The vortex filament dynamics: New viewpoint on the problems of energy and effective mass

Full Text

Введение. Предмет рассмотрения данной статьи — бесконечная вихревая нить в приближении локальной индукции [1]. Сложность реалистических моделей в гидродинамике делает востребованными подобные идеализированные конструкции, в том числе — для «отработки» новых подходов, а также как исходный материал для построения новых моделей. Практический интерес представляет, конечно, исследование динамики реального вихря с некоторым эффективным радиусом ядра 0 в области 3 , где — подмножество пространства 3 , ограниченное плоскостями = ±. Если считать, что концы вихря расположены на разных граничных плоскостях, то такой объект может рассматриваться, например, как планарная квазичастица. Заметим, что интерес к квазичастицам той или иной природы, эволюционирующим на некоторой плоскости, в недавнее время был стимулирован гипотетическим их использованием для помехоустойчивых квантовых вычислений [2, 3]. Бесконечная вихревая нить, имеющая прямолинейные асимптотики вдоль некоторого выделенного направления, может рассматриваться как некоторое приближение ( ) для указанного вихря. Как известно, заявленные приближения (0 0 и ) приводят к проблемам: так, например, стандартные интегралы для динамических инвариантов [4] становятся расходящимися. В настоящей статье мы предложим новый подход для построения некоторых из таких инвариантов. Построенная в работе модель делает также возможным вычисление тензора эффективной массы вихревой нити (как планарной квазичастицы): его нетривиальность отражает тот экспериментальный факт, что отклик вихря на внешнее воздействие является, как правило, сложной функцией такого воздействия. Итак, мы рассматриваем эволюционирующую в пространстве 3 кривую (, ), определяемую выражением 0 sign( )(, ). (1) (, ) = 0 + 2 Параметры и являются безразмерными. Параметр эволюции мы будем опускать в формулах там, где это не вызовет недоразумений. Константа 0 является in-put константой теории и определяет масштабы длин. Векторфункция 3 () = () , =1 где — некоторый фиксированный ортонормированный базис в 3 , удовлетворяет уравнению магнетика Гейзенберга [5] (, ) = (, ) * 2 (, ), (2) асимптотическим условиям lim () = 3 , ± 38 (3) а также соответствующим связям 2 () = 1. (4) Мы полагаем, что функции 1 (), 2 () и 3 () 1 убывают при ± не медленнее, чем 1/ 2 , а интеграл для компоненты 3 кривой в формуле (1) понимается в смысле главного значения Коши. Таким образом, кривая (, ) удовлетворяет уравнению локальной индукции (, ) = 1 (, ) * 2 (, ) 0 (5) и обладает при ± асимптотиками (, ) 0 ± + 0 3 + (1/), = 0 2 ( ) (, ) 3 . Не ограничивая общности, мы полагаем далее 03 = 0, сделав, если это не так, сдвиг параметра на соответствующую константу. Следует отметить, что хотя исследуемый объект — вихревая нить — давно является предметом изучения, он до сих пор вызывает интерес у исследователей и в данной области периодически появляются новые работы (см., например, [6, 7]). Отметим здесь работу [8], в которой рассматривалась связь модели магнетика Гейзенберга и вихревой нити в ином подходе. В терминах нелинейного уравнения Шредингера (калибровочно-эквивалентного уравнения (2), см. [5]) вихревая нить была описана в работе [9]. Найденное в указанной статье преобразование (Хасимото) продолжает активно изучаться [10], в том числе и на квантовом уровне [11]. 1. Динамические инварианты. Рассматривая вихревое движение жидкости каноническим образом [4], мы имеем в своем распоряжении следующие выражения для импульса и момента: ( ) 1 1 * (), cn = * * () . (6) cn = 2 3 Здесь и далее мы полагаем, что плотность жидкости 1, вектор () обозначает завихренность, которая, как известно, для вихревой нити выражается формулой () = lim ( ()) (), где символом обозначена циркуляция. Наша цель заключается в том, чтобы построить гамильтонову динамическую систему, связанную с уравнением (5). Данное уравнение в нашей модели является следствием представления (1) и уравнения (2), которое постулируется. Чтобы иметь основания связывать построенную динамическую систему именно с вихревым движением жидкости, мы постулируем также формулы (6) для импульса и момента . Известно, что непосредственное применение формул (6) к бесконечной вихревой нити проблематично, так как интегралы расходятся. Действительно, для импульса cn имеем cn = lim (), где при достаточно больших () 0 0 * (3 + ) + , а вектор записывается в виде выражения 1 2 = 0 , = sign( )() * (). 4 (7) (8) Несобственный интеграл в последнем выражении понимается в смысле главного значения Коши. Рассмотрим сначала частный случай = 0. В данном случае вполне естественно выполнить процедуру вычитания расходящегося члена 0 ( 0 * 3 ) и определить импульс выражением (8). Фактически это означает вычитание (бесконечного) импульса бесконечного прямолинейного вихря. Заметим, что идея такого вычитания высказывалась еще в работе [4]. Постулируемый импульс — это импульс возмущений бесконечного прямолинейного вихря. Рассмотрим общий случай = 0. Из представления (7) следует, что компоненту 3 вектора без ограничения общности здесь можно считать нулевой, переопределив, если это не так, параметр . Как отмечалось ранее, 03 = 0, так что после вычитания расходящегося слагаемого 0 0 * 3 компоненты канонического импульса cn 1 и cn 2 определяются так же, как и в случае = 0 — трансляционно-инвариантным выражением (8). Напротив, компонента cn 3 после вычитания содержит слагаемое 0 (01 2 02 1 ), что не может считаться удовлетворительным результатом в силу трансляционной неинварантности. Что касается компонент вектора момента cn , можно убедиться, что компоненты cn 1 и cn 2 расходятся в пределе квадратично, и лишь компонента cn 3 расходится линейно, что позволяет применить к ней вычитательную процедуру. После такой процедуры по-прежнему имеем cn , где = 1, 2. Таким образом, канонические формулы (6) приводят к удовлетворительным результатам для динамических инвариантов cn 1 , cn 2 и cn 3 = , что позволяет нам интерпретировать рассматриваемую динамическую систему как планарную. Выражение для величины может быть получено в следующей форме: ( ) ( ) 0 3 Tr 3 (1 , 2 , 3 )(1 )(2 ) + (3 ) 3 (3 ) 1 2 3 , = 12 где функция (1 , 2 , 3 ) = 3=1 определена так, что для < < коэффициенты = = 1, = 1. Что касается матриц и , они определены в соответствии с формулой () 3 =1 40 () = + ()3 (). Заметим, предельные переходы для компонент момента cn фактически задают предельный переход (контракцию) (3) (2) (см. [12]). В итоге группа пространственно-временной симметрии исследуемой динамической системы — это группа (2) * , где (2) — группа движений плоскости 2 3 и — группа «временных» трансляций + . Для обозначения векторов на данной плоскости мы используем далее прямые римские символы (safari), так что = (j , 3 ) и т.п. Заметим, что в предлагаемом подходе такое понятие, как «скорость окружающей вихревую нить жидкости», отсутствует. Поэтому величина , вычисляемая в стандартном подходе как , является динамической переменной, которая дополняет переменные {z0 , ()}, определяющие положение точек вихревой нити в пространстве. Обозначим множество {z0 , , ()}, элементы которого удовлетворяют связям (4), символом . В силу сказанного выше справедливо следующая Лемма 1. Множество параметризует рассматриваемую динамическую систему — вихревую нить (), эволюционирующую в соответствии с уравнением (5) и имеющую циркуляцию . Данная система может рассматриваться как планарная, имеющая координаты ( 01 , 02 ), импульс p = = 1 1 +2 2 , момент , а также внутренние степени свободы (), которые определяются в соответствии с описанными выше правилами. Отметим, что уравнение (5) (или (2), что эквивалентно) выводится в литературе из анализа движения окружающей нить сплошной среды, которое, собственно, рассматриваемую вихревую нить и порождает. Поэтому переменные , (, ) формально содержат в себе информацию о таком движении окружающей среды. Далее мы построим гамильтоново описание рассматриваемой модели в терминах иных, более подходящих для такого описания переменных. Вводимые ниже переменные, во-первых, сделают интерпретацию исследуемой динамической системы как планарной квазичастицы более наглядной и, вовторых, позволят расширить группу пространственно-временной симметрии. Последнее, в свою очередь, позволит предложить новый подход к определению энергии бесконечной вихревой нити нулевой толщины и, как следствие, к определению тензора обратной эффективной массы системы. Фактически мы построим новую динамическую систему, эквивалентную рассмотренной выше вихревой нити «почти всюду».1 Чтобы это сделать, мы перепараметризуем множество . Во-первых, мы объявим компоненты импульса — величины 1 и 2 — новыми независимыми динамическими переменными вместо переменной . В плане предлагаемой здесь интерпретации такая замена выглядит физически мотивированной. Поскольку мы вводим две переменные вместо одной, в теории необходимо постулировать дополнительную связь. Действительно, восстановление исходной переменной по введенным переменным 1 и 2 неоднозначно: = 1 2 1 = 2 , 2 0 1 0 2 Точное значение данного термина в рассматриваемой теории мы объясним позже. где, напомним, — компоненты введенного выше вектора (см. (8)). Неоднозначность исчезает на поверхности связи (1 , 2 ; ) (fp)2 f 2 p2 = 0 , (9) которую мы далее постулируем. Здесь f = 1 1 + 2 2 — планарный вектор. Заметим, что равенство (9) выполняется тождественно, если независимыми переменными являются элементы множества . ( ) Обозначим множество независимых переменных 01 , 02 ; 1 , 2 ; () , удовлетворяющих связям (4) и (9), как . Заметим, что на множестве , определенном условиями 1 = 2 = 0 и () 3 , восстановление переменной по-прежнему неоднозначно. Пусть подмножество определено условием () 3 . Такое условие определяет, очевидно, бесконечную прямолинейную стационарную вихревую нить с произвольной, вообще говоря, циркуляцией. В итоге справедливо следующая Лемма 2. Справедливо взаимно-однозначное соответствие () (). Введение импульсов 1 и 2 в качестве независимых переменных позволяет нам расширить группу пространственной симметрии (2) * рассматриваемой динамической системы путем добавления галилеевских бустов = + , , = const, = 1, 2 как явных преобразований независимых фундаментальных переменных. Таким образом, расширенная группа пространственно-временной симметрии теории — это планарная группа Галилея 2 . Знак «тильда» означает однопараметрическое (с параметром 0 ) центральное расширение данной группы. Расширение группы делает возможными дальнейшие действия по определению энергии рассматриваемой системы. 2. Энергия и гамильтонова структура. Как известно, попытка вычислить энергию бесконечной вихревой нити при 0 = 0 при помощи канонической формулы [1] 1 = 8 ()( ' ) 2 ' = | ' | 8 () ( ' ) ' | () ( ' )| (10) приводит к неудовлетворительному результату, так как интеграл в правой части расходится. Напомним, что мы описываем мно( вихревую нить в терминах ) жества , параметризуемого координатами 01 , 02 ; 1 , 2 ; () . Рассмотрим вначале его подмножество (см. выше), отвечающее бесконечной прямолинейной стационарной вихревой нити. На данном подмножестве интеграл в правой части формулы (10) по-прежнему расходится, однако циркуляция, как обсуждалось, не определена. Этот факт делает возможным и естественным постулировать величину энергии такого объекта; вводимую таким образом в теорию дополнительную константу мы будем обозначать символом 0 . Энергию вихревой нити произвольной конфигурации мы определим, используя теоретико-групповые методы. Так, алгебра Ли группы 2 содержит три функции Казимира: ^ ^1 = 0 , ^ ^2 = 2 ^ , ^ ,=1 2 1 ^ 2 ^ ^ 3 = , 20 =1 ^ , , ^ ^ и ^ — генераторы вращений, временгде ^ — единичный оператор; ных и пространственных трансляций, а также галилеевских бустов соответственно. Известно (см., например, [13]), что функция ^3 может быть интерпретирована как «внутренняяя энергия частицы». Мы полагаем, что инвариантное относительно галилеевских преобразований выражение ( ) )2 1 ( ^3 = 0 1 + () 4 является здесь естественным для определения внутренней энергии. Данное выражение мотивировано, конечно, формулой для гамильтониана модели магнетика Гейзенберга и постулатом об энергии стационарной прямолинейной вихревой нити. В итоге в качестве кандидата для энергии эволюционирующей бесконечной вихревой нити произвольной конфигурации мы будем рассматривать выражение ) ( )2 1 ( 21 + 22 + 0 1 + () . 0 (1 , 2 ; ) = 20 4 Следующая лемма вместе с леммой 2 объясняет термин «почти всюду», использованный в начале статьи. Лемма 3. Справедливо соотношение = . Верхняя черта означает здесь замыкание в слабой топологии, порождаемой на множестве функцией 0 стандартным образом. Поскольку на множестве выполняется неравенство 0 > 0 , а на множестве — равенство 0 = 0 , доказательство очевидно. Введем вместо переменных 01 и 02 переменные = 0 0 + 0 , = 1, 2, где 0 = 0 0 2 /0 . Данную константу мы будем использовать далее вместо константы 0 . В итоге величины (), q = 1 1 + 2 2 , p = 1 1 + 2 2 объявляются в предлагаемом подходе фундаментальными переменными модели. Например, исходная эволюционирующая кривая (, ) — вихревая нить — записывается в терминах данных переменных следующим образом: 1 0 (, ) = (q 0 p) + sign( )(). (11) 0 2 Заметим, что гамильтонова формулировка динамики вихревых нитей попрежнему является предметом исследования в том или ином аспекте (см., например, [14]). В предложенной модели гамильтонову структуру, которая обеспечивает динамику (5), мы постулируем. Такой подход мотивирован известными положениями Дирака [15] о первичности гамильтонова формализма. Для определения гамильтоновой структуры мы вводим в рассмотрение следующие объекты. – Фазовое пространство = * 2 . Здесь пространство 2 параметризовано переменными q и p, пространство — переменными (), которые удовлетворяют условиям (4) и асимптотикам (3). – Пуассонова структура { , } = 0 , , = 1, 2, 20 { (), ()} = ()( ), 123 = 1. 0 0 2 (12) Все остальные скобки Пуассона нулевые. В соответствии с определением (12) функция 2 () является аннулятором пуасоновой структуры. Таким образом, условие (4) отбирает симплектические листы в пространстве . – Связь = 0, где функция была определена ранее в формуле (9). – Гамильтониан = 0 + 0 , где функция 0 — множитель Лагранжа. Лемма 4. Введенная гамильтонова структура корректно определяет гамильтоновы потоки на множестве . Поток, соответствующий значению 0 = 0, приводит к уравнению (5) для кривой (, ), которая может быть реконструирована по координатам пространства в соответствии с формулой (11). Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, прямыми вычислениями убеждаемся, что на симплектическом листе (4) выпоняется равенство {0 , } = 0, = 1, 2, 3. Это означает, что при выполнении (4) справедливо равенство {0 , } = 0, так что дополнительных связей в теории нет. Определим «время» = 0 . При 0 = 0 уравнение движения выглядит следующим образом: () () = + {0 , ()}. Как обычно при написании данной общей формулы, явными аргументами функции здесь считаются время и независимые гамильтоновы переменные — величины q, p и (). Используя явное выражение (11), получаем окончательное выражение для правой части последней формулы в виде 1 () * 2 (). 0 0 Принимая во внимание, что производная / в формуле (5) предполагает, что функция зависит явно только от аргументов и , считаем предложение доказанным. После вычисления всех скобок Пуассона мы можем учесть связи явно. Сделав это, получаем окончательное выражение для энергии: ( ) )2 )2 21 ( 1 ( p n + 0 1 + () , = = 20 4 где введено обозначение n = f/|f|. Данная формула приводит к следующему выражению для тензора обратной эффективной массы (1/eff ) : ( 1 ) 1 = (n ) (n ) . eff 0 Заключение. В работе построена гамильтонова динамическая система, определенный сектор которой соответствует бесконечной вихревой нити «нулевой толщины» в приближении локальной индукции. Данный сектор определен подмножеством поверхности связи (9) в пространстве , получаемым исключением из поверхности точек с координатами 1 = 2 = 0 и () 3 . Энергия такой системы, в отличие от энергии указанной вихревой нити, корректно определена. Предложенная гамильтонова структура теории позволяет интерпретировать ее как математическую модель планарной квазичастицы с внутренними степенями свободы. В частности, оказывается возможным вычислить тензор обратной эффективной массы такой частицы. Модель содержит в себе три размерные константы: 0 , 0 и 0 , определяющие масштабы длины, массы и времени соответственно. Аналогичная теория, но для замкнутой вихревой нити, построена автором в работе [16].

About the authors

Sergei Vladimirovich Talalov

Togliatti State University

Email: svt_19@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

Supplementary files