаций мы выбрали используемые в работе [2] величины: \[ \lambda =\frac{\beta _{11} }{\beta _{22} } ,\quad \rho =\frac{\beta _{66} +2\beta _{12} }{2\sqrt{\beta _{11} \beta _{22} } }. \] Ограничения для этих величин накладываются положительной определенностью упругой энергии \[ 0<\lambda <\infty ,\quad -1<\rho <\infty . \] Тогда уравнение \eqref{ZEqnNum239887} представляется в виде \begin{equation} \label{ZEqnNum275626} \frac{\partial ^{4} F}{\partial x^{4} } +2\sqrt{\lambda } \rho \frac{\partial ^{4} F}{\partial x^{2} \partial y^{2} } +\lambda \frac{\partial ^{4} F}{\partial y^{4} } =0. \end{equation} Рассмотрим вспомогательную двумерную задачу об ортотропной упругой полосе $0\le y\le h$ с верхней границей, свободной от напряжений: \begin{equation} \label{ZEqnNum527115} \sigma _{yy} (x,h )=\sigma _{xy} (x,h )=0 , \end{equation} и нижней границей --- под действием поля напряжений: \begin{equation} \label{ZEqnNum995202} \sigma _{xy} (x , 0)=0,\quad \sigma _{yy} (x , 0)=q_{y} (x) . \end{equation} Здесь $q_{y} (x)$ --- известная функция. Найдем соотношение между напряжениями, действующими вдоль нижней границы и производной компонент смещений $\frac{\partial v}{\partial x} (x , 0)$, которая выражается в терминах функции напряжений $F$ с использованием \eqref{ZEqnNum155194}, \eqref{ZEqnNum997906}, \eqref{ZEqnNum484896} следующим образом: \begin{equation} \label{ZEqnNum488371} v'=\frac{\partial v}{\partial x} =- (\beta _{66} +\beta _{12} )\frac{\partial ^{2} F}{\partial x\partial y} -\beta _{11} \int \frac{\partial ^{3} F}{\partial y^{3} } dx . \end{equation} Общее решение \eqref{ZEqnNum239887} для бесконечной полосы может быть получено с~помощью двустороннего преобразования Лапласа: \begin{equation} \label{ZEqnNum896473} \hat{f}\left(p,y\right)=\int _{-\infty }^{\infty }f (x,y )\, e^{-px} dx \end{equation} и обратного преобразования: \[ f (x, y )=-\frac{1}{2\pi i} \int _{L}\hat{f} (p,y )e^{px} dp , \] где контур $L$ соответствует мнимой оси, а направление интегрирования --- сверху вниз. Применение \eqref{ZEqnNum896473} к \eqref{ZEqnNum275626} приводит к уравнению \begin{equation} \label{ZEqnNum622955} p^{4} \hat{F}\left(p,y\right)+2\sqrt{\lambda } \rho p^{2} \frac{\partial ^{2} \hat{F}\left(p,y\right)}{\partial y^{2} } +\lambda \frac{\partial ^{4} \hat{F}\left(p,y\right)}{\partial y^{4} } =0 . \end{equation} Общее решение \eqref{ZEqnNum622955} запишется так: \[ \hat{F}\left(p,y\right) = C_{1} \cos (k_{1} py)+ C_{2} \cos (k_{2} py)+ C _3 \sin (k_{1} py)+ C_4 \sin (k_{2} py), \] где \begin{equation} \label{ZEqnNum851350} \begin{array}{c} k_{1,2} =\lambda ^{-1/4} \sqrt{\rho \pm \sqrt{\rho ^{2} -1} }, \quad k_{1} \pm k_{2} =\lambda ^{-1/4} \sqrt{2} \sqrt{\rho \pm 1} , [2mm] k_{1} k_{2} =\lambda ^{-1/2} , \quad k_{1}^{2} +k_{2}^{2} =2\lambda ^{-1/2} \rho , \quad k_{1}^{2} -k_{2}^{2} =2\lambda ^{-1/2} \sqrt{\rho ^{2} -1} . \end{array} \end{equation} Применение \eqref{ZEqnNum896473} к \eqref{ZEqnNum155194}, \eqref{ZEqnNum488371} дает соотношения для преобразования для следующих величин: \begin{gather} \label{ZEqnNum251676} \hat{\sigma }_{xx} =\frac{\partial ^{2} \hat{F}}{\partial y^{2} } , \quad \hat{\sigma }_{yy} =p^{2} \hat{F}, \quad \hat{\sigma }_{xy} =-p\frac{\partial \hat{F}}{\partial y} ; \label{ZEqnNum261279} \hat{v}'=-\left(\beta _{66} +\beta _{12} \right)p\frac{\partial \hat{F}}{\partial y} -\frac{1}{p} \beta _{11} \frac{\partial ^{3} \hat{F}}{\partial y^{3} } . \end{gather} Подстановка последних двух формул \eqref{ZEqnNum251676} в преобразования \eqref{ZEqnNum527115}, \eqref{ZEqnNum995202}: \[\begin{array}{c} \hat{\sigma }_{xy} (p, 1 )=\hat{\sigma }_{yy} (p, 1 )=0, [2mm] \hat{\sigma }_{xy} (p, 0 )=0,\quad \hat{\sigma }_{yy} (p, 0 )=\hat{q}_{y} (p) \end{array} \] позволяет выразить константы $C_{\rm I} $ через $\hat{q}_{y} $, подстановка которых в \eqref{ZEqnNum261279} приводит к искомому соотношению: \begin{equation} \label{ZEqnNum269534} \hat{v}'=\frac{\beta _{22} (k_{1}^{2} -k_{2}^{2} )(k_{1} \cos (hk_{2} p)\sin (hk_{1} p)-k_{2} \sin (hk_{2} p)\cos (hk_{1} p))}{k_{1} k_{2} \left((k_{1}^{2} +k_{2}^{2} )\sin (hk_{1} p)\sin (hk_{2} p)+2k_{1} k_{2} (\cos (hk_{1} p)\cos (hk_{2} p)-1)\right)} \hat{q}_{y} (p) . \end{equation}

About the authors

Konstantin B. Ustinov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: ustinov@ipmnet.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Dmitry S. Lisovenko

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Email: lisovenk@ipmnet.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

Alexander Victorovich Chentsov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

Supplementary files