The solution of equations of ideal gas that describes Galileo invariant motion with helical level lines, with the collapse in the helix

Abstract


We consider the equations of ideal gas dynamics in a cylindrical coordinate system with the arbitrary equation of state and one two-dimensional subalgebra from the optimum system of an 11-dimensional Lie algebra of differentiation operators of the first order. The basis of the subalgebra operators consists of the operator of Galilean transfer and the operator of movement on spiral lines. Invariants of operators set representation: type of speed, density and entropy. After substitution of the solution representation into the equations of gas dynamics the assumption of the linear relation of a radial component of speed and spatial coordinate is entered. Transformations of equivalence which are allowed by a set of equations of gas dynamics after substitution of the solution representation are written down. For the state equation of polytropic gas all four solutions depending on an isentropic exponent are found. For each case the equations of world lines of gas particles motion are written down. The transition Jacobian from Eulerian variables to Lagrangian is found. The instants of collapse of gas particles are determined by value of the Jacobian. As a result the solutions describe movement on straight lines from a helicoid surface. Movements of the particles on equiangular spirals lying on a paraboloid and on hyperbolic spirals, lying on a cone.

Full Text

\Section[n]{Введение} Для системы уравнений газовой динамики с общим уравнением состояния известны все 27 инвариантных подмоделей ранга два [1]. Все перечисленные подмодели приводятся к системе эволюционного типа или к системе стационарного типа. В книге С. В. Хабирова [2] рассмотрены инвариантные подмодели, построенные на подалгебрах 2.17, 2.9, 2.2 (нумерация подалгебр из [1]). Решения подмоделей описывают соответственно двумерные установившиеся течения газа, одномерные движения газа с цилиндрическими волнами и закруткой, течения со спиральными поверхностями уровня. Классификация точных решений остальных подмоделей не завершена. В данной работе рассматривается инвариантная подмодель ранга 2 эволюционного типа в цилиндрической системе координат, построенная на подалгебре 2.10 [1]. Ставится задача найти все решения для политропного газа с предположением о линейной зависимости радиальной компоненты скорости от пространственной координаты. Аналогичная задача рассмотрена в работе [3], где изучено только одно точное решение с двумя линейными компонентами скорости подмодели ранга 3. Классификация газодинамических подмоделей с линейным полем скоростей по трем координатам и по общему уравнению состояния была проделана в работе [4]. Полученные динамические системы большой размерности не поддаются простому интегрированию. Поэтому ставится аналогичная задача для инвариантных подмоделей. В работе С. В. Головина [5] решение поставленной задачи свелось к дифференциальному уравнению для функций одной переменной, но зависящих от различных независимых переменных. Чтобы его решить, необходимо разделить переменные в уравнении. В отличие от работы [5], в настоящей работе найдены все решения в явном виде. Найденные решения описывают коллапс на геликоиде и движения по спиральным линиям. \smallskip \Section{Постановка задачи} Уравнения газовой динамики (УГД) в цилиндрической системе координат $(t,x,r,\theta)$ имеют вид \begin{equation} \label{yulm:eq1} \begin{array}{l} U_t+UU_x+VU_r+r^{-1}WU_\theta+\rho^{-1}p_x=0, V_t+UV_x+VV_r+r^{-1}WV_\theta+\rho^{-1}p_r=r^{-1}W^2, W_t+UW_x+VW_r+r^{-1}WW_\theta+\rho^{-1}r^{-1}p_\theta=-r^{-1}VW, \rho_t+U\rho_x+V\rho_r+r^{-1}W\rho_\theta+\rho(U_x+V_r+r^{-1}V+r^{-1}W_\theta)=0, S_t+US_x+VS_r+r^{-1}WS_\theta=0, \end{array} \end{equation} где $U$ --- скорость вдоль оси $x$, $V$ --- радиальная скорость, $W$ --- окружная скорость, $\rho$ --- плотность, $S$ --- энтропия, давление определяется по уравнению состояния $p=f(\rho,S)$. Рассматривается подалгебра 2.10 оптимальной системы 11-мерной алгебры Ли, допускаемой УГД с произвольным уравнением состояния [1]. Базис операторов подалгебры состоит из оператора галилеева переноса $X_4\hm=t\partial_x+\partial_U$ и~оператора движения по спиральным линиям $\alpha\ X_1+X_7=\alpha\partial_x+\partial_\theta$. В~оптимальной системе $\alpha=1$. Для дальнейшего удобства взята подобная подалгебра с произвольным $\alpha\neq0$. Инварианты этих операторов задают представление решения: \begin{equation}\label{yulm:eq2} U=\frac{x-\alpha\theta}{t}+u(t,r),\; V=V(t,r), \; W=W(t,r), \; \rho=\rho(t,r), \; S=S(t,r). \end{equation} Подстановка представления \eqref{yulm:eq2} в УГД \eqref{yulm:eq1} дает систему дифференциальных уравнений \begin{equation}\label{yulm:eq3} \begin{array}{ll} u_t+ut^{-1}+Vu_r=\alpha\ W(rt)^{-1}, & V_t+VV_r+p_r\rho^{-1}=W^2r^{-1}, W_t+VW_r+VWr^{-1}=0, & \rho_t+V\rho_r+\rho(t^{-1}+V_r+Vr^{-1})=0, S_t+VS_r=0, & p=f(\rho,S) . \end{array} \end{equation} \smallskip {\small\sc Замечание.} Система уравнений \eqref{yulm:eq3} допускает следующие преобразования эквивалентности: \begin{equation}\label{yulm:eq4} \begin{array}{llll} V\rightarrow\dfrac{R}{T}V, & W\rightarrow\dfrac{R}{T}W, & \rho\rightarrow\dfrac{PT^2}{R^2}\rho, & p\rightarrow\ Pp+p_0, [2mm] u\rightarrow u T^{-1}, & t\rightarrow Tt, & r\rightarrow Rr, & S\rightarrow h(S), [2mm] \multicolumn{4}{c}{\overline{f}(\rho,S)=P^{-1}\left(f(PT^2R^{-2}\rho,h(S))-p_0\right),} \end{array} \end{equation} где $R, T, P$ --- постоянные, $h(S)$ --- произвольная функция, а также инверсия \[W\rightarrow-W,\quad u\rightarrow-u.\] \smallskip Решение УГД принято рассматривать [6] с точностью до преобразований эквивалентности \eqref{yulm:eq4}. Из первого уравнения системы \eqref{yulm:eq3} функция $u(t,r)$ может быть найдена после нахождения решения остальных уравнений. Уравнения системы \eqref{yulm:eq3} записываются в виде \[ \begin{array}{ll} V_t+VV_r+p_r\rho^{-1}=W^2r^{-1}, & (rW)_t+V(rW)_r=0, (rt\rho)_t+(rt V\rho)_r=0, & S_t+VS_r=0. \end{array} \] Вводится лагранжева координата $\xi=\xi(t,r)$ по правилу $\xi_t+V\xi_r=0$ с~точностью до взятия произвольной функции от $\xi$ [6]. Тогда уравнение для $W$, $\rho$, $S$ интегрируются: \begin{equation}\label{yulm:eq5} S=S(\xi), \quad rW=g(\xi), \quad \rho=(rt)^{-1}\xi_r, \quad V=-(\xi_r)^{-1}\xi_t, \end{equation} где $S(\xi)$, $g(\xi)$ --- произвольные функции, а функция $\xi(t,r)$ удовлетворяет уравнению \begin{equation}\label{yulm:eq6} -\Bigl(\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigr)_t+\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigl(\frac{\xi_t}{\xi_r}\Bigr)_r+f_\rho\Bigl(\frac{\xi_{rr}}{\xi_r}-\frac{1}{r}\Bigr)+f_SS_\xi \, rt=\frac{g^2(\xi)}{r^3}. \end{equation} Из первого уравнения системы \eqref{yulm:eq3} следует интеграл \begin{equation}\label{yulm:eq7} tu=\alpha\ g(\xi)\int\frac{dt}{r^2(t,\xi)}+U_1(\xi), \end{equation} где $U_1(\xi)$ --- произвольная функция. Газодинамические функции определены формулами \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7}, где лагранжева координата $\xi(t,r)$ удовлетворяет уравнению \eqref{yulm:eq6}. Координата скорости $V$ линейна по $r$ тогда и только тогда, когда лагранжева координата линейна по $r$: \begin{equation}\label{yulm:eq8} \xi=rb(t)+c(t),\quad b(t)\neq0. \end{equation} В этом случае уравнение \eqref{yulm:eq6} примет вид \begin{equation}\label{yulm:eq9} -(\xi-c)^4\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}' -b\Bigl(\frac{c^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'(\xi-c)^4-f_\rho b(\xi-c)^2+f_SS_\xi t\frac{(\xi-c)^4}{b}=g^2(\xi)b^3. \end{equation} \smallskip {\small\sc Замечание.} Равенство \eqref{yulm:eq9} --- тождество по независимым переменным $\xi$~и~$t$. При $\xi=c(t)\neq0$ следует $g(c(t))=0$. Отсюда либо $g=0$, либо $c$ --- постоянная, не равная нулю. Если $c$ --- постоянная, то преобразование эквивалентности сдвига по $\xi$ делает $c=0$. Противоречие. Если $g=0$, то из \eqref{yulm:eq9} следует \[ (\xi-c)^2\left[ -\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'-b\Bigl(\frac{c^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'+f_SS_\xi\frac{t}{b} \right]=f_\rho b. \] При $\xi=c$ получаем $b=0$, так как $f_\rho\neq0$ для нормального газа. Противоречие. Значит, $c=0$ и уравнение \eqref{yulm:eq9} примет вид \begin{equation}\label{yulm:eq10} -\Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime-\frac{b}{\xi^2}f_\rho+f_SS_\xi\frac{t}{b}=g^2(\xi)\frac{b^2}{\xi^4},\quad f(\rho,S)=f\Bigl(\frac{b^2}{t\xi},S(\xi)\Bigr). \end{equation} Последнее равенство есть уравнение для определения уравнения состояния (УС) по известным функциям $b(t)$ и $S(\xi)$. По заданным решениям определяется УС. Если известно УС, то это уравнение задает переопределенное соотношение для нахождения функций $S(\xi)$ и $b(t)$. %Далее рассмотрим модель политропного газа. \smallskip \Section{Модель политропного газа} Уравнение состояния политропного газа имеет вид $p=h(S)\rho^\gamma$, $\gamma\neq0$, где $h(S)$ --- произвольная функция энтропии, $\gamma$ --- показатель адиабаты. С~точностью до преобразования эквивалентности \eqref{yulm:eq4} системы \eqref{yulm:eq1} можно считать $S(\xi)=\xi$, то есть \begin{equation}\label{yulm:eq11} p=\xi\rho^\gamma. \end{equation} Уравнение \eqref{yulm:eq10} в силу \eqref{yulm:eq8}, \eqref{yulm:eq11}, \eqref{yulm:eq5} становится тождеством по $t$ и $\xi$: \begin{equation}\label{yulm:eq12} -\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-1}} \Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime+(1-\gamma)\mathop{\mathrm{sign}}\xi|\xi|^{-\gamma}=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-4}}, \end{equation} После дифференцирования тождества \eqref{yulm:eq12} по $t$ \[ -\left(\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-1}} \Bigl(\frac{b^\prime}{b^2}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}'\right)^\prime=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}\Bigl(\frac{|t|^{\gamma-1}}{b^{2\gamma-4}}\Bigr){\rule{0mm}{15pt}}^\prime \] независимые переменные $t$ и $\xi$ разделяются. Возможны два случая: \begin{itemize} \item[1)] $g=\xi^2$, $\left(|t|^{\gamma-1}b^{4-2\gamma}\right)^\prime\neq0$; \hspace{.5cm} 2)~$b=\pm|t|^\frac{\gamma-1}{2\gamma-4}$, $ \gamma\neq2$. \end{itemize} \smallskip В первом случае из уравнения \eqref{yulm:eq12} с точностью до преобразования эквивалентности следует \[ \gamma=1, \quad b=\frac{\pm1}{\sqrt{1+t^2}}. \] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation} \label{yulm:eq13} U=\frac{x-\alpha\theta+\alpha \mathop{\mathrm{arctg}} t+U_1(\xi)}{t},\quad V=\frac{r t}{1+t^2}, \quad W=\frac{r}{1+t^2}, \end{equation} \[ \rho=\frac{\pm1}{rt\sqrt{1+t^2}},\quad \xi=\frac{\pm r}{\sqrt{1+t^2}}. \] Во втором случае после подставновки выражения для функции $b(t)$ в тождество \eqref{yulm:eq12} получаем \begin{equation} \label{yulm:eq14} -\frac{(\gamma-1)(5-3\gamma)}{(2\gamma-4)^2}\mathop{\mathrm{sign}}t|t|^\frac{6-4\gamma}{\gamma-2}=\frac{g^2(\xi)}{\xi^4}-(1-\gamma)\mathop{\mathrm{sign}}\xi|\xi|^{-\gamma}. \end{equation} Последнее тождество верно только в трех случаях: $\gamma=3/2$, $1$, $5/3$. Если $\gamma=3/2$, то $b=\pm|t|^{-1/2}$, $\xi=\pm\ r|t|^{-1/2}$. Тождество \eqref{yulm:eq14} есть равенство для определения функции $g(\xi)$ только при $t<0$ и $\xi=-r|t|^{-1/2}$: \[g^2=\frac{1}{4}\xi^4+\frac{1}{2}|\xi|^{5/2}.\] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq15} \begin{array}{l} U=\dfrac{x-\alpha\theta}{t}+ \alpha\Bigl(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\dfrac{|t|^{3/4}}{r^{3/2}}\Bigr)^{1/2} \dfrac{\ln{|}t|}{t}+\dfrac{U_1(\xi)}{t}, \qquad V=\dfrac{r}{2t}, [3mm] W=\dfrac{1}{2r}\Bigl(\dfrac{r^4}{t^2}+2\dfrac{r^{5/2}}{|t|^{5/4}}\Bigr)^{1/2},\quad \rho=\dfrac{1}{|t|^{3/2}r},\quad \xi=-\dfrac{r}{\sqrt{|t|}},\quad t<0. \end{array} \end{equation} Если $\gamma=5/3$, то $b=t^{-1}$, $\xi=rt^{-1}$. Из тождества \eqref{yulm:eq14} следует выражение для функции $g(\xi)$ только при $t<0$: \[g=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}|\xi|^{7/6}.\] Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq16} \begin{array}{l} U=\dfrac{x-\alpha\theta}{t}-\alpha\sqrt{\dfrac{2}{3}}\dfrac{1}{r^{5/6}|t|^{7/6}}+\dfrac{U_1(\xi)}{t},\qquad V=\dfrac{r}{t}, [3mm] W=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\dfrac{r^{1/6}}{|t|^{7/6}}, \quad \rho=\dfrac{1}{rt^2}, \quad \xi=\dfrac{r}{t},\quad t<0. \end{array} \end{equation} Если $\gamma=1$, то $b=\pm1$, $\xi=\pm\ r$. В этом случае из тождества \eqref{yulm:eq14} следует $g(\xi)=0$. Тогда компоненты вектора скорости $(U,V,W)$ и плотность согласно формулам \eqref{yulm:eq2}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq7} имеют вид \begin{equation}\label{yulm:eq17} U=\frac{x-\alpha\theta+U_1(\xi)}{t},\quad V=0,\quad W=0,\quad \rho=\pm\frac{1}{rt}. \end{equation} Таким образом, модель политропного газа задается решениями \eqref{yulm:eq13}, \eqref{yulm:eq15}, \eqref{yulm:eq16} и \eqref{yulm:eq17}. Далее рассматриваются траектории движения частиц и приводится описание полученных решений. \newpage \Section{Примеры движения частиц газа} Мировые линии движения частиц газа в цилиндрической системе координат определяются как решение системы дифференциальных уравнений \[ \frac{dx}{dt}=U,\quad \frac{dr}{dt}=V, \quad r\frac{d\theta}{dt}=W. \] \smallskip {\bf 3.1.} Для решения \eqref{yulm:eq13} уравнения мировые линий задаются равенствами \begin{equation}\label{yulm:eq18} x=u_0t+\alpha\theta_0-U_1(\pm\ r_0),\quad r=r_0\sqrt{1+t^2},\quad \theta=\mathop{\mathrm{arctg}}t+\theta_0, \end{equation} где $u_0$, $r_0$, $\theta_0$ --- лагранжевы координаты частиц в момент $t=0$: $0\le\ r_0<\infty$, $-\infty<\theta_0<\infty$, $-\infty<u_0<\infty$. Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный \linebreak $ t\sqrt{1+t^2}$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~2. Значит коллапс частиц происходит на поверхности. В~момент времени $t=0$ частицы занимают положение \begin{equation}\label{yulm:eq19} x=\alpha\theta_0-U_1(\pm\ r_0),\quad r=r_0,\quad \theta=\alpha\theta_0. \end{equation} Поверхность коллапса задается уравнением \begin{equation}\label{yulm:eq20} x=\theta-U_1(\pm\ r). \end{equation} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova1} {\sl \scriptsize a } \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova2} {\sl \scriptsize b} \caption{Поверхности коллапса: {\sl a}\/) прямой геликоид; {\sl b}\/) наклонный геликоид \label{Gel} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{Gel}. Сollapse surfaces: ({\sl a\/}) straight helix; ({\sl b\/}) inclined helix] \end{figure} При $U_1=0$ поверхность коллапса есть прямой геликоид (рис.~\ref{Gel},\,{\sl a}\/). Если $U_1\neq \rm const$, то поверхность коллапса есть наклонный геликоид (рис.~\ref{Gel},\,{\sl b}\/). В~каждой точке геликоида находится однопараметрическое семейство частиц, которые отличаются друг от друга скоростью $u_0$ вдоль оси $x$. Траектории движения частиц газа есть прямые линии. Функция $U_1(\pm\ r)$ отвечает за форму образующей геликоида. Так, если $U_1(\pm\ r)>0$, то геликоид раскручивается вдоль оси $x$ в направлении убывания координаты $x$. Если $U_1(\pm\ r)<0$, то геликоид раскручивается вдоль оси $x$ в~направлении возрастания координаты $x$. На рис.~\ref{Gel},\,{\sl a}\/ изображен геликоид с функцией $U_1=-r^2$. Если рассмотреть проекции траекторий на плоскость $(y,z)$, то это будут параллельные прямые для частиц с~одинаковой лагранжевой координатой $\theta_0$ и различной координатой $r_0$. Если проекции траекторий частиц лежат на окружности радиуса $r_0$ (винтовые линии в~пространстве), то проекциями траекторий будут прямые --- касательные к~этой окружности. Это следует из \eqref{yulm:eq18}. \smallskip {\bf 3.2.} Для решения \eqref{yulm:eq15} уравнения мировых линий задаются равенствами \[ x=u_0t+\alpha\theta_0+U_1(-r_0),\quad r=r_0\sqrt{|t|},\quad \theta=\ln| t| \Bigl(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{r_0^{3/2}}\Bigr)^{1/2}+\theta_0. \] Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $ t\sqrt{|t|}$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~1. Коллапс частиц происходит на прямой \begin{equation}\label{yulm:eq22} x=\alpha\theta_0-U_1(-r_0),\quad y=z=0. \end{equation} \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova3} {\sl \scriptsize a } \bigskip \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova4} {\sl \scriptsize b} \caption{ Траектория движения частиц при $\gamma=3/2$: {\sl a}\/) логарифмическая спираль (проекция); {\sl b}\/) логарифмическая спираль на параболоиде \label{log} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{log}. The trajectory of motion of particles at $\gamma=3/2$: ({\sl a\/}) logarithmic spiral (a~projection); ({\sl b}\/) logarithmic spiral on a paraboloid] \end{figure} Проекция траектории на плоскость $(y,z)$ есть логарифмическая спираль (рис.~\ref{log},\,{\sl a}\/): $$ r=r_0\exp{\Bigl(\frac{\theta-\theta_0}{\kappa(r_0)}\Bigr)}, \quad \kappa(r_0)=\bigl(1+2r_0^{-3/2}\bigr)^{1/2} . $$ Траектории в пространстве лежат на параболоиде (рис.~\ref{log},\,{\sl b}\/): $$ x=u_0(rr_0^{-1})^2+\alpha\theta_0+U_1(-r_0). $$ \smallskip {\bf 3.3.} Для решения \eqref{yulm:eq16} уравнения мировых линий задаются равенствами \[ x=u_0t+\alpha\theta_0-U_1(-r_0),\quad r=r_0|t|,\quad \theta=\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{r_0^{5/6}|t|}+\theta_0. \] Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $t|t|$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~1. Коллапс частиц происходит на прямой \eqref{yulm:eq22}. Проекцией траекторий на плоскость $(y,z)$ является гиперболическая спираль (рис.~\ref{Gip},\,{\sl a}\/) $$ r=\frac{\kappa(r_0)}{\theta-\theta_0},\quad \kappa(r_0)=\sqrt{\frac{2}{3}}r_0^{1/6}.$$ В~пространстве траектории являются винтовыми линями на конусе (рис.~\ref{Gip},\,{\sl b}\/). \begin{figure}[h!] \centering \includegraphics[scale=.5 ]{Yulmukhametova5} {\sl \scriptsize a } \bigskip \includegraphics[scale=.5]{Yulmukhametova6} {\sl \scriptsize b} \caption{ Траектория движения частиц при $\gamma=5/3$: {\sl a}\/) гиперболическая спираль (проекция); {\sl b}\/) гиперболическая спираль на конусе \label{Gip} } \smallskip \footnotesize [Figure~\ref{Gip}. The trajectory of motion of particles at $\gamma=5/3$: ({\sl a\/}) hyperbolic spiral (a~projection); ({\sl b}\/) hyperbolic spiral on a~cone] \end{figure} \smallskip {\bf 3.4.} Для решения \eqref{yulm:eq17} уравнения мировых линий задаются равенствами \begin{equation}\label{yulm:eq24} x=u_0t+\theta_0-U_1(r_0),\quad r=r_0,\quad \theta=\theta_0. \end{equation} Якобиан перехода от эйлеровых переменных к лагранжевым, равный $t$, обращается в нуль при $t=0$. Момент времени $t=0$ является моментом коллапса частиц газа. Ранг матрицы Якоби при $t=0$ равен~2. В~момент времени $t=0$ частицы занимают положение \eqref{yulm:eq19}. Поверхность коллапса задается уравнением \eqref{yulm:eq20} геликоида. Траектории параллельны оси $x$. \smallskip \Section[N]{Заключение} Для инвариантной подмодели ранга 2 найдены решения в~случае политропного газа с предположением о линейной зависимости радиальной компоненты скорости от пространственных координат. Полученные решения описывают прямолинейный разлет частиц газа с поверхности геликоидов различной конфигурации. Движения частиц по гиперболическим или логарифмическим спиралям, которые в пространстве лежат на конусе или параболоиде соответственно. В работе получены соотношения и уравнения \eqref{yulm:eq3}, \eqref{yulm:eq5}, \eqref{yulm:eq6}, \eqref{yulm:eq7}, которые позволяют найти точные решения не только для уравнения состояния политропного газа, но и для любого уравнения состояния. Требуется лишь подставить выбранное уравнение состояния в дифференциальное уравнение \eqref{yulm:eq6} и провести разделение переменных в уравнении.

About the authors

Yuliya Valer'evna Yulmukhametova

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: taryv@yandex.ru, yulmukhametova.yulya@yandex.ru, tarasova_yulya@mail.ru

Candidate of physico-mathematical sciences, Researcher

References

  1. Мамонтов Е. В., "Инвариантные подмодели ранга два уравнений газовой динамики", ПМТФ, 40:2 (1999), 50-55
  2. Хабиров С. В., Аналитические методы в газовой динамике, Гилем, Уфа, 2003, 192 с.
  3. Вишератин К. Н., Калашник М. В., "Нелинейные акустические колебания в закрученных газовых потоках", Изв. Акад. наук. МЖГ, 49 (2014), 125-135
  4. Юлмухаметова Ю. В., "Подмодели газовой динамики с линейным полем скоростей", Сиб. электрон. матем. изв., 2012, № 9, 208-226
  5. Головин С. В., "Точные решения для эволюционных подмоделей газовой динамики", ПМТФ, 43:4 (2002), 3-14
  6. Овсянников Л. В., Лекции по основам газовой динамики, Наука, М., 1981, 368 с.
  7. Хабиров С. В., Чиркунов Ю. А., Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды, НГТУ, Новосибирск, 2012, 659 с.

Statistics

Views

Abstract - 6

PDF (Russian) - 5

Cited-By


Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies