The solution of equations of ideal gas that describes Galileo invariant motion with helical level lines, with the collapse in the helix

Full Text

\Section[n]{Введение} Для системы уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния известны все 27 инвариантных подмоделей ранга два [1]. Все перечисленные подмодели приводятся к системе эволюционного типа или к системе стационарного типа. В книге С. В. Хабирова [2] рассмотрены инвариантные подмодели, построенные на подалгебрах 2.17, 2.9, 2.2 (нумерация подалгебр из [1]). Решения подмоделей описывают соответственно двумерные установившиеся течения газа, одномерные движения газа с цилиндрическими волнами и закруткой, течения со спиральными поверхностями уровня. Классификация точных решений остальных подмоделей не завершена. В данной работе рассматривается инвариантная подмодель ранга 2 эволюционного типа в цилиндрической системе координат, построенная на подалгебре 2.10 [1]. Ставится задача найти все решения для политропного газа с предположением о линейной зависимости радиальной компоненты скорости от пространственной координаты. Аналогичная задача рассмотрена в работе [3], где изучено только одно точное решение с двумя линейными компонентами скорости подмодели ранга 3. Классификация газодинамических подмоделей с линейным полем скоростей по трем координатам и по общему уравнению состояния была проделана в работе [4]. Полученные динамические системы большой размерности не поддаются простому интегрированию. Поэтому ставится аналогичная задача для инвариантных подмоделей. В работе С. В. Головина [5] решение поставленной задачи свелось к дифференциальному уравнению для функций одной переменной, но зависящих от различных независимых переменных. Чтобы его решить, необходимо разделить переменные в уравнении. В отличие от работы [5], в настоящей работе найдены все решения в явном виде. Найденные решения описывают коллапс на геликоиде и движения по спиральным линиям. \smallskip \Section{Постановка задачи} Уравнения газовой динамики (УГД) в цилиндрической системе координат $(t,x,r,\theta)$ имеют вид \begin{equation} \label{yulm:eq1} \begin{array}{l} U_t+UU_x+VU_r+r^{-1}WU_\theta+\rho^{-1}p_x=0, V_t+UV_x+VV_r+r^{-1}WV_\theta+\rho^{-1}p_r=r^{-1}W^2, W_t+UW_x+VW_r+r^{-1}WW_\theta+\rho^{-1}r^{-1}p_\theta=-r^{-1}VW, \rho_t+U\rho_x+V\rho_r+r^{-1}W\rho_\theta+\rho(U_x+V_r+r^{-1}V+r^{-1}W_\theta)=0, S_t+US_x+VS_r+r^{-1}WS_\theta=0, \end{array} \end{equation} где $U$ --- скорость вдоль оси $x$, $V$ --- радиальная скорость, $W$ --- окружная скорость, $\rho$ --- плотность, $S$ --- энтропия, давление определяется по уравнению состояния $p=f(\rho,S)$. Рассматривается подалгебра 2.10 оптимальной системы 11-мерной алгебры Ли, допускаемой УГД с произвольным уравнением состояния [1]. Базис операторов подалгебры состоит из оператора галилеева переноса $X_4\hm=t\partial_x+\partial_U$ и~оператора движения по спиральным линиям $\alpha\ X_1+X_7=\alpha\partial_x+\partial_\theta$. В~оптимальной системе $\alpha=1$. Для дальнейшего удобства взята подобная подалгебра с произвольным $\alpha\neq0$. Инварианты этих операторов задают представление решения: \begin{equation}\label{yulm:eq2} U=\frac{x-\alpha\theta}{t}+u(t,r),\; V=V(t,r), \; W=W(t,r), \; \rho=\rho(t,r), \; S=S(t,r). \end{equation} Подстановка представления \eqref{yulm:eq2} в УГД \eqref{yulm:eq1} дает систему дифференциальных уравнений \begin{equation}\label{yulm:eq3} \begin{array}{ll} u_t+ut^{-1}+Vu_r=\alpha\ W(rt)^{-1}, & V_t+VV_r+p_r\rho^{-1}=W^2r^{-1}, W_t+VW_r+VWr^{-1}=0, & \rho_t+V\rho_r+\rho(t^{-1}+V_r+Vr^{-1})=0, S_t+VS_r=0, & p=f(\rho,S) . \end{array} \end{equation} \smallskip {\small\sc Замечание.} Система уравнений \eqref{yulm:eq3} допускает следующие преобразования эквивалентности: \begin{equation}\label{yulm:eq4} \begin{array}{llll} V\rightarrow\dfrac{R}{T}V, & W\rightarrow\dfrac{R}{T}W, & \rho\rightarrow\dfrac{PT^2}{R^2}\rho, & p\rightarrow\ Pp+p_0, [2mm] u\rightarrow u T^{-1}, & t\rightarrow Tt, & r\rightarrow Rr, & S\rightarrow h(S), [2mm] \multicolumn{4}{c}{\overline{f}(\rho,S)=P^{-1}\left(f(PT^2R^{-2}\rho,h(S))-p_0\right),} \end{array} \end{equation} где $R, T, P$ --- постоянные, $h(S)$ --- произвольная функция, а также инверсия \[W\rightarrow-W,\quad u\rightarrow-u.\] \smallskip Решение УГД принято рассматривать [6] с точностью до преобразований эквивалентности \eqref{yulm:eq4}. Из первого уравнения системы \eqref{yulm:eq3} функция $u(t,r)$ может быть найдена после нахождения решения остальных уравнений. Уравнения системы \eqref{yulm:eq3} записываются в виде \[ \begin{array}{ll} V_t+VV_r+p_r\rho^{-1}=W^2r^{-1}, & (rW)_t+V(rW)_r=0, (rt\rho)_t+(rt V\rho)_r=0, & S_t+VS_r=0. \end{array} \] Вводится лагранжева координата $\xi=\xi(t,r)$ по правилу $\xi_t+V\xi_r=0$ с~точностью до взятия произвольной функции от $\xi$ [6]. Тогда уравнение для $W$, $\rho$, $S$ интегрируются: \begin{equation}\label{yulm:eq5} S=S(\xi), \quad rW=g(\xi), \quad \rho=(rt)^{-1}\xi_r, \quad V=-(\xi_r)^{-1}\xi_t, \end{equation} где $S(\xi)$, $g(\xi)$ --- произвольные функции, а функция $\xi(t,r)$ удовлетворяет уравнению \begin{equation}\label{yulm:eq6} -\Bigl(\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigr)_t+\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigl(\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigr)_r+f_\rho\Bigl(\frac{\xi_{rr}}{\xi_r}-\frac{1}{r}\Bigr)+f_SS_\xi \, rt=\frac{g^2(\xi)}{r^3}. \end{equation} Из первого уравнения системы \eqref{yulm:eq3} следует интеграл \begin{equation}\label{yulm:eq7} tu=\alpha\ g(\xi)\int\frac{dt}{r^2(t,\xi)}+U_1(\xi), \end{equation} где $U_1(\xi)$ --- произвольная функция. Газодинамические функции определены формулами \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7}, где лагранжева координата $\xi(t,r)$ удовлетворяет уравнению \eqref{yulm:eq6}. Координата скорости $V$ линейна по $r$ тогда и только тогда, когда лагранжева координата линейна по $r$: \begin{equation}\label{yulm:eq8} \xi=rb(t)+c(t),\quad b(t)\neq0. \end{equation} В этом случае уравнение \eqref{yulm:eq6} примет вид \begin{equation}\label{yulm:eq9} -(\xi-c)^4\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}' -b\Bigl(\frac{c^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'(\xi-c)^4-f_\rho b(\xi-c)^2+f_SS_\xi t\frac{(\xi-c)^4}{b}=g^2(\xi)b^3. \end{equation} \smallskip {\small\sc Замечание.} Равенство \eqref{yulm:eq9} --- тождество по независимым переменным $\xi$~и~$t$. При $\xi=c(t)\neq0$ следует $g(c(t))=0$. Отсюда либо $g=0$, либо $c$ --- постоянная, не равная нулю. Если $c$ --- постоянная, то преобразование эквивалентности сдвига по $\xi$ делает $c=0$. Противоречие. Если $g=0$, то из \eqref{yulm:eq9} следует \[ (\xi-c)^2\left[ -\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'-b\Bigl(\frac{c^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'+f_SS_\xi\frac{t}{b} \right]=f_\rho b. \] При $\xi=c$ получаем $b=0$, так как $f_\rho\neq0$ для нормального газа. Противоречие. Значит, $c=0$ и уравнение \eqref{yulm:eq9} примет вид \begin{equation}\label{yulm:eq10} -\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime-\frac{b}{\xi^2}f_\rho+f_SS_\xi\frac{t}{b}=g^2(\xi)\frac{b^2}{\xi^4},\quad f(\rho,S)=f\Bigl(\frac{b^2}{t\xi},S(\xi)\Bigr). \end{equation} Последнее равенство есть уравнение для определения уравнения состояния (УС) по известным функциям $b(t)$ и $S(\xi)$. По заданным решениям определяется УС. Если известно УС, то это уравнение задает переопределенное соотношение для нахождения функций $S(\xi)$ и $b(t)$. %Далее рассмотрим модель политропного газа. \smallskip \Section{Модель политропного газа} Уравнение состояния политропного газа имеет вид $p=h(S)\rho^\gamma$, $\gamma\neq0$, где $h(S)$ --- произвольная функция энтропии, $\gamma$ --- показатель адиабаты. С~точностью до преобразования эквивалентности \eqref{yulm:eq4} системы \eqref{yulm:eq1} можно считать $S(\xi)=\xi$, то есть \begin{equation}\label{yulm:eq11} p=\xi\rho^\gamma. \end{equation} Уравнение \eqref{yulm:eq10} в силу \eqref{yulm:eq8}, \eqref{yulm:eq11}, \eqref{yulm:eq5} становится тождеством по $t$ и $\xi$: \begin{equation}\label{yulm:eq12} -\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-1}} \Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime+(1-\gamma)\mathop{\mathrm{sign}}\xi|\xi|^{-\gamma}=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-4}}, \end{equation} После дифференцирования тождества \eqref{yulm:eq12} по $t$ \[ -\left(\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-1}} \Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'\right)^\prime=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}\Bigl(\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-4}}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime \] независимые переменные $t$ и $\xi$ разделяются. Возможны два случая: \begin{itemize} \item[1)] $g=\xi^2$, $\left(|t|^{\gamma-1}b^{4-2\gamma}\right)^\prime\neq0$; \hspace{.5cm} 2)~$b=\pm|t|^\frac{\gamma-1}{2\gamma-4}$, $ \gamma\neq2$. \end{itemize} \smallskip В первом случае из уравнения \eqref{yulm:eq12} с точностью до преобразования эквивалентности следует \[ \gamma=1, \quad b=\frac{\pm1}{\sqrt{1+t^2}}. \] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation} \label{yulm:eq13} U=\frac{x-\alpha\theta+\alpha \mathop{\mathrm{arctg}} t+U_1(\xi)}{t},\quad V=\frac{r t}{1+t^2}, \quad W=\frac{r}{1+t^2}, \end{equation} \[ \rho=\frac{\pm1}{rt\sqrt{1+t^2}},\quad \xi=\frac{\pm r}{\sqrt{1+t^2}}. \] Во втором случае после подставновки выражения для функции $b(t)$ в тождество \eqref{yulm:eq12} получаем \begin{equation} \label{yulm:eq14} -\frac{(\gamma-1)(5-3\gamma)}{(2\gamma-4)^2}\mathop{\mathrm{sign}}t|t|^\frac{6-4\gamma}{\gamma-2}=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}-(1-\gamma)\mathop{\mathrm{sign}}\xi|\xi|^{-\gamma}. \end{equation} Последнее тождество верно только в трех случаях: $\gamma=3/2$, $1$, $5/3$. Если $\gamma=3/2$, то $b=\pm|t|^{-1/2}$, $\xi=\pm\ r|t|^{-1/2}$. Тождество \eqref{yulm:eq14} есть равенство для определения функции $g(\xi)$ только при $t<0$ и $\xi=-r|t|^{-1/2}$: \[g^2=\frac{1}{4}\xi^4+\frac{1}{2}|\xi|^{5/2}.\] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq15} \begin{array}{l} U=\dfrac{x-\alpha\theta}{t}+ \alpha\Bigl(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\dfrac{|t|^{3/4}}{r^{3/2}}\Bigr)^{1/2} \dfrac{\ln{|}t|}{t}+\dfrac{U_1(\xi)}{t}, \qquad V=\dfrac{r}{2t}, [3mm] W=\dfrac{1}{2r}\Bigl(\dfrac{r^4}{t^2}+2\dfrac{r^{5/2}}{|t|^{5/4}}\Bigr)^{1/2},\quad \rho=\dfrac{1}{|t|^{3/2}r},\quad \xi=-\dfrac{r}{\sqrt{|t|}},\quad t<0. \end{array} \end{equation} Если $\gamma=5/3$, то $b=t^{-1}$, $\xi=rt^{-1}$. Из тождества \eqref{yulm:eq14} следует выражение для функции $g(\xi)$ только при $t<0$: \[g=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}|\xi|^{7/6}.\] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq16} \begin{array}{l} U=\dfrac{x-\alpha\theta}{t}-\alpha\sqrt{\dfrac{2}{3}}\dfrac{1}{r^{5/6}|t|^{7/6}}+\dfrac{U_1(\xi)}{t},\qquad V=\dfrac{r}{t}, [3mm] W=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\dfrac{r^{1/6}}{|t|^{7/6}}, \quad \rho=\dfrac{1}{rt^2}, \quad \xi=\dfrac{r}{t},\quad t<0. \end{array} \end{equation} Если $\gamma=1$, то $b=\pm1$, $\xi=\pm\ r$. В этом случае из тождества \eqref{yulm:eq14} следует $g(\xi)=0$. Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq17} U=\frac{x-\alpha\theta+U_1(\xi)}{t},\quad V=0,\quad W=0,\quad \rho=\pm\frac{1}{rt}. \end{equation} Таким образом, модель политропного газа задается решениями \eqref{yulm:eq13}, \eqref{yulm:eq15}, \eqref{yulm:eq16} и \eqref{yulm:eq17}. Далее рассматриваются траектории движения частиц и приводится описание полученных решений. \newpage \Section{Примеры движения частиц газа} Мировые линии движения частиц газа в цилиндрической системе координат определяются как решение системы дифференциальных уравнений \[ \frac{dx}{dt}=U,\quad \frac{dr}{dt}=V, \quad r\frac{d\theta}{dt}=W. \] \smallskip {\bf 3.1.} Для решения \eqref{yulm:eq13} уравнения мировые линий задаются равенствами \begin{equation}\label{yulm:eq18} x=u_0t+\alpha\theta_0-U_1(\pm\ r_0),\quad r=r_0\sqrt{1+t^2},\quad \theta=\mathop{\mathrm{arctg}}t+\theta_0, \end{equation} где $u_0$, $r_0$, $\theta_0$ --- лагранжевы координаты частиц в момент $t=0$: $0\le\ r_0<\infty$, $-\infty<\theta_0<\infty$, $-\infty<u_0<\infty$. Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный \linebreak $ t\sqrt{1+t^2}$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~2. Значит коллапс частиц происходит на поверхности. В~момент времени $t=0$ частицы занимают положение \begin{equation}\label{yulm:eq19} x=\alpha\theta_0-U_1(\pm\ r_0),\quad r=r_0,\quad \theta=\alpha\theta_0. \end{equation} Поверхность коллапса задается уравнением \begin{equation}\label{yulm:eq20} x=\theta-U_1(\pm\ r). \end{equation} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova1} {\sl \scriptsize a } \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova2} {\sl \scriptsize b} \caption{Поверхности коллапса: {\sl a}\/) прямой геликоид; {\sl b}\/) наклонный геликоид \label{Gel} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{Gel}. Сollapse surfaces: ({\sl a\/}) straight helix; ({\sl b\/}) inclined helix] \end{figure} При $U_1=0$ поверхность коллапса есть прямой геликоид (рис.~\ref{Gel},\,{\sl a}\/). Если $U_1\neq \rm const$, то поверхность коллапса есть наклонный геликоид (рис.~\ref{Gel},\,{\sl b}\/). В~каждой точке геликоида находится однопараметрическое семейство частиц, которые отличаются друг от друга скоростью $u_0$ вдоль оси $x$. Траектории движения частиц газа есть прямые линии. Функция $U_1(\pm\ r)$ отвечает за форму образующей геликоида. Так, если $U_1(\pm\ r)>0$, то геликоид раскручивается вдоль оси $x$ в направлении убывания координаты $x$. Если $U_1(\pm\ r)<0$, то геликоид раскручивается вдоль оси $x$ в~направлении возрастания координаты $x$. На рис.~\ref{Gel},\,{\sl a}\/ изображен геликоид с функцией $U_1=-r^2$. Если рассмотреть проекции траекторий на плоскость $(y,z)$, то это будут параллельные прямые для частиц с~одинаковой лагранжевой координатой $\theta_0$ и различной координатой $r_0$. Если проекции траекторий частиц лежат на окружности радиуса $r_0$ (винтовые линии в~пространстве), то проекциями траекторий будут прямые --- касательные к~этой окружности. Это следует из \eqref{yulm:eq18}. \smallskip {\bf 3.2.} Для решения \eqref{yulm:eq15} уравнения мировых линий задаются равенствами \[ x=u_0t+\alpha\theta_0+U_1(-r_0),\quad r=r_0\sqrt{|t|},\quad \theta=\ln| t| \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{r_0^{3/2}}\Bigr)^{1/2}+\theta_0. \] Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $ t\sqrt{|t|}$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~1. Коллапс частиц происходит на прямой \begin{equation}\label{yulm:eq22} x=\alpha\theta_0-U_1(-r_0),\quad y=z=0. \end{equation} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova3} {\sl \scriptsize a } \bigskip \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova4} {\sl \scriptsize b} \caption{ Траектория движения частиц при $\gamma=3/2$: {\sl a}\/) логарифмическая спираль (проекция); {\sl b}\/) логарифмическая спираль на параболоиде \label{log} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{log}. The trajectory of motion of particles at $\gamma=3/2$: ({\sl a\/}) logarithmic spiral (a~projection); ({\sl b}\/) logarithmic spiral on a paraboloid] \end{figure} Проекция траектории на плоскость $(y,z)$ есть логарифмическая спираль (рис.~\ref{log},\,{\sl a}\/): $$ r=r_0\exp{\Bigl(\frac{\theta-\theta_0}{\kappa(r_0)}\Bigr)}, \quad \kappa(r_0)=\bigl(1+2r_0^{-3/2}\bigr)^{1/2} . $$ Траектории в пространстве лежат на параболоиде (рис.~\ref{log},\,{\sl b}\/): $$ x=u_0(rr_0^{-1})^2+\alpha\theta_0+U_1(-r_0). $$ \smallskip {\bf 3.3.} Для решения \eqref{yulm:eq16} уравнения мировых линий задаются равенствами \[ x=u_0t+\alpha\theta_0-U_1(-r_0),\quad r=r_0|t|,\quad \theta=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{r_0^{5/6}|t|}+\theta_0. \] Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $t|t|$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~1. Коллапс частиц происходит на прямой \eqref{yulm:eq22}. Проекцией траекторий на плоскость $(y,z)$ является гиперболическая спираль (рис.~\ref{Gip},\,{\sl a}\/) $$ r=\frac{\kappa(r_0)}{\theta-\theta_0},\quad \kappa(r_0)=\sqrt{\frac{2}{3}}r_0^{1/6}.$$ В~пространстве траектории являются винтовыми линями на конусе (рис.~\ref{Gip},\,{\sl b}\/). \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova5} {\sl \scriptsize a } \bigskip \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova6} {\sl \scriptsize b} \caption{ Траектория движения частиц при $\gamma=5/3$: {\sl a}\/) гиперболическая спираль (проекция); {\sl b}\/) гиперболическая спираль на конусе \label{Gip} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{Gip}. The trajectory of motion of particles at $\gamma=5/3$: ({\sl a\/}) hyperbolic spiral (a~projection); ({\sl b}\/) hyperbolic spiral on a~cone] \end{figure} \smallskip {\bf 3.4.} Для решения \eqref{yulm:eq17} уравнения мировых линий задаются равенствами \begin{equation}\label{yulm:eq24} x=u_0t+\theta_0-U_1(r_0),\quad r=r_0,\quad \theta=\theta_0. \end{equation} Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $t$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~2. В~момент времени $t=0$ частицы занимают положение \eqref{yulm:eq19}. Поверхность коллапса задается уравнением \eqref{yulm:eq20} геликоида. Траектории параллельны оси $x$. \smallskip \Section[N]{Заключение} Для инвариантной подмодели ранга 2 найдены решения в~случае политропного газа с предположением о линейной зависимости радиальной компоненты скорости от пространственных координат. Полученные решения описывают прямолинейный разлет частиц газа с поверхности геликоидов различной конфигурации. Движения частиц по гиперболическим или логарифмическим спиралям, которые в пространстве лежат на конусе или параболоиде соответственно. В работе получены соотношения и уравнения \eqref{yulm:eq3}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq6}, \eqref{yulm:eq7}, которые позволяют найти точные решения не только для уравнения состояния политропного газа, но и для любого уравнения состояния. Требуется лишь подставить выбранное уравнение состояния в дифференциальное уравнение \eqref{yulm:eq6} и провести разделение переменных в уравнении.

About the authors

Yuliya Valer'evna Yulmukhametova

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: taryv@yandex.ru, yulmukhametova.yulya@yandex.ru, tarasova_yulya@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Researcher

References

Supplementary files