The Bitsadze–Samarskii problem for some characteristically loaded hyperbolic-parabolic equation

Abstract


The paper considers a characteristically loaded equation of a mixed hyperbolic-parabolic type with degeneration of order in the hyperbolicity part of the domain. In the hyperbolic part of the domain, we have a loaded one-velocity transport equation, known in mathematical biology as the Mac Kendrick Von Forester equation, in the parabolic part we have a loaded diffusion equation. The purpose of the paper is to study the uniqueness and existence of the solution of the nonlocal inner boundary value problem with Bitsadze-Samarskii type boundary conditions and the continuous conjugation conditions in the parabolic domain; the hyperbolic domain is exempt from the boundary conditions.
The problem under investigation is reduced to a non-local problem for an ordinary second-order differential equation with respect to the trace of the unknown function in the line of the type changing. The existence and uniqueness theorem for the solution of the problem has been proved; the solution is written out explicitly in the hyperbolic part of the domain. In the parabolic part, the problem under study is reduced to the Volterra integral equation of the second kind, and the solution representation has been found.

Full Text

\Section[n]{Введение} Рассмотрим характеристически нагруженное уравнение смешанного гиперболо=параболического типа \begin{equation} \label{khub1} \left\{ \begin{array}{ll} u_{xx} - u_y + \lambda_1 u(x,0) = f_1(x,y), & y > 0, u_{x} + u_{y} + c u + \lambda_2 u(x-y,0) = f_2(x,y), & y < 0 \end{array} \right. \end{equation} в области $\Omega$, ограниченной отрезками прямых $x = 0$, $x = r$, $y = T > 0$ при $y>0$, и характеристиками $x - y = 0$, $x - y = r$ уравнения \eqref{khub1} при $y<0$; $\lambda_i$,~$c$ --- заданные постоянные; $f_i(x,y)$ --- заданные функции, $i=1,2$. Через $\Omega_1$ и $\Omega_2$ обозначим параболическую и гиперболическую части смешанной области $\Omega$ соответственно, а через $J$ --- интервал $0 < x < r$ прямой $y = 0$. К краевым задачам для уравнений вида \eqref{khub1} при $y>0$ сводятся многие задачи, связанные с~прогнозированием и регулированием уровня грунтовых вод [1, с. 95], задачи описания процесса распространения тепла в~одномерной ограниченной среде, в которой имеется источник тепла, мощность которого пропорциональна значению температуры [2], теории популяции [3, с. 128]. При $y<0$ уравнение \eqref{khub1} является нагруженным односкоростным уравнением переноса, в математической биологии при $\lambda_2 = 0$ оно известно как уравнение Мак-Кендрика [3, с. 121, 179]. На основе уравнения Мак-Кендрика и его разновидностей строятся нелимитированные и~лимитированные модели динамики возрастной структуры и численности популяции (см., например, [3, с. 244]). \smallskip \Section{Постановка задачи типа задачи Бицадзе--Самарского} {\it Регулярным решением} уравнения \eqref{khub1} в области $\Omega$ назовем функцию $u(x,y)$ из класса $C(\bar {\Omega }) \cap C^1(\Omega) \cap C^{2}_{x}(\Omega_{1})$, удовлетворяющую уравнению \eqref{khub1} в $\Omega_1 \cup \Omega_2$. Для уравнения $\eqref{khub1}$ исследуем следующую задачу. \smallskip \hypertarget{task:BS}{} {\sc Задача BS.} {\it Найти регулярное в области $\Omega$ решение $u(x,y)$ уравнения $\eqref{khub1},$ удовлетворяющее условиям\/{\rm :} \begin{gather} \label{khub2} u(0,y) = \varphi_{0}(y), \quad 0 \leqslant y \leqslant T, \label{khub3} u(x_0,y) = \alpha(y) u(r, y) + \beta(y), \quad 0 < x_0 <r, \quad 0 \leqslant y \leqslant T, \end{gather} где $\varphi _0(y),$ $\alpha(y),$ $ \beta(y)$ --- заданные функции$,$ $\alpha(y) \not= 0.$} \smallskip \begin{remark}[1]Если $x_0 = 0$ при $\alpha(y) \not= 0$ или $x_0 = r$ при $\alpha(y) \not= 1$ задача \eqref{khub2}, \eqref{khub3} переходит в локальную краевую задачу, которая для нехарактеристически нагруженного уравнения с вырождением порядка в области его гиперболичности была исследована в [4]. Если же при этом не выполнены условия относительно $\alpha(y)$, то задача становится некорректной. \end{remark} \smallskip Для параболического уравнения задача c нелокальным условием \eqref{khub3} была исследована в работе [5]. Внутренне-краевая задача типа задачи Бицадзе—Самарского для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболичес- кого типа второго порядка исследована в работе [6], а в [7] — для гиперболо- параболического уравнения с нехарактеристической нагрузкой на линии из- менения типа. Задача с условиями \eqref{khub2}, \eqref{khub3} относится к задачам типа задачи Бицадзе--~Самарского и~является частным случаем задачи с нелокальным условием А.~М.~Нахушева [8]. В работе [9] исследуются различные локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического типа, и в том числе рассмотрена задача для модельного параболического уравнения с условиями, обобщающими условия \eqref{khub3}, и ее практические приложения. В [10] для уравнения эллиптического типа общего вида в прямоугольной области рассмотрена нелокальная задача с условиями А.~М.~Нахушева на обеих боковых сторонах прямоугольника. Для уравнения \eqref{khub1} задача с нелокальным условием А.~М.~Нахушева исследована в [11]. \smallskip \Section{Теорема существования и единственности решения} Для задачи \hyperlink{task:BS}{BS} справедлива следующая теорема. \smallskip \begin{newthm}{Теорема} Если $f_1(x,y) \in C({\bar \Omega_1})$ и удовлетворяет условию Гельдера по $x,$ $\varphi _0(y) \in C[0,T],$ $\alpha(y),$ $ \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[,$ $f_2(x,y) \in C(\Omega_2 \cup \bar{J}),$ $$ \displaystyle \alpha(0) \not= \exp\big([r-x_0]/2\big) \frac{\sh p x_0}{\sh pr}, $$ $$ p=\sqrt{1 - 4 q}/2, \quad q \not = \pi^2 n^2/r^2 + 1/4, \quad q = c + \lambda_1 + \lambda_2, \quad n=1,2,\dots $$ то задача \hyperlink{task:BS}{BS} имеет$,$ и притом единственное$,$ решение$.$ \end{newthm} \smallskip \begin{proof} Пусть существует решение $u(x,y)$ задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3}. Обозначим $\tau (x) = u(x,0)$, $\nu (x) = u_y (x,0)$, причем из условий задачи $\tau (x) \in C(\bar {J}) \cap C^1(J)$, $\nu (x) \in C(J)$. Тогда из \eqref{khub2} и \eqref{khub3} следует \begin{gather} \label{khub4} \tau (0) = \varphi _0 (0), \label{khub5} \tau(x_0)= \alpha(0) \tau(r) + \beta(0). \end{gather} Переходя в уравнении \eqref{khub1} к пределу при $y \rightarrow +0$, получаем, что $\tau (x)$ и $\nu (x)$ на линии изменения типа будут связаны следующим соотношением, принесенным из параболической части $\Omega_1$ области $\Omega$: \begin{equation} \label{khub6} \tau''(x) - \nu (x) + \lambda_1 \tau (x) = f_1(x,0), \quad 0 < x < r. \end{equation} Также, переходя к пределу при $y \rightarrow - 0$, в $\Omega_{2}$ получим \begin{equation} \label{khub7} \tau'(x) + \nu(x) + \big[c + \lambda_2] \tau(x) = f_2(x,0), \quad 0 < x < r. \end{equation} Из \eqref{khub6}, \eqref{khub7} получаем обыкновенное дифференциальное уравнение \begin{equation} \label{khub8} \tau''(x) + \tau'(x) + q \tau(x) = f(x), \end{equation} где $q = c + \lambda_1 + \lambda_2$, $f(x) = f_1(x,0) + f_2(x,0)$. Отсюда сразу видно, что при $\alpha(0) =0$ и $0<x_0<r$ нарушается единственность решения задачи \eqref{khub4}, \eqref{khub5} для уравнения \eqref{khub8}. Введем обозначение \begin{equation} \label{khub9} \varphi _r(y) = u (r,y), \end{equation} тогда \begin{equation} \label{khub10} \tau(r) = \varphi_r(0). \end{equation} Решение задачи Дирихле \eqref{khub4}, \eqref{khub10} для уравнения \eqref{khub8} имеет вид \begin{equation} \label{khub11} \tau (x) = \int _0^r {G(x,\xi) f(\xi) d\xi} + G_\xi (x,r) \varphi_r(0) - G_\xi (x,0) \varphi _0(0), \end{equation} где $G(x,\xi )$ --- функция Грина задачи \eqref{khub8}, \eqref{khub4}, \eqref{khub10}, имеющая вид \begin{equation*} G(x,\xi) = \left\{{{\begin{array}{*{20}c} \displaystyle {\frac{{\exp([\xi-x]/2) \sh(p \xi) \sh(p [x-r])}} {{p \sh(p r)}}, \quad 0 \leqslant \xi \leqslant x,} \hfill \displaystyle {\frac{{\exp([\xi-x]/2) \sh(p x) \sh(p[\xi-r])}} {{p \sh(p r)}}, \quad x \leqslant \xi \leqslant r;} \hfill \end{array}}} \right. \end{equation*} где $p=\sqrt{1 - 4 q}/2$, $p r \not = \pi n$ $\displaystyle \left(q \not = \pi^2 n^2/r^2 + 1/4 \right)$, $n=1,2, \dots $ Здесь надо отметить, что $G(x,\xi )$ является действительнозначной функцией, зависящей от комплексного числа $p$. Устремляя $x \rightarrow x_0$, из \eqref{khub11} получим $$ \tau (x_0) = \int _0^r {G(x_0,\xi) f(\xi) d\xi} + G_\xi (x_0,r) \varphi_r(0) - G_\xi (x_0,0) \varphi _0(0), $$ откуда с учетом \eqref{khub5} при выполнении условия $\alpha(0) \not= G_{\xi}(x_0, r)$ получаем $$ \varphi_r(0) = \frac{1}{\alpha(0) - G_{\xi}(x_0, r)} \bigg[ \int _0^r {G(x_0,\xi) f(\xi) d\xi} - G_\xi (x_0,0) \varphi _0(0) -\beta(0)\bigg]. $$ Из явного вида функции Грина получаем, что условие $\alpha(0) \not= G_{\xi}(x_0, r)$ можно переписать в виде $\displaystyle \alpha(0) \not= \exp\big([r-x_0]/2\big) \frac{\sh p x_0}{\sh pr}$. Таким образом, после нахождения $\varphi_r(0)$ функция $\tau(x)$ полностью определяется формулой \eqref{khub11}, причем $\tau(x) \in C[0,r] \cap C^2]0,r[$. Далее $\nu(x)$ находим из \eqref{khub7}, откуда видно, что $\nu(x) \in C^1]0,r[.$ В гиперболической части области $\Omega_2$ решение задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3} сводится к решению задачи Коши для частного случая неоднородного уравнения Мак=Кендрика [3, с. 179] \begin{gather} \label{khub12} u_{x} + u_{y} + c u = \rho(x,y), \label{khub13} u(x,0) = \tau(x), \end{gather} где $\rho(x,y) = f_2(x,y)- \lambda_2 \tau(x-y)$. Решение задачи \eqref{khub12}, \eqref{khub13} дается формулой $$ u(x,y) = \tau(x-y) e^{-c y} + \int _{0}^{y}{\rho(\eta + x - y}, \eta) e^{c(\eta-y)} d\eta, $$ которая будет решением задачи \hyperlink{task:BS}{BS} в $\Omega_2$. После несложных преобразований ее можно переписать в виде $$ u(x,y) = \tau(x-y) \Big[e^{-c y}(1+\lambda_2/c) -\lambda_2/c\Big] + \int _{0}^{y}{f_2(\eta + x - y}, \eta) e^{c(\eta-y)} d\eta, $$ если $c \not= 0$, а при $c = 0$ $$ u(x,y) = \tau(x-y) [1 - \lambda_2 y] + \int _{0}^{y}{f_2(\eta + x - y}, \eta)d\eta. $$ Если $f_1(x,y) \in C({\bar \Omega_1})$ и удовлетворяет условию Гельдера по $x,$ $\varphi _0(y) \in C[0,T]$, $\alpha(y), \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$, то решение задачи \hyperlink{task:BS}{BS} в $\Omega_1$ представимо в виде решения первой краевой задачи \eqref{khub2}, \eqref{khub9}, \eqref{khub13} для уравнения \eqref{khub1}: \begin{multline} \label{khub14} u(x,y) = \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x,y; 0,\eta)\varphi_0(\eta)d\eta - \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x,y; r,\eta)\varphi_r(\eta)d\eta + + \int _{0}^{r}\Gamma(x,y; \xi,0)\tau(\xi)d\xi + \int _{0}^{y} \int _{0}^{r}\Gamma(x,y; \xi,\eta)\big[f_1(\xi, \eta) - \lambda_1\tau(\xi)\big]d\xi d\eta, \end{multline} где $$ \Gamma(x,y; \xi, \eta)= \frac{1}{\sqrt{4\pi(y-\eta)}} \sum\limits_{k= -\infty}^{\infty} \Big\{ \exp \Big[ \frac{(x-\xi+2k)^2}{4(\eta-y)} \Big] - \exp \Big[ \frac{(x+\xi+2k)^2}{4(\eta-y)} \Big] \Big\} $$ --- функция Грина первой краевой задачи для уравнения Фурье [3, c. 267]. Удовлетворяя \eqref{khub14} условию \eqref{khub3} с учетом того, что $\alpha(y) \not= 0$, получим интегральное уравнение относительно неизвестной функции $\varphi_r(y)$: \begin{equation} \label{khub15} \varphi_r(y) + \int _{0}^{y} K(y,\eta)\varphi_r(\eta)d\eta = F(y), \end{equation} где $$ K(y,\eta) = \frac{1}{\alpha(y)} \Gamma_{\xi}(x_0,y; r,\eta), $$ \begin{multline} F(y) = \int _{0}^{y}\Gamma_{\xi}(x_0,y; 0,\eta)\varphi_0(\eta)d\eta + \int _{0}^{r}\Gamma(x_0,y; \xi,0)\tau(\xi)d\xi + + \int _{0}^{y} \int _{0}^{r}\Gamma(x_0,y; \xi,\eta) \big[f_1(\xi, \eta) - \lambda_1\tau(\xi)\big]d\xi d\eta. \end{multline} Так как функция $\Gamma(x,y; \xi,\eta)$ непрерывна в $\bar{\Omega}_1 \times \bar{\Omega}_1$, имеет непрерывную при $0 \leqslant x \leqslant r$, $0 < y \leqslant \eta < T$ и интегрируемую вдоль отрезков $\{{x=0, 0 \leqslant y \leqslant T}\}$ и $\{x=r, 0 \leqslant y \leqslant T\}$ производную $\Gamma_{x}$ (и, соответственно,~$\Gamma_{\xi}$) [3, c. 267], то уравнение \eqref{khub15} является интегральным уравнением Вольтерра II рода и имеет единственное решение $\varphi_r(y)$, причем $\varphi_r(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$. С учетом этого и условия теоремы $\alpha(y), \beta(y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$ из \eqref{khub3} получим, что и $u(x_0,y) \in C[0,T] \cap C^1]0,T[$, т.е. полученное решение задачи будет в искомом классе. После нахождения функции $\varphi_r(y)$ единственное решение задачи \eqref{khub1}--\eqref{khub3} в $\Omega_1$ задается формулой \eqref{khub14}. \end{proof}

About the authors

Kazbek Uzeirovich Khubiev

Institute of Applied Mathematics and Automation

Email: khubiev_math@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Нахушев А. М., Нагруженные уравнения и их применения, Наука, М., 2012, 232 с.
  2. Дикинов Х. Ж., Керефов А. А., Нахушев А. М., "Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности", Диффер. уравн., 12:1 (1976), 177-179
  3. Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высш. шк., М., 1995, 301 с.
  4. Хубиев К. У., "Краевая задача для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности", Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 149 (2018), 113-117
  5. Напсо А. Ф., "О задаче Бицадзе–Самарского для уравнения параболического типа", Дифференц. уравнения, 13:4 (1977), 761-762
  6. Напсо А. Ф., "Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа", Дифференц. уравнения, 14:1 (1978), 185-186
  7. Хубиев К. У., "Внутренне-краевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа", Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2008, № 6(148), 23-25
  8. Водахова В. А., "Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса", Диффер. уравн., 18:2 (1982), 280-285
  9. Нахушев А. М., "Краевые задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги", Диффер. уравн., 15:1 (1979), 96-105
  10. Нахушева З. А., "Об одной нелокальной эллиптической краевой задаче типа задачи Бицадзе-Самарского", Докл. АМАН, 15:1 (2013), 18-23
  11. Хубиев К. У., "Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа", Мат. заметки СВФУ, 26:2 (2019), 31-40

Statistics

Views

Abstract - 8

PDF (Russian) - 4

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies